Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Истинное значение измеряемой величины почти всегда неизвестно. Часто в качестве оценки истинного значения служит среднее арифметическое полученных результатов измерений:
, (4)
где результаты единичных измерений; порядковый номер измерения; количество единичных измерений.
Среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерений и может стать оценкой истинного значения только после исключения систематических погрешностей. Степень приближения к тем больше, чем больше . Следует напомнить, что математическое ожидание выражает наиболее вероятное значение случайной величины.
Заменив истинное значение средним , можно оценить абсолютную погрешность единичного измерения:
. (5)
В случае, когда имеют дело с нормальным законом распределения случайной величины, справедливы следующие высказывания:
Другой вероятностной характеристикой случайной величины является дисперсия , которая характеризует степень её рассеивания относительно математического ожидания. Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов измерения . Дисперсия увеличивается с увеличением рассеивания результатов измерения.
В качестве характеристики рассеивания служит среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерения . Практически оно определяется по результатам измерений по приближенной формуле Бесселя ( является оценкой , т. е. )
. (6)
Деление суммы квадратов погрешностей на вместо приближает вычисляемое значение к его теоретическому значению , и чем больше , тем это приближение лучше.
Т.к. среднее арифметическое обладает некоторой случайной погрешностью, то вводится понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического , которое определяется выражением:
. (7)
Выражение (7) показывает, что СКО среднего арифметического в раз меньше СКО результата измерения.
По характеру проявления погрешности делятся на три основных вида: систематические, случайные и промахи. При правильном проведении измерений, достаточном их количестве и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что имеет место случайная погрешность. Она в свою очередь как любая случайная величина характеризуется вероятностью появления погрешности . Зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значений описывается законом (функцией ) плотности распределения вероятности. Наиболее часто имеют дело с нормальным законом распределения (рис. 7), где кривая имеет форму, близкую к форме колокола.
В процессе измерений систематическая и случайная погрешности проявляются одновременно . Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематической составляющей погрешности , т.к. математическое ожидание случайной составляющей равно нулю .
Площадь под кривой равна единице и отражает вероятность всех возможных событий. Вероятность появления случайных погрешностей в интервале от до определяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс в этом интервале, и называется доверительной вероятностью . Как видно из рисунка наиболее вероятные значения случайной погрешности расположены в интервале от минус до плюс (). Значение называют максимальной или предельной допустимой погрешностью. С учетом вышесказанного результат измерения можно записать в виде
. (8)
Выражение (8) справедливо при достаточно большом числе измерений (для >17). Однако при проведении технических измерений значение неизвестной величины обычно определяют при малом числе измерений (). В таком случае для оценки погрешности измерений пользуются распределением Стьюдента, а конечный результат измерения записывают в виде
, (10)
где коэффициент Стьюдента, значение которого определяется по таблице при заданном числе измерений и вероятности ; – это вероятность события, что результат измерений отличается от истинного не более, чем на .
Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.
ис. 7. Нормальный закон распределения вероятности