Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 11. Уравнение прямой линии на плоскости
1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.
Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат и базисными векторами . Тогда точка плоскости определяется координатами .
Пусть прямая линия лежит в плоскости и проходит через точку параллельно вектору .
Рис.1. Прямая , проходящая через точку
параллельно вектору .
Определение 1. Всякий ненулевой вектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.
Если точка плоскости лежит на прямой, то вектор коллинеарен . Значим, R такое, что
|
. |
(1) |
С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.
Таким образом, условие Мвыполнению уравнения (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.
Если обозначить радиус вектора точек через и соответственно, то и уравнение (1) принимает вид:
|
, |
(2) |
которое также называется векторным уравнением прямой.
Если , то (2) в координатах принимает вид
|
|
(3) |
– параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении вектора .
Исключая из уравнения (3) параметр t, получаем
|
|
(4) |
– каноническое уравнение прямой на плоскости.
Уравнение (4) понимается как пропорцию. Тогда, если, например, , то прямая параллельна оси Oy и проходит через точку .
Приведем уравнение (4) к общему знаменателю:
.
Если обозначить , то получим:
|
|
(5) |
– общее уравнение прямой на плоскости.
Так как , то хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.
Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.
Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид
где – частное решение уравнения (5) (например, при , частного решения можно выбрать вида , ), – фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точку и имеющей направляющий вектор .
Таким образом доказана следующая теорема.
Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.
Из доказательства теоремы 1 следует, что если – уравнение прямой, то вектор является направляющим вектором этой прямой.
Если , то из уравнения (5) получаем:
,
т.е.
, где .
Отметим, что в произвольной декартовой системе координат коэффициент не играет роль углового коэффициента (т.е. не равен тангенсу угла наклона прямой к оси ). Например, на рис. 2 прямая имеет уравнение (или в каноническом виде ) и перпендикулярна оси
L
Рис.2. Прямая в системе координат имеет уравнение .
Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки и , то вектор можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид
|
, |
(6) |
который называется уравнением прямой, проходящей через точки и .
Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)..
|
, |
который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь и равны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.
2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.
Пусть на плоскости задана аффинная система координат .
Утверждение 1. Для того чтобы прямые и , задаваемые соответственно уравнениями
|
, |
(7) |
и
|
, |
(8) |
совпадали, необходимо и достаточно, чтобы
|
. |
(9) |
Доказательство.
| Если прямые l1 и l2 совпадают, то это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. R:
|
. |
(10) |
Пусть т. принадлежит этим прямым. Тогда
.
Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, в силу (10) имеем , что вместе с (10) эквивалентно (9).
| Пусть выполняется (9). Тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎
Утверждение 2. Прямые и , задаваемые уравнениями (7) и (8) соответственно, параллельны и не совпадают
|
. |
(11) |
Доказательство.
| Если прямые и параллельны и не совпадают, то система несовместна, а это эквивалентно (в силу теоремы Кронекера-Конелли) условию ,
Последнее равносильно условию , что возможно лишь при выполнении (11).
| Из первого равенства (11) что прямые и параллельны, а из второго неравенства система уравнений (7), (8) несовместна прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎
Следствие (из утверждений 1 и 2). Прямые и пересекаются
|
. |
(12) |
Утверждение 3. Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7), (8), пересекаются в единственной точке . Тогда прямая проходит через точку она задается уравнением
|
, , |
(13) |
являющимся линейной комбинацией уравнений (7), (8).
Доказательство.
| Очевидно, а именно, если уравнение задается (13), то она проходит через точку.
| Пусть проходит через точку и имеет уравнение .
Возьмем на прямой произвольную точку , отличную от точки . Положим . Покажем, что уравнение для пропорционально (13) с выбранными .
Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямым и хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎
Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .
3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером . Пусть прямые и задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле
.
Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами – .
Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны
(15)
Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой
В дальнейшем построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.
Рис.3.
Пусть прямая и пусть длина , - угол между l1 и . Если т.М лежит на l1, то очевидно, что проекция
Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М. Тогда или
, (16)
где - расстояние от т. М до начала координат, - угол между и .
Другими словами, - полярные координаты т. М.
Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:
,
где
, .
Здесь - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:
(17)
– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс.
Отметим, что и - координаты орта нормали.
Покажем, что общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : . При этом .
Знак выбирается из условия, что , т.е. если то , и наоборот. Если С=0, то знак произвольный.
Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.
Рис.4.
Пусть - произвольная точка, . Пусть - направляющий вектор прямой l, ,. Очевидно, что расстояние от до l определяется по формуле:, т.е.
Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.
Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то, а если по одну, то . В первом случае , во втором - .
Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.
Пример. .
§ 12. Уравнение плоскости в пространстве
1°. Различные виды уравнения плоскости.
Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от размерности плоскости на единицу, а размерность плоскости отличается на единицу от размерности пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.
Утверждение 1. Пусть на плоскости задана т.и два неколлинеарных вектора и . Тогда т.
(1)
Доказательство.
| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны в силу неколлинеарности и , вектор может быть представлен как линейная комбинация и , т.е. справедливо (1).
| если справедливо (1), то компланарен с и , ч.т.д.∎
Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. и параллельно и . Зафиксируем в пространстве аффинную систему координат. Пусть и - радиус-вектора т.и М.
Тогда (1) перепишем:
(2)
- векторное параметрическое уравнение плоскости.
Если теперь зафиксировать координаты векторов ,,,, например , то уравнение (2) примет вид
(3)
Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде
,
,
,
представляющем собой линейную зависимость столбцов матрицы, то имеем
= 0. (4)
Разлагая этот определитель по первому столбцу, получим:
, (5)
где
. (6)
Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т. параллельно векторам
Если в плоскости заданы три точки , , , то в качестве векторов и можно принять . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, представляется в виде:
. (7)
Если в уравнении (5) раскрыть скобки и обозначить , то получим
(8)
- общее уравнение плоскости. Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля уравнение (8) является уравнением первой степени.
Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.
Докажем и обратное: а именно, любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.
Действительно, пусть в (8) . Тогда общее решение уравнения (8) можно записать в виде
Здесь частное решение определяет координаты точки, через которую проходит плоскость, а вектора параллельны рассматриваемой плоскости. Покажем, что плоскость, проходящая через полученную точку параллельно и определяется уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:
откуда имеем
,
что эквивалентно (8). Таким образом, доказана
Теорема 1. Плоскость в пространстве - это поверхность первого порядка.
2°. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.
Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8)
. (9)
Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости. Пусть , и точка получается по такому правилу, т.е. . Тогда имеет координаты . Проверим, что . Подставляя ее координаты в уравнение (8), имеем:
откуда в силу получаем ,ч.т.д.∎
Утверждение 2. Плоскости
(10)
и
(11)
параллельны тогда и только тогда, когда
. (12)
Доказательство.
| Плоскости параллельны, если вектор, параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.
| пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны в силу утверждения 1 выполняется:
,
ч.т.д.∎
Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), совпадают тогда и только тогда, когда
. (13)
Доказательство.
| очевидно
| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.
Пусть т принадлежит обеим плоскостям, тогда
.
В силу соотношения (12) получим: . Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎
Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), параллельны и не совпадают
. (14)
Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), пересекаются - неколлинеарны.
Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), пересекаются на прямой l. Тогда плоскость проходит через эту прямую её уравнение имеет вид:
, (15)
где одновременно.
Доказательство. Аналогично утверждению для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.
3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор, перпендикулярный . Тогда .
Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе имеет вид
.
Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно рассматривать как коэффициенты векторной нормали.
Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.
По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.
Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .
Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью , . Тогда произвольная т. М .
Другими словами,
, (16)
где - единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l, , где - углы с осями .
Таким образом, нормальное уравнение плоскости имеет вид
.
Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель
где знак выбирается из условия
Упражнение. Вывести формулу нахождения расстояния от точки до плоскости с помощью нормального уравнения плоскости.
§ 13. Уравнение прямой в пространстве
1°. Уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.
В предыдущем параграфе было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффинной системе координат уравнение прямой можно представить в следующем виде:
(1)
Условие не параллельности плоскостей и равносильно
(2)
Тогда система (1) при условии (2) представляет собой систему линейно независимых уравнений, которая совместна и имеет общее решение следующего вида:
, (3)
где - частное решение (1), - фундаментальная система решений соответствующей СЛОУ. Геометрически (3) означает, что т. , и т. получается прибавлением к радиус-вектору т. некоторого вектора, коллинеарного вектору
Таким образом, , по аналогии с прямыми на плоскости, является направляющим вектором прямой.
Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2), называется общим уравнением прямой в пространстве.
Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве. Его можно переписать в виде:
, (3')
где - радиус-вектор т. , - направляющий вектор.
Также уравнение (3) можно переписать в виде
(4)
- координатное параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Если исключить из (4) параметр t, то получим:
(5)
- каноническое уравнение прямой в пространстве. Здесь (5) необходимо понимать как пропорцию.
Пример. Если , значит прямая лежит в плоскости .
Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях и , что означает есть линия пересечения этих плоскостей, т.е. прямая, параллельная оси .
Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и , то вектор можно рассматривать как направляющий вектор, и в силу (5), уравнение такой прямой имеет вид
(6)
- уравнение прямой, проходящей через две точки.
Замечание. Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Отметим, что уравнение прямой (5) можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.
Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор
(7)
является направляющим вектором l.
Доказательство.
Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7), должен быть отличен от нулевого. Рассмотрим определитель следующего вида :
,
и разложим его по первой строке:
,
откуда в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, следует, что параллелен плоскостям и параллелен и их пересечению значит является направляющим вектором прямой пересечения, ч.т.д.∎
Замечание. Если уравнение прямой рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат, то вектора
являются векторами нормали для плоскостей и . В этом случае вектор
можно рассматривать в качестве направляющего вектора искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).
2°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Будем рассматривать прямые , заданные каноническими уравнениями:
(8)
(9)
Прямые либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.
Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:
В случае, если прямые параллельны или пересекаются, то существует плоскость, содержащая эти прямые. Поэтому выполняется условие:
. (10)
Если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо
Утверждение 2. Прямые скрещиваются .
Утверждение 3. Прямые параллельны векторы и коллинеарные. Более того, если прямые и совпадают, то вектор коллинеарен векторам и, и не коллинеарен им – если прямые не совпадают.
Пример. Прямые
и
совпадают.
3. Решение некоторых задач о прямой и плоскости в пространстве (расстояние между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).
Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.
Если , то возникает задача нахождения расстояния между ними:
Рис.7.
Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали .
Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость , содержащие эти прямые и плоскость , ???
Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет .
Если две прямые скрещиваются, то .
Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллелепипеда , построенного на векторах если в качестве основания брать параллелограмм, построенный на векторах : .
l1
0
Рис.4.
x
O
y
z
l
N
M
Рис.5.
Рис.5.
Рис.6.
h
O
M0
M
y
x
l
x
y
x
l
M
P
N
y
О
l1
M0
M
N
P