Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Специальность 220201 Управление и информатика в технических
системах .
Кафедра Информационных и управляющих систем /.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
«РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО
ПОРЯДКА ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ»
.(Тема лабораторной работы)
Шифр ВКР ЛР – 02068108 – 8
Автор ________________ _________ Клёцкин А.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
Руководитель ________________ _________ Хромых Е.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
ВОРОНЕЖ – 2006 г.
Цель работы. Освоение численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка: метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Эйлера-Коши, метода Рунге-Кутта 4-го порядка с последующей реализацией на ЭВМ.
.
1.1. Произвести оценку погрешностей метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Эйлера-Коши, рассчитанных относительно решения, полученного методом Рунге-Кутта 4-го порядка:
1.2. Составить алгоритм и программу решения.
2. Исходные данные
3. Математическая формулировка
Имеется дифференциальное уравнение вида:
.
Численный метод позволяет осуществить расчет последовательности значений функции f(x,t) путем организации итерационного процесса, где последующее значение функции будет рассчитываться через предыдущее.
Метод Эйлера
Представим функцию x(t) дискретно с интервалом дискретизации dt
– две стоящие рядом точки дискретизации.
,
dx – приращение функции x(t) на интервале dt.
Получаем формулу:
Модифицированный метод Эйлера
Заключается в делении интервал дискретизации dt пополам с помощью точки ti+1/2. Точку пересечения касательной I с вертикалью ti+1/2 назовем промежуточной точкой xi*.
,
,
.
.
Подставив все полученные значения в исходную формулу, получаем:
Метод Эйлера-Коши
Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).
,
,
.
Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим:
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Данный метод заключается в том, что рассчитывается последовательность точек функции x(t), причем приращения функции рассчитываются путем усреднения промежуточных коэффициентов К1, К2, К3 и К4:
4. Выбор метода решения
В качестве метода решения необходимо использовать циклический вычислительный процесс.
5. Алгоритм
6. Решение задачи в MathCAD
Начальные условия
Метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера
Метод Эйлера - Коши
Метод Рунге-Кутта
Использование встроенной функции
Графики решений, полученных различными методами
Оценка погрешностей методов относительно решения, полученного методом Рунге-Кутта 4-го порядка
Метод Эйлера
Модифицированный Метод Эйлера
Метод Эйлера-Коши
7. Таблица результатов
|
Номер i |
rkfixed |
ti |
||||
|
0 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
0 |
|
1 |
9.956 |
9.975 |
9.976 |
9.973 |
9.971 |
0.1 |
|
2 |
9.952 |
9.967 |
9.968 |
9.964 |
9.962 |
0.2 |
|
3 |
9.959 |
9.969 |
9.97 |
9.967 |
9.966 |
0.3 |
|
4 |
9.973 |
9.981 |
9.982 |
9.979 |
9.978 |
0.4 |
|
5 |
9.993 |
10 |
10.002 |
9.999 |
9.998 |
0.5 |
|
6 |
10.021 |
10.028 |
10.03 |
10.027 |
10.026 |
0.6 |
|
7 |
10.057 |
10.066 |
10.068 |
10.065 |
10.064 |
0.7 |
|
8 |
10.105 |
10.116 |
10.118 |
10.115 |
10.114 |
0.8 |
|
9 |
10.167 |
10.181 |
10.184 |
10.18 |
10.179 |
0.9 |
|
10 |
10.247 |
10.267 |
10.271 |
10.266 |
10.265 |
1 |
|
11 |
10.351 |
10.38 |
10.385 |
10.379 |
10.378 |
1.1 |
|
12 |
10.488 |
10.532 |
10.539 |
10.532 |
10.53 |
1.2 |
|
13 |
10.672 |
10.739 |
10.748 |
10.739 |
10.737 |
1.3 |
|
14 |
10.918 |
11.022 |
11.033 |
11.022 |
11.02 |
1.4 |
|
15 |
11.249 |
11.403 |
11.415 |
11.404 |
11.403 |
1.5 |
|
16 |
11.68 |
11.886 |
11.892 |
11.886 |
11.884 |
1.6 |
|
17 |
12.203 |
12.419 |
12.411 |
12.414 |
12.412 |
1.7 |
|
18 |
12.749 |
12.899 |
12.881 |
12.892 |
12.891 |
1.8 |
|
19 |
13.207 |
13.256 |
13.236 |
13.251 |
13.253 |
1.9 |
|
20 |
13.514 |
13.481 |
13.464 |
13.48 |
13.484 |
2 |
|
Погрешность δ |
1.576 |
0.05 |
0.157 |
- |
- |
- |
8. Вывод
В ходе выполнения лабораторной работы я освоил численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка: метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера, метода Эйлера-Коши, метода Рунге-Кутта 4-го порядка с последующей реализацией на ЭВМ.
Сравнительная характеристика методов:
Метод Эйлера самый неточный и самый простой в своей реализации метод.
Модифицированный метод Эйлера точнее метода Эйлера-Коши. Оба метода сложны в своем использовании, так как формулы для расчета xi принимают громоздкий вид.
Метод Рунге-Кутта самый точный метод. Однако он сложен в своем использовании по сравнению с другими методами из-за расчетов коэффициентов K1, K2, K3, K4.