Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет №7
1 вопрос
Одномерная модель потока вязкой жидкости. Уравнение Бернулли для потока.
Рис.1
u2
u1
l
Одномерными называют потоки, в которых скорость, давление и другие параметры зависят от одной координаты.
Примером одномерного потока является течение в элементарной струйке. Из-за малости поперечных сечений струйки скорость и давление в них принимаются постоянными. Тогда, если линию тока, на которой построена струйка, принять в качестве криволинейной координаты l, то скорость и давление - u(l) и p(l).
Одномерных потоков конечных размеров, то есть реальных потоков, не существует. Течение вязкой жидкости вдоль граничные поверхностей приводит к неравномерному распределению скорости по живому сечению.
Живое сечение – это поверхность внутри потока, в каждой точке которой вектор скорости направлен ортогонально.
Рис.2
Однако турбулентный поток в трубе близок к одномерному.
Кроме того, многие даже ламинарные потоки мы можем рассматривать как одномерные. Часто в технических задачах достаточно знать только среднюю по живому сечению скорость.
(1)
Тогда вместо истинного распределения скорости в живом сечении можно рассматривать среднюю по сечению скорость. В случае, если давление по живому распределяется по гидростатическому закону, то распределение давления по живому сечению можно найти, рассматривая давление в любой точке живого сечения, например, в центре масс .
Тогда в любом живом сечении течение будет характеризоваться только средней скоростью и давлением в выбранной точке .
Приходим к одномерной модели реального потока.
Возникает вопрос: какие потоки можно привести таким образом к одномерным?
1) Параллельноструйные потоки.
Поток называется параллельноструйным, если все линии тока являются параллельными прямыми. Примером паралелльноструйного движения является течение жидкости в трубе постоянного сечения, например, в круглой, а также течение между параллельными плоскостями. При параллельноструйном движении живые сечения плоские и одинаковы .
Направим ось l вдоль любой линии тока параллельноструйного потока. Тогда при движении несжимаемой жидкости средняя скорость в любом живом сечении постоянна . Это следует из уравнения неразрывности и Тогда от координаты l зависит только давление .
2) Плавно изменяющиеся потоки.
ПП
Плавно изменяющимся потоком называется поток близкий к параллельноструйному. Такой поток удовлетворяет условиям:
а) радиус кривизны линий тока велик;
б) угол , образованный соседними линиями тока, мал.
Живые сечения в плавно изменяющемся потоке близки к плоским.
В параллельноструйном и плавно изменяющемся потоках давление в живых сечениях распределяется по гидростатическому закону.
(2)
Рис.3
u2
R
h1 h2 h3
pатм
p3
p1
p2
z1 z2 z3
z
y
Заметим, что:
(3)
Раньше мы вывели уравнение Бернулли для струйки потока. Можно распространить это уравнение на поток конечных размеров, рассматривая его как одномерный в определенном выше смысле.
Уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости.
Рис.4
Рассмотрим плавно изменяющийся поток. Пусть S1 и S2 – живые сечения, близкие к плоским. Выделим в потоке струйку. Уравнение Бернулли для струйки имеет вид:
(4)
где - потеря энергии от сечения к сечению .
Умножим уравнение (4) на весовой расход струйки . По уравнению неразрывности этот расход по длине струйки постоянен .
(5)
Выражение - будет иметь смысл механической энергии жидкости, протекающей через i-е сечение струйки в единицу времени.
Проинтегрируем (5) по всему потоку:
(6)
Учитывая (3), получим:
(7)
где - сумма координаты положения и давления в любой точке C живого сечения, например, в центре масс. Далее, индекс C будем опускать. С учетом (7) выражение (6) примет вид:
(8)
Разделим (8) на весовой расход :
(9)
Введем обозначения:
(10)
где - средняя по живому сечению S скорость - ;
(11)
С учетом введенных обозначений уравнение (9) примет вид:
(12)
Полученное соотношение - это уравнение Бернулли для плавно изменяющегося установившегося потока несжимаемой жидкости.
Легко видеть, что уравнение будет справедливо также для любого потока, достаточно сечения 1 и 2 выбрать в районе плавной изменяемости потока.
Безразмерный параметр называется коэффициентом кинетической энергии. или коэффициентом Кориолиса. Он характеризует отношение истинной кинетической энергии в данном живом сечении к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости . Всегда: . Его значение зависит от полноты эпюры скорости в живом сечении. При ламинарном течении в круглой трубе , а при турбулентном -
Также как и уравнение Бернулли для струйки уравнение Бернулли для потока можно рассматривать как закон сохранения энергии, примененный к массе жидкости, протекающей через живые сечения 1 и 2
2 вопрос
Уравнения движения жидкости в напряжениях.
Возьмем в жидкости объем W, поверхность которого S. Закон сохранения количества движения: производная по времени количества движения системы равна сумме действующих на нее внешних сил.
(15)
Возьмем производную от количества движения:
(16)
Так как масса выделенного объема не меняется, то .
(17)
Это интегральная форма уравнения количества движения. Преобразуем выражение для поверхностных сил:
(18)
Применяя теорему Остроградского-Гаусса для выражения интеграла по поверхности через интеграл по объему, получим:
(19)
Уравнение (17) примет вид:
(20)
Поскольку объем W – произвольный, то
(21)
Это векторное уравнение движения жидкости в напряжениях.
В проекциях на оси ординат:
(22)
Массовые силы обычно известны. В уравнениях движения 10 неизвестных: проекции скорости , , , плотность , а также компоненты тензора напряжений - , , и ,. Для несжимаемой жидкости - известно – 9 неизвестных. Систему дополняет уравнение неразрывности. Итого – 4 уравнения, 9 или 10 неизвестных. Поэтому система является незамкнутой.