Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
10) Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .
Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .
Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.
Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .
Скалярное произведение в координатах.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .
То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.
Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.
Сначала докажем равенства для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы и . Тогда (при необходимости обращайтесь к статьямоперации над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .
Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве
Свойства скалярного произведения.
Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует
11) Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен где - угол между векторами и .
2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .
3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов и обозначается символом :
или
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы компланарны.