Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УТВЕРЖДАЮ
Начальник кафедры высшей
математики и системного моделирования
сложных процессов
подполковник внутренней службы
______________ В.В. Попов
____ . ____ 2013 года
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине «Теории случайных процессов»
для обучающихся по специальности 230404.65 – Прикладная математика
Тема №4. Марковские процессы. Теория очередей.
Занятие №4.8. Анализ функционирования систем массового
Обслуживания с отказами
Время – 2 часа
СМК-УМК-4.4.2-32-12
Обсуждена на заседании
ПМК-1 (Прикладная математика)
Протокол № 2 от 30.09.2013 г.
Санкт-Петербург
2013
VI. Текст лекции
Вводная часть. (В вводной части обосновывается актуальность темы, устанавливается связь данной лекции с предыдущими и последующими занятиями и другими дисциплинами, формулируются учебные цели, практическое применение)
Преподаватель проверяет наличие обучающихся, объявляет тему № 4 «Марковские процессы: основы теории очередей», темы лекции «Основы теории очередей»
Учитывая, что это первое занятие по дисциплине «Основы теории очередей», во вводной части необходимо коротко ознакомить курсантов с предметом и задачами дисциплины «Основы теории очередей», а также с требованиями, предъявляемыми к ним.
Учебные цели сегодняшнего занятия состоит в том, чтобы:
1. Раскрыть сущность понятие очереди
2. Ознакомить с основными понятиями теории очередей
3. Рассмотреть постановку задачи и процессы функционирования систем массового обслуживания.
4. Изучить основные свойства и характеристики систем массового обслуживания.
Для достижения поставленных целей нами будут рассмотрены следующие вопросы.
1. Основы теории очередей.
2. Системы массового обслуживания с отказами.
Вопрос 1. Основы теории очередей
1.1. Задача теории очередей.
Теория очередей занимается работой систем массового обслуживания – СМО.
Примеры СМО-ЭВМ, АТС, системы противопожарной безопасности, системы предупреждения чрезвычайных ситуаций и т.д.
Простейшие СМО имеет такую структуру:
поток заявок
на обслуживание очередь выходящий
( входной поток) поток
Задачей теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок , производительностью отдельного канала ( модема), число каналов эффективностью работы системы в целом.
1.2.Классификация систем массового обслуживания.
Основной признак, который положен в основу классификации СМО является поведение заявки, которая в момент своего появления застает все каналы обслуживания занятыми.
Вопрос 2. Операции над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны числовым операциям, а некоторые носят особый характер.
Произведением матрицы А на число (или числа на матрицу А) называется матрица А, каждый элемент которой есть произведение соответствующего элемента матрицы А на число .
Таким образом, чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы данной матрицы умножить на это число.
Например, если , то .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.
Например, .
Суммой двух матриц А и В одной и той же размерности называется матрица той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Таким образом, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы.
Необходимо помнить, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
Пример 2.1
Вычитание можно определить через рассмотренные ранее операции:
А – В = А + (–1)В
Разностью матриц А и В одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов А и В.
Таким образом, чтобы из матрицы А вычесть матрицу В, нужно из элементов матрицы А вычесть соответствующие элементы матрицы В.
Пример 2.2. .
Произведение матриц имеет место только для матриц определенных размерностей. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. если А имеет размерность mk, то матрица В должна иметь размерность kn. Произведением будет матрица размерности mn:
То есть .
Это условие связано с правилом перемножения матриц:
произведением матрицы Аmk на матрицу Вkn называется матрица Сmn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Именно для того, чтобы можно было бы составить такую сумму, и требуется равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй:
A B C
Пример 2.3. .
Замечание. Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. Однако для произведения матриц практически все основные свойства не выполняются в общем случае.
Особенности умножения матриц
1. Для произвольных матриц АВВА. Так как возможно, что произведение АВ существует, а произведение ВА не имеет смысла, либо, если и то, и другое произведение существует, то полученные матрицы могут быть разных размерностей, но даже, если с размерностями будет все в порядке, в общем случае соответствующие элементы матриц АВ и ВА могут быть не равны.
Пример 2.4. Пусть и .
Тогда , а , т.е. АВВА.
Однако существует матрица, для которой переместительный закон умножения выполняется. Если матрица А – квадратная матрица порядка n, и Е единичная матрица того же порядка, то АЕ = ЕА = А. Доказать это равенство можно простым перемножением матриц. Кроме единичной существуют и другие матрицы, при умножении которых переместительный закон выполняется. Их называют перестановочными.
Пример 2.5. Перестановочными матрицами являются матрицы
и . Для них .
2. Если произведение матриц равно нулю, то совсем не обязательно, чтобы какой-либо из сомножителей был нулевой матрицей.
Пример 2.6. .
Элементарными преобразованиями матриц являются:
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получена из другой путем элементарных преобразований.
При решении различных задач бывает удобным поменять у матрицы строки и столбцы местами, т.е. применить операцию транспонирования матрицы.
Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначение: АТ.
Например, если , то .
Итак, при изучении второго учебного вопроса вы познакомились с операциями над матрицами, рассмотрели основные их свойства.
Вопрос 3. Понятие определителя
Теория определителей возникла в XVI веке и развита более полно в XVII веке в связи задачей решения систем линейных алгебраических уравнений.
На предыдущей лекции мы убедились, что над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны числовым операциям (умножение на число, сложение, перемножение матриц), а некоторые носят особый характер (например, транспонирование). Данная лекция посвящена еще одной специфической операции над матрицей – вычислению определителя матрицы.
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или |А| или ), называемое ее определителем (или детерминантом), следующим образом.
В принятых обозначениях: |а11|= а11.
Например, для А = (5) определитель |5| =5;
для А = (4) определитель |4|=4.
|А| = .
(Определитель второго порядка вычисляется так: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.)
Например, |А| = .
(1)
Это число представляет собой алгебраическую сумму шести произведений, при этом у первых трех произведений знак не меняется, а у последних – меняется на противоположный.
Формулу (2.1) можно легко запомнить, используя следующую схему, называемую правилом треугольника или правилом Саррюса:
Словесно это правило можно сформулировать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю, и произведения элементов, находящихся в вершинах больших треугольников, у которых основания параллельны главной диагонали. С противоположным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.
Пример 3.1 |А| =
= 16+6+0020 = 20.
Вычисление определителя матрицы n-го порядка связано с понятиями минора и алгебраического дополнения.
В дальнейшем, вместо слов «определитель матрицы n-го порядка» будем говорить просто «определитель n-го порядка».
Пусть дана квадратная матрица n-го порядка.
Минором Мij некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (1)i+j :
Аij = (1)i+j Мij ,
т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца – нечетное число.
Например, для элементов а11 и а12 матрицы А = миноры
М11 = , М12 = ,
а алгебраические дополнения А11=(1)1+1 М11=52;
А12=(1)1+2 М12 = 8.
Вопрос 4. Свойства определителей
Вычисление определителей (особенно высших порядков) довольно часто упрощается, если воспользоваться их свойствами.
определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения, т.е.
|А| = аi1Ai1 + аi2Ai2 + … + аinAin , для любого i = 1, 2, …, n (2)
или
|А| = а1jA1j + а2jA2j + … + аnjAnj , для любого j = 1, 2, …, n (3)
Пример 4.1
Вычислим определитель матрицы А с помощью разложения по первой строке и сверим результат с тем, что получен при использовании метода треугольника (Саррюса) (см. пример 1.1).
det A = .
Ответ тот же, что и в примере 1.1.
Замечание 1: для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.
Замечание 2: с помощью разложения по строке или столбцу любой определитель n-го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых на 1 меньше и т.д., пока не будут получены определители 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.
Последующие свойства рассмотрим для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любых порядков.
Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что по формуле (1) определитель выражается в виде суммы, каждое слагаемое которой содержит множителем один элемент из каждой строки и из каждого столбца.
Свойство доказывается вычислением детерминанта по формуле (1).
.
Доказательство этого свойства, как и доказательство свойства 1, основывается на формуле (1), в которой определитель представляет собой сумму, каждое слагаемое которой содержит множителем один элемент из каждой строки и из каждого столбца.
Доказательство. В самом деле, при перестановке двух одинаковых параллельных рядов содержание элементов определителя не изменится, однако по свойству 3 должен измениться его знак. Но Δ = – Δ только в том случае, если Δ =0.
Доказательство. Действительно, если элементы двух параллельных рядов пропорциональны, то согласно свойству 4, общий множитель можно вынести за знак определителя, в результате остается определитель с двумя одинаковыми рядами, который согласно свойству 5, равен нулю.
Для доказательства свойства достаточно вычислить по формуле (1) значения определителей, стоящих слева и справа.
.
Чтобы убедиться в равенстве полученных выражений, достаточно применить формулу (1).
Доказательство. Действительно, полученный в результате такого прибавления определитель, согласно свойству 8, можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет два пропорциональных столбца, и в силу свойства 6 он равен нулю:
.
Доказательство (дается при наличии времени). Покажем, например, что справедливо равенство
.
Заменим в определителе Δ первый столбец на произвольные числа h1, h2, h3. Алгебраическими дополнениями элементов h1, h2, h3 являются, соответственно, элементы А11, А21, А31. Согласно свойству 1, имеем
.
Если теперь положить h1=a12, h2=a22, h3=a32, то получим определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, согласно свойству 2, равен нулю. Таким образом, интересующее нас равенство доказано.
Пример 4.2. Используя свойства, вычислить определитель
.
Решение. Видим, что 1-й и 3-й столбцы определителя пропорциональны. По свойству 6, детерминант равен нулю.
Проверим результат, вычислив определитель по правилу треугольника:
.
Пример 4.3. Используя свойства, вычислить определитель
Решение. Вычислим данный определитель разложением по элементам 3-го столбца.
Руководствуясь свойством 9, преобразуем определитель таким образом, чтобы в 3-м столбце было не менее двух нулевых элементов. Для этого выполним следующие действия: к первой строке прибавим вторую, умноженную на (–1), к третьей – вторую, умноженную на (–3); далее полученный определитель разложим по элементам третьего столбца:
.
Итак, мы рассмотрели основные свойства определителей.
Вопрос 5. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера
Напомним, система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:
, (1)
где числа а11, а12, …, аmn – коэффициенты системы;
числа b1, b2, …, bm – свободные члены;
х1, х2, …, хn – неизвестные.
Очевидно, не всякая система имеет решение, а если и имеет, то не обязательно одно.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Для системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (1) имеют место три возможности:
Необходимо отметить тот факт, что однородная система не может быть несовместной, так как она всегда имеет нулевое решение.
Нетрудно понять, что решение системы (1) полностью определяется коэффициентами системы и свободными членами. Поэтому для исследования СЛАУ в высшей математике используют матричную форму записи и решения задач.
Пусть дана система вида (1), в которой число уравнений равно числу неизвестных. Обозначим через А матрицу системы, т.е.
.
Правило Крамера. Пусть – определитель матрицы А, а j – определитель, получаемый из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда
хj = для j = 1, 2, … , n;
Доказательство теоремы Крамера рассмотрим для системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Пусть дана следующая система уравнений:
.
Найдем ее решение методом исключения неизвестных. Для нахождения х1 домножим первое уравнение на а22, второе на (−а12), получим
Сложим почленно полученные уравнения и вынесем х1 за скобки, получим
.
Нетрудно понять, что . Так как по условию теоремы 0, то . Аналогично доказывается, что .
Теорема доказана для системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. В общем случае теорема доказывается с помощью обратной матрицы, речь о которой пойдет позже.
Пример 5.1. Решить систему уравнений методом Крамера.
.
Решение. Вычислим основной определитель системы .
, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем 1, 2 и 3, получим:
.
Отсюда х1 = = 4; х2 = = 2; х3 = =1, т.е. решением системы являются числа х1 = 4; х2 = 2; х3 = 1.
Пример 5.2. Решить систему уравнений методом Крамера:
.
Решение. Определитель системы .
Найдем 1, получим:
.
В соответствии с п. 2) правила Крамера, рассматриваемая система решений не имеет.
Вывод по пятому учебному вопросу:
формулы Крамера применимы для решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей, то есть таких систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных;
это достаточно простой метод, так как для его применения построено на вычислении определителей. Кроме того, его нетрудно запомнить: система имеет единственное решение, если ее определитель 0 (в противном случае для отыскания решения по формулам Крамера пришлось бы делить на ноль).
Заключительная часть. (В заключительной части подводится краткий итог лекции и даются рекомендации по самостоятельной работе для углубления, расширения и практического применения знаний по данной теме)
В ходе лекции изложены определения, правила вычисления и основные свойства определителей квадратных матриц второго и третьего порядков, изучены их основные свойства и рассмотрены характерные примеры.
Практическое занятие по данной теме будет посвящено нахождению детерминантов различных порядков с использованием правил их вычисления и свойств определителей.
Заключительная часть. (В заключительной части подводится краткий итог лекции и даются рекомендации по самостоятельной работе для углубления, расширения и практического применения знаний по данной теме)
Таким образом, на сегодняшней лекции мы рассмотрели основные понятия теории матриц, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Изучили различные виды матриц, ознакомились с операциями над матрицами.
Практическое занятие по данной теме будет посвящено выполнению основных операций над матрицами.
В конце занятия преподаватель отвечает на вопросы по материалу лекции и объявляет задание на самоподготовку:
1. Изучить рекомендуемую литературу.
2. Доработать (дополнить) конспект лекции.
Разработал:
преподаватель кафедры
капитан внутренней службы Е.А.Анисимова
____________________г.
Лист регистрации изменений
|
Номер изменения |
Номера листов |
Основание для внесения изменений |
Подпись |
Расшифровка подписи |
Дата |
Дата введения изменения |
||
|
замененных |
новых |
аннулиро ванных |
||||||
|
|
Фамилия/ Подпись |
Дата |
|
|
Разработал |
Председатель ПМК-1«Прикладная математика» |
Бадин О.Г. |
|
|
Проверил |
Зам. начальника кафедры |
Калинина Е.С |
|
|
Согласовал |
Начальник кафедры |
Попов В.В. |
|
|
Стр. 1 из 13 |
=
n
m
k
k
n
m
столбец j
строка i
cij
i
j
=
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
не имеет решения
имеет единственное решение
имеет бесчисленное множество решений
истема совместна
система несовместна