Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 30
з теми: «Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.»
Модуль КЗН-02.ПР.О.03.12 Границя і неперервність функцій багатьох змінних
Дисципліна: «Математичний аналіз»
|
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В. |
Розробив викладач Велікодна О. В. |
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІІ
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.
Мета:
Тип: лекція
Вид: лекція з використанням проектної технології.
Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.
Науково-методичне забезпечення:
Між предметні зв’язки:
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Конспект лекції № 30.
Тема: Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.»
План лекції № 30.
Нехай на множині Х задана система числових функцій . Ця система кожній точці х ставить у відповідність точку , тобто задає відображення множини Х в R.Позначимо це відображення через та будемо називати функції його координатними функціями.
Визначення 1. Нехай х - скінчена чи нескінчено віддалена точка доторкання числової множини Х. Будемо говорити, що точка є границею відображення при а писати , якщо для кожної функції відображення ƒ має місце .
Якщо х - точка числової множини Х та при існує границя , то відображення ƒ називається неперервним в точці х.
Теорема 1. Якщо має місце композиція g(ƒ(х)) на множині Х, та існують границі , , , то існує й границя . Об’єднуючи формули, будемо мати =. Ця формула називається формулою заміни змінної для границь функцій.
Наслідки. Якщо відображення ƒ є неперервним в точці х, а функція g неперервна в точці , то складна функція g(ƒ) також неперервна в точці х (неперервна функція від неперервної неперервна).
Елементарні функції багатьох змінних – це функції, що отримані з основних елементарних функцій однієї змінної за допомогою чотирьох основних арифметичних операцій та композиції основних елементарних функцій.
Теорема 2. Будь-яка елементарна функція багатьох змінних неперервна на множині свого визначення.
Функція називається неперервною на будь-якій множині, якщо вона є неперервною в кожній її точці.
Теорема 3. Будь-яка неперервна на компакті функція обмежена та приймає на ньому найбільше та найменше значення.
Теорема 4. Функція, неперервна на лінійно зв’язній множині, якщо приймає будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.
Наслідок. Функція, що неперервна на замкненні лінійно зв’язної множини, приймаючи будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.
Функція (або ) називається неперервною в точці , якщо вона:
а) визначена в цій точці і деякому її околі;
б) має границю ;
в) ця границя рівна значенню функції в точці , тобто
або .
Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких неперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов неперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву .
Можна дати інше, рівносильне приведеному вище, визначення неперервності функції в точці. Позначимо ,
, .
Величини і називаються приростами аргументів і , а – повним приростом функції в точці .
Функція називається неперервною в точці якщо виконується рівність , тобто повний приріст функції в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів і прямують до нуля.
Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.
Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.
Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.
Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.
Сукупність межових точок області називається межею .
Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою областю.
Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називається необмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .
Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:
а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точок в цій області виконується нерівність ;
б) має точки, в яких приймає найменше і найбільшезначення;
в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і .
Теорема дається без доведення.