Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 26
СОДЕРЖАНИЕ Стр.
5 Библиографический список…………………………………………....28
При решении задач по теории вероятностей часто используются такие понятия комбинаторики как перестановки, сочетания, размещения. Дадим необходимые определения. Соединениями называются различные группы, составленные из каких-либо объектов. Элементами называются объекты, из которых составлены соединения.
Различают три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.
Перестановками из элементов называются соединения, содержащие все элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок из элементов обозначается и находится по формуле:
.
Размещениями из элементов по в каждом называются такие соединения, в каждое из которых входит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из элементов по вычисляется по формуле:
.
Пример. Сколькими способами можно выбрать 4 человека на 4 различные должности из 9 кандидатов?
Сочетаниями из элементов по в каждом называются такие соединения, в каждое из которых входят элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Число сочетаний из элементов по может быть найдено по формуле:
Пример. В классе 35 учащихся. Из них нужно избрать 4 делегата на конференцию. Сколько имеется возможностей?
.
Напомним некоторые важные понятия теории вероятностей.
Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.
Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо нет.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же испытании. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания наверняка происходит хотя бы одно их них. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
,
где - вероятность события ;
- число элементарных исходов испытания, благоприятствующих событию ;
- общее число элементарных исходов испытания.
Задача 1.1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра (событие ).
Решение. =10 – общее число возможных цифр.
=1 – единственная правильная цифра.
Задача 1.2. Набирая телефонный номер, абонент забыл две последние цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры (событие ).
Решение. ;
Задача 1.3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.
Решение. На выпавшей грани первой игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй. Таким образом, число возможных элементарных исходов испытания равно , т. е. . Благоприятствующими интересующему нас событию (сумма очков равна семи) являются следующие шесть исходов:
|
Первая кость |
Вторая кость |
Сумма очков |
|
1 |
6 |
1+6=7 |
|
2 |
5 |
2+5=7 |
|
3 |
4 |
3+4=7 |
|
4 |
3 |
4+3=7 |
|
5 |
2 |
5+2=7 |
|
6 |
1 |
6+1=7 |
т. е. .
Искомая вероятность равна отношению :
.
Задача 1.4. В ящике имеются 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно:
.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию:
.
Искомая вероятность: .
Задача 1.5. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 4 мужчины и 3 женщины.
Решение. Общее число элементарных исходов испытания: , так как общее число работающих равно 6+4=10 человек. Имеем . Подсчитаем . Трех женщин можно выбрать из четырех работающих женщин способами. Отобрать же четырех мужчин из шести можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно:
.
Искомая вероятность:
.
Теперь решим две задачи на геометрическую вероятность.
Задача 1.6. На отрезок длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадёт также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
Решение. Вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством:
.
Задача 1.7. В круг радиуса помещен меньший круг радиуса . Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг радиуса , попадает также и в малый. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Решение. Площадь круга радиуса , площадь круга радиуса .
Вероятность попадания точки в круг площадью определяется равенством:
.
Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении или события , или события , или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Если события и несовместны, то . Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
Если события попарно несовместны, то
.
Событие , состоящее в ненаступлении события , называется противоположным событию . Вероятности событий и связаны соотношением:
.
Задача 1.8. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 10 учебников, из них четыре новых. Ученик берет наудачу 3 учебника. Найти вероят-ность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется новым (событие ).
Решение. Способ 1.
Требование – хотя бы один из взятых учебников окажется новым – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех попарно несовместных событий: - один учебник новый; - два учебника новых; - три учебника новых. Интересующее нас событие можно представить в виде суммы этих событий: .
По теореме сложения:
;
Способ 2.
Событие (хотя бы один учебник из взятых новый) и (ни один из взятых учебников не является новым) – противоположные, поэтому
Отсюда:
Искомая вероятность:
Произведением двух событий и называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.
Теорема умножения вероятностей:
где - условная вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило.
Для независимых событий
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий:
Задача 1.9. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень для первого и второго стрелка соответственно равны 0,7 и 0,5. Найти вероятность того, что:
Решение. Введем события:
- первый стрелок попал в мишень;
- второй стрелок попал в мишень.
По условию
- оба стрелка попали в мишень;
- хотя бы один стрелок попал в мишень.
События и , очевидно, независимы. Поэтому
По теореме сложения вероятностей:
Задача 1.10. Известно, что в некоторой местности в июле 2006 г. наблюдалось шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля была ясная погода.
Решение. Введем обозначения событий:
- первого июля был ясный день;
- второго июля был ясный день.
В июле 31 день. Число ясных дней в указанной местности в июле 2006 г.
Вероятность того, что второго июля был ясный день, при условии, что первого был ясный день, т. е. условная вероятность события :
Искомая вероятность того, что оба дня были ясными, по теореме умножения вероятностей равна:
Задача 1.11. В каждой из двух урн находится 10 белых и 6 черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую урну. Затем из второй урны наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.
Решение. Событие - из второй урны извлечен белый шар – может произойти или не произойти лишь при наступлении одного из двух несовместных событий:
- из первой урны извлечен белый шар,
- из первой урны извлечен черный шар.
Другими словами, и образуют полную группу несовместных событий. Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:
Первоначально в первой урне находилось 16 шаров, из них 10 белых и 6 черных, поэтому
.
После перекладывания из первой урны во вторую одного шара во второй урне оказалось 17 шаров. Из них 11 белых, если произошло событие , или 10 белых, если произошло событие . Таким образом,
Итак,
Задача 1.12. Имеются два ящика с деталями. В первом ящике 30% стандартных деталей, во втором – 50%. Из наугад выбранного ящика наудачу извлекается одна деталь. Она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь извлечена из первого ящика.
Решение. Рассмотрим события:
- извлечена стандартная деталь;
- деталь извлечена из первого ящика;
- деталь извлечена из второго ящика.
События и несовместны и образуют полную группу. Требуется найти условную вероятность , применив формулу Байеса:
Так как деталь извлекается из наугад выбранного ящика, то
По условию задачи
Таким образом,
Задача 1.13. Игральная кость брошена 4 раза. Какова вероятность того, что три очка выпадет не более двух раз?
Решение. Заметим, что количество очков, выпавших в каждом последующем испытании, не зависит от исхода предыдущих испытаний, то есть речь идет о независимых испытаниях. Вероятность благоприятного исхода (выпадения трёх очков) в каждом испытании – одна и та же. Это означает, что в задаче можно применить формулу Бернулли:
где
- вероятность появления благоприятного исхода в каждом из независимых испытаний;
- вероятность появления неблагоприятного исхода в каждом испытании;
- вероятность появления благоприятного исхода ровно раз в испытаниях.
Вероятность найдём по классическому определению вероятности (всего 6 равновозможных исходов, из них один благоприятный):
Обозначим через событие, вероятность которого надо найти по условию, то есть событие - при четырех бросаниях кости три очка выпало не более двух раз.
Кроме того, введём три вспомогательных события:- при четырёх бросаниях кости три очка выпало ровно раз, . Тогда - сумма попарно несовместных событий, следовательно, . Теперь применим формулу Бернулли
Задача 1.14. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента за время Т равна 0,01. Найти вероятность того, что за время Т : а) из строя выйдут ровно 2 элемента; б) откажет устройство, если для этого достаточно, чтобы вышел из строя хотя бы один элемент.
Решение. а) Поскольку количество независимых испытаний достаточно велико (n=100), а вероятность выхода из строя каждого элемента достаточно мала (p=0,01), причём , то в данной задаче можно применить формулу Пуассона, которая получается из формулы Бернулли предельным переходом при и const:
, где , - вероятность появления благоприятного исхода в каждом из независимых испытаний; - вероятность появления ровно благоприятных исходов в независимых испытаниях.
Определим событие - из 100 независимо работающих элементов за время Т из строя выйдут ровно 2.
б) определим событие - за время Т устройство откажет. Событие - за время Т не откажет ни один элемент – противоположно событию .
Следовательно, По формуле Пуассона
Задача 1.15. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажется непроверенных
а) ровно 70 изделий;
б) от 70 до 100 изделий.
Решение. а) В данной задаче мы имеем 400 независимых испытаний (достаточно много), вероятность появления благоприятного исхода в каждом из 400 испытаний - не близка к нулю. В этих условиях можно применить локальную формулу Лапласа, которая получается из формулы Бернулли предельным переходом по и при =const, 0 < p <1:
.
Здесь - вероятность появления благоприятного исхода в каждом из n независимых испытаний; - вероятность появления ровно k благоприятных исходов в n испытаниях;
Найдём вероятность события А – из 400 изделий ровно 70 не проверено.
По таблице значений функции , находим:
б) Рассмотрим событие В – среди 400 случайно отобранных изделий непроверенных ОТК оказалось от 70 до 100.
В этих условиях можем применить интегральную формулу Лапласа:
Здесь - вероятность того, что в n независимых испытаниях благоприятный исход наступит от k1 до k2 раз, - интегральная функция Лапласа. Имеем , ,
где
Используя соотношение , по таблице значений функции находим:
Задача 1.16. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причём x1 < x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что X примет значение x2, равна 1- 0,2=0,8.
Напишем закон распределения дискретной случайной величины X :
|
X |
x1 |
x2 |
|
p |
0,2 |
0,8 |
Эта таблица означает, что случайная величина X принимает значение x1 с вероятностью 0,2 и значение x2 с вероятностью 0,8.
Для отыскания x1 и x2 надо составить два уравнения, связывающие эти неизвестные. С этой целью выразим заданные математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение через x1 и x2.
По определению математического ожидания дискретной случайной величины .
Среднее квадратическое отклонение случайной величины по определению равно , здесь - дисперсия X.
Напишем закон распределения случайной величины X 2 :
|
X 2 |
x12 |
x22 |
|
p |
0,2 |
0,8 |
Тогда , или .
Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2:
Решим эту систему:
; ;
.
- постороннее решение, т.к. .
Следовательно, искомый закон распределения X имеет вид:
|
X |
1 |
3 |
|
p |
0,2 |
0,8 |
Задача 1.17. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
Вычислить неизвестный параметр , математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины X.
Решение. Для функции плотности непрерывной случайной величины X выполняется равенство
.
Так как , то
Для непрерывной случайной величины X
.
Задача 1.18. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
Найти вероятность попадания X в интервал , и функцию плотности .
Решение. Воспользуемся формулой: .
В нашем случае:
.
Если известна функция распределения , то функция плотности находится по формуле в тех точках, где существует производная . В нашем случае:
Задача 1.19. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X
.
Найти: .
Решение. Плотность распределения случайной величины X запишем в виде
и сравним эту функцию с функцией плотности нормального распределения . Нетрудно видеть, что они совпадают при ; , отсюда находим . Воспользуемся вероятностным смыслом параметров нормального распределения (-математическое ожидание, -среднее квадратическое отклонение): .
Задача 1.20. Случайная величина X нормально распределена с параметрами , . Найти .
Решение. Если непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами , , то вероятность попадания X в интервал равна ,
здесь - интегральная функция Лапласа.
В нашем случае имеем
.
Задача 1.21. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке . Найти функцию распределения величины X и вычислить - вероятность попадания X в интервал .
Решение. Если случайная величина распределена равномерно на отрезке , то функция плотности имеет вид:
В нашем случае или
Если функция плотности известна, то функцию распределения случайной величины можно найти по формуле: . Вычислим на трёх интервалах отдельно.
Если
Если .
Если
Таким образом,
,
.
В задачах математической статистики закон распределения изучаемой слу-чайной величины, как правило, неизвестен. Распределение случайной величины необходимо найти по ряду представленных наблюдений, которые называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество наблюдений называется объемом выборки.
Для неизвестных теоретических характеристик гипотетического закона распределения определяются их эмпирические оценки. Например, для неизвест-ного параметра математического ожидания оценкой является выборочное среднее, для неизвестной функции плотности оценкой служит эмпирическая функция плотности, графическим изображением которой является гистограмма. Аналогично определяются оценки для неизвестной гипотетической функции распределения, дисперсии, среднеквадратического отклонения и т.д.
На основе полученных эмпирических оценок может быть выдвинута гипотеза о гипотетическом законе распределения изучаемой случайной величины, которая проверяется при достаточно большом объеме выборки по критерию
Задача 2.1. Построить гистограмму по распределению выборки, представленному в виде таблицы частот
|
Номер интервала |
Границы интервала |
Число элементов выборки, попавших в интервал |
|
i |
xi; xi+1 |
mi |
|
1 |
-2; 0 |
3 |
|
2 |
0; 2 |
0 |
|
3 |
2; 4 |
12 |
|
4 |
4; 6 |
17 |
|
5 |
6; 8 |
8 |
|
6 |
8; 10 |
10 |
Решение. Гистограмма- это фигура, составленная из прямоугольников с основаниями и высотами , где - длина одного интервала; - объём выборки.
В нашем случае .
Найдём высоты прямоугольников:
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
0,03 |
0 |
0,12 |
0,17 |
0,08 |
0,1 |
Построим гистограмму, выбрав удобные масштабы по осям координат:
Задача 2.2. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки
|
xi |
1 |
2 |
5 |
|
mi |
3 |
6 |
1 |
Решение. Эмпирическая функция распределения определяется формулой , где - объём выборки; - число элементов выборки, меньших .
Объём выборки равен 3+6+1=10. Точки разбивают числовую прямую на промежутки , в каждом из которых функция сохраняет постоянное значение. Найдём эти значения. Если , то среди выборочных значений нет ни одного, меньшего , поэтому . При трижды наблюдались значения, меньшие (все эти значения равны 1). Следовательно, в этом случае . Пусть . Тогда , т.к. значения, меньшие (а именно, значения 1 и 2), наблюдались 3+6=9 раз; . Наконец, при все наблюдаемые значения меньше , т.е. .
Таким образом,
Построим график эмпирической функции распределения.
Задача 2.3. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и несмещён-ную оценку дисперсии по данному распределению выборки:
|
xi |
-2 |
0 |
5 |
8 |
|
mi |
3 |
1 |
4 |
2 |
Решение. Выборочное среднее найдём по формуле , где - объём выборки. В нашем случае
.
Выборочная дисперсия определяется формулой
.
.
Несмещённая оценка дисперсии связана с выборочной дисперсией соотношением , откуда .
Задача 2.4. Непрерывная случайная величина имеет функцию распределения
, здесь - неизвестный положительный параметр.
В результате 10 независимых испытаний случайная величина приняла значения 0,6; 0,81; 0,92; 0,76; 0,69; 0,74; 0,98; 0,72; 0,45; 0,68. Методом моментов найти точечную оценку параметра .
Решение. Найдём искомую оценку параметра , приравняв математическое ожидание к выборочному среднему:
. (*)
Объём данной выборки равен 10;
.
Найдём математическое ожидание по формуле , где - плотность распределения случайной величины . Так как
, то .
Найдём точечную оценку параметра из уравнения (*):
откуда .
Задача 2.5. Случайная величина имеет геометрическое распределение: значение параметра неизвестно, . В результате 8 независимых испытаний случайная величина приняла значения 2, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, найти точечную оценку параметра .
Решение. Среди наблюдаемых значений случайной величины значения 1 и 2 встречаются по 3 раза, а значения 3 и 5 – по разу. Составим функцию правдоподобия:
;
.
Найдём оценку наибольшего правдоподобия параметра, т.е. такое значение , при котором функция правдоподобия принимает наибольшее значение на интервале . Приравняем к нулю производную функции :
, откуда . При , а при . Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение на . Таким образом, - искомая оценка параметра .
Задача 2.6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с доверительной вероятностью , если известны объём выборки , среднее квадратическое отклонение , выборочное среднее .
Решение. Доверительный интервал найдём по формуле
, где - значение аргумента функции Лапласа, для которого . По таблице значений функции Лапласа найдём . Искомый доверительный интервал таков:
или .
Задача 2.7. Произведено пять независимых измерений длины стержня (без систематической ошибки). Получены такие результаты: 96,29; 96,31; 96,33; 96,3; 96,27. Оценить истинное значение длины стержня доверительным интервалом с доверительной вероятностью . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Решение. Истинное значение измеряемой длины стержня равно математическому ожиданию измерения. Воспользуемся формулой доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии:
. Здесь - объём выборки; - выборочное среднее; - выборочное среднее квадратическое отклонение; значение удовлетворяет условию , где - плотность распределения Стьюдента с степенями свободы. В нашем случае . Из таблиц найдём . Далее, , откуда .
Итак, или есть искомый доверительный интервал.
Задача 2.8. Проведено пять независимых испытаний, в результате которых случайные величины приняли следующие значения:
|
1 |
2 |
4 |
5 |
8 |
|
|
-1 |
0 |
4 |
8 |
4 |
Найти выборочный коэффициент корреляции величин и.
Решение. Выборочный коэффициент корреляции определяется формулой: , где - выборочная ковариация случайных величин и , , ,
, .
Произведём вычисления по этим формулам. В нашем случае ;
; ;
; ; .
Задача 2.9. В результате четырёх независимых испытаний случайные величины и приняли следующие значения:
|
4 |
2 |
1 |
4 |
|
|
-7 |
-3 |
0 |
-6 |
Считая, что величины и связаны линейной зависимостью , найти коэффициенты и методом наименьших квадратов.
Решение. Согласно методу наименьших квадратов, коэффициенты и находятся из условия минимизации функции . Приравняв к нулю и , получим систему уравнений для отыскания и :
.
Запишем эту систему в виде:
.
Подставим данные:
.
Получаем систему:
.
Из первого уравнения, умноженного на 4, вычтем второе, умноженное на 11: , откуда . Теперь из второго уравнения найдём :
.
Искомая зависимость имеет вид: .
Задача 2.10. При 1000 подбрасываниях игральной кости получены следующие результаты:
С помощью χ2 - критерия проверить, согласуются ли эти данные с гипотезой о том, что кость была правильная, т. е. вероятность выпадения любого числа очков равна ? Уровень значимости принять равным 0,05.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
p |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Решение. Пусть - число очков, выпадающее при однократном подбрасывании кости. Выдвинута гипотеза о законе распределения случайной величины :
Для проверки этой гипотезы применим χ2 – критерий. Пусть - число выпадений очков в данной серии из подбрасываний. Разобьём всю числовую ось на 6 попарно непересекающихся промежутков так, чтобы , .
Вычислим величину
χ2 .
По таблице распределения χ2 с степенями свободы при уровне значимости находим χ20,05; 5 .
Так как χ2 < χ20,05; 5, то с вероятностью 0, 95 принимаем гипотезу .
Задача 3.1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (повторяющихся цифр в числе быть не должно)?
Задача 3.2. Сколькими способами можно выбрать: а) три карты; б) 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?
Задача 3.3. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 3 белых и 2 чёрных шара.
Задача 3.4. В урне находится 4 белых, 5 красных и 4 синих шара. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар, во второй раз – красный, а в третий – синий.
Задача 3.5. На соревновании по стрельбе спортсмен стреляет дважды: первый раз по большой мишени и, в случае попадания, второй раз – по малой мишени. Если большая мишень не поражена первым выстрелом, то и второй выстрел производится по ней. Вероятность попадания в большую мишень при одном выстреле равна 0,9, а в малую – 0,5. Найти вероятность того, что двумя выстрелами стрелок поразит одну (и только одну) мишень.
Задача 3.6. На перевозку груза направлены четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой машины в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.
Задача 3.7. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 деталей, и из них 7 стандартных, а во втором 20, и из них 12 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынуто по одной детали, а потом из этих двух деталей наудачу взята одна. Найти вероятность того, что эта деталь окажется стандартной.
Задача 3.8. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% - в состоянии . Наблюдательная станция №1 передаёт ошибочные сведения примерно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии , а наблюдательная станция №2 сообщила: объект находится в состоянии . Какому из сообщений следует верить?
Задача 3.9. На плоскость нанесена сетка квадратов со стороной 10см. Найти вероятность того, что брошенный на плоскость круг радиуса 1см не пересечёт стороны ни одного из квадратов.
Задача 3.10. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет: а) ровно 60 изделий без брака; б) не менее 75 изделий без брака.
Задача 3.11. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Какова вероятность, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов?
Задача 3.12. Из пяти карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 наудачу отбираются три карточки. Найти закон распределения числа карточек с чётными цифрами среди отобранных.
Задача 3.13. Найти математическое ожидание и дисперсию: а) числа очков, выпадающих при бросании одной игральной кости; б) суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных костей.
Задача 3.14. Законы распределения независимых случайных величин X и Y приведены в таблицах:
|
X |
-1 |
3 |
|
p |
0,2 |
0,8 |
|
Y |
0 |
4 |
5 |
10 |
|
p |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины .
Задача 3.15. Случайная величина X задана функцией распределения
.
Найти плотность распределения X и вероятность того, что X примет значение из интервала .
Задача 3.16. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
. Найти функцию распределения X и вероятность того, что X примет значение из интервала .
Задача 3.17. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения , . Найти вероятность того, что X примет значение из интервала .
Задача 3.18. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
.
Задача 3.19. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам близко к нормальному с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале .
Задача 3.20. Студенты некоторой группы, состоящей из 25 человек, написали контрольную работу. Каждый студент получил определённое число баллов. Вот эти баллы (в порядке алфавитного списка группы): 75, 145, 150, 180, 125, 150, 150, 165, 95, 135, 130, 70, 130, 105, 135, 135, 90, 150, 60, 85, 110, 60, 145, 150, 135. Построить гистограмму, разбив отрезок от наименьшего до наибольшего балла в данной выборке на шесть равных частей.
Задача 3.21. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки
|
|
2 |
4 |
7 |
|
|
10 |
15 |
25 |
Задача 3.22. На телефонной станции проводились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение 20 минут дали следующие результаты: 3, 5, 2, 0, 1, 0, 3, 4, 3, 2, 2, 0, 5, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 0. Найти среднее и дисперсию распределения.
Задача 3.23. Станок-автомат штампует валики. По выборке объёма n=100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков. Найти с доверительной вероятностью 0,95 точность, с которой выборочное среднее оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что диаметры распределены нормально со средним квадратическим отклонением мм.
Задача 3.24. Произведено пять независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Получены следующие результаты (в кулонах): 1,594·10-19; 1,597·10-19; 1,598·10-19; 1,593·10-19; 1,590·10-19. Определить доверительный интервал для оценки величины заряда электрона при доверительной вероятности 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Задача 3.25. Проводится исследование спроса на некоторый вид товара. Пробные продажи показали следующие данные о зависимости дневного спроса Y от цены X:
|
Цена (руб.) |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
|
Спрос (ед. товара) |
91 |
76 |
68 |
59 |
53 |
Требуется: а) определить выборочный коэффициент корреляции величин X и Y ; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X; в) исходя из данных пункта б), определить спрос при цене 15 руб. за ед. товара.
Задача 3.26. Трое рабочих работают на трёх одинаковых станках. За смену первый рабочий изготовил 60 деталей, второй – 80, третий – 100 деталей. С помощью χ2 - критерия проверить гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в два раза меньше производительности третьего рабочего. Уровень значимости принять равным 0,01.
1. 210. 2. а) 7140 способами; б) 58905 способами. 3. . 4. .
5. 0,54. 6. 0,9984. 7. 0,65.
8. Сообщению станции №1 (оно верно с вероятностью ).
9. 0,64. 10. а) 0,008; б) 0,1379. 11. 0,0916.
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
P |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
12.
13. а) ; ; б) 7; . 14. . 15. ; 0,5.
16. ; 0,16. 17. . 18. 1,5; 0,75. 19. 12,1%.
20.
21. . 22. 2,25; 2,4875. 23. 0,392 мм.
24. . 25. а) -0,986; б) ; в) 64,75.
26. Гипотеза отвергается.
1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.
2. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
3. А.И. Герасимович. Математическая статистика.- Минск: Вышэйшая школа, 1983.
4. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей.- М.: Высшая школа, 1986.
5. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей.- М: Высшая школа, 1999.
6. В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1983.
7. Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, А.М. Зубков. Сборник задач по теории вероятностей.- М.: Наука, 1980.
8. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и её приложения в экономическом образовании.- М.: Дело, 2001.
9. Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. Математические методы и модели в управлении.- М.: Дело, 2000.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3