Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
17
PAGE 28
Министерство образования и науки,
молодёжи и спорта Украины
Донбасский государственный технический университет
Кафедра ЭК и ИТ
Пояснительная записка
к курсовой работе
Создание анимационного стенда для изучения физических процессов
вращения тороида
по курсу ,, Вычислительная техника и программирование“
Выполнил: ст. гр. РФ-11
Литвинова О.В.
Принял :ассист. каф. ЭК и ИТ Мотченко Л.А.
Алчевск 2012
РЕФЕРАТ
Курсовая работа: 28с., 2 рис., 1 приложение, 5 источников.
Целью курсовой работы является разработка модели физических процессов. Используя существующий физический аппарат, разработать программу, которая позволяет в реальном масштабе времени наблюдать на экране заранее определённый физический процесс с возможностью изменения начальных условий.
Объект исследования – процесс вращения тороида вокруг оси, проходящей через центр масс.
Предмет исследования – вращение тороида внешним радиусом и внутренним радиусом вокруг оси, проходящей через центр масс.
При моделировании допускается использование следующих программных средств: языки программирования высокого уровня, среды математической обработки MathCAD и MathLab.
ТОРОИД, MATHCAD, WORD, АНИМАЦИОННЫЙ СТЕНД ДВИЖЕНИЯ, УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................4
1 ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ..............................................5
1.1 Общие сведения. ..........................................................................................5
1.2 Определение объёма тора............................................................................6
1.3 Момент инерции тора. ................................................................................8
1.5 Вывод уравнения движения тора..............................................................11
2 ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРОГРАММ.............................................14
2.1 Система MATLAB......................................................................................14
2.2 Система MathCAD......................................................................................16
3 ОПИСАНИЕ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА....22
ВЫВОДЫ..............................................................................................................26
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК................... .....................................................................27
Приложение А Анимационный стенд и расчет параметров в МаthCAD........28
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие компьютерной техники позволяет сегодня снизить затраты времени на оформление различной конструкторской, технологической, проектной и другой технической документации, а также предоставляет возможность моделировать системы и процессы в электронике, механике, гидродинамике, оптике, автоматике и других отраслях знаний.
В настоящее время существует большое количество прикладных программ, среди которых можно выделить графические редакторы, текстовые редакторы, базы данных, программы для различного вида обработки данных и построения графиков, программы для моделирования процессов, программы и пакеты автоматизированного проектирования и конструирования и другие виды программ.
Моделирование различных систем, объектов, процессов, явлений природы и т.д. имеет важное значение в науке и технике. Благодаря моделированию существенно облегчается и удешевляется исследование физических, химических и других природных явлений, технических объектов, создание образцов новой техники. Моделированием называется создание моделей реальных объектов и их экспериментальные исследования. В свою очередь модель – это, как правило, упрощенное отражение реального объекта, несущее те его качества, которые подвергаются исследованию (моделированию). Например, модель вновь создаваемого самолета или ракеты, продуваемые в аэродинамической трубе – это уменьшенные копии реальных летательных аппаратов, идентичные им по конфигурации и геометрически пропорциональные, но не имеющие двигательных установок, систем управления и вооружения. Данная модель позволяет получить картину движения воздушных потоков у фюзеляжа и несущих плоскостей и смоделировать поведение летательного аппарата в полете. Другой пример – модель технологического объекта – печи, реализованный в виде схемы из транзисторов, диодов, резисторов и конденсаторов. Такая модель совсем не похожа на реальное устройство, но она позволяет получить необходимые электрические характеристики, (например фазовые координаты), идентичные настоящей печи и дает возможность синтезировать и отработать систему управления реальным объектом, позволяя экономить время и средства.
Большое значение имеют, также, математические модели. Они позволяют производить моделирование реальных объектов и систем с использованием многочисленных математических методов, оперируя со свойствами объектов, выраженными в виде различных математических зависимостей и соотношений. Например, хорошо известная модель, описывающая силу, действующую на движущееся тело при изменении его скорости – второй закон Ньютона. Или математическая модель взаимодействия двух тел в гравитационном поле – закон всемирного тяготения. Математические модели той или иной степени сложности, как правило, идеализированы и отражают только исследуемые характеристики реальных объектов.
С математическими моделями тесно связаны компьютерные модели, которые в зависимости от программы в которой производится моделирование, используют те или иные математические характеристики реальных объектов. В настоящее время в связи со значительным прогрессом в области компьютерной техники компьютерное моделирование приобрело большое значение в науке и технике. На сегодняшний день существует значительное количество специализированных пакетов, таких как MatLab, MathCad, Math, Mathematica, Maple и др., которые дают широкие возможности для компьютерного моделирования различных процессов и систем.
Цель данной курсовой работы – изучение принципов моделирования физических процессов в программной среде.
В соответствии с вариантом задания необходимо создать анимационный стенд для исследования процессов вращения тел тороидальной формы. Параметры тороида: внешний радиус , внутренний радиус . Тороид вращается вокруг оси, проходящей через центр масс.
Для реализации задач, поставленных в данной курсовой работе выбрана программа MathCAD.
1 Разработка МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
1.1 Общие сведения
Тор – поверхность, образованная вращением окружности вокруг своей оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.
Рисунок 1.1 – Внешний вид тороида
Тор можно описать с помощью параметрических уравнений, имеющих вид:
(1.1)
Уравнения (1.1) описывают движение тора и являются основными.
1.2 Определение объёма тора
Объём является важной характеристикой для вывода движения тора, поэтому начнем вывод нашего уравнения с определения объёма. На рисунке 1.2 изображен схематический рисунок тороида.
Рисунок 1.2 – Схема для определения объема тора
Пусть
Тогда пусть круг BCDN вращается вокруг прямой AE. Тогда объем, тора может быть рассмотрен как разность объемов вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABNDE вокруг оси ОХ.
Если оси координат выбрать, как показано на рисунке, то уравнение окружности NBCD будет иметь вид:
(1.2)
где – радиус круга, причем уравнение кривой BCD:
(1.3)
а уравнение кривой BND:
(1.4)
Значит объем, тора вычислим по формуле:
(1.5)
По рисунку можно определить, что и .
Тогда уравнение для вычисления объема тора примет вид:
(1.6)
Для заданных значений R и r вычислим значение объема тора:
(1.7)
Итак мы получили объём данного тороида.
1.3 Момент инерции тора
Исходя из того, что вычисление момента тора очень громоздко, его можно взять из табличных значений, зная при этом коэффициент вычисляемый по формуле:
(1.8)
Считая r и R заданными в постановке задачи, получим:
Для полученного коэффициента по таблице найдем значение k:
Момент инерции тора относительно оси Ох:
(1.9)
Массу тора можно рассчитать по формуле:
(1.10)
где – плотность вещества, из которого изготовлен тор.
Так как в условии задачи плотность не оговаривалась, примем значение плотности равным 800 кг/м3 (плотность древесины) и рассчитаем массу и момент инерции тора:
,
.
Описание физической модели тора потребует значения угловой скорости его вращения . Так как угловая скорость вращения тора постоянна и равна 1 оборот за 5 секунд, то можно найти её численное значение. Если за 5 секунд тор поворачивается на 2π радиан, то за 1 секунду тор повернётся на радиан, т.е. на 0,4π радиан, что и является численным значением угловой скорости вращения тора (ω=0,4π рад/с).
Момент импульса для вращающегося тела (в данном случае тора) определяется по формуле:
(1.10)
Подставив значения известных величин в формулу, получим:
Значение кинетической энергии для вращающегося тора представляется в виде:
(1.11)
Подставив в выражение (1.15) числовые данные, получим:
Формула расчета момента сил, действующих на тор, имеет вид:
(1.12)
где – угловое ускорение тора.
Так как тор вращается с постоянной угловой скоростью, то угловое ускорение равно нулю, а следовательно равен нулю и момент сил, действующих на тор (=0).
Рассчитаем нормальное (центростремительное) ускорение a:
(1.13)
Определим центробежную силу вращения тора:
(1.14)
1.5 Вывод уравнения движения тора
Пусть тор вращается по часовой стрелке.
Для вывода уравнения движения тора составим уравнение Лагранжа II рода. Общий вид этого уравнения имеет вид:
(1.15)
где – кинетическая энергия движения тора;
– обобщенная координата;
– обобщенные силы, действующие на тело (тор).
Тор в представленном случае имеет одну степень свободы, поэтому мы будем выбирать лишь одну обобщенную координату (qi=φ) и получим, соответственно, уравнение Лагранжа, которое мы будем разрешать относительно обобщенной координаты.
Как уже отмечалось ранее, кинетическая энергия тора определяется по формуле:
(1.16)
где – угол поворота тора;
– производная угла поворота по времени (угловая скорость ).
В данном примере в качестве обобщенной координаты нам удобнее всего выбрать именно угол поворота , что значительно облегчит вычисления.
Вычислим частные производные кинетической энергии по обобщенной координате и её производной по времени :
(1.17)
Вычислим производную по времени от полученного значения :
(1.18)
Обобщенную силу, действующую на тор, найдем из выражения:
(1.19)
Для нашего случая выражение для обобщенной силы примет вид:
(1.20)
Работа вращения тора определяется из выражения:
(1.21)
где – момент сил, действующих на тело.
В предыдущем параграфе говорилось, что момент сил равен нулю, а следовательно, работа и обобщенная сила также равны нулю ().
Исходя из всего вышесказанного, составим уравнение Лагранжа II-го рода для вращения тора:
. (1.22)
Проинтегрируем дифференциальное уравнение вида (1.25) дважды, получим:
(1.23)
Зададим начальне условия:
(1.24)
Подставив начальные условия (1.27) в полученное решение (1.26) для дифференциального уравнения (1.25) найдем константы интегрирования:
(1.25)
Отсюда, решение (1.26) дифференциального уравнения можно записать в виде:
(1.26)
2 КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМОГО ПРОГРАММНОГО ПАКЕТА
2.1 MATLAB
2.1.1 Общее описание
Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные наматрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.
Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов — функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы — функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.
2.1.2 Применение
MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:
MATLAB предоставляет удобные средства для разработки алгоритмов, включая высокоуровневые с использованием концепций объектно-ориентированного программирования. В нём имеются все необходимые средства интегрированной среды разработки, включая отладчик и профайлер. Функции для работы с целыми типами данных облегчают создание алгоритмов для микроконтроллеров и других приложений, где это необходимо.
В составе пакета MATLAB имеется большое количество функций для построения графиков, в том числе трёхмерных, визуального анализа данных и создания анимированных роликов.
Встроенная среда разработки позволяет создавать графические интерфейсы пользователя с различными элементами управления, такими как кнопки, поля ввода и другими. С помощью компонента MATLAB Compiler эти графические интерфейсы могут быть преобразованы в самостоятельные приложения, для запуска которых на других компьютерах необходима установленная библиотека MATLAB Component Runtime.
2.2 Система MathCAD
2.2.1 Основные возможности
Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Среди возможностей Mathcad можно выделить решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами:
С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.
2.2.2 Назначение MathCad
Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.
Система Maple, например, предназначена главным образом для выполнения аналитических (символьных) вычислений и имеет для этого один из самых мощных в своем классе арсенал специализированных процедур и функций (более 3000). Такая комплектация для большинства пользователей, которые сталкиваются с необходимостью выполнения математических расчетов среднего уровня сложности, является избыточным. Возможности Maple ориентированы на пользователей — профессиональных математиков; решения задач в среде Maple требует не только умения оперировать какой-либо функции, но и знания методов решения, в нее заложенных: во многих встроенных функциях Maple фигурирует аргумент, задающий метод решения.
Тоже самое можно сказать и о Mathematica. Это одна из самых мощных систем, имеет чрезвычайно большую функциональную наполненность (есть даже синтезирование звука). Mathematica обладает высокой скоростью вычислений, но требует изучения довольно необычного языка программирования.
Разработчики Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого назначены дополнительные библиотеки и пакеты расширения, которые можно приобрести отдельно и которые имеют дополнительные функции, встраиваемые в систему при установке, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах. Кроме того, в случае необходимости и при условии наличия навыков программирования в C, есть возможность создания собственных функций и их прикрепления к ядру системы через механизм DLL.
Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи. Впрочем, для тех, кому нужны символьные вычисления и предназначено интегрированное ядро Maple. Особенно это полезно, когда речь идет о создании документов образовательного назначения, когда необходимо продемонстрировать построение математической модели, исходя из физической картины процесса или явления. Символьное ядро Mathcad, в отличие от оригинального Maple (MuPAD) искусственно ограничено (доступно около 300 функций), но этого в большинстве случаев вполне достаточно для решения задач инженерного характера.
Более того, опытные пользователи Mathcad обнаружили, что в версиях до 13 включительно есть возможность не слишком сложным способом задействовать почти весь функциональный арсенал ядра Maple (так называемые «недокументированные возможности»), что приближает вычислительную мощность Mathcad к Maple.
2.2.3 Интерфейс
Основное отличие Mathcad от аналогичных программ – это графический, а не текстовый режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае –формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.
В других программах (Maple, MuPAD, Mathematica) вычисления осуществляются в режиме программного интерпретатора, который трансформирует в формулы введенные в виде текста команды. Maple своим интерфейсом ориентирован на тех пользователей, кто уже имеет навыки программирования в среде традиционных языков с введением сложных формул в текстовом режиме. Для пользования Mathcad можно вообще не быть знакомым с программированием в том или ином виде.
Mathcad задумывался как средство программирования без программирования, но, если возникает такая потребность – Mathcad имеет довольно простые для усвоения инструменты программирования, позволяющие, впрочем, строить весьма сложные алгоритмы к чему прибегают когда встроенных средств решения задачи не хватает, а также когда необходимо выполнять серийные расчеты.
Отдельно следует отметить возможность использования в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или построить собственную. Результаты вычислений, разумеется, также получают соответствующую размерность. Польза от такой возможности трудно переоценить, поскольку значительно упрощается отслеживание ошибок в расчетах, особенно в физических и инженерных.
2.2.4 Графика
В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет еще такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей в непрямоугольные области существования двух аргументов, создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики.
2.2.5 Создание анимации
Во многих случаях самый зрелищный способ представления результатов математических расчетов – это анимация. MathCAD позволяет создавать анимационные ролики и сохранять их в видеофайлах Основной принцип анимации в MathCAD - покадровая анимация. Ролик анимации –это просто последовательность кадров, представляющих собой некоторый участок документа, который выделяется пользователем. Расчеты производятся обособленно для каждого кадра, причем формулы и графики, которые в нем содержатся, должны быть функцией от номера кадра. Номер кадра задается системной переменной FRAME, которая может принимать лишь натуральные значения.
Рассмотрим последовательность действий для создания ролика анимации, например, демонстрирующего перемещение гармонической бегущей волны. При этом каждый момент времени будет задаваться переменной FRAME. Введите в документ необходимые выражения и графики, в которых участвует переменная номера кадра FRAME. Подготовьте часть документа, которую вы желаете сделать анимацией, таким образом, чтобы она находилась в поле вашего зрения на экране. В нашем примере подготовка сводится к определению функции f (x,t) :=sin(x-t) и создании ее декартова графика у (х, FRAME). Выполните команду View / Animate (Вид / Анимация). В диалоговом окне Animate (Анимация) задайте номер первого кадра в поле From (От), номер последнего кадра в поле То (До) и скорость анимации в поле At (Скорость) в кадрах в секунду. Начало создания анимации! Выделите протаскиванием указателя мыши при нажатой левой кнопке мыши область в документе, которая станет роликом анимации. В диалоговом окне Animate (Анимация) нажмите кнопку Animate (Анимация). После этого в окошке диалогового окна Animate (Анимация) будут появляться результаты расчетов выделенной области, сопровождающиеся выводом текущего значения переменной FRAME. По окончании этого процесса на экране появится окно проигрывателя анимации. Запустите просмотр анимации в проигрывателе нажатием кнопки воспроизведения. Если вид анимации вас устраивает, сохраните ее в виде видеофайла, нажав кнопку Save As (Сохранить как) в диалоговом окне Animate(Анимация). В появившемся диалоговом окне Save Animation (Сохранить анимацию) обычным для Windows способом укажите имя файла и его расположение на диске. Закройте диалог Animate (Анимация) нажатием кнопки Cancel (Отмена)или кнопки управления его окном. Сохраненный видеофайл можно использовать за пределами MathCAD. Скорее всего, если в проводнике Windows дважды щелкнуть на имени этого файла, он будет загружен в проигрыватель видеофайлов Windows, ивы увидите его на экране компьютера. Таким образом, запуская видеофайлы обычным образом, можно устроить красочную презентацию результатов работы как на своем, так и на другом компьютере.
Для выполнения курсовой работы я выбрал программу MathCAD. Он является более простым и понятным чем MATLAВ. В его среде прохе реализуется поставленная задача и требуется меньше знаний программы по сравнению с MATLAВ.
3 ОПИСАНИЕ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
При разработке программного комплекса использовались исходные данные:
R –внешний радиус тора;
r – внутренний радиус тора;
A – принимает значение внутреннего радиуса, присутствует в формуле для построения тора;
B – присутствует в формулу построения тора, зависит от внешнего и внутреннего радиусов зависимостью:
(3.1)
Для получения окончательных результатов нам понадобились промежуточные величины:
V – объем тора;
– плотность вещества тора;
m – масса тора;
K – коэффициент, необходимый для вычисления момента инерции тора, который зависит от отношения ;
I – момент инерции тора;
N – количество оборотов, совершаемых тором за секунд;
T – время, за которое тор совершает оборотов;
– угловая скорость вращения тора;
– частота вращения тора;
L момент импульса тора;
– параметры при построении тора;
функция, иллюстрирующая движение тора во времени.
Программный комплекс был разработан в системе MathCAD. Эта система позволяет производить вычисления всех необходимых основных значений.
В начале документа MathCAD производятся вычисления основных характеристик тора при движении (вращении). Все вычисления производятся в такой последовательности:
Вращение тора производится следующим образом:
ВЫВОДЫ
В результате выполнения курсовой работы был создан анимационный стенда для изучения физических процессов при вращении тел тороидальной формы. В работе изложен весь ход расчётов и рассуждений, которые приводят к выводу дифференциального уравнения движения системы и созданию анимации, иллюстрирующей это вращение.
Вначале была разработана математическая модель для решения поставленной задачи. Формула момента импульса является основной формулой динамики вращательного движения и определяет, в данном случае, характер вращательного движения тел тороидальной формы.
Затем, разработана программа, которая позволяет в реальном масштабе времени наблюдать на экране вращение тороида вокруг оси, проходящей через центр масс, с возможностью изменения начальних условий. В начальных условиях задаются внешний и внутренний радиусы тороида – R и r. Внутренний и внешний радиусы тора можно изменять произвольно, при этом изменятся геометрические параметры тора, но не изменится характер его вращения, т.к. его движение равномерное, т.е. угловое ускорение равно нулю, а угловая скорость постоянна.
В ходе выполнения этого проекта был разработан иллюстрирующий стенд движения тороида, изображенный в приложении А.
При выполнении данной курсовой работы были использованы теоретические и практические знания и навыки полученные в курсах физики, математике и вычислительной техники.
Знания и навыки, полученные в процессе выполнения курсовой работы, будут использованы при изучении других, более сложных дисциплин, а также в будущей инженерной и научной деятельности.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
Приложение А
Анимационный стенд и расчет параметров в MathCAD
Рисунок А1. Анимационный стенд движения тора
b
k
A
E
N
В
С
D
x
y
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4