Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
163
Рассмотренные ранее модели представляли собой зависимости, в которых одна зависимая переменная являлась функцией от одной или более независимых переменных, то есть рассматривались односторонние связи между показателями, включенными в модель. На самом деле между большинством экономических показателей существуют еще и обратные связи. Таким образом, наряду с зависимостями типа
мы имеем еще и зависимости типа
.
Данная ситуация влечет за собой нарушение предположения о независимости переменных и величин остатков :
.
В подобных случаях одного уравнения не достаточно для того чтобы проиллюстрировать взаимосвязь между переменными и . Приходится использовать системы уравнений, в которых и выступают как в роли экзогенных, так и эндогенных переменных.
Определение Система уравнений, которая описывает взаимную зависимость между переменными, носит название системы одновременных уравнений.
Примеры систем одновременных уравнений
Для иллюстрации приведенной ситуации рассмотрим несколько примеров.
1. Пусть необходимо оценить спрос на некоторый продукт. Общеизвестно, что потребность в каком-либо товаре зависит как от его цены, так и цен на другие товары, и дохода. Учитывая этот факт, размер спроса может быть представлен в виде функции
,
где средняя цена на продукт;
цены на другие продукты;
размер дохода;
величина остатка.
Наряду с тем, что спрос есть функция от цены, цена также определяется спросом. Отсюда цену на рассматриваемый продукт можно представить в виде
,
где можно рассматривать как индекс «погодных условий».
Используя ранее представленную зависимость, можем получить выражение для цены на искомый продукт
.
Из полученного выражения видно, что является функцией от величины остатка , а это является нарушением классического предположения их независимости для регрессионных моделей.
2. Другим примером, иллюстрирующим вышеуказанное несоответствие, является модель, описывающая зависимость между денежной массой и уровнем доходов. В общем виде эта модель выглядит так
,
где денежная масса,
уровень реального дохода.
Уровень реального дохода, в свою очередь, является функцией от денежной массы, инвестиционных решений и других факторов
,
где инвестиции.
Поступая также как и в примере 1, получаем
,
что снова подтверждает тот факт, что переменная является функцией от величины остатков и, следовательно, .
3. Следующим примером, иллюстрирующим необходимость использования системы уравнений, является кейнсианская модель определения дохода.
Функция потребления может быть рассмотрена как
, ,
где величина дохода.
В то же время
,
где затраты на потребление,
инвестиции,
время.
Величина может также рассматриваться как сбережения (накопления)
.
Параметры и необходимо оценить.
Первое уравнение представляет собой стохастическую функцию потребления, а второе выражение национального дохода.
Таким образом, можно заключить, что величины и являются взаимозависимыми, а это влечет за собой зависимость между и остатками . Следовательно, классический метод наименьших квадратов здесь неприменим для оценки параметров и .
4. В модели Филипса «зарплата-цена», которая описывается системой
,
где норма изменения зарплаты в денежном выражении,
уровень безработицы, %,
норма изменения цены,
норма изменения затрат капитала,
норма изменения цен на импортируемое сырье,
время,
остатки
Переменные и взаимозависимы. Так как они коррелируют с соответствующими случайными величинами , то 1МНК применим быть не может.
5. Модель равновесия на рынке товаров описывается следующей системой уравнений и тождеств:
функция потребления
,
функция налогов
,
функция инвестиций
государственные расходы
,
национальный доход
,
чистый доход
,
где национальный доход,
затраты на потребление,
запланированные или желаемые чистые инвестиции,
затраты государственного сектора,
налоги,
ставка процента,
чистый доход.
Путем подстановки уравнений с последующими преобразованиями получаем так называемую -модель
,
где
,
,
которая описывает условие равновесия на рынке товаров. Оно позволяет найти комбинацию величины процентной ставки и дохода, обеспечивающую равновесие рынка товаров.
Графически -модель выглядит следующим образом:
r
I
IS
Если оценивать функцию потребления изолированно, то невозможно будет получить эффективные, несмещенные оценки. Отсюда оценка параметров модели должна быть осуществлена комплексно и метод 1МНК здесь не применим.
6. -модель позволяет определить соотношение процентной ставки и уровня доходов, при котором обеспечивается равновесие на рынке денег. Соотношения модели записываются следующим образом:
функция спроса на деньги
,
функция предложения денег
,
условие равновесия
,
где доход,
средний уровень предложения денег,
процентная ставка.
После преобразований -модель выглядит следующим образом:
,
где
, , .
Для заданного кривая выглядит следующим образом:
r
I
LM
Кривые и , соответственно, показывают, что все множество процентных ставок согласуется с равновесием на рынке товаров и рынке денег.
Естественно, что только одна процентная ставка и один уровень дохода будут одновременно удовлетворять условию равновесия на этих рынках
r
I
LM
IS
7. Эконометрическая модель Лоренса Клейна. Данная модель (модель Клейна 1) является одной из первых эконометрических моделей, построенных на базе одновременных уравнений. Модель имеет вид:
функция потребления
,
инвестиционная функция
,
спрос на труд
,
тождества
,
,
,
где затраты на потребление,
инвестиции,
затраты государственного сектора,
прибыль,
зарплата в частном секторе,
зарплата в государственном секторе,
запасы капитала,
налоги,
доход после уплаты налогов,
время,
случайные величины.
В модели переменные , , , , и рассматриваются как взаимозависимые или эндогенные, а , и как заранее определенные.
Применение 1МНК здесь также невозможно. Смещение оценок, которое здесь имеет место, носит название смещения одновременных уравнений. Основная причина нарушение условия .
8. Если рассмотреть размер валового внутреннего продукта как функцию от производственных ресурсов, основных производственных фондов, рабочей силы и материальных ресурсов, то целесообразно представить данное соотношение в виде следующей системы:
,
,
,
где внутренний валовой продукт,
выпуск продукции,
материальные ресурсы,
основные производственные фонды,
рабочая сила,
время,
случайные переменные (остатки),
параметры модели, которые необходимо определить.
Представленная система состоит из двух регрессионных уравнений и одного тождества. Одно из регрессионных уравнений является нелинейной функцией. Решение по модели может быть получено только путем решения всей системы уравнений одновременно.
Приведенная модель может быть модифицирована, если принять во внимание, что объемы производства в данный период зависят от их объемов в предыдущем периоде времени. В этом случае в модель вводится лаговая переменная :
,
,
.
В такой формулировке переменные и становятся зависимыми, что приводит к смещенности оценок, если их рассчитывать методом 1МНК.
9. Общеизвестно, что себестоимость продукции снижается, если растет производительность труда. Вместе с тем имеет место также и изменение уровня заработной платы. Соотношение между указанными показателями может быть представлено в виде модели
,
,
,
,
где индекс снижения себестоимости продукции,
темп роста производительности труда,
темп роста заработной платы,
факторы, влияющие на производительность труда и заработную плату.
Модель представлена тремя регрессионными уравнениями, одно из которых нелинейное, и тождеством. Нахождение параметров модели должно быть осуществлено при одновременном решении всех уравнений системы.
Обобщая вышеприведенные примеры можно заключить, что эконометрическая модель представляет собой совокупность соотношений, которые описывают взаимосвязи между экономическими показателями. Эти взаимосвязи могут иметь как стохастический, так и детерминированный характер. Системы одновременных структурных уравнений включают, как правило, линейные соотношения. Нелинейности чаще всего аппроксимируются линейными уравнениями.
В общем виде эконометрическая модель на основе системы одновременных структурных уравнений выглядит следующим образом:
.
В модели , некоторые могут быть равны нулю. В матричной форме данная система уравнений имеет вид
.
Переменные, находящиеся в правой части, являются заданными или экзогенными, в левой эндогенными. Переменные , являясь эндогенными для одного уравнения, в то же время являются экзогенными для другого.
Определение Эконометрическая модель в виде системы уравнений непосредственно отражает структуру связей между переменными и поэтому носит название структурной формы эконометрической модели.
Решая систему структурных уравнений относительно переменных , получим следующую систему:
.
Произведем преобразование исходной системы в матричной форме относительно
,
,
,
,
где
,
.
Определение Эконометрическая модель, представленная системой уравнений относительно переменных , носит название приведенной или усеченной, или редуцированной формы модели.
Параметры структурной модели оценивают прямое влияние заранее определенных переменных на эндогенные переменные. Что же касается параметров редуцированной модели, то они оценивают и прямое, и непрямое влияние на эндогенные переменные. В этом смысле параметры усеченной модели удобно использовать для прогнозирования и анализа экономической деятельности, так как они дают оценку как общего, так и прямого и непрямого влияния экзогенных переменных на зависимые переменные.
Имеются, по крайней мере, четыре причины для использования редуцированной формы уравнений:
Оценка смещения параметров модели
Для того чтобы проиллюстрировать наличие смещения оценок, получаемых с помощью метода 1МНК, воспользуемся кейнсианской моделью определения дохода
, ,
.
Рассмотрим оценку параметра . Она рассчитывается по формуле
Оценка уравнения называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно самой оценке
.
Для нашего случая имеем
.
Оценить выражение прямым способом не представляется возможным. Однако если показать, что отношение не является нулем, то полученная оценка параметра является смещенной.
Допустим, что размер выборки растет до бесконечности. Найдем граничное значение отношения , используя правило сходимости по вероятности (в основе лежит теорема Бернулли). Считается, что оценка является смещенной, если ее сходимость по вероятности не равна истинному значению .
Сходимость по вероятности =
= сходимость по вероятности + сходимость по вероятности =
.
Учитывая, что и , и , то имеет место переоценка параметра и является величиной смещения.
Методы оценки параметров систем одновременных уравнений
Первые пять методов относятся к классу методов одного уравнения, так как они применяются к одному уравнению системы. Последние два к системным, так как они имеют дело со всей системой уравнений.
Двушаговый метод наименьших квадратов (2МНК)
Данный метод является наиболее часто применяемым для решения систем одновременных структурных уравнений. Нарушения условия независимости переменных и остатков можно избежать, если сумеем найти такую переменную, которая
Подставляя данную переменную вместо эндогенной в уравнение системы мы, тем самым, обеспечиваем выполнение необходимого условия
.
Данный обобщенный подход носит название инструментальных переменных.
Рассмотрим некоторую систему одновременных уравнений
,
.
Если мы найдем переменную, которая сильно коррелирует с переменной , но не коррелирует с , то мы сможем подставить ее в первое уравнение системы и, тем самым, избежать нарушения классического предположения.
Двушаговый метод дает возможность найти аппроксимацию данной проблемы.
Для достижения поставленной цели (замены эндогенных переменных в правой части уравнений инструментальными) метод 2МНК использует редуцированную форму уравнений. Вся процедура разбивается на два шага.
1 шаг. Применение метода 1МНК к каждому из редуцированных уравнений по каждой из эндогенных переменных.
Так как независимые переменные, к числу которых относят также и лаговые переменные, не коррелируют с ошибками в редуцированных уравнениях, то получаемые оценки методом 1МНК уравнений в редуцированной форме являются несмещенными.
Эти оценки могут быть использованы для расчета оценок эндогенных переменных
,
.
Переменные будут использованы в качестве заместителей переменных в структурных уравнениях системы.
Следует, однако, учитывать, что оценки не являются некоррелируемыми с остатками . В связи с этим рассматриваемая процедура обеспечивает лишь приближенное нахождение инструментальных переменных, состоятельных для случая больших выборок и смещенных для малых, необходимых для оценки коэффициентов структурных одновременных уравнений.
2 шаг. Замена переменных на инструментальные переменные только в правых частях структурных одновременных уравнений. Оценка преобразованных структурных уравнений методом 1МНК.
Таким образом, на втором шаге производится оценка параметров системы уравнений
,
методом 1МНК.
Метод 2МНК может быть обобщен и на случай большего числа уравнений и переменных.
Метод 2МНК имеет ряд особенностей, которые сводятся к следующему:
В качестве примера рассмотрим наивную линейную кейнсианскую макроэкономическую модель экономики США. Она описывается следующей системой уравнений и тождеств:
(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,
(5) ,
(6) ,
где валовой внутренний продукт в году ,
общее личное потребление в году ,
общие валовые частные домашние инвестиции в году ,
правительственные расходы (покупка товаров и услуг) в году ,
чистый экспорт товаров и услуг (экспорт минус импорт) в году ,
налоги в году ,
ставка процента в году ,
предложение денег (денежная масса ) в году ,
доход, доступный для использования в году ,
среднее между и (ставка процента с лагом в 6 месяцев).
В модели экзогенными переменными являются , , и , а также лаговые переменные и . К эндогенным переменным, определяемым из модели, относятся , , , , и .
Данные за 1964-1988 гг. для расчетов представлены в табл. 4.1. Значения лаговых переменных за 1963 г. составляют: , .
Таблица 4.1. Данные для построения макроэкономической модели
(Источник: The Economic Report of the President, 1989)
|
Год |
||||||||
|
1964 |
1170,7 |
325,9 |
4,40 |
1973,3 |
1291,0 |
160,4 |
470,8 |
5,9 |
|
1965 |
1236,3 |
367,0 |
4,49 |
2087,6 |
1365,7 |
167,9 |
487,0 |
2,7 |
|
1966 |
1298,9 |
390,5 |
5,13 |
2208,3 |
1431,3 |
172,1 |
532,6 |
13,7 |
|
1967 |
1337,7 |
374,4 |
5,51 |
2271,4 |
1493,2 |
183,3 |
576,2 |
16,9 |
|
1968 |
1405,9 |
391,8 |
6,18 |
2365,6 |
1551,3 |
197,5 |
597,6 |
29,7 |
|
1969 |
1456,7 |
410,3 |
7,03 |
2423,3 |
1599,8 |
204,0 |
591,2 |
34,9 |
|
1970 |
1492,1 |
381,5 |
8,04 |
2416,2 |
1668,1 |
214,5 |
572,6 |
30,0 |
|
1971 |
1538,8 |
419,3 |
7,39 |
2484,8 |
1728,4 |
228,4 |
566,5 |
39,8 |
|
1972 |
1621,8 |
465,4 |
7,21 |
2608,5 |
1797,4 |
249,4 |
570,7 |
49,4 |
|
1973 |
1689,5 |
520,8 |
7,44 |
2744,1 |
1916,3 |
263,0 |
565,3 |
31,5 |
|
1974 |
1674,0 |
481,3 |
8,57 |
2729,3 |
1896,6 |
274,4 |
573,2 |
0,8 |
|
1975 |
1711,9 |
383,3 |
8,83 |
2695,0 |
1931,7 |
287,6 |
580,9 |
18,9 |
|
1976 |
1803,9 |
453,5 |
8,43 |
2826,7 |
2001,0 |
306,5 |
580,3 |
11,0 |
|
1977 |
1883,7 |
521,3 |
8,02 |
2958,6 |
2066,6 |
331,4 |
589,1 |
35,5 |
|
1978 |
1961,0 |
576,9 |
8,73 |
3115,2 |
2167,4 |
358,7 |
604,1 |
26,8 |
|
1979 |
2004,5 |
575,2 |
9,63 |
3192,4 |
2212,6 |
386,1 |
609,1 |
3,6 |
|
1980 |
2000,3 |
509,3 |
11,94 |
3187,1 |
2214,3 |
412,2 |
620,5 |
57,0 |
|
1981 |
2024,2 |
545,5 |
14,17 |
3248,8 |
2248,6 |
439,1 |
629,7 |
49,4 |
|
1982 |
2050,7 |
447,3 |
13,79 |
3166,0 |
2261,5 |
476,4 |
641,7 |
26,3 |
|
1983 |
2146,0 |
504,0 |
12,04 |
3279,1 |
2331,9 |
522,1 |
649,0 |
19,9 |
|
1984 |
2249,3 |
658,4 |
12,71 |
3501,4 |
2469,8 |
551,9 |
677,7 |
84,0 |
|
1985 |
2354,8 |
637,0 |
11,37 |
3618,7 |
2542,8 |
620,1 |
731,2 |
104,3 |
|
1986 |
2455,2 |
643,5 |
9,02 |
3721,7 |
2640,9 |
725,4 |
760,5 |
137,5 |
|
1987 |
2520,9 |
674,8 |
9,38 |
3847,0 |
2686,3 |
744,2 |
780,2 |
128,9 |
|
1988 |
2592,2 |
721,8 |
9,71 |
3996,1 |
2788,3 |
776,0 |
782,3 |
100,2 |
Изо всех уравнений системы только (2), (4) и (6) являются стохастическими и их параметры необходимо оценить. Эндогенные переменные совместно определяются системой. Для того чтобы убедиться в том, что все они взаимозависимы, достаточно зафиксировать одну из них в качестве константы и дать возможность остальным изменяться.
Рассмотрим содержание стохастических структурных уравнений. Функция потребления (2) относится к типу функций дистрибутивного лага Койка.
Согласно Л.М.Койку, модель дистрибутивного лага предполагает, что коэффициенты лаговых переменных уменьшаются в геометрической прогрессии в соответствии с порядком (длиной) лага:
,
где порядок (длина) лага, , .
Так
.
Например, если мы имеем дело с моделью
,
то вместо коэффициентов , можно подставить их выражение . В результате получим:
.
Вопросы оценки величины в настоящей теме не рассматриваются.
Инвестиционная функция (4) включает упрощенный мультипликатор и стоимость компонентов капитала. Мультипликатор измеряет стимул к инвестированию, который генерируется ростом ВВП. Таким образом, ожидается, что в кейнсианской модели будет иметь знак «+». С другой стороны, чем выше стоимость капитала, тем меньше ожидается приток инвестиций в основном потому, что ожидаемая норма возврата капитала не является достаточной для покрытия высокой его стоимости. Отсюда можно предположить, что будет отрицательным.
Для того чтобы планировать инвестиции и осуществить инвестиционный проект, необходимо время, в связи с этим ставка процента рассматривается с лагом в шесть месяцев. Уравнение для ставки процента решается в предположении о равновесии на рынке денег. Рост ВВП при постоянном уровне предложения денег должен увеличить потребность в перемещении денег (в совершении сделок), стимулируя рост ставки процента. Поэтому ожидается, что будет положительным. Если предложение денег возрастет при постоянном уровне ВВП, то ожидается, что ставка процента будет снижаться, поэтому должно быть отрицательным.
И, наконец, не надо забывать, что в наивной кейнсианской модели цены предполагаются неизменными.
Применим метод 2МНК.
Несмотря на то, что в модели шесть эндогенных переменных, только три из них представлены в правых частях стохастических уравнений. Таким образом, только три редуцированных уравнения нам нужны для оценки их с помощью 2МНК.
1 шаг.
Найдем инструментальные переменные , и с целью их использования на втором шаге метода 2МНК вместо соответствующих эндогенных в правых частях стохастических уравнений.
Так, для выражение выглядит следующим образом:
.
Для данного уравнения
, , , , , , , .
Так как , то можно заключить, что данная редуцированная форма прекрасно подходит, чтобы использовать ее в качестве замены искомой эндогенной переменной . Несмотря на высокую мультиколлинеарность и статистическую незначимость коэффициента при , используем полученное уравнение, а также аналогичные уравнения для и с тем, чтобы найти 25 наблюдений каждой из переменных.
2 шаг.
Используем найденные значения инструментальных переменных для того, чтобы рассчитать параметры уравнений (2), (4) и (6). Для этого воспользуемся методом 1МНК. Получим следующие три уравнения регрессии (для сравнения запишем также уравнения, полученные прямым расчетом методом 1МНК без применения процедуры замены переменных, используемой в методе 2МНК (табл. 4.2)).
Таблица 4.2. Сравнительные данные по двум методам
|
Метод 2МНК |
Метод 1МНК |
|
, , , |
, , , |
|
, , , |
, , , |
|
, , , |
, , , |
Сравнение результатов показывает незначительную разницу между оценками параметров. Если оценки 1МНК смещенные, то почему результаты так близки?
Так как на первом шаге метода 2МНК мы подобрали очень хорошую замену для , и значения и очень близки, то на втором шаге мы получили оценки параметров практически такие же, как и те, которые найдены при прямом их оценивании методом 1МНК.
Далее, мы ожидали положительное смещение в оценках 1МНК и небольшое отрицательное смещение в оценках 2МНК, однако подобное имело место только в половине случаев. Это могло быть вызвано сильной мультиколлинеарностью между независимыми переменными на первом шаге метода 2МНК, а также слишком хорошим соответствием редуцированной формы уравнения.
И, наконец, статистика Дарбина-Уотсона показывает в двух случаях наличие положительной автокорреляции остатков. Это является серьезной проблемой в оценке функции потребления, которая может быть вызвана лаговыми переменными. Одним из приемов, позволяющим решить данную проблему является использование обобщенного метода наименьших квадратов.
Идентификация модели
Применение метода 2МНК возможно только тогда, когда модель идентифицирована.
Для того чтобы понять суть проблемы идентификации, рассмотрим пример.
Пусть имеется система одновременных уравнений для спроса и предложения товара. В качестве независимой переменной выступает цена товара
,
.
Несмотря на то, что одно из уравнений помечено как уравнение спроса, а второе как предложения, по их наполнению (переменным) трудно различить, какое из них определяет спрос, а какое предложение.
Чтобы их различить, необходимо иметь некоторые заранее заданные переменные, которые позволят сделать эти различия. Добавим во второе уравнение новую переменную
.
В этом случае, изменяя каждый раз , кривая предложения будет смещаться, однако кривая спроса нет. В связи с этим можно составить хорошую картинку того, как выглядит кривая спроса
P
Q
D
S1
S2
S3
S4
Если бы переменная присутствовала и в уравнении спроса
,
,
то различить два уравнения снова было бы невозможно
Графически это выглядит так:
P
Q
D2
S1
S2
S3
S4
D1
D3
Отсюда можно сформулировать правило, которое позволит различить уравнения: необходимо иметь хотя бы одну объясняющую переменную в каждом уравнении, которой нет в другом.
Например
,
.
Сейчас, когда переменная изменится, кривая предложения сместится, и мы сможем идентифицировать кривую спроса. Если изменится , то кривая спроса сместится, и мы сможем идентифицировать кривую предложения. Вместе с тем, если и сильно коррелируют между собой, проблема идентификации остается открытой.
Таким образом, идентификация является условием применения метода 2МНК к системам одновременных уравнений. Структурное уравнение идентифицировано только тогда, когда достаточное количество независимых переменных исключено из уравнения с целью отличить данное уравнение от всех других уравнений системы.
Следует иметь в виду, что в системе одновременных структурных уравнений некоторые из них могут быть идентифицированы, в то время как другие нет.
Для идентификации уравнений используются условие порядка и условие ранга.
Условие порядка
Условие порядка систематический метод для определения, может ли конкретное уравнение из системы одновременных уравнений быть потенциально идентифицированным. Если уравнение удовлетворяет условию порядка, то оно идентифицировано во всех (но только в ограниченном их числе) случаях.
Условие порядка является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Достаточным условием идентификации является ранговое условие, которое будет рассмотрено ниже.
Для применения условия порядка необходимо определить
Условие порядка звучит так:
Необходимым условием для уравнения быть идентифицированным является то, что число заранее определенных (независимых) переменных в системе должно быть больше или равно числу угловых коэффициентов в уравнении, которое идентифицируется
,
где число заранее определенных экзогенных переменных,
число оцениваемых угловых коэффициентов для идентифицируемого уравнения.
Условие порядка может быть сформулировано и несколько иначе (чаще всего используется именно данная форма):
Число заранее определенных переменных в системе уравнений, которое исключено из уравнения, должно быть больше или равно числу эндогенных переменных, включенных в уравнение, минус один
,
где число заранее определенных переменных в отдельном уравнении,
число эндогенных переменных в отдельном уравнении.
Рассмотрим применение условия порядка. Пусть имеется система одновременных уравнений
,
,
.
В данной системе переменные , и эндогенные, а , и экзогенные.
Первое уравнение идентифицировано, так как число заранее заданных переменных в системе одновременных уравнений равно числу угловых коэффициентов, которые необходимо оценить в данном уравнении: .
Второе уравнение также идентифицировано с помощью условия порядка, так как число независимых переменных по-прежнему равно 3, а число оцениваемых угловых коэффициентов в данном уравнении 2. Таким образом, условие порядка выполняется: .
Вместе с тем рассматриваемый случай носит название переидентификации.
Ранговое условие идентификации
Условие ранговой идентификации формулируется следующим образом:
В системе одновременных уравнений, состоящей из уравнений и содержащей эндогенных переменных, уравнение будет идентифицированным тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов, которые соответствуют исключенным переменным рассматриваемого уравнения во всех других уравнениях модели, кроме данного, равен .
Для иллюстрации применения условия ранговой идентификации рассмотрим систему одновременных уравнений
Переменные эндогенные, а экзогенные.
Прежде чем проверить выполнение рангового условия, проверим условие порядка. Для этого представим необходимые данные в таблице
|
Уравнение |
Идентификация |
||
|
1 |
2 |
2 |
Да |
|
2 |
1 |
1 |
Да |
|
3 |
1 |
1 |
Да |
|
4 |
2 |
2 |
Да |
Таким образом, в соответствии с условием порядка, все уравнения идентифицированы.
Теперь рассмотрим применение рангового условия. Для этих целей перепишем систему уравнений таким образом, что все параметры, кроме остатков, перенесены в левую часть.
Занесем параметры модели в таблицу
|
№ уравнения |
1 |
|||||||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Рассмотрим первое уравнение. В нем отсутствуют переменные , и . Проверим условие идентификации данного уравнения. Построим матрицу коэффициентов при указанных переменных, включенных в остальные уравнения модели
.
Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо рассчитать определитель
.
Так как определитель равен нулю, то ранг матрицы не равен , то есть он меньше трех. Отсюда условие ранга не выполняется и первое уравнение не может быть идентифицировано.
Проверка остальных уравнений показывает, что идентифицированным является только четвертое уравнение.
Процедуру проверки системы уравнений с помощью рангового условия на предмет идентификации можно разбить на четыре шага.
1 шаг. Записать систему уравнений в табличной форме;
2 шаг. Вычеркнуть коэффициенты рядка для идентифицируемого уравнения;
3 шаг. Вычеркнуть столбцы, соответствующие нулевым коэффициентам рассматриваемого уравнения;
4 шаг. Получить необходимую матрицу и рассчитать ее ранг. Если ранг равен , то уравнение идентифицировано, если меньше , то нет.
Общее правило проверки соответствия уравнений системы одновременных уравнений условию идентификации
Рекурсивные модели
Модель называется рекурсивной, если ее структурные уравнения можно записать таким образом, что первое содержит в правой части только независимые переменные, второе только независимые и одну эндогенную и так далее.
Данные системы еще называют треугольными, так как коэффициенты при эндогенных переменных образуют треугольную матрицу. К рекурсивным моделям может быть применен метод 1МНК последовательно, начиная с первого уравнения.
Пример построения эконометрической модели на основе системы одновременных уравнений2
Проиллюстрируем пример построения эконометрической (симулятивной) модели следующего содержания:
В модели рассматриваются следующие переменные:
Yt – национальный доход в t-м периоде;
Yt-1 – национальный доход в -м периоде;
Сt – расходы на потребление в t-м периоде;
Gt – государственные расходы в t-м периоде;
It – инвестиции t-м периоде;
It-1 – инвестиции -м периоде;
aij, bij – коэффициенты модели;
εit – случайные величины в t-м периоде.
Преобразуем модель: в качестве эндогенных переменных примем Yt, It и Сt, в качестве экзогенных – Yt-1, It-1 и Gt. Переобозначим переменные:
и подставим их в модель. Симулятивная модель примет вид:
Для построения модели воспользуемся следующей статистической информацией:
|
2319 |
870 |
2450 |
2323 |
789 |
440 |
|
2627 |
905 |
2270 |
2913 |
870 |
400 |
|
2600 |
899 |
2219 |
2627 |
905 |
350 |
|
2566 |
884 |
2195 |
2600 |
899 |
290 |
|
2824 |
951 |
2345 |
2566 |
884 |
420 |
|
2555 |
885 |
2216 |
2824 |
951 |
379 |
|
2864 |
964 |
2367 |
2555 |
885 |
430 |
|
2932 |
981 |
2446 |
2864 |
964 |
400 |
|
2772 |
950 |
2359 |
2932 |
981 |
340 |
|
2726 |
929 |
2312 |
2772 |
950 |
401 |
|
2841 |
872 |
2375 |
2726 |
929 |
430 |
|
2839 |
874 |
2388 |
2841 |
872 |
390 |
|
2985 |
902 |
2475 |
2839 |
874 |
450 |
|
3022 |
908 |
2515 |
2985 |
902 |
470 |
|
2519 |
800 |
2219 |
3022 |
908 |
360 |
|
3042 |
917 |
2469 |
2519 |
800 |
400 |
Для того чтобы модель была пригодна для анализа, построим приведенную ее форму. Для этих целей эндогенные переменные, присутствующие в правой части модели, выразим через экзогенные и подставим их в уравнения. Используя 2-е и 3-е уравнения, найдем выражение для :
На основе полученного выражения найдем значение для :
И, наконец, получаем выражение для :
Далее, для упрощения выражений сделаем замены коэффициентов при переменных и отдельных слагаемых:
В результате произведенных преобразований получаем приведенную форму эконометрической модели:
В приведенной системе коэффициенты πij аккумулируют в себе прямое и косвенное влияние переменных .
Рассмотрим, как оценивается влияние переменной (национального дохода в -м периоде) на переменную (расходы на потребление в t-м периоде). Для этого рассмотрим коэффициент . Он отражает общее (прямое и косвенное) воздействие на . Прямое влияние определяется коэффициентом , который присутствует в структурном уравнении модели, косвенное влияние – разностью .
Рассчитаем косвенное влияние:
Таким образом, общее влияние состоит из двух составляющих: – прямого влияния и – косвенного влияния, т.е.:
С целью дальнейшего исследования необходимо убедиться в том, что структурная форма модели позволяет идентифицировать ее уравнения. Проведение процедуры идентификации позволяет определить метод оценки параметров симулятивной модели.
Используем методы оценки необходимого (условие порядка) и достаточного (условие ранга) условий отождествляемости (идентифицируемости) уравнений. Представим структурную модель в табличной форме:
|
№ уравнения |
1 |
||||||
|
1 |
-1 |
0 |
0 |
||||
|
2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
|||
|
3 |
0 |
-1 |
0 |
Используем условие порядка. Напомним, что уравнение будет идентифицируемо, если
,
где число заранее определенных экзогенных переменных в системе,
число заранее определенных переменных в отдельном уравнении,
число эндогенных переменных в отдельном уравнении.
Для первого уравнения имеем: . Таким образом:
→ 3 – 2 = 2 – 1
и, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Для второго уравнения имеем: . Исходя из этого:
→ 3 – 1 > 2 – 1,
т.е. уравнение переотождествлено.
Наконец, для третьего уравнения имеем: , что приводит к
→ 3 – 2 = 2 – 1
или полной отождествляемости уравнения.
Теперь используем условия ранга для того, чтобы убедиться, что достаточное условие также выполняется. Напомним условие ранговой идентификации: ранг матрицы, составленной из коэффициентов, соответствующих исключенным переменным рассматриваемого уравнения (т.е. не присутствующих в нем), во всех других уравнениях модели, кроме данного, равен , где М – число эндогенных уравнений в системе и, одновременно, число уравнений системы.
Ранг матрицы определяется максимальным порядком отличным от нуля минором или числом линейно независимых векторов системы, иначе, если определитель матрицы , то система линейно не зависима.
Рассмотрим первое уравнение. В него не включены переменные и . Матрица коэффициентов при данных переменных во втором и третьем уравнениях выглядит следующим образом:
.
Находим ее определитель:
.
Таким образом, определитель отличен от нуля и, следовательно, ранг данной матрицы равен 2, что соответствует . Условие ранга выполняется, что свидетельствует об идентификации первого уравнения.
Проделаем такую же процедуру со вторым и третьим уравнениями.
Второе уравнение. В него не включены переменные , и . составляем матрице коэффициентов при данных переменных, находящихся в уравнениях 1 и 3:
.
Наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы равен 2:
,
следовательно, ранг данной матрицы также равен 2. Отсюда условие ранга для второго уравнения выполняется.
Третье уравнение. В нем отсутствуют переменные и . Построим матрицу коэффициентов при данных переменных в первом и во втором уравнениях:
.
Так как определитель данной матрицы
,
то, следовательно, и для данного уравнения условие ранга выполняется.
Обобщая вышесказанное, можно сделать вывод о том, что модель отождествляема, так как все уравнения системы идентифицируемы (отождествляемы). Так как одно уравнение системы переидентифицируемо, то можно найти несколько оценок ее параметров.
Для оценки параметров симулятивной модели применим метод 2МНК.
Напомним его содержание:
1 действие. Применение метода 1МНК к каждому из редуцированных уравнений по каждой из эндогенных переменных, нахождение числовых значений их параметров;
2 действие. Определение эндогенных переменных, которые находятся в правых частях структурных уравнений и вычисление расчетных их значений на основе полученных уравнений приведенной формы. Замена переменных , находящихся только в правых частях структурных уравнений, на инструментальные переменные ;
3 действие. Оценка параметров структурных уравнений методом 1МНК, используя в качестве исходных данных фактические значения экзогенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных для правых частей уравнений.
Оценим параметры приведенной формы модели с помощью 1МНК, используя MS Excel. В результате расчетов получаем следующую систему уравнений:
Данная система уравнений не «страдает» проблемой гетероскедастичности, поэтому полученные расчетные значения эндогенных переменных могут быть использованы для расчетов уравнений структурной модели. В нашем случае в правой части симулятивной формы модели присутствуют эндогенные переменные и . Найдем их расчетные значения, чтобы использовать их для построения уравнений структурной формы:
|
Расчетное значение |
Расчетное значение |
|
909,13 |
2440,63 |
|
868,79 |
2365,41 |
|
908,17 |
2271,44 |
|
886,52 |
2174,75 |
|
928,31 |
2389,41 |
|
921,24 |
2310,82 |
|
933,88 |
2405,29 |
|
931,50 |
2342,56 |
|
911,65 |
2241,91 |
|
935,09 |
2346,08 |
|
938,67 |
2397,54 |
|
875,54 |
2347,57 |
|
898,45 |
2444,75 |
|
903,94 |
2472,94 |
|
863,52 |
2293,00 |
|
876,62 |
2375,90 |
Исходя из проведенных расчетов, данные для нахождения параметров уравнений структурной формы модели представлены в следующей таблице:
|
2319 |
909,13 |
2440,63 |
2323 |
789 |
440 |
|
2627 |
868,79 |
2365,41 |
2913 |
870 |
400 |
|
2600 |
908,17 |
2271,44 |
2627 |
905 |
350 |
|
2566 |
886,52 |
2174,75 |
2600 |
899 |
290 |
|
2824 |
928,31 |
2389,41 |
2566 |
884 |
420 |
|
2555 |
921,24 |
2310,82 |
2824 |
951 |
379 |
|
2864 |
933,88 |
2405,29 |
2555 |
885 |
430 |
|
2932 |
931,50 |
2342,56 |
2864 |
964 |
400 |
|
2772 |
911,65 |
2241,91 |
2932 |
981 |
340 |
|
2726 |
935,09 |
2346,08 |
2772 |
950 |
401 |
|
2841 |
938,67 |
2397,54 |
2726 |
929 |
430 |
|
2839 |
875,54 |
2347,57 |
2841 |
872 |
390 |
|
2985 |
898,45 |
2444,75 |
2839 |
874 |
450 |
|
3022 |
903,94 |
2472,94 |
2985 |
902 |
470 |
|
2519 |
863,52 |
2293,00 |
3022 |
908 |
360 |
|
3042 |
876,62 |
2375,90 |
2519 |
800 |
400 |
Применяя к скорректированным исходным данным 1МНК, получаем следующую структурную модель:
2 На основе: Ковпак Э.А. Прикладная эконометрика и временные ряды. Учебное пособие для студентов специальностей «Экономическая кибернетика» и «Прикладная экономика»/ Э.А.Ковпак. – Х.: ХНУ имени В.Н.Каразина, 2013. – 135 с.