Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Примеры для подготовки к контрольной работе.
Задание 1.Решите систему уравнений с помощью метода Крамера.
|
Номер варианта |
Системы уравнений |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
||
|
3 |
||
|
4 |
||
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
||
|
10 |
||
|
11 |
Задание2. Вычислить интеграл.
|
Номер варианта |
Интегралы |
Номер варианта |
Интегралы |
|
1 |
10 |
||
|
2 |
11 |
||
|
3 |
12 |
||
|
4 |
13 |
||
|
5 |
14 |
||
|
6 |
15 |
||
|
7 |
16 |
||
|
8 |
17 |
||
|
9 |
Задание 3. Вычислить производную функции у = f(x).
|
Номер варианта |
y = f(x) |
Номер варианта |
y = f(x) |
|
1 |
10 |
||
|
2 |
y = ln2 x2 |
11 |
|
|
3 |
y = |
12 |
|
|
4 |
y = cos (e) |
13 |
|
|
5 |
y = cos2 (ln3x) |
14 |
y = |
|
6 |
y = ln(sin6x) |
15 |
|
|
7 |
y = sin (x2-5x+1) |
16 |
|
|
8 |
y =2x+5cos3x |
17 |
|
|
9 |
Краткий справочный материал и образы решения примеров контрольной работы.
«Определители»
Понятие определителя второго порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу вида, где a1, b1, a2, b2- некоторые числа.
Любая такая таблица называется квадратной матрицей второго порядка. Числа a1, b1, a2, b2 называются элементами матрицы.
Число называется определителем квадратной матрицы второго порядка и обозначается .
Таким образом, согласно определению =.
Определитель квадратной матрицы второго порядка называется определителем второго порядка.
Числа a1, b1, a2, b2 называются элементами определителя. Диагональ, на которой находятся элементы a1и b2, называется главной, а диагональ, на которой находятся элементы a2 и b1,-побочной.
Таким образом, правило вычисления определителей второго порядка:
Для того, чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
Пример1.Вычислить определитель второго порядка .
Решение.
=2∙7-4∙3=14-12=2.
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей второго порядка.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Числа a1, b1, a2, b2 называются коэффициентами при неизвестных, а числа с1 и с2- свободными членами.
Решить такую систему- это значит найти такую пару чисел (х;у), которая при подстановке в эту систему обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Определитель = называется определителем системы.
Если определитель0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
х =, y = , где , -определители, получающиеся из определителя заменой первого или второго столбцов соответственно столбцом свободных членов системы.
Таким образом, имеем =, =.
Эти формулы называются формулами Крамера (швейцарский математик, 1704-1752гг.) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Пример2. Решите систему уравнений методом Крамера.
Решение.
Выпишем и вычислим определитель системы:
= =5∙4-2∙3=20-6=140.
Так как 0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
х =, y = .
Выпишем и вычислим определители , :
= =29∙4-2∙23=116-46=70,
= =5∙23-29∙3=115-87=28.
Таким образом,
х ==5, y ==2.
Ответ. (5;2).
Если определитель0, то система уравнений либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.
Понятие определителя третьего порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу вида, где a1, b1, с1, a2, b2 ,с2, a3, b3, c3 - некоторые числа.
Любая такая таблица называется квадратной матрицей третьего порядка. Числа a1, b1, с1, a2, b2 , с2 , а3, b3 , с3 называются элементами матрицы.
Число а1- b1+ с1 называется определителем квадратной матрицы третьего порядка и обозначается .
Таким образом, согласно определению = а1- b1+ с1.
Определитель квадратной матрицы третьего порядка называется определителем третьего порядка.
Из определения видно, что определитель третьего порядка выражается через определители второго порядка. Эту формулу называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Пример 3.Вычислить определитель третьего порядка = .
Решение.
Разложим определитель по элементам первой строки:
= 2 -3-4 = 2∙(-2-18)-3∙(-10+6)-4∙(15+1) = 2∙(-20)-3∙(-4)-4∙16 = = -40+12-64=-92.
Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей третьего порядка.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Числа a1, b1,с1, a2, b2 ,с2, а3, b3, с3 называются коэффициентами при неизвестных, а числа с1,с2,с3 - свободными членами.
Решить такую систему- это значит найти такую тройку чисел (х;у;z), которая при подстановке в эту систему обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Определитель = называется определителем системы.
Если определитель0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
х =, y = , z = , где , , -определители, получающиеся из определителя заменой первого, второго, третьего столбцов соответственно столбцом свободных членов системы. Эти формулы называются формулами Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример4. Решите систему уравнений методом Крамера.
Решение.
Вычислим определитель системы
= = 2 -3+1 = 2∙(1-4)-3∙(-3-2)+1∙(6+1) =
= 2∙(-3)-3∙(-5)+1∙7 = -6+15+7 = 160.
Так как 0, то система имеет единственное решение.
Вычислим теперь , , :
= = 14 -3+1 = 14∙(1-4)-3∙(-5-14)+1∙(10+7) =
= 14∙(-3)-3∙(-19)+1∙17 = -42+57+17 = 32.
= = 2 -14+1 = 2∙(-5-14)-14∙(-3-2)+1∙(21-5) =
= 2∙(-19)-14∙(-5)+1∙16 = -38+70+16 = 48.
= = 2 -3+14 = 2∙(-7-10)-3∙(21-5)+14∙(6+1) =
= 2∙(-17)-3∙16+14∙7 = -34-48+98 = 16.
Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим:
х = = = 2, y = = = 3, z = = = 1.
Ответ. (2;3;1).
«Теория пределов»
Понятие предела функции в точке.
Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х0, если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , зависящее от, такое, что для всех х≠х0 , удовлетворяющих неравенству │х-х0│<, справедливо неравенство │f(x)-A│<.
Говорят “предел функции f(x) в точке х0” и обозначают f(x)=A.
Основные теоремы о пределах.
с = с (с = const).
Пусть заданы две функции f(x) и g(x). Еслиf(x)=A, g(x)=B, то
(f(x) ± g(x)) = f(x) ±g(x) = A± B.
Пусть заданы две функции f(x) и g(x). Еслиf(x)=A, g(x)=B, то
(f(x) ∙ g(x)) = f(x) ∙g(x) = A∙B.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(сf(x))= сf(x).
Пусть заданы две функции f(x) и g(x).Еслиf(x)=A,g(x)=B, причем B≠0, то = =.
Пример5.Вычислить предел (9х2-6х+8).
Решение.
Применив теоремы о пределах суммы, разности и произведения, получим
(9х2-6х+8)= (9х2) - 6х +8 = 9х2 -6х+8 = 9(х)∙(х) -6∙1+8 =
= 9∙1∙1-6∙1+8 = 11.
Пример6.Вычислить предел .
Решение.
Так как при х→5 знаменатель дроби 10+2х≠0, то можно применить теорему о пределе частного. По свойству пределов
= = = == = 1,5.
Понятие бесконечно большой и бесконечно малой функции.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
Функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при х→х0 (х→), если для любого положительного числа М, найдется положительное число , зависящее от М, такое, что для всех х≠х0 , удовлетворяющих условию│х-х0│<, справедливо неравенство │f(x)│>M (f(x)= ).
Функция (x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при х→х0 (х→), если (x)= 0 ((x)=0).
Если функция (x) есть бесконечно малая при х→х0 (х→), то функция f(x)= является бесконечно большой, и обратно, если функция f(x) - бесконечно большая функция при х→х0(х→ ),то (x)= является бесконечно малой функцией.
Если функции (x) и есть бесконечно малые при х→х0 (х→), то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть = k . Тогда:
- при k=0 (x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ;
- при 0<k< (x) и - одного порядка малости;
- при k= (x) более низкого порядка малости, чем ;
Если k=1, то бесконечно малые (x) и называются эквивалентными:
(x)~ .
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую бесконечно малую функцию заменить на эквивалентную.
Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при (x)→0 :
(x)~ sin(x) ~tg(x) ~arcsin(x)~arctg(x) ~-1~(-1)/ ln x ~ln(1+(x)).
Первый замечательный предел: =1.
Второй замечательный предел (число e=2,718281…): (1+)x = e.
Чтобы найти предел элементарной функции f(x), нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если x=x0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке x=x0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если с=const, c≠0, c≠, то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим: с∙→;с∙0→0;→0, если 0<a<1; →, если a>1.
Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов: ;; (0∙); (-); ();();(00).
Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований.
Пример7. Вычислите пределы функции, используя элементарные способы раскрытия неопределенностей: а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.
(4х3+2х-3)= х3(4+-)=4=, т.к. 0, 0.
Аналогично: (х2+6)= .
Имеем неопределенность вида (). Используем следующий прием: числитель и знаменатель разделим почленно на старшую степень х , т.е. х3. Тогда получим:
====.
б) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 4, определим предел числителя и знаменателя.
(х2-16)= 16-16=0
Аналогично: (х2-5х+4)= 16-20+4=0. Имеем неопределенность вида .
Используем следующий прием: разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь.
Разложение числителя на множители : х2-16=(х-4)(х+4).
Найдем корни квадратного уравнения х2-5х+4=0.
D=25-16=9.
х1==, х2==.
Тогда разложение знаменателя на множители: х2-5х+4=(х-1)(х-4).
===.
в) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 0, определим предел числителя и знаменателя: х =0, ()= 1-1=0. Имеем неопределенность вида ().
Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного невозможно. Кроме этого, данную дробь нельзя сократить, как в примере б). В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение , сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:
===()=1+1=2.
Пример8. Вычислите пределы функции, используя замечательные пределы:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а) Используем первый замечательный предел.
=()==2∙=2∙1=2.
б) Используем первый замечательный предел.
=()==()=3∙=3∙=3.
в) Используем второй замечательный предел.
=()==.
«Дифференциальное исчисление»
Производной функции y=f(x) называется конечный предел отношения приращения функции f(x)=f(x+x)-f(x) к приращению независимой переменнойx при стремлении последнего к нулю:
.
Обозначения производной в точке х0: , , и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.
Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если точка движется по закону S=s(t), где S-путь, t- время, то представляет скорость движения точки в момент времени t,т.е. .
На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s=s(t)), то производнаявыражает скорость протекания процесса в момент времени t.
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой х=х0 можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной: k=. Поскольку k=tg, то верно равенство = tg.
Правила дифференцирования.
|
№п/п |
u=u(x) , v=v(x) – дифференцируемые функции |
|
I |
(u ± v)′=u′ ± v′ |
|
II |
(u∙v)′= u′∙v + u∙ v′ |
|
III |
(c∙u)′=c∙ u′ c=const |
|
IV |
= (v(x)≠0) |
|
V |
Производная сложной функции y = f(u(x)), y′= |
Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
|
№п/п |
c=const , x-независимая переменная, u=u(x) - дифференцируемая функция |
||
|
1 |
c′ =0 |
9 |
(cos u)′ = - sin u∙ u′ |
|
2 |
x′ =1 |
10 |
(tg u)′ = |
|
3 |
()′ =∙∙u′ |
11 |
(ctg u)′ = - |
|
4 |
()′ = ∙lna∙u′ |
12 |
(arcsin u)′ = ;│u│<1 |
|
5 |
() ′= ∙u′ |
13 |
(arccos u)′ = - ;│u│<1 |
|
6 |
()′ = (u>0) |
14 |
(arctg u)′ = |
|
7 |
()′ = (u>0) |
15 |
(arcctg u)′ = - |
|
8 |
(sin u)′ = cos u∙ u′ |
Замечание. Формулы записаны с учетом правила дифференцирования сложной функции.
Производной n-го порядка функции y=f(x) в точке х (или на промежутке Х) называется производная от производной (n-1)-го порядка в этой точке х (или на промежутке Х). Она обозначается y(n) , f(n)(x) ,.
Производная второго порядка y″= (y′)′ или .
Производная третьего порядка или и т.д.
Пример 9. Вычислить производную функции:
а) y = 3x5+; б) y = (ex-2lnx)∙sin x; в) y = cos3(4x2-1); г) y = .
Решение.
а) Используя правила дифференцирования I , III и формулу (3), получим:
y′ = (3x5+)′ = 3(x5)′ + ()′ - 4()′ = 3∙5x4+ -4∙(-3x-4) = 15 x4++.
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) получим:
y′ = [(ex-2lnx)∙sin x]′ = (ex-2lnx)′∙sin x + (ex-2lnx)∙(sin x)′ = ((ex) -2(lnx)′)∙sin x+ (ex-2lnx)∙cos x= =(ex- )∙sin x+ (ex-2lnx)∙cos x.
в) Используя правило дифференцирования V и формулу (3), получим:
y′ =[ cos3(4x2-1)]′ = 3 cos2(4x2-1)∙(cos(4x2-1))′= 3 cos2(4x2-1)∙(-sin(4x2-1))∙(4x2-1)′=
=-3 cos2(4x2-1)∙sin(4x2-1)∙8x = -24x∙cos2(4x2-1)∙sin(4x2-1).
г) Используя правила дифференцирования частного V, суммы I, III и формулы (3),(14), получим:
y′ = ()′ = =
==.
Пример10.Найти дифференциалы функций: а) y = x+ cos2x; б) u = 3+ e-x; в) s = ln 3t.
Для дифференциала функции y = y(x) справедлива формула dy=y′(x)∙dx, т.е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.
Решение.
а) dy = (x+ cos 2x)′dx = (1-2sin2x)dx.
б) du = (3+ e-x)′dx = e-x∙(-1) dx = -e-xdx.
в) ds =(ln 3t)′dt = dt = dt = .
Пример11. Найти производную второго порядка функции y =x2lnx.
Решение.
Производная второго порядка - y″= (y′)′ . Поэтому найдем производную первого порядка, а затем второго.
y′ = (x2lnx)′ = (x2)′∙lnx+ x2∙(lnx)′ = 2x∙lnx + x2∙= 2x∙lnx + x= x(2lnx +1).
= (x(2lnx +1))′ = x′∙(2lnx +1) + x(2lnx +1)′ = 2lnx +1+ x = 2lnx +3.
«Интегральное исчисление»
Неопределенный интеграл.
Понятие неопределенного интеграла.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство
F′(x) = f(x).
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных для функции f(x) на этом промежутке задается формулой F′(x) + С, где С – const.
Неопределенным интегралом от функции f(x) на некотором промежутке называется
множество всех первообразных функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом. Этот символ читается так: «интеграл от f(x) по dx».
Таким образом, согласно определению, = F(x) + С.
Символназывается знаком интеграла, f(x)- подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, х- переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию: ()′ = f(x). Правильность интегрирования можно проверить дифференцированием.
Например, , так как (х2+3х+С)′ = 2х+3.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Если функция f(x) имеет первообразную, то ()′ = f(x), d() = f(x)dx.
2. Если функция f(x) – дифференцируемая функция, то= f(x)+С,= f(x)+С.
3. Если функция f(x) имеет первообразную, то при k≠0 верно равенство=k.Это свойство означает, что постоянный отличный от нуля множитель можно выносить за знак интеграла.
4.Если функции f(x) и g(x) имеют первообразные, то =+.
Это свойство означает, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.
Таблица неопределенных интегралов.
|
№п/п |
c=const , x-независимая переменная, u=u(x) – интегрируемая функция |
||
|
1 |
;С=const |
10 |
|
|
2 |
11 |
||
|
3 |
12 |
||
|
3a |
13 |
||
|
4 |
14 |
||
|
5 |
|
15 |
|
|
6 |
16 |
||
|
7 |
17 |
||
|
8 |
18 |
||
|
9 |
Замечание. Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции.
Интегралы, приведенные в рассмотренной выше таблице, получили название табличных интегралов.
Методы интегрирования.
1.Метод непосредственного интегрирования.
Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путем применения основных свойств неопределенных интегралов.
Пример12. Вычислить.
Решение.
Преобразовав подынтегральную функцию, получим==
= {разобьем интеграл от суммы функций на сумму интегралов, при этом постоянные множители вынесем за знак интегралов, и используем свойства интеграла 3 и 4}=
= +2+ = {используем табличные интегралы 2 и3} =
= x+2∙++C = x+++C.
Пример13. Вычислить.
Решение.
Разобьем интеграл от суммы функций на сумму интегралов, при этом постоянные множители вынесем за знак интегралов, и, используя свойства интеграла 3 и 4, получим:
= 2+={используем табличные интегралы 4 и3}=2ln|x| ++C.
2.Метод замены переменной.
Теорема. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда =. Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
При этом, если =F(t)+C, то =, где -функция, обратная.
Алгоритм замены переменной:
Пример14 .Вычислить интегралы:
а) ; б) ; в) .
Решение.
а) ===={формула 7 таблицы интегралов}=
= =.
б) ===={формула 6 таблицы интегралов}=
==.
в)= = = - = {формула 3 таблицы
интегралов} = - = - .
3.Интегрирование по частям.
Если производные функций U=U(x) и V=V(x) непрерывны, то справедлива формула: , называемая формулой интегрирования по частям.
В качестве U(x) обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.
При использовании формулы интегрирования по частям для нахождения интегралов от произведения нельзя дать общее правило для определения того, какой сомножитель в подынтегральном выражении следует обозначать через U и какой через dV. Поэтому ограничимся следующими рекомендациями:
1) При вычислении интегралов вида ,,, где –многочлен от х степени n, за функцию U принимается многочлен.
Пример 15. Вычислить интегралы: а); б).
Решение.
а)== .
б)= =.
2) При вычислении интегралов вида ,, ,, ,где –многочлен от х степени n, за функцию U принимают соответственно ln kx, arcsin kx, arccos kx, arctg kx, arcctg kx.
Пример 16. Вычислить интегралы: а); б).
Решение.
а)= =lnx∙x2-= lnx∙x2-= lnx∙x2-.
б)= = arctgx∙.
Вычислим отдельно последний интеграл:
-х- arctg x+С.
Итак, =∙arctg x-+.