Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 4
Тема 8. Вычисление криволинейных интегралов.
Криволинейные интегралы и , определенные в уравнении (4.3), находятся численно с использованием стандартных гауссовых квадратур.
Конечно, эти интегралы могут быть найдены с помощью языков символьных вычислений, например Mathematica или Maple, но окончательные выражения очень длинны и обычно занимают более страницы. Следовательно, преимущество точности по сравнению с численным интегрированием скорее утрачивается из-за сложности математических выражений. По этой причине интегрирование методом Гаусса остается наиболее удобным методом для вычисления криволинейных интегралов. Для коэффициентов влияния следует различать два случая интегрирования.
(i) Внедиагональные элементы,
В этом случае точка находится вне -го элемента, что означает, что расстояние не обращается в нуль и, следовательно, интеграл регулярен.
Интегрирование методом Гаусса выполняется по интервалу,
, (4.18)
где – количество точек интегрирования (точки Гаусса), и и – абсциссы и веса гауссовой квадратуры порядка.
Рассмотрим элемент , по которому будет выполнено интегрирование. Этот элемент определен координатами и его крайних точек, выраженных в глобальной системе координат, с осями и и началом в точке (рис. 4.3).
Рис. 4.3 Глобальная и локальная системы координат
Впоследствии в точке элемента вводится местная система координатных осей и . Локальные координаты точки на -м элементе связаны с глобальными координатами системы выражениями
; (4.19a)
, , (4.19b)
где – длина -го элемента и в координатах конечных точек имеет вид
.
Выражения, отображающие глобальные координаты на интервал интегрирования, получены введением в уравнение (4.19) геометрического соотношения
.
Таким образом, преобразование координат примет следующий вид:
; (4.20a)
. (4.20b)
Кроме того,
; (4.21)
Следовательно, якобиан преобразования будет равен
.
На основе вышесказанного интегралы коэффициентов влияния можно численно найти следующим способом:
(a) интеграл
, (4.22)
где
; (4.23)
(b) интеграл
Этот интеграл также можно вычислить аналитически. Рассмотрим рис. 4.4.
Рис. 4.4 Определение углов для численного
интегрирования по постоянным элементам
Из рис. 4.4 следует, что
,
что может использоваться наряду с уравнением (4.14), чтобы вывести выражение
. (4.24)
Углы и вычисляются из соотношений:
. (4.25)
, (4.26)
где , и , являются координатами крайних точек -го элемента.
(ii) Диагональные элементы,
В этом случае узел совпадает с узлом , и находится на элементе. Следовательно, или , что дает . Кроме того, мы имеем
,
и
. (4.27)
Следовательно,
(4.28a)
и
. (4.28b)
Отметим, что для элементов более высоких порядков (например, линейных или параболических) аналитическое интегрирование неприменимо, и поэтому используются другие методы интегрирования.