Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
28 Зв’язок між матрицями лінійного оператора у різних базисах
Пусть V - линейное пространство, A - линейный оператор из L(V,V), и - два базиса в V и
- формулы перехода от базиса {ei}к базису. Обозначим через матрицу U матрицу :
5.17
Отметим, что rang U = n. Пусть 5.18
-матрицы оператора A в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.
Теорема 5.7. Матрицы и оператора в базисах соответственно связаны соотношением
A=U-1AU,
(где U-1 обратная матрица) для матрицы U, определенной равенством 5.17
Доказательство. Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно 5.18
, 5.19
Из определения линейного оператора, из формул 516 и из второй из формул 5.19
следуют соотношения
,
Поэтому справедливо равенство
Подставляя в левую часть этого равенства выражение Aei по первой из формул 5.19 найдем
Так как {ej} – базис, то из последнего соотношения вытекают равенства
, j,k=1,2,..,n
Если обратится к матрицам A, , U (5.17, 5.18), то соотношения 5.20 эквивалентны следующему матричному равенству: UA=.
Умножая обе части этого равенства на матрицу U-1,получим требуемое соотношение
Теорема доказана.
Замечание:
Якщо точніше, то потрібно скласти матрицю перетворення. Власне, складатись вона буде з координат базисних векторів старого базису в новому базисі, записаних по стовпчикам. Після цього достатньо стовпчик координат вектора у старому базисі помножити справа на матрицю перетворення, щоб отримати той же вектор вже у новому базисі.
Нехай у нас заданий базис e1, e2, e3 і потрібно перейти до нового базизу f1, f2, f3, заданого координатами в базисі e:
f1 = (5, 3, 2)T
f2 = (3, 1, 1)T
f3 = (2, -1, 0)T
По-перше, потрібно перевірити, чи будуть лінійно незалежними базисні вектори нового базису; інакше вони не утворюватимуть базис. По-друге, що по суті означає запис "вектор f1 (f2, f3) має координати (5, 3, 2) в базисі e"? Це означає, що
f1 = 5e1 + 3e2 + 2e3
f2 = 3e1 + 1e2 + 1e3
f3 = 2e1 - e2
Нам потрібно знайти координати базових векторів старого базису (тобто, базису e) в новому. Інакше кажучи, потрібно просто виразити вектори ei через вектори fi; а це означає, по суті, розв’язати попередні три рівності як систему рівнянь відносно e1, e2, e3:
e1 = 1f1 - 2f2 + 1f3
e2 = 2f1 - 4f2 + 1f3
e3 = -5f1 + 11f2 - 4f3
Отримані рівності легко переписуються у вигляді координат векторів e1, e2, e3 в базисі f:
e1 = (1, -2, 1)T
e2 = (2, -4, 1)T
e3 = (-5, 11, -4)T
Відповідно, матриця перетворення (координати старих базисних векторів у новому базисі, записані по стовпчиках):
( 1, 2, -5 )
B = ( -2, -4, 11 )
( 1, 1, -4 )
Тепер, наприклад, щоб перевести координати вектора Ve = (1, 1, 1)T із базиса e в базис f, достатньо помножити його справа на матрицю B:
Vf = B Ve = (-2, 5, -2)
Спробуймо перевести координати одного з базисних векторів у новий базис. Очевидно, що базисні вектори виражаються у власному ж базисі тривіальними координатами: e1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T, e3 = (0, 0, 1)T. Далі, згідно правилу, помножимо їх на матрицю переходу:
B e1 = (1, -2, 1)T
B e2 = (2, -4, 1)T
B e3 = (-5, 11, -4)T
Легко помітити, що отримані координати співпадають із знайденими вище координатами векторів e1, e2, e3 в базисі f. Отже, дійсно, матриця робить саме те, що треба :) Ще далі, використовуючи властивість, що будь-який вектор лінійного простору виражається (єдиним способом) лінійною комбінацією базисних векторів цього простору та лінійність множення вектора на матрицю, можна довести, що знайдена матриця переводить усі вектори лінійного простору в новий базис.