Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
7.1. Фотоны. Энергия и импульс фотона |
7.2. Внешний фотоэффект и его законы. Формула Эйнштейна и объяснение на ее основе законов фотоэффекта |
|
7.3. Эффект Комптона |
|
|
7.7. Стационарные состояния. Временное и стационарное уравнение Шредингера СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ квантовомеханической системы - устойчивые состояния, в которых все характеризующие систему физические величины не зависят от времени. |
|
|
7.5 Неприменимость понятия траектории к микрочастицам. Соотношение неопределенностей Гейзенберга |
7.6 Задание состояния частицы в квантовой механике. Волновая функция и ее статистический смысл. Нормировка. |
|
7.13. Пространственное квантование. Опыт Штерна-Герлаха. Спин электрона. Модуль орбитального механического момента электрона можно определить по формуле , где – орбитальное квантовое число электрона. Проекция орбитального механического момента электрона на некоторое направление Z согласно формуле определяется выражением , где – магнитное квантовое число электрона. Следовательно, при проекция положительна, а при – наоборот. Отметим, что направление Z в пространстве обычно выделяется внешним полем (например магнитным или электрическим), в котором находится атом. Формулы свидетельствуют о том, что магнитный момент заряженной микрочастицы квантуется. Спин (спиновый момент) – это квантовая величина, не имеющая классического аналога. Он является неотъемлемым свойством электрона и других элементарных частиц подобно тому, как они имеют массу, а заряженные частицы – еще и заряд. Спин характеризует внутреннее свойство квантовой частицы, связанное с наличием у нее дополнительной степени свободы. Модуль спина (собственного механического момента импульса) частицы определяется по законам квантовой теории и должен быть квантован по закону , где s – спиновое квантовое число (часто называют спином). В отличие от квантовых чисел l и m число s может быть как целым, так и полуцелым. Проекция спина на ось Z также должна быть квантована: , где ms – магнитное спиновое (называют также просто спиновым) квантовое число – число возможных проекций , соответствующих данному значению s. В 1922 г. О. Штерн и В. Герлах исследовали прохождение атомов серебра Ag в сильно неоднородном вдоль оси Z магнитном поле сильного электромагнита с полюсными наконечниками специальной формы SN. Они обнаружили, что атомный пучок расщеплялся на два компонента, расположенных симметрично относительно первоначального направления. Это означает, что атомы Ag, у которых один внешний электрон, обладают магнитным моментом, проекции которого на направление Z принимают два значения с противоположными знаками, т. е. магнитный момент квантуется. |
|
7.9. Гармонический осциллятор в квантовой механике. Линейным гармоническим осциллятором в классической механике называется система, совершающая колебательное периодическое движение под действием квазиупругой силы около положения устойчивого равновесия, описываемое уравнением вида . Данная система является моделью, используемой при описании классических и квантовых систем. Пружинный, физический и математический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов. Согласно классической механике одномерный осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой , где k – постоянная квазиупругой силы. Поэтому потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора может быть определена как парабола . Классический осциллятор не может выйти за пределы потенциальной «ямы» с координатами , где – координаты точек поворота, в которых E=U . Частица может двигаться только в области, где, т. е. между точками поворота. В квантовой теории задача о квантовом гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы массой m в параболической потенциальной яме. Уравнение Шрёдингера для одномерного квантового осциллятора, для которого потенциальная энергия имеет вид, записывается так: , где Е – полная энергия осциллятора. В уравнении имеет смысл циклической частоты классического одномерного осциллятора. Собственные значения энергии для этого уравнения, как можно доказать, равны Таким образом, энергия квантового осциллятора в отличие от классического не может быть произвольной, а квантуется (может иметь лишь дискретные значения). Разность энергии между соседними уровнями определяется как дельта. Следовательно, уровни энергии квантового осциллятора расположены через равные интервалы и называются эквидистантными. Минимальная энергия квантового осциллятора лежит выше минимума потенциальной энергии U = 0 . Неравенство нулю осциллятора – типично квантовый эффект – прямое следствие соотношения неопределенностей. Наличие нулевой энергии подтверждается экспериментально. Следовательно, энергия гармонического осциллятора в излучательных процессах может изменяться только порциями : гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами. Решения уравнения таковы, что имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами области , т. е. в классически запрещенной области, где E <U . Существование отличных от нуля значений за пределами потенциальной «ямы» объясняется волновыми свойствами микрочастиц. Отметим, что рассмотренная модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной «яме» является идеализацией, которая справедлива только при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. В реальных системах потенциальная энергия U частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный вид. При возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше усложняться, отличаясь от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор – ангармоническим осциллятором. |
7.8. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Волновые функции и квантование энергии. Квантование энергии. Учтем, что физический смысл имеют лишь такие решения уравнения (тут и далее говорится про стационарное), когда невременная волновая функция и ее первые производные по координатам удовлетворяют стандартным условиям. Эти условия являются требованиями, накладываемыми на искомое решение дифференциального уравнения. Решения уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е, называемых собственными значениями энергии. Функции , являющиеся решениями уравнения при этих значениях энергии, называются собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (сплошном) спектре энергии, во втором – о ее дискретном спектре. Уравнение Шрёдингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма. Оно удовлетворяет принципу соответствия Бора и в предельном случае, когда длина волны де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение частиц по законам классической механики. Для описания состояния квантовой системы в данный момент времени вводится комплексная волновая функция (пси-функция). Она определяется так, что вероятность dP нахождения частицы в некоторый момент времени в элементе объема dV прямо пропорциональна и элементу объема dV : где ; – функция, комплексно сопряженная c. Волновую функцию называют амплитудой вероятности. Пси-функция непосредственно не измеряется на опыте. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Примером движения электрона в потенциальной «яме» является движение коллективизированных электронов внутри металла. Потенциальная энергия электрона вне и внутри одномерной прямоугольной потенциальной «ямы» U(x) имеет следующие значения где l – ширина «ямы»; стенки «ямы» бесконечно высокие, энергия отсчитывается от ее дна. Для одномерного случая в пределах «ямы», где U = 0, уравнение Шрёдингера упрощается: , где . Общее решение уравнения имеет вид: , где а и – произвольные постоянные. Функция должна удовлетворять стандартным условиям. Видно, что однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной. За пределы «ямы» частица не проникает из-за бесконечно высоких стенок, поэтому волновая функция вне «ямы» равна нулю. Следовательно, на границах «ямы» непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль: . Из граничного условия получаем, что, где m = 0,1,2,3.... При m = 0, а также при четных значениях m имеем . При нечетных значениях m имеем . Поскольку физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции , который от выбора значения m, т. е. от знака не зависит, то без потери общности можно считать, что = 0. После ещё некоторых мат. преобразований получаем минимальную энергию частицы в яме . Следовательно, энергия частицы в бесконечно глубокой потенциальной «яме» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется, ее спектр – дискретный. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число , определяющее энергетические уровни частицы, называется квантовым числом. Н. Бор сформулировал принцип соответствия: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам. |
|
7.10. Прохождение частицы через одномерный потенциальный барьер. Туннельный эффект. Если поместить частицу в потенциальную «яму» с конечной высотой стенок, то с точки зрения законов классической физики она может выйти из этой «ямы» лишь при условии, что ее полная энергия превышает глубину потенциальной «ямы». Иначе, частица, находящаяся внутри потенциальной «ямы», «заперта» в ней. В квантовой механике существует принципиальная возможность прохождения («просачивания») частиц сквозь потенциальные барьеры. Это явление называется туннельным эффектом. Туннельный эффект возможен, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами. Для его описания вводится понятие коэффициента прозрачности (пропускания) D потенциального барьера: , где и – соответственно интенсивность волны де Бройля, падающей на барьер, и плотность потока частиц, падающих на барьер; и – соответственно интенсивность де-бройлевской волны, прошедшей барьер, и плотность потока частиц, прошедших барьер. Коэффициент прозрачности D можно рассматривать как вероятность преодоления частицы потенциального барьера. Из обратимости по времени следует, что для переходов в «прямом» и «обратном» направлениях коэффициенты прозрачности одинаковы. Аналогично можно определить коэффициент отражения барьера R как вероятность того, что поток частиц (частица) отразится от барьера: , где и – соответственно интенсивность волны де Бройля, отразившейся от барьера, и плотность потока частиц, отразившихся от барьера и полетевших в обратном направлении. Расчеты показывают, что прозрачность барьера зависит от его «формы» и высоты. Таким образом, согласно определению, R + D =1. Кроме того, значения R и D не зависят от направления движения частицы. Существуют два простейших варианта одномерных потенциальных барьеров – прямоугольный потенциальный барьер в виде ступеньки, когда потенциальная энергия U при х = 0 скачком изменяется на конечную величину , а также потенциальный барьер прямоугольной формы высотой и шириной . Потенциальная энергия определяется соответственно так: а) б) |
7.11. Теория Бора для атома водорода. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Опыт Франка и Герца. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): существуют определенные дискретные стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает энергию. Каждое стационарное состояние характеризуется определенным значением энергии. Из одного состояния в другое атом может переходить путем квантового перехода. Правило квантования орбит Бора утверждает, что в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие для круговых орбит условию , где – масса электрона; – его скорость на п-й орбите радиусом . Второй постулат Бора (правило частот): излучение происходит только при переходе атома из одного стационарного состояния с большей энергией в другое стационарное состояние с меньшей энергией . Такой переход сопровождается испусканием электромагнитного излучения с энергией , равной разности энергий соответствующих стационарных состояний. Возможен и обратный процесс, в котором атом переходит из одного стационарного состояния в другое, более высокое. При этом атом поглощает фотон с энергией, равной разности энергий этих стационарных состояний. Набор всевозможных дискретных частот квантовых переходов ω, определяемых из правила, описывает линейчатый спектр атома. Дж. Франк и Г. Герц (Нобелевская премия, 1925) поставили эксперимент по измерению потенциалов ионизации атомов ртути, используя электродную лампу с четырьмя электродами, заполненную парами ртути. Исследовалась зависимость анодного тока I от ускоряющего напряжения U. На анод попадали только те электроны, энергия которых после соударения с атомами паров ртути в области – была достаточна для преодоления замедляющего напряжения ( В). Было получено, что величина тока резко падала при увеличении значения U через каждые 4,9 В. Франк и Герц установили, что спектр поглощаемой атомом ртути энергии не непрерывен, а дискретен. Минимальная порция энергии (квант энергии), который может поглотить атом ртути, равна 4,9 эВ. Обнаруженное ультрафиолетовое излучение с длиной волны l = 253,7 нм соответствует второму постулату Бора. Результаты этого опыты впервые доказали постулаты Бора. Боровская модель атома. С помощью правила квантования для атома водорода можно получить выражение для радиуса n-й стационарной орбиты, по которой движется электрон – классическая точечная частица – под действием кулоновской силы притяжения вокруг ядра: , где Z – количество протонов в ядре; – масса электрона; – радиус первой боровской орбиты (боровский радиус) (для атома водорода Z = 1 и м): . Энергия стационарных состояний электрона в атоме водорода и водородоподобной системе на n-й стационарной орбите ( n =1, 2, 3, ...) определяется как полная энергия электрона в кулоновском поле ядра: , где целое число п – главное квантовое число; – энергия основного состояния атома (п = 1). Знак минус в формуле означает, что электрон находится в связанном состоянии. |
|
7.12. Квантовомеханическая модель атома водорода. Квантовые числа. Энергия, момент импульса и его проекция для электрона в атоме водорода. Спектральные серии атома водорода. Будем рассматривать водородоподобный атом, содержащий единственный внешний электрон. Электрическое поле, создаваемое ядром, является примером центрального поля. Поскольку масса ядра водородноподобного атома во много раз больше массы электрона (различие для атома водорода составляет почти 2000 раз), то приближенно можно считать, что она бесконечно велика и что ядро все время находится в начале координат (ядро неподвижно). Тогда задачу о водородоподобном атоме можно представить как задачу о движении электрона в фиксированном поле сил с потенциалом: , где r-радиальная переменная - расстояние между электроном и ядром, Z - атомное число, e - абсолютное значение заряда электрона, потенциал U(r) описывает кулоновское поле ядра. Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме (обойдется без рисунка). В этом случае стационарное уравнение Шредингера имеет вид: , где волновая функция описывает состояние электрона в атоме, E - значения полной энергии электрона в атоме, которые требуется найти при условии, что удовлетворяет требованиям конечности, однозначности и непрерывности (эво как xD). Формула определяет возможные значения энергии водородоподобного атома. Случай E > 0 соответствует электрону, оторванному от атома (свободный электрон). Случай E < 0 соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме). Квантовые числа атома водорода. Стационарные состояния атома водорода без учета спина можно охарактеризовать набором трех квантовых чисел. Квантовое число n из теории Бора сохраняется и в квантовой механике и называется ГЛАВНЫМ КВАНТОВЫМ ЧИСЛОМ. Оно определяет энергетические уровни атома водорода: . Для атома водорода в состоянии с заданным главным квантовым числом n ОРБИТАЛЬНОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛО принимает значения: , определяя модуль орбитального механического момента атома, т. е. момента импульса электрона относительно ядра: . Магнитное квантовое число при данном принимает значения: , и определяет проекцию орбитального механического момента на произвольно выбранное направление Z: . Спектральные серии атома водорода. Группы спектральных линий в атомных спектрах, частоты которых подчиняются определенным закономерностям, называются спектральными сериями. Наиболее четко они проявляются в спектрах атомов и ионов с одним и двумя электронами во внешней оболочке. Согласно правилу отбора (Изменение орбитального квантового числа l удовлетворяет условию ) в спектре атома водорода наблюдаются следующие серии: – серия Лаймана – переходы с р-уровней на один и тот же уровень 1s, т. е. ; – серия Бальмера – переходы (n=3,4,5,…) и т. д., где ω – частота испускаемой линии. Отметим, что спектральная линия серии Лаймана, соответствующая переходу , является наиболее интенсивной. Серия Лаймана, как и серия Бальмера, обособлена, остальные спектральные серии атома водорода частично перекрываются. |
7.14. Принцип запрета Паули. Периодическая система элементов. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам в атоме. Простейший подход к описанию электронов в атоме основан на том, что каждый электрон характеризуется четырьмя квантовыми числами: 1) главным n () 2) орбитальным () 3) магнитным () 4) магнитым спиновым (, иногда обозначают как ). Энергия электрона зависит в основном от чисел n и l и изменяется сильнее с увеличением главного квантового числа, чем с увеличением l. Поэтому, как правило, состояние с бόльшим n обладает, независимо от значения l, бoльшей энергией. Если атом находится в невозбужденном состоянии, то все электроны должны располагаться на самых низких доступных для них энергетических уровнях. Объяснение возможных конфигураций электронов в атоме сформулировал В. Паули (Нобелевская премия, 1945 г.). Принцип Паули (1925): в квантовой системе в одном и том же квантовом состоянии не могут одновременно находиться две тождественные частицы с полуцелым спином. Следовательно, в сложном атоме в каждом из возможных квантовых состояний может находиться не более одного электрона. Два электрона в одном и том же атоме не могут иметь одинакового набора квантовых чисел n, l, и. Принцип Паули составляет основу понимания не только структуры атомов и молекул, но и природы химической связи и многих других явлений. Совокупность электронов в многоэлектронном атоме с одинаковыми значениями квантового числа n называется электронной оболочкой. Оболочки подразделяют на подоболочки, отличающиеся квантовым числом l. Количество электронов в подоболочке определяется квантовыми числами и . Максимальное число электронов в подоболочке (число состояний в подоболочке) равно 2(2l +1). Периодическая система элементов Д.И.Менделеева – фундаментальный закон природы, являющийся основой современной химии, атомной и ядерной физики. Д.И.Менделеев ввел важнейшее понятие порядкового номера Z химического элемента (общее число электронов в электронной оболочке атома). Теория периодической системы основывается на следующих положениях: 1.) Порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента. 2.) Состояние электронов в атоме определяется набором их квантовых чисел n, l, и . Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума полной энергии: с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией. 3.) Заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули. Химические элементы образуют восемь вертикальных столбцов – групп. Группы обозначаются римскими цифрами и соответствует высшей положительной валентности элемента. Горизонтальные ряды называются периодами и обозначаются арабскими цифрами (от 1 до 7). Периоды соответствуют последовательному заполнению электронных оболочек с возрастающими значениями n и l. |
|
1.1. Волновое уравнение для электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных волн. – волновое уравнение Свойства электромагнитных волн: 1., в электромагнитной волне Электромагнитные волны поперечны 2. Если - волновой вектор Простейшей является синусоидальная электромагнитная волна. 3. |
6.2. Тепловое излучение, его характеристики и законы. Теплово́е излуче́ние — электромагнитное излучение со сплошным спектром, испускаемое нагретыми телами за счёт их внутренней энергии. Один из трёх элементарных видов переноса тепловой энергии (помимо теплопроводности и конвекции).В физике для расчёта теплового излучения принята модель абсолютно чёрного тела, тепловое излучение которого описывается законом Стефана — Больцмана. Закон Стефана — Больцмана Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямопропорциональна площади поверхности и четвёртой степени температуры тела: P = SεσT4 Закон излучения Кирхгофа Отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты и не зависит от их формы, химического состава и проч. Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина: |
|
2.1. Световая волна. Показатель преломления среды. Законы геометрической оптики. СВЕТОВАЯ ВОЛНА - электромагнитная волна видимого диапазона длин волн. Частота световой волны (или набор частот) определяет "цвет". Энергия, переносимая световой волной, пропорциональна квадрату её амплитуды. Показа́тель преломле́ния среды — величина, равная отношению фазовых скоростей света (электромагнитных волн) в вакууме и в данной среде n=c/v. В основе геометрической оптики лежат несколько простых эмпирических законов: 1.Закон прямолинейного распространения света: в однородной b изотропной среде свет распространяется по прямым линиям. 2.Закон независимого распространения лучей: при пересечении 2х световых лучей они не оказывают друг на друга никакого действия. 3.Закон отражения света (см 1.2) 4.Закон преломления света (Закон Снелла) (см 1.2) |
|
|
2.2. Оптическая длина пути. Принцип Ферма. Таутохронность. Оптической длиной пути в однородной среде называется произведение расстояния, пройденного светом в среде с показателем преломления n, на показатель преломления: L=nl При́нцип Ферма́: из точки 1 в точку 2 свет распространяется таким образом, чтобы время его распространения было минимальным. 2 луча называются татуохромными, если они имеют одинаковую оптическую длину. |
|
|
6.1. Поглощение света. Рассеяние света. Дисперсия света С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходя через вещество, возбуждает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны становятся источниками вторичных волн. Вторичные волны являются когерентными и поэтому должны интерферировать. В случае однородной среды вторичные волны гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны. Поэтому рассеяние света, то есть перераспределение его по разным направлениям, отсутствует. В направлении первичной волны вторичные волны, интерферируя с первичной волной, образуют результирующую волну, фазовая скорость которой отлична от скорости света в вакууме. Этим объясняется дисперсия света.Следовательно, рассеяние света возникает только в неоднородной среде. Такие среды называются мутными. Примерами мутных сред могут быть дымы; туманы;суспензии, образованные мелкими твердыми частичками, плавающими в жидкости; эмульсии, то есть взвеси частиц одной жидкости в другой . Поглощение света, уменьшение интенсивности оптического излучения (света), проходящего через материальную среду, за счёт процессов его взаимодействия со средой. Световая энергия при Поглощение света переходит в различные формы внутренней энергии среды; она может быть полностью или частично переизлучена средой на частотах, отличных от частоты поглощённого излучения. |
|
|
6.3. Квантовая гипотеза Планка, формула Планка. Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями. Эти порции состоят из целого числа квантов с энергией таких, что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле: где h — постоянная Планка, и Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения u(ω,T): |
|
5.1 Естественный и поляризованный свет. Типы поляризации. Степень поляризации. Естественный свет - это свет, в котором колебания вектора напряженности Е электрического поля происходят по всевозможным направлениям в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (к лучу). Плоскополяризованный свет - это свет, в котором колебания вектора Е происходят только в одном направлении, перпендикулярном лучу. Типы поляризации: В зависимости от механизма поляризации, поляризацию диэлектриков можно подразделить на следующие типы: Электронная — смещение электронных оболочек атомов под действием внешнего электрического поля. Самая быстрая поляризация (до 10−15 с). Не связана с потерями. Ионная — смещение узлов кристаллической структуры под действием внешнего электрического поля, причем смещение на величину, меньшую, чем величина постоянной решетки. Время протекания 10−13 с, без потерь. Дипольная (Ориентационная) — протекает с потерями на преодоление сил связи и внутреннего трения. Связана с ориентацией диполей во внешнем электрическом поле. Электронно-релаксационная — ориентация дефектных электронов во внешнем электрическом поле. Ионно-релаксационная — смещение ионов, слабо закрепленных в узлах кристаллической структуры, либо находящихся в междуузлие. Структурная — ориентация примесей и неоднородных макроскопических включений в диэлектрике. Самый медленный тип. Самопроизвольная (спонтанная) — благодаря наличию этого типа поляризации в диэлектрике проявляются нелинейность свойств, то есть явление гистерезиса. Отличается очень высокими значениями диэлектрической проницаемости (от 900 до 7500 у некоторых видов конденсаторной керамики). Введение спонтанной поляризации, как правило, увеличивает тангенс угла потерь материала (до 10−2) Резонансная — ориентация частиц, собственные частоты которых совпадают с частотами внешнего электрического поля. Миграционная поляризация обусловлена наличием в материале слоев с различной проводимостью, образованию объемных зарядов, особенно при высоких градиентах напряжения, имеет большие потери и является поляризацией замедленного действия. Степень поляризации |
5.5. Интерференция поляризованных волн. Хорошо известно, что если двоякопреломляющую пластинку поместить между двумя поляроидами и просвечивать эту систему белым светом, то свет на выходе будет частично монохроматизирован. Окраска кристаллической пластинки между поляроидами зависит от их взаимной ориентации и толщины пластинки d. Это явление принято называть интерференцией поляризованных волн. Двоякопреломляющая пластинка между двумя поляроидами P1 и P2, z – оптическая ось. Обозначим амплитуду волны, прошедшей через первый поляроид через E0. Тогда обыкновенная и необыкновенная волна на входе в кристалл будут иметь амплитуды и . После прохождения кристаллической пластины между этими волнами возникает разность фаз (). Эти волны не могут дать интерференции, так как они поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Но после прохождения второго поляроида проекции E1 и Е2 электрических полей обыкновенной и необыкновенной волн на разрешенное направление поляроида P2 поляризованы параллельно друг другу и дают интерференцию. Именно поэтому говорят, что окраска прошедшего через всю систему света есть результат интерференции поляризованных волн. |
|
5.2Поляризаторы и анализаторы. Прохождение света через совершенные и несовершенные поляризаторы. Закон Малюса. Поляриза́тор — вещество, позволяющее выделить из электромагнитной волны (естественный свет является частным случаем) часть, обладающую желаемой поляризацией при пропускании его сквозь или отражении от поверхности, получая проекцию волны на плоскость поляризации. Они используются в поляризацио́нных фильтрах. В радиотехнике и в быту под поляризатором понимается устройство для преобразования вертикальной или горизонтальной поляризации в круговую (эллиптическую) или наоборот. В антеннах в качестве поляризаторов используют волноводы с вкрученными винтами. Анализа́тор спе́ктра — прибор для наблюдения и измерения относительного распределения энергии электрических (электромагнитных) колебаний в полосе частот. Закон Малюса — зависимость интенсивности линейно-поляризованного света после его прохождения через поляризатор от угла между плоскостями поляризации падающего света и поляризатора. где I0 — интенсивность падающего на поляризатор света, I — интенсивность света, выходящего из поляризатора, ka - коэффициент прозрачности анализатора. |
|
|
4.1. Дифракция света. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера. Дифракция (от лат. difractus - преломленный) в первоначальном смысле - огибание волнами препятствий, в современном, более широком смысле - любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики (17.1). Причина дифракции, как и интерференции (18), - суперпозиция волн, которая приводит к перераспределению интенсивности. Если число интерферирующих источников конечно, то говорят об интерференции волн (18). При непрерывном распределении источников говорят о дифракции волн. Дифракция проявляется у волн любой природы. Дифракция Френеля и Фраунгофера Если λ - длина волны, b - размеры препятствия, L - расстояние от препятствия до точки наблюдения, то различают следующие ситуации: |
|
|
5.3. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. При отражении и преломлении света на поверхности диэлектрика всегда происходит частичная поляризация света. Частичная поляризация - Такая поляризация света, при которой электромагнитные колебания в одной какой-либо плоскости совершаются больше, чем в других. Закон Брюстера — закон оптики, выражающий связь показателя преломления с таким углом, при котором свет, отражённый от границы раздела, будет полностью поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, а преломлённый луч частично поляризуется в плоскости падения, причем поляризация преломленного луча достигает наибольшего значения. Легко установить, что в этом случае отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Соответствующий угол называется углом Брюстера. Закон Брюстера: , где n21 — показатель преломления второй среды относительно первой, θBr — угол падения (угол Брюстера). |
|
|
5.4. Прохождение света через анизотропную среду. Одноосные кристаллы. Обыкновенная и необыкновенная волны. Двойное лучепреломление - раздвоение светового луча при прохождении через анизотропную среду. Одноосные кристаллы - кристаллы, для которых характерно двойное лучепреломление при всех направлениях падающего на них света, кроме одного (это направление называется оптической осью кристалла) Колебания происходят параллельно оптической оси z эту волну называют необыкновенной волной; ее фазовая скорость , волновое число . Уравнение этой волны имеет вид: Обыкновенная волна - электрическое поле Еx колеблется параллельно оси x. электрическое поле Еx колеблется параллельно оси x. Уравнение этой волны имеет вид:
Она бежит с фазовой скорость ; волновое число k0 = kn0. |
|
5.6. Искусственная анизотропия. Эффект Керра. Вращение плоскости поляризации (оптическая активность, эффект Фарадея). Двойное лучепреломление можно наблюдать и в изотропных средах (аморфных телах), если подвергнуть их механическим нагрузкам. Изотропное тело, подвергнутое упругим деформациям, может стать анизотропным и изменить состояние поляризации проходящего света. Это явление, открытое в 1818 г. Брюстером, получило название фотоупругости или пьезооптического эффекта. При одностороннем растяжении или сжатии тело становится подобным одноосному кристаллу с оптической осью, параллельной направлению приложенной силы. Мерой возникающей при этом оптической анизотропии служит разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Опыт показывает, что эта разность пропорциональна напряжению в данной точке тела. От этого напряжения будет зависеть разность показателей преломления: , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества. Поместим стеклянную пластинку Q между двумя поляризаторами Р и А (рис. 11.14). Рис. 11.14 В отсутствие механической деформации свет через них проходить не будет. Если же стекло подвергнуть деформации, то свет может пройти, причем картина на экране получится цветная. По распределению цветных полос можно судить о распределении напряжений в стеклянной пластинке (рис. 11.15). Рис. 11.15 Это явление широко используется для определения прочности деталей. Помещая прозрачные фотоупругие модели между поляризатором и анализатором и подвергая их различным нагрузкам, можно изучать распределения возникающих внутренних напряжений. Явление искусственной анизотропии может возникать в изотропных средах под воздействием электрического поля (эффект Керра). На рис. 11.16 изображена так называемая ячейка Керра. Рис. 11.16 Если поляризаторы скрещены, то в отсутствие поля свет через ячейку Керра не проходит. В электрическом поле между пластинками конденсатора жидкость (используется обычно нитробензол) становится анизотропной. Свет, прошедший через кювету, поворачивает плоскость поляризации, и система становится прозрачной. Ячейка Керра может служить затвором света, который управляется потенциалом одного из электродов конденсатора, помещенного в ячейку. На основе ячеек Керра построены практически безынерционные затворы и модуляторы света с временем срабатывания до 10-12 с. Величина двойного лучепреломления прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля: (закон Керра). Здесь n - показатель преломления вещества в отсутствие поля, , где и - показатели преломления для необыкновенной и обыкновенной волн, k - постоянная Керра. Эффект Фарадея (продольный электрооптический эффект Фарадея) — магнитооптический эффект, который заключается в том, что при распространении линейно поляризованного света через оптически неактивное вещество, находящееся в магнитном поле, наблюдается вращение плоскости поляризации света. |
4.2 Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля: Принцип Гюйгенса-Френеля Строгое решение любой дифракционной задачи для световых волн сводится к нахождению решения уравнений Максвелла (13.4.) с соответствующими граничными условиями. В оптике большое значение имеет приближенное решение дифракционных задач, основанное на принципе Гюйгенса-Френеля: Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных сферических волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (Х. Гюйгенс, 1678 г.). Амплитуда результирующей волны в любой точке пространства может быть найдена как результат интерференции всех вторичных волн, с учетом их фаз и амплитуд (О. Френель, 1818 г.) Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля Пусть S - волновая поверхность, не закрытая препятствием, P - точка наблюдения. Тогда элемент поверхности dS возбудит в точке P колебание: Результирующее колебание: Здесь k( φ) определяет зависимость амплитуды dE от угла между нормалью к площадке dS и направлением на точку P. Множитель a0 дает амплитуду светового колебания в том месте, где находится dS. Величины ω и k - круговая частота и волновое число сферической волны (15.1.7.), распространяющейся от элемента dS. 19.3. Зоны Френеля Вычисление интеграла в пункте (19.2.1.) в общем случае - трудная задача. В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла. Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля. Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P. Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е. Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным. |
|
4.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске: Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке P будет наблюдаться минимум, так как все открытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке P приблизительно гасят друг друга. При нечетном числе зон в точке P будет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными. Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m: Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения P. Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r0 и rm, получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля: При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум. |
4.5. Дифракционная решетка. Угловая дисперсия и разрешающая способность решетки. - это совокупность большого числа одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Расстояние d между соответственными точками соседних щелей называют периодом решетки: d = a + b. Угловая дисперсия дифракционной решетки По определению, угловой дисперсией D называется величина: Здесь и далее до конца этой главы, δ - знак дифференциала, т.к. буква d используется - она обозначает постоянную решетки. В определении угловой дисперсии δλ - разность длин волн двух соседних линий, δφ - соответствующая разность углов, под которыми наблюдаются главные максимумы. Выразим угловую дисперсию через постоянную решетки d, порядок спектра m и угол φ, под которым наблюдается максимум. Для этого найдем дифференциал от правой и левой части условия главного максимума (19.4.1): При малых φ Cosφ ≈ 1 и Разрешающая сила дифракционной решетки Здесь δλ - минимальная разница в длинах волн соседних спектральных линий, при которой эти линии еще можно наблюдать раздельно. |
|
4.4. Дифракция Фраунгофера на длинной щели и двух щелях: В случае дифракции Фраунгофера параметр b2/(Lλ ) << 1 (19.1). Это значит, что если размер препятствия b ~ λ, то расстояние до экрана наблюдения L >> b. Пусть на длинную щель шириной b падает плоская монохроматическая волна с длиной λ. Поместим между щелью и экраном наблюдения линзу так, чтобы экран наблюдателя находился в фокальной плоскости линзы. Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах (L → ∞ ). |