Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7. Эллипс, гипербола, парабола:
1.Возьмем на плоскости точки и отрезок .
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из
которых до точек (называемых
фокусами эллипса) равна длине данного
отрезка . - каноническое
уравнение эллипса.
2.Возьмем на плоскости точки и отрезок . Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, абсолютное значение
разности расстояний каждой из которых до
точек (называемых фокусами гиперболы)
равно длине данного отрезка . -
каноническое уравнение гиперболы.
3.Пусть на плоскости даны прямая и точка
. Параболой называется множество у
всех точек плоскости, расстояние каждой из
которых до точки (называемой фокусом
параболы) равно расстоянию до прямой
(называемой директрисой параболы).
Число называется фокальным
параметром параболы.
- каноническое уравнение параболы.
Каноническое уравнение эллипса
- постоянно
Постоянную обозначим : (1).
Найдем уравнение эллипса: обозначим (2c < 2a).
Пусть принадлежит эллипсу, тогда
, .
Т.к. , то >0 и обозначим , тогда , (4) – каноническое уравнение эллипса.
Если принадлежит эллипсу (4), проверим, верно ли обратное.
Берем , подчиняющуюся (4). Двигаясь обратным ходом от (4) к (1), дойдем до (2’).
Убедимся, что >0 (исходя из (4)):
, вдобавок, с<a.
Тогда , т.о., ≥0.
В (5) выбираем «+», т.о., (5):
(6).
Аналогично, отправляясь из (4), вместо строчки
получим строчку
a,b – большая и меньшая полуось
r1, r2 – фокальные радиусы т. М.
(или ) – эксцентриситет.
Точка М принадлежит эллипсу.
Исследование формы гиперболы по ее
каноническому уравнению
Уравнение гиперболы имеет вид: (1).
Пусть х. Тогда из (1) , .
Рассмотрим прямую: - асимптота гиперболы.
гипербола ниже асимптоты.
при .
гиперболе.
, при ,, т.о., касательная к гиперболе
стремится занять вертикальное положение, когда точка
на гиперболе приближается к .
Учитывая симметрию гиперболы относительно координатных осей, получаем следующие правила
построения гиперболы:
a – вещественная полуось.
b – мнимая полуось.
Находим с из условия:
, .
, , .
Если , то , b мало.
Если , то .
Если , то гиперболу называют
равнобочной.
Оптическое свойство гиперболы:
Оптическое свойство параболы: