Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
2.16.Степенные ряды. Теорема об абсолютной сходимости степенного ряда в интервале сходимости. ОПР. Степенным рядом называют функциональный ряд вида : , где -его коэффициенты, -центр ряда. Такой ряд всегда сходится при x=0 Структуру области сходимости степенного ряда подчеркивает ТЕОРЕМА 1 Если степенной ряд (1) сходится в точке x=, то он сходится абсолютно для всех x на интервале } . ДОК. . Поскольку ряд (1) в точке x= сходится, его члены ограничены (даже стремятся к нулю) : для всех n . Для каждого x величина t=<1 и ряд сходящийся (ряд геометрической прогрессии). Тогда по признаку сравнения ряд сходится. |
2.17. Теорема Коши-Адамара о структуре области сходимости степенного ряда. Теорема.Пусть . Тогда ряд (1) сходится абсолютно на интервале (a-R;a+R) и расходится вне отрезка [a-R;a+R]. ДОК. Если, то R=0 и ряд сходится в одной точке x=a. Если, то R= и ряд сходится на всей числовой оси. Если R , то для |x-a|<R |x-a| , что по радикальному признаку Коши означает сходимость ряда. Если|x-a|>R , то ряд расходится по тому же признаку. При|x-a|=R признак ответа не дает : ряд (1) может как сходится, так и расходится. ПРИМЕР 1 Степенной ряд имеет радиус сходимости R=1, сходится на интервале (-1;1), в точке x=1 расходится, а при x=-1 сходится (условно). ПРИМЕР 2 Степенной ряд имеет радиус сходимости R=1, сходится на отрезке [-1;1] (абсолютно). |
2.18.Теорема Даламбера о радиусе сходимости степенного ряда. Теорема:Пусть . Тогда ряд сходится абсолютно на интервале (a-R;a+R) и расходится вне отрезка[a-R;a+R]. ДОК. Если |x-a|<R=>, что обеспечивает сходимость ряда по признаку Даламбера. При |x-a|>R и ряд расходится по невыполнению необходимого признака. Пример:
R= )=2 Следовательно данный ряд сходится при x Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При х=2 наш ряд принимает вид - это гармонический ряд, он расходится. След., точка х=2 не входит в область сходимости ряда. При х=-2 имеем:
Это знакочеред. Ряд, он сходится условно, тк выполняются условия теоремы Лейбница: 1) 2) Значит точка х=2 принадлежит области сходимости ряда. Ряд сходится при х |
2.19.Теорема о структуре области равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда в интервалесходимости. Дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного рода. Теорема:Пусть степенной ряд имеет радиус сходимости R>0. Тогда для любого r:0<r<R ряд (1) сходится равномерно на отрезке [a-r;a+r]. ДОК. На данном отрезке функциональный ряд (1) мажорируется(Мажорирование - это нахождение ряда такого что ) числовым : |. По определению числа R , для существует , для которого |. Тогда по теореме 1( Если степенной ряд (1) сходится в точке x=, то он сходится абсолютно для всех x на интервале) ряд (1) сходится (абсолютно) для всех x: |x-a|<|, в частности x=a+r, т.е. ряд сходится абсолютно. По теореме о мажорирующем ряде ряд (1) сходится равномерно на отрезке [a-r;a+r]. Отметим ряд свойств степенных рядов, основанных теоремах о равномерной их сходимости. СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости. Действительно, члены степенного ряда – непрерывные функции, поэтому его сумма – непрерывная функция на любом отрезке [a-r;a+r]. при , т.е. она непрерывна на интервале (a-R;a+R). Заметим, что непрерывность суммы на отрезке [a-R;a+R]. не гарантирована. ПРИМЕР 3. Ряд имеет радиус сходимости R=1 и сумму (геометрическая прогрессия) равную , не являющуюся непрерывной на отрезке [-1;1]. СЛЕДСТВИЕ 2. Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в интервале сходимости, при этом ряд из производных также степенной имеет тот же радиус сходимости и сумму, равную производной суммы ряда(1) внутри интервала сходимости. Док: Действительно, пусть ряд из производных имеет радиус сходимости R’ и его интервал сходимости, ряд (1) имеет радиус сходимости R и - его интервал сходимости . Пусть. Тогда ряд
абсолютно сходится (теорема 1) и справедливо неравенство : . По признаку сравнения это означает сходимость ряда (1) в точке x=, т.е R’. Пусть . Последовательность (необходимый признак), поэтому она ограничена : . Тогда для справедливо неравенство : . К ряду применим признак Даламбера , из которого следует, что он будет сходится при |x-a|<|. Тогда по признаку сравнения ряд (2) сходится (абсолютно) в точке x, т.е.R’. Сравнивая два полученных неравенства, получим R’=R. На основании теоремы 5 ряд из производных (2) равномерно сходится на каждом отрезке [a-r;a+r] и по теореме о дифференцировании функциональных рядов его сумма равна производной суммы ряда (1) на этом отрезке. СЛЕДСТВИЕ 3. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать на отрезке [a;x] и полученный ряд имеет тот же интервал сходимости. Доказательство аналогично следствию о дифференцировании. |
2.20.Ряд Тейлора ф-ии. Разложимость ф-ии в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости ф-ии. Пусть степенной ряд имеет сумму f(x) в интервале (a-R;a+R). Тогда по теореме о дифференцировании степенного ряда функция f(x) имеет производные любого порядка во всех точках интервала (a-R;a+R), причем для всех . Поставляя , получим соотношения, связывающие коэффициенты ряда (1) со значениями производных функции f(x) в точке x=a :=. ОПР. Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x=a называют степенной ряд (1), коэффициенты которого определяются формулами (2). В частном случае, при a=0 ряд (1) с коэффициентами (2) называют рядом Маклорена. Таким образом, степенной ряд (1) является рядом Тейлора своей суммы. Всегда ли ряд Тейлора функции f(x) имеет f(x) своей суммой ? Ответ в общем случае отрицательный. ПРИМЕР 1. Функцияf(x)= имеет производные в точке a=0 всех порядков, причем . РЕШЕНИЕ. f’(x)= и значение производной f’(x) в точке x=0 доопределяется нулем. Аналогично, выражение производной порядка k : , где - многочлен степени переменной . Тогда |= и поэтому . Тогда все коэффициенты ряда Маклорена функции f(x) равны нулю и сумма ряда нулевая для x и , следовательно, не равна f(x). ОПР. Функция f(x) разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x=a, если ее ряд Тейлора сходится и имеет сумму f(x) для при некотором R>0. Заметим, что n – ая частичная сумма ряда Тейлора совпадает с многочленом Тейлора функции f(x) степени n : . ОПР. Остатком ряда Тейлора называют функцию . Выражение остатка ряда в форме Лагранжа имеет вид: для , а в форме Коши : . ТЕОРЕМА 1.( Необходимое и достаточное условие разложимости). Функция f(x) разложима в ряд Тейлора на множестве (a-R;a+R) тогда и только, если для всех . ДОК. Следует из определения сходимости ряда. ТЕОРЕМА 2. (Достаточное условие разложимости) Если функция f(x) бесконечно дифференцируема на (a-R;a+R) при R:0<R и существует константа M>0 такая, что | при всех и n , то функция f(x) разложима в ряд Тейлора на . ДОК. Воспользуемся выражением остатка ряда в форме Лагранжа : | . Последовательность бесконечно малая, поэтому остаток ряда стремится к нулю. |