Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.Ф.КАТАНОВА»
Институт информационных технологий и инженерного образования
Кафедра информационных систем и технологий
Лабораторная работа №2
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Вариант №22
Выполнил:
Студент группы 41
Юшин Андрей
Проверила:
Молчанова Е.А.
Абакан, 2013
а) табулированием;
б) графически.
2. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью =0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):
а) хорд
б) касательных
в) секущих
Решение: а) графически;
Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.
На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1;2)
На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3;-2), (-1;0),( 0;1), (1;2) .
Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.
Метод половинного деления
В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.
По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.
Для функции
|
x |
F(x) |
|
1 |
-0,41 |
|
1,1 |
-0,31 |
|
1,2 |
-0,21 |
|
1,3 |
-0,10 |
|
1,4 |
0,02 |
|
1,5 |
0,15 |
|
1,6 |
0,28 |
|
1,7 |
0,42 |
|
1,8 |
0,57 |
|
1,9 |
0,71 |
|
2 |
0,86 |
Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3;1,4].
Для функции
|
-3 |
28 |
-1 |
-12 |
0 |
1 |
1 |
-4 |
|||
|
-2,9 |
14,7083 |
-0,9 |
-9,6677 |
0,1 |
0,8843 |
1,1 |
-3,8037 |
|||
|
-2,8 |
3,5088 |
-0,8 |
-7,4992 |
0,2 |
0,5568 |
1,2 |
-3,1472 |
|||
|
-2,7 |
-5,7797 |
-0,7 |
-5,5317 |
0,3 |
0,0523 |
1,3 |
-1,9237 |
|||
|
-2,6 |
-13,331 |
-0,6 |
-3,7952 |
0,4 |
-0,5872 |
1,4 |
-0,0192 |
|||
|
-2,5 |
-19,313 |
-0,5 |
-2,3125 |
0,5 |
-1,3125 |
1,5 |
2,6875 |
|||
|
-2,4 |
-23,883 |
-0,4 |
-1,0992 |
0,6 |
-2,0672 |
1,6 |
6,3248 |
|||
|
-2,3 |
-27,196 |
-0,3 |
-0,1637 |
0,7 |
-2,7877 |
1,7 |
11,0283 |
|||
|
-2,2 |
-29,395 |
-0,2 |
0,4928 |
0,8 |
-3,4032 |
1,8 |
16,9408 |
|||
|
-2,1 |
-30,62 |
-0,1 |
0,8763 |
0,9 |
-3,8357 |
1,9 |
24,2123 |
|||
|
-2 |
-31 |
0 |
1 |
1 |
-4 |
2 |
33 |
Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8;-2,9] , [-0,3;-0,2] , [0.3;0,4] , [1,4;-1,5] . ( Для уточнения взят интервал [-0,3;-0,2] )
Первый способ уточнения корня уравнения – метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:
С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения
до значения .
Метод итераций.
Второй способ уточнения корня уравнения – метод простых итераций (ПИ).
Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида . Для уравнения было получено генерирующие отношение вида .
Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.
Продифференцируем выражение
Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3;1,4], т.е. х = 1.35.
-1.4
Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта :
Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.
Метод касательных.
Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.
В качестве выступает уравнение а в качестве – её производная . Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:
С помощью метода касательных корень был уточнен до значения при начальном приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.
Нет
Да
Начало
x, y, Xmax, dx, f(x)
x < Xmax
x, y
Конец
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Конец
w:=|b-a|
c
Да
w ≤e
Нет
n:=n+1
Да
a:=c
b:=c
Нет
f(a)*f(c)>0
c:= (a+b)/2
n:=0
f(x), a, b, e
Начало
EMBED Equation.3
начало
х0
x1=g(x0)
EMBED Equation.3
x0=x1
х1
конец
+
-
Нет
Да
Начало
Конец