Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 42
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Вопросы и задачи к лекции 1
1-1. Назовите основоположников классической электродинамики и годы основных открытий.
2-2. Как графически найти сумму двух векторов?
3-3. Как графически найти разность двух векторов?
4-4. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.
5-5. Запишите выражение скалярного произведения через проекции векторов в декартовой системе координат.
6-6. Дайте определение векторного произведения двух векторов.
7-7. Запишите выражение векторного произведения через проекции векторов в декартовой системе координат.
8-8. Проверьте справедливость формулы «бац минус цаб»
.
9-9. Дайте определение скалярного и векторного полей.
10-10. Дайте определение градиента скалярного поля (одного из двух или оба).
11-11. Выведите выражение для градиента в декартовой системе координат.
Вопросы и задачи к лекции 2
12-1. Что называется потоком векторного поля сквозь поверхность в выбранном направлении?
13-2. Как изменится величина потока, если изменить ориентацию поверхности?
14-3. Дайте определение дивергенции векторного поля.
15-4. Вывести выражение для дивергенции в декартовой системе координат.
16-5. Сформулируйте теорему Гаусса-Остроградского.
17-6. Что называется линейным интегралом векторного поля вдоль линии в выбранном направлении?
18-7. Дайте определение ротора векторного поля.
19-8. Вывести выражение для ротора в декартовой системе координат.
20-9. Сформулируйте теорему Стокса.
21-10. Запишите уравнения Лапласа и Пуассона в общем виде и в декартовой системе координат.
22-11. Докажите, что площадь треугольника , где - вектор основания треугольника, а вектор, опущенный с вершины треугольника, противоположной основанию , на основание .
23-12. Докажите справедливость формул: и .
24-13. Проверьте справедливость формулы:
.
25-14. Проверьте справедливость формулы:
.
26-15. Проверить справедливость формулы: в декартовой системе координат.
27-16. Докажите справедливость первого тождества Грина
.
Вопросы и задачи к лекции 3
28-1. Запишите закон Кулона в системе СИ для модуля силы взаимодействия двух точечных зарядов и в векторной форме.
29-2. Точечный заряд (рис. 2.15). Запишите выражение для напряженности электрического поля в точке M: и зарисуйте вектор в этой точке.
Рис. 2.15. К определению поля точечного заряда
30-3. Выведите теорему Гаусса в интегральной форме из закона Кулона.
31-4. Выведите закон Кулона из теоремы Гаусса в интегральной форме.
32-5. Заряженное тело, несущее заряд , находится в электрическом поле заряженного кольца радиуса с зарядом и в поле сил тяготения Земли. Найти интервал изменения массы тела, чтобы оно находилось в устойчивом равновесии. Движение тела возможно только по вертикальной прямой (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Точечный заряд в поле заряженного кольца
33-6. Дайте определение напряженности электрического поля.
34-7. Сформулируйте теорему Гаусса в интегральной форме для совокупности точечных зарядов и для непрерывного распределения зарядов.
35-8. Заряд с плотностью находится между двумя концентрическими сферами радиусов и (рис. 2.17). Найти напряженность электрического поля в каждой из трех областей. Зарисовать график .
Рис. 2.17. К определению поля зарядов расположенных между двумя концентрическими сферами
36-9. Дайте определение индукции магнитного поля.
37-10. Точечный заряд Кл движется в однородных электростатическом и магнитном полях. В фиксированный момент времени его скорость (м/с). При этом в этот момент времени на него действует сила со стороны полей (Н). Если заряд неподвижен и находится в той же точке, в которой была измерена сила , то на него действует сила (Н). Найдите поля и , если известно, что поле перпендикулярно скорости в рассматриваемый момент времени.
38-11. Точечный заряд движется со скоростью, направление которой указано на рис. 2.18.
Рис. 2.18. Движущийся точечный заряд в магнитном поле
Найти силу , действующую на движущийся в электромагнитном поле заряд q.
39-12. Сформулируйте закон полного тока для постоянных во времени токов при непрерывном распределении плотности тока. Выведите из него закон полного тока для случая дискретного распределения плотности тока (токи протекают по проводникам).
40-13. Ток равномерно распределен по круговому сечению бесконечно длинного прямолинейного проводника (рис. 2.19). Циркуляция вектора по контуру l равна Тлּм. Найдите индукцию магнитного поля , , r = 1 м.
Рис. 2.19. Прямолинейный проводник кругового сечения с равномерной плотностью тока
41-14. На рис. 2.20 изображены проводник с током и движущийся точечный заряд. Найти силу, действующую на заряд q.
Рис. 2.20. Точечный движущийся заряд в магнитном поле прямолинейного проводника с током
42-15. Имеется прямолинейный проводник кругового сечения с равномерной плотностью тока (рис. 2.21). . Найти .
Рис. 2.21. К расчету силы действующей на элементы проводника кругового сечения с равномерной плотностью тока
43-16. Найдите выражение для и зарисуйте вектор в точке (рис. 2.22).
Рис. 2.22. Прямолинейный проводник с заданным током
44-17. Изобразите вектор в точке (направление) (рис. 2.23).
Рис. 2.23. Прямолинейный проводник с заданным направлением плотности тока
45-18. Укажите направление в точке М (рис. 2.24).
Рис. 2.24. Два прямолинейных проводника: первый с заданным направлением плотности тока, второй – с заданной стрелкой тока и знаком тока
46-19. Запишите формулу для силы, действующей на движущийся точечный заряд.
47-20. Укажите направление силы , действующей на заряд q со стороны магнитного поля, создаваемого током i (рис. 2.25 а).
48-21. Укажите направление силы , действующей на движущийся точечный заряд q (рис. 2.25 б).
49-22.Найти силу , действующую на движущийся точечный заряд q (рис. 2.25 в).
Рис. 2.25. Различные направления движения точечного заряда в магнитном поле прямолинейного проводника с током
50-23. Сформулируйте закон сохранения заряда в интегральной форме.
51-24. Сформулируйте принцип непрерывности постоянного электрического тока.
52-25. Исходя из закона полного тока в интегральной форме и формулы Лоренца, выведите формулу Ампера для силы взаимодействия на единицу длины двух параллельных проводников с токами и (рис. 2.26):
.
Рис. 2.26. Два прямолинейных параллельных проводника с токами
Вопросы и задачи к лекции 4
53-1.Напишите выражение плотности тока смещения через другие характеристики электромагнитного поля.
54-2. Запишите закон полного тока, который будет верен и для переменных во времени электромагнитных полей.
55-3. В момент времени рубильник замыкается (рис. 2.30). Ток в цепи . Найдите величину заряда левой пластины воздушного конденсатора при и при . Найдите напряжение на конденсаторе в эти моменты времени, если диаметр пластин конденсатора , расстояние между пластинами . Предположить, что заряд равномерно распределяется по пластинам.
Рис. 2.30. К определению заряда на пластинах конденсатора по току через него
56-4. Точка лежит между обкладками плоского воздушного конденсатора, точка – вне конденсатора (рис. 2.31). Расстояние до оси симметрии системы точек и одинаково и равно . Найдите и , если , радиус пластины конденсатора равен , причем , где расстояние между пластинами.
Рис. 2.31. К определению магнитного поля внутри и вне конденсатора, по которому протекает переменный во времени ток
57-5. Сформулируйте принцип непрерывности электрического тока в общем случае.
58-6. Сформулируйте закон электромагнитной индукции в форме Фарадея.
59-7. Сформулируйте закон электромагнитной индукции в форме Максвелла.
60-8. По ферромагнитному стержню проходит магнитный поток (рис. 2.32). Этот стержень окружен проводящим кольцом с разрывом. Найдите показания двух вольтметров, подключенных к точкам разрыва и . Внутреннее сопротивление вольтметров считать равным бесконечности. Вне стержня магнитное поле отсутствует.
Рис. 2.32. Проводящее кольцо с разрывом, охватывающее магнитопровод
61-9. Первичная катушка намотана на цилиндрический неферромагнитный каркас (рис. 2.33). Длина катушки существенно больше линейных размеров сечения . Ток катушки . Найдите напряжение на разрыве вторичной катушки, состоящей из одного витка. Число витков первичной катушки w1.
Рис. 2.33. К определению электрического поля индуцируемого переменным во времени магнитным полем
62-10. Чем порождается электрическое поле?
63-11. Чем порождается магнитное поле?
64-12. Как выявляется (измеряется) электрическое поле?
65-13. Как выявляется (измеряется) магнитное поле?
66-14. По проводящему круговому контуру протекает ток (рис. 2.34). Зарисуйте приближенно силовые линии магнитного и электрического полей.
Рис. 2.34. Круговой проводящий контур с переменным во времени током
67-15. Равномерно заряженный шарик с зарядом движется равномерно и прямолинейно вдоль оси (рис. 2.35). Найдите плотность тока смещения в точке М в момент времени , если в этот момент времени расстояние от шарика до точки М равно . Напряженность электрического поля движущегося заряда считать такой же, как и неподвижного ().
Рис. 2.35. К определению плотности тока смещения, создаваемого движущимся зарядом
68-16. Выведите первый закон Кирхгофа для узла электрической цепи из принципа непрерывности электрического тока.
Вопросы и задачи к лекции 5
69-1. Сформулируйте принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме.
70-2. Запишите систему уравнений Максвелла для поля зарядов и токов в вакууме в интегральной форме.
71-3. Выведите принцип непрерывности электрического тока в интегральной форме из закона полного тока в интегральной форме.
72-4. Исходя из закона полного тока в интегральной форме и теоремы Гаусса в интегральной форме, выведите закон сохранения заряда в интегральной форме.
73-5. Пользуясь математическими теоремами Стокса и Гаусса-Остроградского, выведите уравнения Максвелла в дифференциальной форме из уравнений Максвелла в интегральной форме.
74-6. Запишите систему уравнений Максвелла для поля зарядов и токов в вакууме в дифференциальной форме.
75-7. Пользуясь математическими теоремами Стокса и Гаусса-Остроградского, выведите уравнения Максвелла в интегральной форме из уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
76-8. Выведите принцип непрерывности электрического тока в дифференциальной форме из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
77-9. То же для закона сохранения заряда.
78-10. Исходя из принципа непрерывности магнитного потока, сформулировать первый закон Кирхгофа для узла магнитной цепи (рис. 2.38).
Рис. 2.38. К выводу первого закона Кирхгофа для узла магнитной цепи
Вопросы и задачи к лекции 6
79-1. Запишите выражения для произведения через энергию движущихся заряженных частиц.
80-2. Какой смысл имеет произведение внутри проводника с током (закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме)?
81-3. Запишите выражение для плотности энергии электрического поля и докажите его.
82-4. Запишите выражение для плотности энергии магнитного поля и докажите его.
83-5. Дайте определение вектора Пойнтинга. Какой смысл он имеет?
84-6. Сформулируйте закон сохранения энергии в электродинамике (теорему Умова-Пойнтинга) в интегральной форме.
85-7. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в дифференциальной форме.
86-8. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в интегральной форме для случая, когда внутри замкнутой поверхности находятся проводники с током (или их части).
87-9. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в дифференциальной форме внутри проводника с током.
88-10. По бесконечно длинному прямолинейному проводнику кругового сечения радиуса протекает постоянный ток (рис. 2.42). Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность цилиндра длиной и радиуса основания снаружи вовнутрь равен мощности тепловых потерь , где – сопротивление части проводника длиной . Сквозь какие части замкнутой поверхности поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?
Рис. 2.42. К расчету потока энергии в прямолинейном проводнике, по которому протекает постоянный ток
89-11. Происходит зарядка конденсатора с круглыми пластинами радиуса и бесконечно длинными прямолинейными проводниками (рис. 2.43). Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность снаружи вовнутрь в любой момент времени равен скорости увеличения электрической энергии между обкладками конденсатора , где напряженность электрического поля между пластинами конденсатора, – расстояние между обкладками конденсатора. Считать, что поле однородное вплоть до боковой поверхности цилиндра, ограниченного замкнутой поверхностью . Сквозь какие части замкнутой поверхности поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?
Рис. 2.43. К расчету потока энергии в плоском конденсаторе, по которому протекает переменный ток
90-12. По соленоиду, сечение которого изображено на рис. 2.44 протекает положительный ток , возрастающий во времени. Длина соленоида , радиус . Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность снаружи вовнутрь в любой момент времени равен скорости увеличения энергии магнитного поля в объеме цилиндра ограниченного этой поверхностью , т.е. равен , где напряженность магнитного поля внутри соленоида. Считать что поле внутри соленоида однородное вплоть до оснований цилиндра, ограниченного замкнутой поверхностью . Сквозь какие части замкнутой поверхности поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?
Рис. 2.44. К расчету потока энергии в соленоиде, по которому протекает переменный ток
91-13. Представьте вектор Пойнтинга в гармоническом электромагнитном поле в виде суммы постоянной составляющей и колеблющейся составляющей.
92-14. Что такое комплексный вектор Пойнтинга и каким свойством он обладает?
Вопросы и задачи к лекции 7
93-1. Дайте определение векторного потенциала электромагнитного поля
94-2. Магнитное поле изменяется по закону (рис. 2.45). Найдите какой-либо векторный потенциал этого поля
Рис. 2.45. Пример определения векторного потенциала по заданной индукции магнитного поля
95-3. Дайте определение скалярного потенциала электромагнитного поля.
96-4. Что называют калибровочными градиент-преобразованиями электродинамических потенциалов? Какие величины электромагнитного поля они не изменяют?
97-5. Сформулируйте условие калибровки Лоренца.
98-6. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов, которые получаются при использовании калибровки Лоренца.
99-7. Что такое укороченные калибровочные градиент-преобразования?
100-8. Сформулируйте условия калибровки Кулона.
101-9. Однородный проводящий шар находится в однородном переменном во времени магнитном поле. Какую калибровку целесообразно применить при решении этой задачи с помощью электродинамических потенциалов?
Вопросы и задачи к лекции 8
102-1. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов внутри и вне объема , если движущиеся заряды имеются в объеме и отсутствуют вне объема .
103-2. В чем смысл решения волнового уравнения методом Даламбера?
104-3. Запишите формулу для запаздывающего скалярного потенциала.
105-4. Запишите формулу для запаздывающего векторного потенциала.
106-5. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в случае, когда заряды в объеме неподвижны и не изменяются во времени (, ).
107-6. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в случае, когда плотность тока и плотность заряда не зависят от времени (, ). В какой физической ситуации это возможно?
108-7. На рис. 2.47 изображен объем и две точки наблюдения и . Известно, что .
Рис. 2.47. Объем с изменяющимся зарядом
В момент времени заряд в объеме равен , а в момент времени заряд в объеме равен . Как выражается заряд через заряд , если скалярный потенциал зарядов объема в точке М1 в момент времени равен потенциалу зарядов объема в точке М2 в момент времени ?
Вопросы и задачи к лекции 9
109-1. Выведите выражение для скалярного потенциала произвольно движущегося точечного заряда. Каким будет это выражение при и при ?
110-2. Выведите выражение для векторного потенциала произвольно движущегося точечного заряда. Каким будет это выражение при и при ?
111-3. Запишите выражение, связывающее векторный и скалярный потенциалы произвольно движущегося точечного заряда.
112-4. Используя формулы для потенциалов Лиенара-Вихерта, найдите скалярный и векторный потенциалы в центре окружности, по которой движется точечный заряд с постоянной угловой скоростью (рис. 2.55). Радиус окружности . В момент времени заряд находился в точке .
Рис. 2.55. К определению потенциалов Лиенара-Вихерта точечного заряда равномерно движущегося по окружности
113-5. Точечный заряд движется равномерно и прямолинейно вдоль оси х (рис. 2.56). Используя потенциалы Лиенара-Вихерта, найдите скалярный и векторный потенциалы в точке в момент времени .
Рис. 2.56. К определению потенциалов Лиенара-Вихерта равномерно движущегося точечного заряда
114-6. Докажите эквивалентность двух определений электростатического потенциала , и .
115-7. Выведите из формулы для запаздывающего скалярного потенциала формулу для электростатического объемного потенциала.
116-8. В объеме V распределены заряды с плотностью . Вне V заряды отсутствуют (рис. 2.57). Запишите дифференциальные уравнения для электростатического потенциала внутри и вне объема V.
Рис. 2.57. К записи дифференциальных уравнений для электростатического потенциала в различных областях
117-9. Используя выражение для напряженности электрического поля точечного заряда и принцип суперпозиции, получите выражение для напряженности электрического поля зарядов, находящихся в объеме V (см задачу 116-8).
118-10. Стержень длиной 2а равномерно заряжен (рис. 2.58). Заряд на единицу длины равен τ. Найдите напряженность электрического поля в точках и . К каким значениям будут стремиться эти напряженности при . В случае найдите напряженности в точках и с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Сравните эти значения с предельными.
Рис. 2.58. Равномерно заряженный стержень конечной длины
Вопросы и задачи к лекции 10
119-1. Запишите точное выражение для потенциала системы точечных зарядов.
120-2. Запишите точное выражение для напряженности электрического поля системы точечных зарядов.
121-3. Дайте определение дипольного момента системы точечных зарядов.
122-4. Запишите выражение для дипольного момента зарядов, расположенных в объеме V с плотностью ρ(Р).
123-5. Найдите дипольный момент системы зарядов () (рис. 2.65а).
Рис. 2.65. Различные системы точечных зарядов
124-6. Запишите выражение для потенциала диполя.
125-7. Выведите выражение для напряженности электрического поля диполя.
126-8. Найдите , , , (рис. 2.65б).
127-9. Что такое тензор квадрупольного момента?
128-10. Найдите дипольный момент и компоненты тензора квадрупольного момента системы зарядов, изображенной на рис. 2.65в.
129-11. Запишите выражение для потенциала, обусловленного третьим членом разложения.
130-12. Найдите выражение для напряженности электрического поля, обусловленной третьим членом разложения для системы зарядов, обладающих осевой симметрией (в системе координат, совпадающей с главными осями).
Вопросы и задачи к лекции 11
131-1. Запишите точное выражение для потенциальной энергии системы зарядов, расположенных во внешнем поле.
132-2. Запишите приближенное выражение для потенциальной энергии системы зарядов, расположенных во внешнем поле при взятии двух первых членов разложения.
133-3. Найдите энергию точечного заряда , находящегося в поле диполя с дипольным моментом (вектор расстояния между системами направлен от диполя к точечному заряду). Считать, что точечный заряд находится в точке , в окрестности которой производится разложение потенциала внешнего поля (поля диполя).
134-4. Получите выражение для силы, действующей на систему зарядов в случае, если полный заряд системы равен нулю. Эта сила определяется производными внешнего поля или самим полем ?
135-5. Получите выражение для полного момента сил относительно точки (центра зарядов системы). Этот момент определяется производными внешнего поля или самим полем ?
136-6. Выведите из формулы для запаздывающего векторного потенциала формулу для векторного объемного потенциала магнитного поля стационарного тока.
137-7. Запишите формулу Био-Савара-Лапласа для случая, когда ток протекает по объему V, и для случая, когда ток протекает по тонкому проводнику (по контуру l).
138-8. Найдите индукцию магнитного поля в центре квадратной рамки с током . Найдите приближенное значение поля в этой точке, используя закон полного тока в интегральной форме. На сколько процентов больше или меньше приближенное значение по сравнению с точным?
139-9. Магнитное поле создается бесконечно длинным прямолинейным проводником с током (рис. 2.71). Точка находится над условной перегородкой, точка – под условной перегородкой. . Найдите (скалярный магнитный потенциал в точке ).
Рис. 2.71. К нахождению скалярного магнитного потенциала бесконечно длинного прямолинейного проводника с током
140-10. Дайте определение односвязной области.
Вопросы и задачи к лекции 12
141-1. Дайте определение магнитного момента системы токов.
142-2. Равномерно заряженный шар вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси проходящей через центр шара. Найдите магнитный момент, если плотность заряда ρ, а радиус шара R.
143-3. Получите выражение для магнитного момента тока, протекающего по витку бесконечно малого сечения, расположенному в плоскости.
144-4. Найдите магнитный момент тока, протекающего по прямоугольному контуру, изогнутому под прямым углом (рис. 2.76).
Рис. 2.76. Прямоугольный контур, изогнутый под прямым углом
145-5. Запишите выражение для векторного потенциала системы замкнутых токов на далеких расстояниях от системы.
146-6. Запишите выражение для индукции магнитного поля системы замкунутых токов на далеких расстояниях от системы.
147-7. Докажите, что магнитный момент системы замкнутых токов не зависит от выбора начала системы координат.
148-8. Ток протекает по круговому витку радиуса (рис. 2.77). Найдите точное значение индукции магнитного поля на оси в точке М и приближенное значение (используя магнитный момент), если . Сравните эти значения.
Рис. 2.77. Круговой виток с током
Вопросы и задачи к лекции 13
149-1. Источники электромагнитного поля и равны нулю во всех точках пространства и в любой момент времени t (). Возможно ли существование такого магнитного поля в указанные моменты времени t?
150-2. Источники электромагнитного поля и равны нулю во всех точках пространства и в любой момент времени t (). Возможно ли существование такого электрического поля в указанные моменты времени t?
151-3. Какому уравнению удовлетворяет поле при отсутствии источников и в данной части пространства в любой момент времени? Выведите это уравнение.
152-4. Какому уравнению удовлетворяет поле при отсутствии источников и в данной части пространства в любой момент времени? Выведите это уравнение.
153-5. Покажите, что плоская электромагнитная волна является поперечной по отношению к фронтовой нормали , т.е. и .
154-6. В фиксированный момент времени и в фиксированной точке вектор падающей плоской волны имеет значение . Найдите вектор в этот же момент времени и в этой же точке.
155-7. Вектор отраженной плоской волны в точке М в момент времени t имеет направление, указанное на рис. 2.81, т.е. . Найдите направления векторов и в той же точке и в тот же момент времени.
Рис. 2.81. К определению направлений векторов и по заданному направлению отраженной плоской волны
156-8. Докажите, что скорость переноса энергии в отраженной плоской волне равна .
Вопросы и задачи к лекции 14
157-1. Комплексная амплитуда индукции магнитного поля плоской падающей волны имеет выражение:
.
Какой поляризации эта волна?
158-2. Проекции магнитного поля плоской монохроматической волны имеют выражения:
,
.
; . Какой поляризации эта волна? При некоторых и . Найдите .
159-3. Проекции магнитного поля плоской монохроматической волны имеют выражения:
,
,
причем . Какой поляризации эта волна?
160-4. Проекции электрического поля плоской монохроматической волны имеют выражения:
,
.
Какой поляризации эта волна?
161-5. х-овая компонента поля плоской монохроматической волны имеет выражение . Запишите выражения для , и , если известно, что данная волна левой круговой поляризации.
162-6. Запишите выражения для , , и для линейно поляризованной вдоль оси волны.
163-7.Докажите, что линейно поляризованная волна представляет собой суперпозицию двух волн круговой поляризации.
164-8. Докажите, что эллиптически поляризованная волна представляет собой суперпозицию двух волн линейной поляризации.
Вопросы и задачи к лекции 15
165-1. Выведите формулу для скалярного потенциала системы движущихся зарядов в дипольном приближении.
166-2. Выведите формулу для векторного потенциала системы движущихся зарядов в дипольном приближении.
167-3. Запишите выражение, связывающее скалярный и векторный потенциалы системы движущихся зарядов в дипольном приближении.
168-4. Найдите выражение для индукции магнитного поля системы движущихся зарядов в дипольном приближении.
169-5. Найдите выражение для напряженности электрического поля системы движущихся зарядов в дипольном приближении.
170-6. Запишите выражение, связывающее индукцию магнитного поля и напряженность электрического поля системы движущихся зарядов в дипольном приближении. Сравните его с выражением, связывающим поля и падающей плоской волны.
171-7. . Найдите и (рис. 2.88).
Рис. 2.88. К использованию формул для и в сферической системе координат
Вопросы и задачи к лекции 16
172-1. Выведите выражение для полной излучаемой мощности излучающей системы.
173-2. Выведите выражение для мощности излучения произвольно движущегося точечного заряда.
174-3. Заряд движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью . Найдите мощность излучения этого заряда.
175-4. Найдите выражение для и для переменного во времени электрического диполя.
176-5. При значении угла при фиксированном расстоянии R от вибратора Герца амплитуда электрического поля равна . Найдите максимальное значение амплитуды при том же расстоянии .
177-6. Выведите выражение для сопротивления излучения переменного во времени электрического диполя при синусоидальном изменении тока во времени.
178-7. Запишите выражение для плотности импульса электромагнитного поля.
179-8. Запишите закон сохранения суммарного импульса.
Вопросы и задачи к лекции 17
180-1. Сформулируйте принципы классических воззрений на явления в природе.
181-2. Что такое система отсчета? Что такое инерциальная система отсчета? Почему, как правило, применяют инерциальные системы отсчета?
182-3. Сформулируйте закон преобразования координат и времени Галилея.
183-4. Покажите, что первый и второй законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.
184-5. Имеют ли реальное содержание понятия абсолютного покоя и абсолютного движения в классической механике?
185-6. Какая цель опыта Майкельсона?
186-7. Опишите опыт Майкельсона. Найдите время прохождения лучом от призмы к зеркалу 1 и обратно. Аналогично к зеркалу 2 и обратно. Это необходимо сделать в системе отсчета, связанной с Солнцем, и в системе отсчета, связанной с лабораторией.
187-8. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.
188-9. Из какого постулата следуют преобразования координат и времени Лоренца? Дайте вывод преобразований Лоренца.
189-10 .Как изменяется длина стержня при переходе от одной инерциальной системы к другой? Дайте вывод.
190-11. Объясните отрицательный результат опыта Майкельсона.
191-12. Как изменяется промежуток времени между двумя событиями при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой? Дайте вывод.
192-13. Что такое собственное время?
193-14. Найдется ли такая инерциальная система отсчета, в которой время между двумя событиями будет меньше собственного времени?
194-15. Опишите опыт с μ-мезонами, который иллюстрирует изменение хода часов при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Вопросы и задачи к лекции 18
195-1. Выведите формулы преобразования скоростей Эйнштейна.
196-2. Покажите, что при ( скорость движения материальной точки) формулы преобразования скоростей Эйнштейна переходят в формулы преобразования скоростей Галилея.
197-3. Покажите, что скорость тела в пустоте является предельной скоростью движения тел.
198-4. Покажите несостоятельность принципа дальнодействия и правильность принципа близкодействия.
199-5. Какие инвариантные величины (скаляры) вы знаете?
200-6. Докажите инвариантность интервала.
201-7. Докажите инвариантность собственного времени.
202-8. В системе О интервал имеет выражение , причем . Как называется такой интервал? Найдите скорость движения системы вдоль х, чтобы в системе этот интервал имел выражение , т.е. был чисто временным.
203-9. В системе О интервал имеет выражение , причем и . Как называется такой интервал? Найдите скорость движения системы вдоль х, чтобы в системе этот интервал имел выражение , т.е. был чисто пространственным.
204-10. Что называется мнимым временем?
205-11. Выведите четырехмерную формулировку преобразований Лоренца.
Вопросы и задачи к лекции 19
206-1. Что такое четырехмерный радиус-вектор?
207-2. Дайте определение четырехмерного вектора.
208-3. Что такое: 1) пространственно подобный вектор? 2) времениподобный вектор?
209-4. Дайте определение четырехмерного вектора скорости. Запишите выражения для компонент этого вектора.
210-5. Дайте определение четырехмерного вектора ускорения.
211-6. Первые три компоненты четырехмерного вектора скорости равны , и . Найдите четвертую компоненту .
212-7. Покажите, что четырехмерный вектор скорости и ускорения ортогональны в четырехмерном пространстве.
213-8. Покажите, что закон инерции (первый закон Ньютона) является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
214-9. Дайте определение четырехмерного вектора импульса. Запишите выражения для его компонент.
215-10. Запишите уравнения динамики в четырехмерной форме.
216-11. Запишите уравнения динамики для первых трех компонент, а так же в векторном виде.
217-12. Выведите выражение для полной энергии частицы. Объясните, почему константа в общем выражении для энергии выбрана равной нулю.
218-13. Выведите выражение для кинетической энергии частицы при произвольной скорости движения.
219-14. Что такое четырехмерный вектор энергии и импульса?
220-15. Запишите формулы преобразования компонент трехмерного импульса и энергии при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
221-16. Найдите квадрат четырехмерного вектора энергии и импульса. Времениподобный или пространственно подобный этот вектор?
222-17. Запишите выражение для полной энергии частицы через ее трехмерный импульс. Каково это выражение для энергии в случае, если масса покоя .
223-18. Запишите формулу Эйнштейна (закон эквивалентности массы и энергии).
224-19. Запишите формулы преобразования массы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
225-20. Выведите закон сохранения энергии и закон сохранения трехмерного импульса.
Вопросы и задачи к лекции 20
226-1. Что такое четырехмерный вектор плотности тока?
227-2. Запишите закон сохранения заряда в обычной форме и в релятивистски-инвариантной форме.
228-3. Выведите формулу преобразования плотности электрического заряда при переходе от одной системы отсчета к другой.
229-4. Выведите формулы преобразования компонент плотности тока , и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
230-5.Покажите, что дивергенция в четырехмерном пространстве является инвариантной величиной.
231-6. Выведите релятивистски-инвариантную формулу уравнений электромагнитного поля для потенциалов.
232-7. Что такое четырехмерный вектор потенциала?
233-8. В системе отсчета O', движущейся со скоростью v вдоль оси х относительно системы О, точечный заряд q неподвижен и расположен в начале координат. Найдите скалярный и векторный потенциалы в системах О и O'.
Вопросы и задачи к лекции 21
234-1. Запишите коротко преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой инерциальной системе отсчета, используя матрицу .
235-2. Что называется четырехмерным тензором 2-го ранга?
236-3. Запишите разложение тензора на симметричную и антисимметричную части.
237-4. Сколько независимых компонент у антисимметричного тензора?
238-5. Выведите формулы преобразования компонент антисимметричного тензора.
239-6. Как вводится тензор электромагнитного поля ?
240-7. Запишите выражение тензора электромагнитного поля через компоненты.
241-8. Какому уравнению для тензора электромагнитного поля эквивалентны два уравнения Максвелла: и ?
242-9. Какому уравнению для тензора электромагнитного поля эквивалентны два уравнения Максвелла: и ?
243-10.Выведите формулы преобразования векторов электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
244-11. Как упрощаются формулы предыдущего вопроса при ?
245-12. В системе отсчета О', движущейся относительно системы О со скоростью , индукция магнитного поля в некоторой точке и в некоторый момент времени , а напряженность электрического поля . Найдите и в системе О в этой же точке и в этот же момент времени.
Вопросы и задачи к лекции 22
246-1. Опишите процесс поляризации диэлектрика.
247-2. Дайте определение вектора поляризации.
248-3. Докажите равенства и .
249-4. Выведите постулат Максвелла в дифференциальной форме.
250-5. Выведите постулат Максвелла в интегральной форме.
251-6.Запишите материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике.
252-7.Электрическое поле создается точеным зарядом (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Диэлектрический шар в поле точечного заряда
Укажите направление вектора поляризации в точке М (центре диэлектрического шара). Когда будет больше напряженность электрического поля в точке М: при наличии диэлектрического шара или при его отсутствии? Какой величине будет равна напряженность электрического поля в точке М, если шар будет проводящим?
253-8.Какой физический смысл вектора электрического смещения в диэлектрике? Поясните ответ.
254-9. Задано напряжение между обкладками двухслойного плоского конденсатора U (рис. 4.8). Толщины слоев и , диэлектрические проницаемости соответственно и . Сумма + значительно меньше поперечных размеров конденсатора. Найдите вектор электрического смещения в первом и втором слое и , а также напряженность электрического поля в первом и во втором слое и .
Рис. 4.8. Двухслойный плоский конденсатор
255-10. Бесконечно длинная прямолинейная нить с зарядом на единицу длины располагается в диэлектрике с проницаемостью (рис.4.9). Диэлектрик представляет собой бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R. Нить является осью этого цилиндра. Найдите выражение для и в диэлектрике и в воздухе. Найдите поверхностную плотность связанного заряда на боковой поверхности цилиндра.
Рис. 4.9. Бесконечная нить, окруженная слоем диэлектрика
Вопросы и задачи к лекции 23
256-1. Дайте определение вектора намагниченности.
257-2. Какие дополнительные токи возникают в среде при наличии в ней электромагнитного поля?
258-3. Выведите закон полного тока в среде в дифференциальной и интегральной форме.
259-4. Дайте определение напряженности магнитного поля в среде.
260-5. Какой физический смысл вектора напряженности магнитного поля в среде? Сделайте соответствующий вывод.
261-6.Запишите материальное уравнение для магнитного поля в среде.
262-7. В магнитном поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током находится ферромагнитный цилиндр с магнитной проницаемостью (рис. 4.17). Ось цилиндра параллельна проводу. В каком случае будет больше индукция магнитного поля в точке при наличии цилиндра или при его отсутствии? Почему?
Рис. 4.17. Ферромагнитный цилиндр в поле прямолинейного проводника с током
263-8. Круговой цилиндр из ферромагнитного материала, длина которого сравнима с диаметром, намагничен однородно вдоль оси. Другие источники магнитного поля отсутствуют. Укажите направление вектора в центре цилиндра. Используя физический смысл вектора , найдите направление в этой же точке.
264-9. Бесконечно длинный прямолинейный проводник с током расположен соосно в ферромагнитной трубе с магнитной проницаемостью (рис.4.18). Найдите и для следующих областей:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Зарисуйте графики и . Найдите поверхностную плотность микротоков на боковой поверхности радиуса и боковой поверхности радиуса .
Рис. 4.18. Прямолинейный проводник с током в ферромагнитной трубе
265-10. Покажите, что внутри диэлектрика, для которого и, следовательно, плотность тока поляризации , по величине существенно больше плотности тока , вызванной переменным во времени электрическим полем.
Вопросы и задачи к лекции 24
266-1. Запишите систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме для электромагнитного поля в среде. Поясните смысл всех векторов поля, входящих в эти уравнения.
267-2. Запишите систему уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля в среде.
268-3. Выведите граничные условия для векторов электрического поля и на границе раздела двух сред. Какое условие является универсальным, а какое нет? Почему?
269-4. Чем обусловлен скачок нормальной компоненты на границе двух диэлектриков?
270-5. Выведите граничные условия для векторов магнитного поля и на границе раздела двух сред. Какое условие является универсальным, а какое нет? Почему?
271-6. Чем обусловлен скачок тангенциальных компонент на границе двух магнетиков?
272-7. Сформулируйте граничные условия на границе проводника в случае электростатического поля и в случае высокочастотного электромагнитного поля.
273-8. Зарисуйте примерную картину силовых линий вектора (рис. 4.34)
Рис. 4.34. Проводник с током и магнитопровод, имеющий зазор
274-9. Проводник находится в электростатическом поле. Среда, окружающая проводник — воздух. В некоторой точке на поверхности проводника поверхностная плотность свободного заряда . Найдите и в этой точке.
275-10. Сформулируйте граничные условия для плотности тока.
Вопросы и задачи к лекции 25
276-1. По весьма длинному однородному прямолинейному проводнику кругового сечения протекает постоянный ток. Найти тепловые потери за единицу времени на участке единичной длины, если известна – напряженность на поверхности провода, – удельная проводимость.
277-2. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в дифференциальной форме.
278-3. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в интегральной форме. Поясните смысл каждого члена в этой теореме.
279-4. По двухпроводной линии течет постоянный ток (рис. 4.35). Приемник электроэнергии находится за сечением рисунка. Найдите направление вектора Пойтинга в точке М, расположенной посредине между проводами.
Рис. 4.35. Двухпроводная линия постоянного тока
280-5. Сформулируйте и докажите теорему единственности решений уравнений Максвелла для электромагнитного поля в среде.
Вопросы и задачи к лекции 26
281-1. Запишите уравнения для электростатического потенциала для разных случаев.
282-2. Выведите граничные условия для электростатического потенциала.
283-3. Из каких этапов складывается постановка краевой задачи?
284-4. Сделайте постановку краевой задачи для следующей физической задачи (рис. 4.41):
Рис. 4.41. Диэлектрическое тело в поле точечного заряда
Геометрия, величина заряда и диэлектрическая проницаемость заданы.
285-5. Сформулируйте и докажите теорему эквивалентности.
Вопросы и задачи к лекции 27
286-1. Сформулируйте сущность метода зеркальных отображений. На какой теореме он базируется?
287-2. Точечный заряд находится над проводящим полупространством на расстоянии от него (рис. 4.48).
Найдите зависимость поверхностной плотности свободного заряда на поверхности проводящего полупространства от расстояния до точки , являющейся проекцией точки расположения заряда на плоскость . Диэлектрическая проницаемость диэлектрика окружающего заряд равна . Найдите также зависимость плотности связанного заряда диэлектрика на от , т.е. .
Рис. 4.48. Точечный заряд в однородном диэлектрике над проводящим полупространством
288-3. Точечный заряд находится в воздухе под проводящим полупространством (рис. 4.49). Тело несущее этот заряд обладает массой . Кроме силы притяжения к проводящему полупространству, на заряд действует сила притяжения Земли. При каком наступит равновесие? Это равновесие будет устойчивым или неустойчивым? Зависит ли ответ от знака заряда?
Рис. 4.49. Точечный заряд под проводящим полупространством
289-4. Два точечных заряда и находятся над проводящим полупространством на расстоянии от него (рис. 4.50). Расстояние между зарядами . Найдите . Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, окружающего заряды, .
Рис. 4.50. Два точечных заряда над проводящим полупространством
290-5. Найдите и ( – поверхностная плотность свободного заряда на поверхности проводящего шара , – поверхностная плотность связанного заряда на ) (рис. 4.51). Заданы , , , (диэлектрическая проницаемость окружающего проводящий шар и точечный заряд диэлектрика). Суммарный заряд шара .
Рис. 4.51. Точечный заряд в диэлектрике вблизи проводящего шара
291-6. Параллельно бесконечно длинному проводящему цилиндру с зарядом на единицу длины расположена прямолинейная бесконечно длинная нить с зарядом на единицу длины (рис. 4.52). Диэлектрическая проницаемость окружающей среды . Радиус цилиндра , расстояние между нитью и осью цилиндра . Найдите поле вне цилиндра методом зеркальных отображений.
Рис. 4.52. Заряженная нить вблизи проводящего цилиндра
292-7. Выведите СЛАУ для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона и для уравнения Лапласа.
293-8. Выведите СЛАУ для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в случае плоскопараллельного электростатического поля , которое не зависит от координаты и в любой точке перпендикулярно оси z.
Вопросы и задачи к лекции 28
294-1. Для каких электростатических систем применим метод разделения переменных?
295-2. Назовите 4 главных этапа (момента) метода разделения переменных.
296-3. Проиллюстрируйте 4 главных этапа метода разделения переменных на примере задачи расчета поля диэлектрического цилиндра (кругового сечения), помещенного в заданное однородное поле .
297-4. Найдите потенциал диполя
298-5. Найдите потенциал линейного диполя.
299-6. Назовите преимущества метода интегральных уравнений по сравнению с другими методами.
300-7. Получите интегральное уравнение для расчета поля диэлектрического цилиндра (не обязательно кругового) с проницаемостью , помещенного в диэлектрик с проницаемостью , в котором существовало плоскопараллельное поле (поле в каждой точке не зависит от координаты вдоль образующей цилиндра и перпендикулярно образующей цилиндра). Рассмотрите случай кругового цилиндра и однородного поля , перпендикулярного оси цилиндра.
Вопросы и задачи к лекции 29
301-1. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах для магнитного поля стационарных токов.
302-2. Запишите граничные условия на границе раздела двух сред для магнитного поля стационарных токов.
303-3. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для векторного потенциала магнитного поля стационарных токов.
304-4. Получите дифференциальные уравнения и граничные условия для скалярного магнитного потенциала магнитного поля стационарных токов.
305-5. Как изменится постановка краевой задачи, описанной в лекции, если вместо положить ?
306-6. Сформулируйте теорему эквивалентности для магнитного поля стационарных токов.
307-7. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса расположен в поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током (рис. 4.62). Проводник параллелен оси цилиндра. Расстояние от проводника до оси цилиндра . Магнитная проницаемость материала цилиндра . Найдите магнитное поле вне цилиндра методом зеркальных отображений.
Рис. 4.62. Ферромагнитный цилиндр с в поле прямолинейного проводника с током
308-8. Решите предыдущую задачу методом интегральных уравнений.
Вопросы и задачи к лекции 30
309-1. Запишите дифференциальные уравнения внутри магнита для зарядовой модели. Как выражается плотность магнитного заряда внутри магнита через вектор намагниченности?
310-2. Выведите выражение для поверхностной плотности магнитного заряда на поверхности магнита.
311-3. Запишите дифференциальные уравнения внутри магнита для токовой модели. Как выражается плотность микротока внутри магнита через вектор намагниченности?
312-4. Выведите выражение для поверхностной плотности микротока на поверхности магнита.
313-5. Запишите формулы вычисления магнитного поля постоянно магнита тремя способами.
314-6. Два бесконечно длинных цилиндрических постоянных магнита намагничены однородно вдоль своих осей, причем (рис. 4.69). Соединены магниты так, как показано на рис. 4.69. Найдите поля и во всем пространстве.
Рис. 4.69. Два цилиндрических постоянных магнита
315-7. Какое поле называют квазистационарным?
316-8. Найдите выражение для поля внутри проводника, на который падает монохроматическая линейно поляризованная электромагнитная волна.
317-9. Найдите выражение для поля внутри проводника, на который падает монохроматическая линейно поляризованная электромагнитная волна.
318-10. Дайте определение и запишите выражение для глубины проникновения электромагнитного поля внутрь проводника.
319-11. Получите граничное условие Леонтовича.
Вопросы и задачи к лекции 31
320-1. Запишите систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в однородной среде.
321-2. Что называют комплексной диэлектрической проницаемостью? Как она вводится?
322-3. Получите дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля плоской монохроматической волны в однородной среде и найдите его решение.
323-4. Найдите выражение для комплексной амплитуды напряженности магнитного поля плоской монохроматической волны в однородной среде.
324-5. Напишите выражения для мгновенных значений напряженностей электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны в однородной среде.
325-6. Зарисуйте графики зависимостей и , где для случая и для случая . Чем отличаются эти графики?
326-7. Рассмотрите случай нормального падения плоской монохроматической волны на идеальный проводник с плоской границей. Получите выражения стоячих волн. Зарисуйте их графики.
327-8. Найдите выражения для коэффициента отражения и коэффициента преломления при нормальном падении волны с одного диэлектрика на другой когда между ними плоская граница.