Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 15. Второй ньютонов закон механики
Во втором законе Ньютона говорится об изменении количества движения и о силе. В механике и в физике количеством движения называют произведение массы m на скорость тела v. Когда в обы денной жизни говорят о «количестве движения», то чаще всего вкла дывают в эти слова смысл, аналогичный величине mv. Действительно, если по какой-либо безлюдной улице с большой скоростью бежит один человек, то никто не скажет, что движение по этой улице велико; если на улице находится неподвижная толпа ожидающих чего-либо людей, то опять-таки никто не скажет про эту улицу, что движение по ней велико; уличное движение все мы изме ряем (иногда сами этого не за мечая) произведением числа дви жущихся по улице людей на среднюю скорость их движения. Количество движения пред ставляет собой вектор, имеющий направление скорости, но по численному значению превосходящий скорость во столько раз, во сколько раз масса тела m больше единицы массы.
Рис. 20. Вектор количества движения при m = 5 г.
При графическом изображении можно длину вектора количества движения принять в m раз большей, чем длина векторов скоростей (как это показано на рис. 20), но чаще бывает удобнее пользоваться для изображения векторов количества движения независимым масштабом.
Строго говоря, вышеприведённое определение количества движения справедливо только для материальной точки; в общем случае разные участки движущегося тела могут иметь неодинаковые скорости; тогда рассматривают тело как совокупность материальны точек и под количеством движения понимают геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек, составляющих тело
Часто вместо термина «количество движения» пользуются для обозначения величины mv термином импульс.
Сила также является вектором. О силах мы судим: во-первых по их статическому проявлению (например, по давлению, которое тело оказывает на опору; давление может привести к прогибу поверхности, к сжатию пружины и т. д.), во-вторых, по их динамическому проявлению, т. е. по ускорениям, которые тела приобретают
под действием силы.
Рис. 21. Опытное доказательство век торности сил в их статическом про явлении.
В первом случае, при статическом проявлении, векторность силы легко может быть обнаружена опытным путём: так, например, посредством изображённого на рис. 21 простого прибора можно доказать, что силы при их статическом проявлении склады ваются геометрически (по правилу параллелограмма, а при более чем двух силах — по более общему правилу многоугольника).
Во втором случае, при динами ческом проявлении, векторность «движущей» силы вскрыта вторым законом механики.
Второй закон механики со стоит в следующем утверждении (приводим ньютонову формули ровку этого закона):
Изменение количества дви жения пропорционально прило женной движущей силе и про исходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Здесь речь идёт о геометри ческом изменении количества движения за единицу времени, причём в качестве единицы времени должен
быть избран достаточно малый промежуток, а именно настолько малый, чтобы в продолжение его изменение количества движения можно было считать происходящим равномерно. Чтобы освободить себя от этого стеснительного условия в выборе единицы времени, нужно в приведённой выше формулировке второго закона слова «изменение количества движения...» заменить словами «изменение количества движения, происходящее за элементарно малый промежу ток времени и разделённое на этот промежуток времени...». Далее, условимся измерять упоминаемые во втором законе величины в таких единицах, чтобы можно было слово «пропорционально» заменить словом «равно». Тогда, полностью сохраняя смысл приведённой выше ньютоновой формулировки второго закона, мы можем выразить этот закон так:
Геометрическое изменение количества движения, происходя щее за элементарно малый промежуток времени и разделённое на этот промежуток времени, разно приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Следовательно, если F есть «движущая» сила, приложенная к телу (точнее, к «материальной точке»), масса которого есть m и скорость v, то
(1)
Когда масса постоянна, то изменение количества движения про исходит вследствие одного лишь изменения скорости: (mv) = mv2 - mv1=m(v2- v1)=mv; поэтому при m=const
(2)
или, если под j подразумевать вектор ускорения, то при m=const
(2a)
Имея в виду это уравнение, второй закон механики часто фор мулируют так: сила равна произведению массы на ускорение.
Заметим, что вектор «движущей» силы находится в таком же соотношении с ускорением, как вектор количества движения со ско ростью; действительно, количество движения совпадает по направле нию со скоростью и численно равно произведению массы на ско рость; аналогично сила совпадает по направлению с ускорением и численно равна произведению массы на ускорение.
Вспомним, что проекции вектора ускорения j на оси координат равны частным производным второго порядка от координат по вре мени [§ 6, уравнение (11)]. Проекции силы F на оси координат (компоненты вектора силы) обозначим через X, Y, Z. Векторное уравнение (2) равносильно трём скалярным уравнениям для компо нентов силы:
(3)
Это — нъютоновы уравнения движения.
Ещё Галилеем было установлено, что у поверхности Земли все тела падают (в безвоздушном пространстве) с одинаковым ускоре нием g, которое для средних географических широт равно прибли зительно 9,8 м/сек2. (Как будет показано в главе VI, галилеев закон свободного падения тел является одним из следствий ньютонова закона всемирного тяготения.) Таким образом, сила тяжести Р, которая статически проявляется в весе тел, динамически прояв ляется в одинаковом для всех тел ускорении g. Следовательно, по второму закону механики
P = mg; (4)
вес тела пропорционален массе тела; коэффициентом пропорциональ ности является ускорение силы тяжести.
Смысл второго закона Ньютона, пожалуй, наиболее отчётливо виден при такой формулировке этого закона, когда используется понятие импульса силы. Когда сила, действующая на материальную точку, постоянна по величине и направлению, то под импульсом силы понимают произведение силы на время её действия. В общем случае, когда величина и направление силы непостоянны, общее время действия силы разбивают на столь малые промежутки времени, чтобы в пределах каждого такого промежутка времени с изменением силы можно было не считаться. Произведение силы на бесконечно малый промежуток времени её действия называют элементарным импульсом силы; элементарный импульс представляет собой беско нечно малый вектор Fdt, имеющий направление действующей силы. Под суммарным импульсом понимают геометрическую сумму элементарных импульсов силы.
Fdt=d(mv).
Следовательно, пользуясь понятием об импульсе силы, второй закон механики можно сформулировать так: изменение количества движения за любой бесконечно малый промежуток времени равно эле ментарному импульсу силы.
Представим себе, что для каждого из всех промежутков времени написано уравнение второго закона механики в только что приве дённой форме. Сложим все эти векторные уравнения, т. е. построим два многоугольника; сторонами одного многоугольника будут служить элементарные импульсы, сторонами второго — бесконечно малые изменения количества движения. Очевидно, что геометрическая сумма всех векторов d(mv) (т. е. сторона, замыкающая многоугольник, построенный из этих векторов) будет представлять собой не что иное, как суммарное приращение количества движения материальной точки за рассматриваемый промежуток времени t; с другой стороны, очевидно также, что суммарное приращение количества движения за время t равно геометрической разности между тем количеством движения, которое материальная точка имеет к концу времени t, и тем количеством движения, которое материальная точка имела в на чальный момент времени. Таким образом,
импульс силы = ∑Fdt=mv2- mv1.
Здесь 2 есть знак суммы, причём — так как за этим знаком стоит вектор — в данном случае ∑ означает геометрическую сумму.
Если в начальный момент времени материальная точка находилась в покое (v1=0), то количество движения, приобретённое материальной точкой за время t, равно импульсу силы. Поэтому для обозна чения величины mv наряду с термином «количество движения» при меняют также термин импульс.
В расширенном понимании в слово «импульс» вкладывается смысл: «толчок», «побуждающая» причина. Понятием импульса силы в особенности часто пользуются, когда анализируют действие кратковременных, так называемых «мгновенных» сил. Называя величину mv импульсом, имеют в виду, что величина mv указывает интенсивность и направление толчка, который нужно было бы сообщить материаль ной точке m, чтобы «мгновенно» перевести её из состояния покоя в движение со скоростью v. Можно также сказать, что величиной mv измеряется толчок, который произвела бы материальная точка, если её «мгновенно» затормозить до состояния покоя.
Второй закон механики содержит ещё и следующую мысль:
Если к телу приложено одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает телу определяемое вторым законом ускорение так, как если бы других сил не было.
Это утверждение иногда называют принципом независимости действия сил. Решая задачи механики методами Ньютона, этим принципом приходится широко пользоваться. При умелом подходе при менение этого принципа может оказаться чрезвычайно полезным при решении трудных задач. Если к телу приложена всего одна сила, то всё же нередко представляется удобным разбить эту силу на две или три слагающие, геометрической суммой которых являлась бы задан ная сила. Так, например, если тело при своём движении должно оставаться на некоторой жёсткой поверхности, то почти всегда пред ставляется полезным разбить приложенную к телу силу на две со ставляющие: одну, которая направлена по касательной к этой поверх ности, и другую, которая направлена по нормали к поверхности; понятно, что эта вторая составляющая не сообщит телу численного увеличения скорости и проявится в давлении, которое тело при своём движении будет оказывать на поверхность.
Действие силы сказывается не только независимо от действия других приложенных к телу сил, но также независимо от того, пре бывало ли ранее тело в покое или же двигалось с некоторой ско ростью. Скорость, сообщаемая приложенной к телу силой, геометри чески складывается со скоростью инерциального движения тела. Примером этого может служить движение брошенного тела (в пустоте): для любого момента времени вектор скорости брошенного тела гео метрически слагается из вектора начальной (сообщённой телу при бросании) скорости, удерживаемой телом по инерции, и направлен ной вертикально вниз скорости падения тела (движение брошенного тела подробно рассматривается в § 17).
Если уравнение второго закона относить не к отдельной мате риальной частице, а к телу в целом, то даже в весьма простых задачах механики часто приходится сталкиваться со случаем, когда масса тела не остаётся постоянной во время движения. Представим себе, например, что на совершенно гладкой скользкой палубе корабля лежит канат, один конец которого спущен в воду; под дей ствием неизменной по величине силы — под действием тяжести чага каната, свисающей через борт, —канат будет сползать с палубы; это движение будет ускоренным; чтобы правильно вычислить ускорение, надо учесть, что масса, которой сообщается ускорение, во время движения уменьшается. Важным примером движения, когда масса не остаётся постоянной, является полёт ракеты.
В последние годы в связи с развитием реактивной техники меха ника тел переменной массы приобрела большое значение. Пионером в этой области был профессор Петербургского университета И. В. Ме щерский, опубликовавший в 1897 г. монографию «Динамика точки переменной массы». Законы полёта ракет были впервые подробно тео ретически исследованы русским учёным Константином Эдуардовичем Циолковским.
Следует иметь в виду, что ньютоново уравнение
F=d(mv)/dt
при изменяемой массе относится к случаю, когда прирост или умень шение массы m происходит за счёт присоединения (или отделения) частиц массы, бывших неподвижными (или становящихся неподвиж ными).
Для самого общего случая, когда изменение массы происходит за счёт частиц, имеющих некоторую абсолютную скорость v', совме щение второго и третьего законов Ньютона приводит, как показал Мещерский, к формуле
d (mv)/dt=F+v'•dm/dt
d(mv/dt=F+v'•dm/dt (1a)
По правилу дифференцирования произведения двух функций
d(mv)/dt=m•dv
при v=v' вторые члены в левой и правой частях уравнения (1а) сокращаются. Стало быть, если присоединяемые (или отделяемые) частицы массы не были неподвижны (или не становятся неподвиж ными), но, наоборот, имеют в момент присоединения (или отделения) ту же скорость, что и главная масса m (т. е. когда v'=v), то, не смотря на изменяемость массы m, в этом частном случае мы можем пользоваться уравнением
F=dv/dt.
Введём относительную скорость присоединяемых (или отделяемых)
масс
=v'-v
(что удобно, например, при анализе движения ракеты); тогда наибо лее общее уравнение (1а) можно свести к «школьной» формулировке второго закона Ньютона [к уравнению (2)]
m•dv/dt=F+F' где F'=•dm/dt Здесь F' есть «сила реакции», действующая на массу m вследствие отделения или присоединения к ней частиц массы.
1)Изображение силы в виде вектора первым стал применять один из основателей статики Стевин (около 1600 г.).