Тема- Основні поняття теорії множин
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Тема: Основні поняття теорії множин. Геометрична
інтерпритація множин (діаграми Венна, круги Ейлера).
Підмножини.
Мета:сформувати поняття множини, її видів; показати
способи задання множин; для наочного зображення
співвідношень між підмножинами універсальної
множини проілюструвати діаграми Ейлера-Вена.
"Множина є багато що, мислиме нами як єдине."
Георг Кантор
План
- Основні поняття та означення теорії множин.
- Способи задання множин.
- Підмножини. Булеан множин.
- Геометрична інтерпретація множин.
1.В повсякденному житті та практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів. Наприклад, сукупність деталей механізму,аксіом геометрії, чисел натурального ряду, літер абетки. На основі інтуїтивних уявлень про подібні сукупності сформулювалося математичне поняття множини. Значний внесок до теорії множин зробив Георг Кантор. Згодом завдяки його дослідженням теорія множин стала цілком визначеною та обґрунтованою галуззю математики, а на сьогодні вона здобула фундаментальне значення. Теорія множин є основою для всіх розділів дискретної математики та комп’ютерних наук в цілому, є однією з основ функціонального аналізу, топології, загальної алгебри.
Теорія множин разом із іншими розділами дискретної математики має безліч корисних застосувань у програмуванні. Вона використовується для побудови систем управління базами даних (СУБД), під час побудови та організації роботи комп’ютерних мереж, зокрема мережі Інтернет.
Множина є настільки загальним і водночас початковим поняттям, що її строге визначення через більш прості поняття дати важко.
Означення:
Множина – це сукупність деяких елементів, що володіють певною властивістю.
Множини позначають великими літерами латинського алфавіту A,B,C,…,X… Елементи, що входять в множину позначають малими літерами латинського алфавіту a,b,c…
Наприклад. Запис А={a, b, d, k}означає, що множина А складається з чотирьох елементів: a, b, d, k.
В зальному вигляді твердження, що скінченна множина А складається з n елементів записується: А={а1, а2,…,аn }. Належність елемента множині позначають символом: аА (читають: елемент а належить множині А). В протилежному випадку позначають аА (не належить).
Наприклад 3{1,2,3,4}, але 5 {1,2,3,4}.
Далі використовуємо такі позначення числових множин:
N – множина дійсних чисел N={1,2,3,…}
Z – множина цілих чисел Z={-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Q – множина раціональних чисел Q={Дріб , pZ, qN, q0 }
R – множина дійсних чисел ( будь-яке дійсне число можна зобразити у вигляді нескінченого десяткового дробу)
Означення:
Множина називається скінченною, якщо вона містить скінчене число елементів, і нескінченою, якщо вона містить необмежене число елементів.
Приклад. Множина А={1,2,…,9,0} цифр в десятковій системі числення скінченна, а множина точок кола – нескінчена
Упорядкованою вважається множина, в якій важливі не тільки її елементи, але і порядок їх розміщення.
Приклад. Розглянемо упорядковану множину А=(х,у) географічних координат довготи х і широти у. Якщо х і у поміняти місцями, то отримаємо інші координати розташування.
2. Способи задання множин
1. Множину можна задати переліком її елементів А={а1,…,аn }.
Приклад А={0,1,5} означає, що множина А складається з трьох чисел.
Спосіб задання множин переліком її елементів не придатний для задання нескінчених множин, а у випадку скінчених множин, його важко реалізувати. Так не можна перелічити множину риб у Тихому океані, хоча їх число скінчене.
2.Описом властивостей, якими повинні володіти елементи множини, М={x|P(x)} або M={x:P(x)} (де P(x) означає, що елемент х має властивість Р(х)).
Приклад. Множину N10 натуральних чисел, менших за 10 , можна задати так
N10 ={x| xN, x<10 }.
3. Рекурсивно (породжуючий спосіб)
Множина може бути задана, тобто вказується спосіб отримання елементів множини із вже отриманих елементів або інших об’єктів.
Приклад. Множина значень рекурсивної функції є рекурсивно-заданою множиною F={φ1,φ2,…} iN, i=1,2…
Нехай φ1=1, φ2=2, а кожне наступне число залежить від двох попередніх, таким чином:
тоді
При заданні множин можуть виникати помилки і протиріччя. Такі протиріччя – це логічні парадокси і вивчаються в математичній логіці.
Приклад. Єдиний перукар у місті N визначає множину К мешканців, яких він повинен голити, як сукупність всіх тих мешканців N, які голяться самі. Але тоді для самого перукаря виходить протиріччя і при включенні його до множини К і при віднесенні його до мешканців, які самі голяться.
Основні поняття теорії множин
Означення :
Дві множини рівні, якщо вони містять однаковий набір елементів.
Позначається: А=В, якщо вони не рівні: А≠В. Число елементів скінченої множини позначають через |А|
Наприклад. А={2,4,6}, B={2,6,4}, C={2,2,6,6,4,4} – рівні, бо складаються з одних і тих же елементів.
3. Означення:
Множина А, всі елементи якої належать множині В, називаються підмножиною множини В.(В –надмножина )А⊂ В. Нестроге включення позначається А ⊂ В .(А- підмножина В, що можливо співпадає з В).
Строге включення позначається A⊂B (А – підмножина В, що не співпадає з В ) –власна підмножина, тобто А⊂В, означає, що А ⊂В і А≠В.
Приклад.
1)А={a,b,c} є власною підмножиною В={a,b,c,d,e} A⊂B.
2)R+⊂R
3){1,2,3} ⊂{1,2,3,4}
Множина парних натуральних чисел є власною підмножиною множини всіх натуральних чисел.
Нехай U– деяка множина, тоді B(u)= 2u – множина всіх підмножин множини U. Множину U називають універсальною, а множину B(u) – множиною степенем або булеаном U. Універсальна — це множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі.
Приклад.
1)U= {1,3,5}, то B(u)={Ø,{1},{3},{5},{1;3},{3;5},{1;5},{1;3;5} }
2)U– група студентів, А – хлопці, В – відмінники, А ≤ U, В ≤ U
3)Нехай А={a,b,c}. Система всіх її підмножин є:
2А ={ Ø,{a},{b},{c},{a;b},{b;c},{a;c},{a;b;c}}, так що 2А містить 8 елементів.
Означення:
Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів, позначається: Ø.
Порожня множина Ø є підмножиною будь-якої множини А, Ø≤А. Запис А={ Ø } означає, що А містить один елемент Ø, |А|=1.Порожня множина має тільки одну підмножину-саму порожню множину, таку, що 2Ø ={Ø}.
4.Для наочного зображення співвідношень між підмножинами універсальної множини використовують діаграми Вена і круги Ейлера (Ейлера - Вена ).
Побудова діаграми Вена полягає у розбитті площини на 2n областей за допомогою n фігур. Кожна фігура на діаграмі зображує окрему множину,
n – число зображуваних множин. Площина, на якій зображаються фігури становить універсальну множину U. За допомогою діаграми Вена можна графічно показати, чи належить деякий елемент xU розглянутим множинам чи ні.
Наприклад.(мал.1) х1А, х1В, x2A, x2B, x3B, x3A, x4A, x4B.
(мал.1)
Діаграму Вена для трьох множин A,B,C. Зображено на (мал.2), де х1A, х1B, х1C, x2B, x2C, x2A.
(мал.2)
Для чотирьох множин A,B,C,D діаграма Вена зображена на (мал.3).
х1
(мал.3)
Діаграми Вена не відображають реальні відношення включення, що встановлені між множинами, а розглядають їх у загальному випадку. Індивідуальні відношення між заданими множинами зображують за допомогою кругів Ейлера. В цьому випадку множини, що не мають загальних елементів, зображають не перетинними фігурами. Відношення включення на множинах зображають , розташовуючи одну фігуру вкладеною в іншу. Розглянемо побудову кругів Ейлера на практиці (мал.4).
а) A={1,4,6} B={1,5,8} Загальний елемент –1
б) A={1,4,6} В={1,6} ВA
в) A={1,4,6} В={3,5,8} немає загальних елементів А і В.
(мал.4)
Запитання для самоперевірки.
- Що таке множина?
- Яка множина називається скінченною, упорядкованою?
- Які існують способи задання множин?
- Що таке підмножина множини?
- Що називається булеаном множини?
- Яка множина називається універсальною?
- Для чого використовують діаграми Ейлера – Вена?
Література
- (Б2), с.9-19,с.26-29.
- (Б6), с.20-21, с.45-50.
2. Оптика
3. ответственное лицо.html
4. УЛЬЯНОВСКАЯ ГСХА ИМ
5. на тему- Поощрения и дисциплинарная ответственность адвокатов Выполнил- Студент 3 курса 2 группы
6. произвольная последовательность элемента одного и того же типа.
7. Тема- В мире природы Цели- расширять представление о природном окружении как среде жизнедеятельности чел
8. Тема. Чередование звуков в суффиксах слов видимое на письме
9. Банкpотство
10. Реферат- Почему я должен быть моральным
11. Они спеша шли по улице и ее страх передавался скрытой пульсацией из ее мозга в его
12. документах Существуют две большие группы PRдокументов- внутренние и внешние
13. Кредитор в лице действующего на основании с одной сторон
14. Курсовая работа- Государственный бюджет и проблема его дефицитности
15. Пояснительная записка к сводному расчету стоимости 34 квартирного жилого дома переменной этажности с магазин
16. Устранение нежелательных эмоциональных состояний
17. звенья... Никого не станет предавать Может лишь любить до помраченья
18. Test next week. writing being written hving been written is writing I relly pprecite this opportunity
19. Буковина в роки другої світової війни
20. ВАРИАНТ. Назвать имя ученого который первым предложил термин экология- Гумбольдт Дарвин Гекке