Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 27
2. Цифровые системы управления.
В настоящее время практически все разрабатываемые САУ используют в качестве счетно-решающего прибора управляющие цифровые вычислительные машины (УЦВМ) или микропроцессоры. Их широкое применение связано с рядом больших преимуществ перед аналоговыми вычислительными машинами. Это обусловлено следующим:
К недостаткам относится дискретизация процесса управления, которая приводит к некоторому ухудшению показателей качества САУ.
2.1 Функциональная схема САУ и её циклограмма работы.
Функциональную схема САУ представлена на рис. 2.1.1.
Рисунок 2.1.1. Функциональная схема САУ с УЦВМ
ПНК2 — преобразователь напряжения в код машины;
ПК1К2 — преобразователь кода датчиков в код машины;
УЦВМ — управляющая цифровая вычислительная машина;
ПК2Н — преобразователь кода машины в напряжение исполнительных органов;
ПК2К3 — преобразователь кода машины в код исполнительных органов.
ЦВМ является устройством дискретного действия. Все результаты в ней представляются в виде цифровых кодов. Процесс реализации алгоритмов в ЦВМ состоит из последовательно выполняемых алгоритмов и логических операций по заданной программе. Каждая такая операция выполняется за конечное, хотя и маленькое, время, но поскольку операции выполняются последовательно, то время расчёта по заданному алгоритму находится суммированием отрезков времени на проведение каждой операции.
Преобразование сигналов ПНК и ПКН также требует определённого времени. Таким образом, возвращение к выполнению одной и той же операции в алгоритме управления происходит через вполне заметный промежуток времени. Простейшая циклограмма работы представлена на рис. 2.1.2.
Рисунок 2.1.2 Циклограма работы САУ с ЦВМ
А1,А2,…,Аr — номера алгоритмов;
1,2,…,r — отрезки времени просчёта по соответствующему алгоритму;
То — такт счёта, это тот промежуток времени, через который повторяется одна и та же операция.
2.2 Преобразователи ПКН и ПНК.
В САУ с ЦВМ, как правило, входят ПНК и ПКН. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный состоит из трёх этапов:
Квантование по времени связано с последовательностью (очередностью) выполнения математических операций.
Квантование по уровню необходимо для представления информации в цифровом виде. Квантование производится следующим образом: весь диапазон изменения непрерывной величины x(t) разбивается на N равных частей.
где — шаг квантования по уровню (цена младшего разряда). В результате сигнал приобретает ступенчатый вид, показанный на рис. 2.2.1.
Рисунок 2.2.1.
Рассмотрим функциональную схему преобразователя напряжения в код.
Кодирование представляет собой преобразование входного сигнала в двоичный параллельный код УЦВМ. Это преобразование осуществляется с помощью триггеров, механическая модель которых показана на рис. 2.2.2а. Триггер представляет собой устройство с двумя устойчивыми положениями равновесия. Одному положению присваивается значение 0, другому – значение 1. Каждому разряду соответствует свой триггер. При перебрасывании триггера из положения «1» в «0» в старший разряд посылается сигнал на переключение соответствующего ему триггера и т.д. На рис. 2.2.2б представлена функциональная схема ПНК.
а)
б)
Рисунок 2.2.2. Функциональная схема преобразователя ПНК.
На рис. 2.2.2 ux — непрерывный сигнал, который надо преобразовать в двоичный параллельный код,
& — элемент «И», который срабатывает только тогда, когда на все его входы подаются отличные от 0 сигналы,
ГПИ - генератор последовательности импульсов,
В ПНК составной частью входит ПКН,
– сигнал обратной связи.
uэ- эталонное напряжение,
- количество разрядов,
u1,u2,…,u — сигналы соответствующих разрядов,
20,21,…,2-1 — весовые коэффициенты разрядов.
Для многих цифровых систем шаг квантования сигнала по уровню, является настолько малым, что эффект квантования по уровню вызывает несущественное влияние и им часто пренебрегают, однако в высокоточных системах их приходится учитывать.
2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях.
Дискретная САУ получает входную информацию и выдаёт выходную информацию в дискретные моменты времени. Поэтому при исследовании дискретных систем рассматривается их поведение только в дискретные моменты времени nT0, где Т0 такт счёта, n=0,1,2,… — номер такта счёта. Для этого вводится понятие решётчатых функций.
Решётчатой называют функцию, которая существует лишь в дискретные равноотстоящие друг от друга значения времени и в промежутках между этими значениями равна нулю. На рис. 2.3.1 сплошными вертикальными линиями показана решетчатая функция f[nT0].
Рисунок 2.3.1.
Непрерывной функции (пунктирная кривая) соответствует одна и только одна решётчатая функция, а одной решётчатой функции соответствует бесконечное количество непрерывных функций.
Часто в цифровых САУ используется безразмерное время. Пусть безразмерное непрерывное время определено выражением
, (2.3.1)
тогда безразмерное дискретное время будет
, n=0,1,2,… (2.3.2)
Непрерывные системы обычно описываются дифференциальными уравнениями. Дискретные системы описываются разностными уравнениями. Рассмотрим разностные уравнения и их соотношения с дифференциальными уравнениями. Для операции дифференцирования можно записать
,
т.е. операции дифференцирования с точностью до коэффициента 1/Т0 соответствует операция вычитания (разность).
В безразмерном времени разности обозначают так:
– первая прямая разность,
– первая обратная разность, (2.3.3)
где - оператор «дельта», - оператор «набла».
Аналогом второй производной по времени являются вторая прямая и обратная разности.
. (2.3.4)
Аналогично можно получить разности более высоких порядков.
Дискретным аналогом интеграла является полная сумма
. (2.3.5)
Выше была установлена связь между производной и конечными разностями и интегралом и суммой. Дифференциалы и интегралы используются для описания систем в непрерывном времени в виде дифференциальных и интегральных уравнений. Поведение дискретной системы в дискретные моменты времени описывается разностными уравнениями. Разностными уравнениями можно описать и непрерывную систему, но её поведение будет характеризоваться только в дискретные моменты времени. Рассмотрим связь между дифференциальными и разностными уравнениями на примере
.
С помощью полученных выше соотношений составляем разностное уравнение, используя обратные разности
или
,
или
,
где
, .
Если f[n]=0, то разностное уравнение называется однородным, если f[n]0, то разностное уравнение называется неоднородным.
В общем случае разностное уравнение можно представить в виде
(2.3.6)
(6) — разностное уравнение к-го порядка. Для решения необходимо знать начальные условия, т.е. значения y(n) в предыдущие моменты времени y(0), y(1), y(k-1).
В дифференциальных уравнениях для сведения к алгебраическому уравнению используют оператор дифференцирования . Для решения разностного уравнения путём сведения его к алгебраическому уравнению используют оператор сдвига z, так что
и т.д… (2.3.7)
С помощью оператора сдвига уравнение (6) перепишется в виде
, (2.3.8)
откуда формально можно записать
, (2.3.9)
где ─ передаточная функция дискретной системы. Если в W(z) знаменатель приравнять к нулю, то получится характеристическое уравнение, соответствующее разностному уравнению (6).
(2.3.10)
2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа).
Выше разностные уравнения были получены из дифференциальных уравнений приближённым методом с помощью конечных разностей. Для получения точных разностных уравнений используется z-преобразование или дискретное преобразование Лапласа. Если для непрерывных систем используется обычное преобразование Лапласа
, (2.4.1)
то дискретное преобразование Лапласа в безразмерном времени имеет вид
(2.4.2)
В размерном времени
(2.4.3)
Функция f[nT0] называется оригиналом, а F[z] её z–отображением, Z – символ преобразования.
С помощью z-преобразования разностные уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям, которые решаются гораздо легче, чем разностные, а затем к полученным решениям применяют обратное z-преобразование, которое обозначается так:
, (2.4.4)
в результате чего получаем разностные уравнения.
Найдём преобразования простейших функций времени.
1) единичная ступенчатая функция
.
Последнее выражение представляет собой геометрическую прогрессию.
2) линейная функция времени
.
Аналогичным образом можно найти z-отображения и других функций времени.
Для решения разностных уравнений надо находить z-отображения не только для функций времени, состоящих в правой части уравнения, а и для искомых функций, которые обычно записываются в левых частях разностных уравнений.
Для их преобразования используют ряд свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Некоторые основные свойства z–преобразования.
1) свойство линейности:
(2.4.5)
2) теорема сдвига.
Если временное запоздание равно целому числу m тактов счёта Т0,
(2.4.6)
— формула сдвига вправо.
(2.4.7)
— формула сдвига влево.
3) изображение прямых и обратных разностей.
(2.4.8), (2.4.9)
4) теорема о начальном и конечном значении оригинала.
(2.4.10), (2.4.11)
5) теорема свёртки.
, (2.4.12)
где (2.4.13)
6) обратное z-преобразование.
Обратное z-преобразование позволяет найти оригинал y[nT0] по его z-отображению Y(z). Это преобразование обозначается так:
. (2.4.14)
Существует несколько методов обратного z-преобразования:
а) метод неопределённых коэффициентов.
Пусть F(z) найдено в виде
(2.4.15)
Пусть знаменатель имеет l простых корней: z1,z2,…,zl, тогда его можно представить в виде
т.е. выражение (5) можно представить в виде:
, (2.4.16)
где N1,N2,…,Nl — неопределённые коэффициенты. Приравняв (15) и (16), предварительно (16) приведя к общему знаменателю, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях z в числителях, получим систему алгебраических уравнений, из которых можно определить N1,N2,…,Nl. В результате сложная функция (15) заменена на сумму элементарных функций (16).
б). с использованием ряда Лорана.
Решение алгебраического уравнения, полученного с помощью z-преобразования, можно представить в виде
(2.4.17)
Будем отыскивать разложение этого выражения в виде ряда Лорана:
(2.4.18,19)
где С0,С1,…, — неизвестные коэффициенты;
Для нахождения С0,С1,…, приравняем выражения (17) и (18), приведём полученное равенство к общему знаменателю и в числителях правых и левых частей приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z. В результате получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов Сi. Сравнивая выражение (2) с выражением z-преобразования
(2.4.20)
получим ci=y[i] или c0=y[0], c1=y[Т0], c2=y[2Т0], … .сi, являются значениями искомой функции в различные моменты времени.
2.5 Решение линейных разностных уравнений
Пусть дано линейное разностное уравнение порядка m
.. 2.5.1)
Пусть начальные условия для простоты равны 0. Применим к левой и правой частям уравнения (1) теорему сдвига вправо, получим
(2.5.2)
из (2) получим
(2.5.3)
(2.5.4)
где W(z) — дискретная передаточная функция. Она равна отношению z-преобразованных выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях.
Для нахождения решения y[n] надо к выражению (3) применить обратное z-преобразование, т.е.
y[n]=Z-1(Y(z)) (2.5.5)
2.6 Передаточные функции дискретных систем управления.
Структурную схему системы управления с ЦВМ укрупнено можно представить в виде
–
Рисунок 2.6.1. Гибридная схема управления САУ с ЦВМ
На рис.1 D(z) — дискретная передаточная функция счётно-решающего прибора;
W(p) — непрерывная передаточная функция непрерывного объекта.
Система является непрерывно-дискретной (гибридной). Хорошо разработаны методы исследования или непрерывных или дискретных систем, поэтому для исследования этой системы её надо привести к одному из перечисленных видов. Если такт счёта достаточно мал, то в дискретной части разности можно приближенно заменить производными, а суммы на интегралы (приближённо). В результате получится непрерывная система. Это неточный метод.
Другим подходом является замена непрерывной передаточной функции W(p) на соответствующую дискретную передаточную функцию. Это можно осуществить аналогично получению непрерывной передаточной функции по весовой функции с помощью преобразования Лапласа
. (2.6.1)
В дискретных системах дискретная передаточная функция W(z) получается аналогично (1) как z-преобразование функции веса
(2.6.2)
Таким образом, для одного и того же звена существуют 2 передаточные функции: непрерывная W(p) и дискретная W(z). Это соответствие обозначается так:
W(z)=Z{W(p)}, W(р)=Z-1{W(z)}. (2.6.3)
Здесь знак Z служит только для обозначения соответствия передаточных функций и не является знаком z-преобразования.
На основании сказанного при рассмотрении поведения системы рисунка 1 только в дискретные моменты времени можно рассматривать систему, представленную на рис. 2, которая является дискретной и для ее исследования можно применить методы, разработанные для дискретных систем.
–
Рисунок 2.6.2. Дискретная структурная схема САУ с ЦВМ
Исследование системы на рисунке 2 даёт точные результаты. Недостатком данного перехода является то, что становится известно поведение системы только в дискретные моменты времени и нет никакой информации о поведении между этими моментами.
Рассмотрим связь дискретных и непрерывных передаточных функций при параллельном и последовательном соединении.
Пусть дано параллельное соединение непрерывных звеньев с ключом Т0, изображенное на рис. 3.
Рисунок 2.6.3. Параллельное соединение звеньев
Дискретная передаточная функция для всей цепи
Пусть дано последовательное соединение звеньев, изображенное на рис. 4.
Рисунок 2.6.4. Последовательное соединение звеньев
Для рис. 4 следует считать, что
Однако, в том случае, когда имеется ключ между звеньями (рис. 5)
Рисунок 2.6.5. Последовательное соединение звеньев с распределительным ключем.
Справедливо соотношение
2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или группы звеньев по непрерывной передаточной функции W(p). W(p) разлагают на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов. (см. (2.4.15), (2.4.16))
.
Для каждого слагаемого находится функция веса или аналитически по соответствующему дифференциальному уравнению, или по таблице (справочники). По этим весовым функциям с помощью формулы z-преобразования
находится дискретная передаточная функция. В результате искомая передаточная функция находится в виде
.
Существует и более простой метод с помощью таблиц, где для непрерывных передаточных функций типовых звеньев приведены соответствующие дискретные передаточные функции. В пакете Matlab имеются программы пересчета непрерывной передаточной функции в дискретную и обратно.
2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка.
Интерполяция – построение функций в промежутке между известными её значениями.
Экстраполяция – прогноз функции по её предыдущим значениям.
Различают экстраполяторы различных порядков (см. рис. 1)
В экстраполяторе нулевого порядка сохраняется значение импульса до прохождения следующего импульса. В экстраполяторе первого порядка (линейная экстраполяция) вершины предыдущего и последующего импульсов соединяются прямой, которая продолжается до следующего импульса.
В экстраполяторе второго порядка по трем последним импульсам строится парабола, которая продолжается до следующего импульса и т.д.
Рисунок 2.8.1. Схема экстраполяций различных порядков
По причине простоты в системах управления большее распространение получили экстраполяторы нулевого порядка.
─
Рисунок 2.8.2. Функциональная схема системы управления с ЦВМ
На рис. 2 ПНК – преобразователь „напряжение - код”
СРП – счетно – решающий прибор (ЦВМ)
ПКН – преобразователь „код - напряжение”
ОУ – объект управления.
На рис. 3 показаны входной и выходной сигналы ПКН.
Рисунок 2.8.3. Выходной сигнал ПКН
На рис. 4 представлена структурная схема ПКН где Wф(p) – передаточная функция формирователя.
Рисунок 2.8.4. Структурная схема ПНК
Если формирователь представляет собой экстраполятор нулевого порядка, то
.
Тогда импульс с постоянным сигналом на интервале времени Т0 (см. рис. 5а) можно сформировать как сумму сигналов, изображенных на рис. б) и в).
а)
б)
в)
Рисунок 2.8.5. Последовательное формирование импульса длительностью T0
Графики можно рассматривать как весовые функции, т.е. весовая функция импульса длительностью Т0 может быть определена выражением
(2.8.1)
Нас будет интересовать передаточная функция формирователя. Известно что
(2.8.2)
Подстановка (1) в (2) даёт
. (2.8.3)
В результате структурную схему, соответствующую функциональной схеме на рис. 1, можно представить в виде рисунка 6.
–
Рисунок 2.8.6. Структурная схема САУ с экстраполятором нулевого порядка.
Для удобства все непрерывные передаточные функции объединяют в одну передаточную функцию W(p), где
(2.8.4)
Найдём дискретную передаточную функцию для W(p) при этом будем иметь в виду, что передаточная функция — соответствует сдвигу вправо на величину Т0 т.е.
Окончательно будем иметь
(2.8.5)
В качестве примера найдем дискретную передаточную функцию двигателя постоянного тока, управляемого по положению с экстрополятором нулевого порядка, по его непрерывной передаточной функции .
Решение
Для каждого слагаемого в правой части по таблицам можно найти соответствующие дискретные передаточные функции. В результате получим
где, как и ранее, – такт счета.
В результате с гибридной (аналого-дискретной) структурной схемой рисунка 6 можно сопоставить дискретную структурную схему, представленную на рис. 7.
–
Рисунок 2.8.7. Укрупненная дискретная структурная схема САУ с екстраполятором нулевого порядка.
На рис.7 -преобразованные сигналы определены выражениями
.
2.9 Передаточные функции замкнутых дискретных САУ.
Передаточная функция разомкнутой цепи
(2.9.1)
Условием замыкания системы будет уравнение
(2.9.2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), найдём
(2.9.3)
(2.9.4)
Из (3) и (4) можно записать
(2.9.5)
, (2.9.6)
где – передаточная функция замкнутой САУ (главный оператор),
– передаточная функция замкнутой САУ по ошибке.
2.10 Передаточные функции СРП (регулятора). Формула Тастина.
Передаточная функция определяется выражением
.
Передаточная функция D(z) описывает алгоритм переработки входной последовательности чисел x[nT0] в выходную u[nT0] в соответствии с принятой программой вычислений. В общем виде закон управления имеет вид
.
В качестве примера рассмотрим типовые регуляторы: ПИ-, ПД-, ПИД- регуляторы, которые в непрерывном времени в общем виде выглядят так:
. (2.10.1)
Операции дифференцирования в непрерывном времени соответствует разность
Тогда передаточная функция дискретного дифференциатора
(2.10.2)
Операции интегрирования
сопоставляется суммирование. По формуле трапеций получим соответствующее разностное уравнение
. (2.10.3)
Для предыдущего значения
(2.10.4)
Вычитая из (3) (4), получим
(2.10.5)
В отличие от (3) выражение (5) является рекурентным. (Рекурентность – свойство последовательности, заключающееся в том, что любой ее член может быть вычислен по значениям предыдущего или нескольких предыдущих членов).
В операторном виде выражение (5) будет выглядеть так:
. (2.10.6)
Дискретная передаточная функция интегратора в соответствии с (6) выглядит следующим образом:
. (2.10.7)
Формула (7) называется формулой Тастина.
Дискретный позиционный сигнал с передаточной функцией определяются выражениями
(2.10.8)
Помимо дискретной передаточной функции дифференциатора (2), полученной с применением конечных разностей, из формулы Тастина (7) можно получить более точную формулу дифференциатора
(2.10.9)
ПИД—регулятор в непрерывном времени с его передаточной функцией описываются выражениями
.
ПИД—регулятор в дискретном времени имеет передаточную функцию, записанную с помощью выражений (8), (7), (9), в виде
. (2.10.10)
Дискретное уравнение ПИД—регулятора можно получить из второго равенства в (10), а именно
.
2.11 Частотные характеристики дискретных систем
С частотными характеристиками дискретных систем сталкиваются при рассмотрении установившейся реакции дискретной цепи на входной сигнал в виде гармонической решётчатой функции, а также при исследовании устойчивости дискретных систем. Гармоническая решётчатая функция имеет вид
(2.11.1)
На рис. 1 представлен график функции (1)
Рисунок 2.11.1. Гармоническая решеточная функция
На рис. 1 приняты следующие обозначения: Т – период гармонической функции; Т0 – такт счёта. Соответствующие частоты квантования и гармонической функции определяются выражениями
. (2.11.2)
В непрерывных системах для исследования их частотных свойств теоретически рассматривают диапазон частот от нуля до бесконечности, а на практике в рабочей полосе частот, которая всё равно является широкой. Определим, в каком диапазоне частот надо исследовать частотные характеристики дискретных систем. Для этого в функции (1) дадим приращение частоты величиной k0 , где k – целое число.
(2.11.3)
Сравнивая выражения (1) и (3), приходим к выводу, что при k=1,2,… функции х1, и х2 совпадают. Отсюда можно заключить, что для исследования частотных свойств дискретных систем достаточно рассмотреть диапазон частот от нуля до 0.
В непрерывных системах для получения частотных характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку p=j. В дискретных системах для получения частотных характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку
. (2.11.4)
В результате получим
, (2.11.5)
где A*(); *() – АЧХ и ФЧХ дискретной системы;
U*(); V*() – действительная и мнимая части АФЧХ.
На основании (3), (5) можно заключить, что все частотные характеристики достаточно рассмотреть в диапазоне частот от нуля до 0. Построение АФЧХ, АЧХ, и ФЧХ производится, в функции частоты . Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится, как правило, в функции псевдочастот и , т.к. при этом сохраняются асимптотические свойства ЛАЧХ. Для перехода к псевдочастотам применяется -преобразование по зависимостям
. (2.11.6)
(См. аппроксимацию Тастина (2.10.9)). Переходя к частотной функции заменой (4), получим
, (2.11.7)
где - относительная псевдочастота.
Для получения абсолютной псевдочастоты используют зависимость
.
При достаточно малом можно записать
,
т.е. при достаточно малом Т0 абсолютная псевдочастота совпадает с несущей частотой (с частотой гармонического сигнала), т.е. при достаточно матом Т0 частотные характеристики дискретных и непрерывных систем близки.
2.12 Теорема Котельникова.
Эта теорема даёт условия, при выполнении которых дискретную систему можно рассматривать как непрерывную. Структурную схему дискретной САУ можно укрупненно представить в виде рисунка 1.
Рисунок 2.121. Укрупненная структурная схема САУ с екстраполятором
На рис. 1 сигнал u(t) как выходной сигнал ПКН с экстраполятором нулевого порядка представляет собой ступенчатый сигнал (рис. 2а), который можно разложить на две составляющие: непрерывный сигнал (рис. 2б) и периодический сигнал с частотой квантования , составленный из отрезков прямых (рис. 2в). Звено W0(p) служит фильтром низких частот для сигнала u(t). Если звено W0(p) будет пропускать только непрерывный сигнал, то САУ можно рассматривать как непрерывную систему и использовать для ее разработки методы непрерывных систем. О фильтрующих свойствах звена можно судить по АЧХ (рис.3).
Теорема. Если АЧХ объекта управления можно ограничить частотой * и считать, что правее этой частоты АЧХ = 0, то систему можно рассматривать как непрерывную, при частоте квантования *.
Теорема иллюстрируется рисунками 2, 3.
а)
б)
в) ИСПРАВИТЬ!!!
Рисунок 2.12.2. Разложение ступенчатого сигнала на составляющие
Рисунок 2.12.3. АЧХ объекта управления
2.13 Устойчивость движения дискретных САУ
Как и для непрерывных САУ (см. подраздел 1.9), необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости дискетных систем является затухание собственных движений, т.е.
, (2.13.1)
где ус, ув – собственная и вынужденная составляющие движения.
Характер переходных процессов определяется корнями характеристического уравнения исследуемой системы. Пусть характеристическое уравнение имеет порядок m и z1, z2, …, zm простые корни характеристического уравнения. Теория разностных уравнений дает следующее решение разностного уравнения:
(2.13.2)
Корни характеристического уравнения можно представить в виде
(2.13.3)
Модуль .
Теорема. Для того чтобы дискретная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы модули всех корней ее характеристического уравнения были меньше единицы.
Для того чтобы дискретная САУ была неустойчива, достаточно, чтобы модуль хотя бы одного корня был больше единицы.
Для того чтобы дискретная САУ была на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы у части корней модули равнялись единице, причем среди них не должно быть кратных, а модули остальных корней должны быть меньше единицы.
Этой теореме можно дать геометрическую интерпретацию с помощью рис. 1 и дать другую формулировку.
Рисунок 2.13.1. Расположение корней на плоскости z
Теорема. Для того чтобы дискретная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения находились внутри окружности единичного радиуса.
Для того чтобы дискретная система была неустойчива, достаточно, чтобы хотя бы один корень характеристического уравнения находился вне окружности единичного радиуса.
Для того чтобы дискретная система была на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы часть корней характеристического уравнения находились на окружности единичного радиуса, причем среди них не должно быть совпадающих, остальные должны находиться внутри окружности.
Для исследования устойчивости дискретных систем очень удобно использовать - преобразование. Вводится новая переменная по зависимостям
. (2.13.4)
w - преобразование переводит внутренность окружности единичного радиуса (А) (см. рис.1) в левую полуплоскость комплексной переменной (см. рис.2). Саму окружность (С) переводит в ось Im, а внешнюю область по отношению к окружности (В) в правую полуплоскость.
Рисунок 2.13.2 Расположение корней на плоскости w
В результате этого для исследования устойчивости дискретной системы можно использовать все критерии устойчивости, разработанные для линейных непрерывных систем.
Пример: Исследовать на устойчивость систему с характеристическим уравнением
. (2.13.5)
Сделаем -преобразование, получим
приведем это уравнение к общему знаменателю.
,
или
Аw w2 + Bww + Cw = 0 (2.13.6)
где
Аw = 1-A+B; Bw = 2(1-B); Cw = 1+A+B (2.13.7)
Для асимптотической устойчивости уравнения с характеристическим уравнением (6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Аw>0, Bw>0, Cw>0. (2.13.8)
Область устойчивости в параметрах А, В системы с характеристическим уравнением построена на рис. 3.
Построим область устойчивости в плоскости параметров А, В, используя соотношения (7), (8).
Рисунок 2.13.3. Область устойчивости на плоскости параметров АВ
Дискретная система с характеристическим уравнением (6) будет иметь в качестве области устойчивости внутренность треугольника.
Для исследования дискретной системы частотными методами надо ее передаточные функции, записать через оператор сдвига z. Затем воспользоваться -преобразованием (4). В результате получим передаточную функцию дискретной системы, выраженную через оператор , а для данных передаточных функций можно использовать частотные критерии устойчивости, разработанные для непрерывных систем.
2.14 Порядок синтеза дискретных систем управления.
Первый способ. (Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование 1978, с. 669-670). Рассматривается система с неизвестной передаточной функцией D(z), представленная на рис. 1 с обозначениями, совпадающими с обозначениями рис. 2.8.2 и 2.8.6.
–
Рисунок 2.14.1. Структурная схема САУ с ЦВМ
Задача: найти закон управления в зависимости от .
Порядок синтеза.
1. Дискретная передаточная функция непрерывной части системы определяется по зависимости
.
2. Находится дискретная передаточная функция разомкнутой системы
.
3. С помощью -преобразования (2.13.4) находим
,
где — неизвестная передаточная функция.
4. С помощью методов, разработанных для непрерывных систем, синтезируется .
5. С помощью обратного -преобразования (2.13.4) находится дискретная передаточная функция
, , .
6. По функции D(z) находится закон управления
.
В результате найден дискретный закон управления.
Второй способ.
Сначала рассматривается непрерывная система управления с неизвестной передаточной функцией
–
Рисунок 2.14.2. Эквивалентная непрерывная структурная схема САУ с ЦВМ
С помощью известных методов, разработанных для непрерывных систем, синтезируется передаточная функция, затем к применяется формула Тастина (2.10.7)
,
откуда аналогично (2.10.9) получаем
. (2.14.1)
В найденную передаточную функцию (р) делаем подстановку (1). Получаем дискретную передаточную функцию корректирующего звена, а по этой передаточной функции находится дискретный закон управления.
T0
t
W0(p)
D(z)
Wф(p)
W(p)
u(t)
u[nT0]
x(t)
0
А
B
0
uα
u2
u1
С
В
А
С
В
А
u2
Преобразователь напряжение-код
1
k
1
l EMBED Equation.3
ПНК2
ПК1К2
УЦВМ
ПК2Н
ПК2К3
1
m
1
n
аналоговые
дискретные
дискретные
исполнительные органы
аналоговые
A1
A2
A1
Ar
Ar
A2
A1
T0
t
1
2
r
xg
x(t)))
0
1
ПКН
&
ГПИ
двоичный параллельный код
разряды
f[nT0]
t
1
2
3
4
5
Тo
6
x
D(z)
у(t)
g(t)
W(p)
u
u[nT0]
x[nT0]
D(z)
у[nT0]
g[nT0]
W(z)
W1(p)
W2(p)
x(t)
T0
y1(t)
y2(t)
y(t)
W1(p)
у[nT0]
W1(p)
у(t)
x(t)
W2(p)
T0
W2(p)
x(t)
T0
T0
Рисунок 1. Схема екстраполяцій різноманітного степеня
Рисунок 1. Схема екстраполяцій різноманітного степеня
y
x
I nоp
0 nоp
ПКН
ПНК
у(t)
g(t)
СРП
ОУ
u[nT0]
u(t)
u[nT0]
ОУ
ПКН
Wф(p)
u[nT0]
ПКН
u(t)
t
t
1
1
0
0
u
T0
T0
u1
T0
t
-1
0
D(z)
у(t)
g(t)
Wф(p)
W0(p)
T0
ПНК
СРП
ПКН
ОУ
x(t)
u[nT0]
u(t)
W(p)
x
x[nT0]
U(z)
X(z)
T0
X1
СРП
ПНК
T0
nT0
T
D(z)
Y(z)
G(z)
W(z)
T0
T0
у(t)
g(t)
X2
t
t
t
A()
*
2*
Imz
Rez
1
1
-1
-1
1
uoc
A
B
Re w
Im w
1
-1
-1
W(p)
u(t)
u[nT0]
x(t)
u
x(t)
?
x[nT0]
T0
W0(p)
T0
D(z)
у(t)
g(t)
Wф(p)
?
W׳k(p)
y(t)
g(t)
W0(p)
─
ux
триггер а). а
T0
датчики