Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка
Шовкопляс Тетяна Володимирівна
УДК 517.9
НЕТЕРОВІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
01.01.02 - диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ - 2003
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Кривошея Сергій Арсенович,
Київський національний університет імені
Тараса Шевченка, доцент кафедри математики
та теоретичної радіофізики.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
\ Вірченко Ніна Опанасівна, Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”, професор кафедри математичного
аналізу і теорії імовірностей;
кандидат фізико-математичних наук, доцент, проректор Слов’янського
педагогічного університету
Чуйко Сергій Михайлович
Провідна установа -
Інститут математики НАН України, місто Київ,
відділ диференціальних рівнянь і теорії коливань.
Захист відбудеться 15 грудня 2003 р. о 14 на засіданні спеціалізованої
вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті і
мені Тараса Шевченка за адресою 03022, м. Київ, 22, просп. Академіка Глушкова, 6,
корпус 7, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного
університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033 м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий 7 листопада 2003 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради М. П. Моклячук
Актуальність теми. Теорія крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, систем із запізненням аргументу, систем з імпульсною дією, інтегро-диференціальних систем має широке практичне застосування і становить великий інтерес для дослідження. Різним аспектам теорії крайових задач присвячені роботи Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, О. А. Бойчука, М. Й. Ронто, І. Г. Малкіна, О. П. Проскурякова, В. А. Якубови-ча, В. М. Старжинського, Д. І. Мартинюка, Є. О. Гребенікова, Ю. О. Рябова та багатьох інших вчених. Серед іноземних вчених теорії крайових задач присвячені роботи таких науковців як G. D. Birkhoff, G. A. Bliss, D. Bainov, R. Conti, J. Hale, W. T. Reid, S. Schwabik, O. Veivoda, D. Wexler та ін.
Слабконелінійні і слабкозбурені крайові задачі аналізуються і досліджуються за допомогою ефективних методів теорії збурень: методу малого параметру Ляпунова-Пуанкаре, асимптотичних методів нелінійної механіки Крилова –Боголюбова –Митропольського, методу Вішика-Люстерника. Методи теорії збурень використовуються при дослідженні задач в таких галузях науки та техніки, як радіотехніка, суднобудування, біологія та ін.
Ці методи застосовуються при аналізі крайових задач для різних класів систем: крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, для автономних диференціальних систем, для операторних рівнянь у функціональних просторах, лінійна частина яких визначена фредгольмовим оператором.
Ефективними методами дослідження крайових задач є чисельно- аналітичні методи. Застосування чисельно-аналітичного методу А. М. Самойленка до двоточкових крайових задач, крайових задач з малим параметром, періодичних крайових задач, крайових задач з нефіксованою правою межею, двоточкових крайових задач з імпульсною дією, многоточкових крайових задач із скінченним числом імпульсів розглянуто в монографіях А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, М. Й. Ронто, С. І. Трофімчука та ін.
Зазначимо, що у більшості вищезгаданих наукових праць розглянуто випадок, коли оператор лінійної частини крайової задачі має обернений (фредгольмів некритичний випадок). В останні роки значна увага приділяється дослідженню крайових задач, лінійна частина яких не є оборотним оператором, і, зокрема, тому випадку, коли число крайових умов не збігається з розмірністю розв’язку. Зауважимо, що у науковій літературі цей клас крайових задач дістав назву нетерових. Дослідженню різних аспектів теорії лінійних і слабконелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, систем із запізненням аргументу, з імпульсною дією, інтегро-диференціальних систем, матричних диференціальних рівнянь з допомогою апарату узагальнено-обернених операторів присвячені роботи А. М. Самойленка, О. А. Бойчука, В. Ф. Журавльова, С. М. Чуйко, С. А. Кривошеї, Л. Каранджулова та інших авторів.
При дослідженні та аналізі крайових задач для диференціальних рівнянь як з імпульсною дією так і без неї ефективно використовується апарат функцій і операторів Гріна.
Незважаючи на те, що існує багато публікацій, присвячених вивченню різних аспектів теорії крайових задач, залишається ще багато питань, які потребують вивчення. Значний інтерес для вивчення представляють нетерові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією. В дисертаційній роботі теорія нетерових крайових задач переноситься на випадок систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.
Зв’язок з науковими програмами, темами Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Тематика дисертації пов’язана із науковими дослідженнями кафедри диференціальних і інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, зокрема, із виконанням завдань державних тем за номерами № 97502 та № 01 ДФ 038 –.
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання необхідних та достатніх умов розв’язності нетерових лінійних, слабконелінійних і слабкозбурених крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї, вивчення структур множин розв’язків таких задач.
Задачами дослідження є побудова операторів Гріна, узагальнених операторів і матриць Гріна, вивчення їх властивостей і застосування до побудови розв’язків вказаних крайових задач.
Об’єкт дослідження. Об’єктом дослідження є нетерові лінійні, слабконелінійні, слабкозбурені крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї.
Предмет дослідження. Предметом дослідження є нетерові лінійні та слабкозбурені (лінійні та нелінійні) крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та без неї.
Методи дослідження. Методи дослідження грунтуються на загальній теорії диференціальних рівнянь, теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією, методах теорії збурень: методі малого параметру Ляпунова-Пуанкаре, методі Вішика-Люстерника, методах узагальнених операторів і функцій Гріна, ітераційних методах, теорії псевдообернених (за Муром-Пенроузом) матриць.
Наукова новизна одержаних результатів.
Наукова новизна дисертаційної роботи полягає у тому, що в ній теорія лінійних і слабконелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь перенесена на випадок систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї.
. Розроблена теорія лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку у некритичному і критичному випадках. Знайдено умови розв’язності, побудовані узагальнені оператор і функція Гріна таких задач, досліджено їх властивості і структура множини розв’язків.
. Розроблена теорія лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу. Запроваджено поняття фундаментальної матриці відповідної лінійної однорідної системи з імпульсною дією. Встановлено зв’язок між фундаментальними матрицями лінійної однорідної системи з імпульсною дією та лінійної однорідної системи без імпульсної дії. Знайдено умови розв’язності, побудовані узагальнені оператор і функція Гріна, досліджено властивості узагальненої функції Гріна. Показано, зокрема, що похідна узагальненої функції Гріна у точках імпульсної дії має стрибок, параметри якого визначені коефіцієнтами вихідної імпульсної системи. За допомогою фундаментальної матриці лінійної однорідної системи з імпульсною дією у некритичному випадку побудовано функцію Гріна лінійної двоточкової задачі.
. Встановлені необхідна, а також достатня умови розв’язності слабконелінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у критичному випадку. Для слабконелінійної двоточкової крайової задачі з розщепленими крайовими умовами у некритичному випадку з допомогою функції Гріна і методу простих ітерацій знайдено розв’язок і доведено його єдиність.
4. Розв’язана задача регуляризації не скрізь розв’язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку з допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи і крайових умов. Отримано умову існування розв’язку збуреної лінійної крайової задачі у вигляді частини ряду Лорана за параметром .
Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати мають як теоретичне так і практичне значення. Вони доповнюють та розширюють існуючі результати з теорії нетерових крайових задач для різних типів диференціальних рівнянь і можуть бути застосовані в задачах нелінійної механіки при дослідженні коливних процесів у системах з імпульсним збуренням.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. Окремі дослідження велися спільно з науковим керівником. Зокрема, в спільній з науковим керівником роботі [7] С. А. Кривошеї належить постановка задачі та аналіз отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на міжвузівському семінарі Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”, а також на:
- Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р. );
П’ятій Кримській Міжнародній Математичній школі: “Метод функций Ляпунова и его приложения ” (Крим, Алушта, Сімферополь, 5-13 вересня 2000 р.);
- Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Одеса, 12-14 вересня 2000 р.);
- Міжнародній конференції присвяченій 100-річчю від дня народження академіка М. О. Лаврентьєва (Київ, 31 жовтня –листопада 2000 р.);
- Українському математичному конгресі, Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Київ, 27-29 серпня 2001 р.);
- Міжнародній конференції “П’яті Боголюбовські читання.” (Кам’янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.);
- Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 26-30 серпня 2003 р.).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 14 працях, з яких 7 статей –в наукових математичних журналах і збірниках наукових праць, 7 - у матеріалах та тезах міжнародних конференцій. Серед публікацій 7 праць у фахових наукових виданнях з переліку ВАК України.
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел (понад сто найменувань). Загальний обсяг дисертації становить 150 сторінок, основний зміст викладено на 135 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність розглядуваної теми, проведено огляд літератури, вказано мету і задачі дослідження, а також об’єкт та предмет дослідження, окрім того, подані методи дослідження, вказано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, кількість публікацій, структуру та обсяг роботи. У вступному параграфі наведені необхідні відомості з теорії псевдообернених матриць та теорії лінійних алгебраїчних систем з прямокутною матрицею.
Перший розділ дисертації присвячено розгляду лінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку виду:, , , ,
де, , , - дійсні - вимірні матриці-функції; елементи матриці - , неперервно диференційовні на відрізку функції:, ,; елементи матриці - неперервні на відрізку функції:. - вимірна неперервна на вектор-функція:; - вимірна неперервна вектор-функція:. лінійний обмежений вимірний векторний функціонал, визначений на просторі - вимірних, неперервних на відрізку вектор-функцій:;,.
Розв’язок нетерової крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних на вектор-функцій, таких, що.
Проаналізована структура множини розв’язків однорідної крайової задачі. Отримана умова розв’язності лінійної неоднорідної задачі і знайдена її параметрична сім’я розв’язків у некритичному і критичному випадках. Показано, що у критичному випадку розв’язки задачі виражаються з допомогою узагальненого оператора Гріна. Введено поняття узагальненої функції Гріна. Сформульовані і доведені її властивості. Підсумком вищезазначених результатів є:
Теорема 1.1. Нехай виконується умова.
Тоді однорідна крайова задача має і лише лінійно незалежних розв’язків. Неоднорідна крайова задача розв’язна тоді і тільки тоді, коли вектор-функція і векторна стала задовольняють умову розв’язності,.
При виконанні цих умов крайова задача має - параметричну сім’ю розв’язків виду, , , де вимірна фундаментальна матриця однорідної системи, вимірна матриця, стовпчики якої утворюють повну систему лінійно незалежних розв’язків однорідної крайової задачі, , вимірна матриця, яка складається з лінійно незалежних стовпчиків вимірної матриці-ортопроектора, яка проектує простір на нуль-простір:,;, , - узагальнений оператор Гріна, який діє на вектор-функцію з простору таким чином:, вимірна матриця, псевдообернена за Муром-Пенроузом до матриці, яка визначена формулою:; вимірна матриця-ортопроектор, яка проектує простір на нуль-простір:,; матриця Коші відповідної системи диференціальних рівнянь.
Побудована узагальнена функція Гріна, сформульовані і доведені її властивості. Як приклади, розглянуті загальна двоточкова крайова задача та задача з крайовими умовами.
У другому розділі розглянута нетерова лінійна імпульсна крайова задача , , , , -деякий відрізок, , –точки імпульсної дії:,;, - вимірні дійсні матриці –функції, ,; елементи матриці неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії:; елементи матриці кусково неперервні:; матриці вимірні, елементи, яких належать полю дійсних чисел; вимірна неперервна вектор-функція і належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:; вимірна неперервна вектор-функція, яка належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:;, - вимірні вектори, елементи яких належать полю дійсних чисел; - лінійний обмежений векторний функціонал, визначений на просторі - вимірних, кусково-неперервних на відрізку вектор-функцій:.
Розв’язок нетерової імпульсної крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних на вектор-функцій, таких, що. Функції , , , вважаються неперервними зліва у точках розриву.
Введено поняття фундаментальної матриці відповідної лінійної однорідної імпульсної системи.
Зв’язок між фундаментальною матрицею однорідної імпульсної системи і фундаментальною матрицею однорідної системи без імпульсів, виражено за допомогою леми:
Лема 2.2. Нехай відома вимірна фундаментальна матриця однорідної системи без імпульсів.
Тоді, при виконанні вказаних вище умов, на кожному проміжку, , вимірна фундаментальна матриця однорідної системи з імпульсами виражається через вимірну фундаментальну матрицю однорідної системи без імпульсів таким чином: .
Проаналізована структура множини розв’язків однорідної крайової задачі, отримана умова розв’язності лінійної неоднорідної імпульсної крайової задачі і знайдена її параметрична сім’я розв’язків, яка виражається за допомогою узагальненого оператора Гріна,. Розглянуто некритичний і критичний випадки. Підсумком вказаних результатів є твердження:
Теорема 2.1. (Критичний випадок).
Нехай виконується умова.
Тоді однорідна імпульсна крайова задача має і лише лінійно незалежних розв’язків.
Неоднорідна імпульсна крайова задача розв’язна тоді і лише тоді, коли вектор-функція, вектори, , і вектор задовольняють умову розв’язності , (),
і мають параметричну сім’ю розв’язків виду , ,
де вимірна матриця, стовпчики якої утворюють повну систему лінійно незалежних розв’язків однорідної імпульсної системи другого порядку;; вимірна матриця, яка складається з лінійно незалежних стовпчиків матриці; - довільний вектор-стовпчик з простору;, , ,- узагальнений оператор Гріна, який діє на вектор-функцію та вектори, , таким чином: ,.
Побудована узагальнена функція Гріна:, де фунда-ментальна матриця однорідної імпульсної системи; сформульовані та доведені її властивості.
Теорема 2.2. Узагальнена - вимірна матриця Гріна імпульсної крайової задачі має властивості:
1. При, як функція від є розв’язком однорідної матричної імпульсної диференціальної системи другого порядку : , ,
2. При матриця Гріна задовольняє умовам: , .
. В точках імпульсної дії функція Гріна є неперервною ,а її похідна по задовольняє умовам:
. Матриця Гріна задовольняє крайову умову .
Як приклади, розглянуті крайова задача з крайовими умовами та двоточкова крайова задача з розщепленими крайовими умовами вигляду , ,
де вимірні матриці. У некритичному випадку (відповідна лінійна однорідна задача має лише тривіальний розв’язок) за допомогою властивостей функції Гріна, встановлених у другому розділі і фундаментальної матриці відповідної однорідної імпульсної системи побудовано функцію Гріна крайової задачі з розщепленими крайовими умовами і її єдиний розв’язок, який виражається через функцію Гріна.
У третьому розділі розглянута імпульсна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку з малим невід’ємним параметром , , , , ,
розглядуваний відрізок, , , точки імпульсної дії, , , , , - - вимірні дійсні матриці-функції, ,; елементи матриці - неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії функції:; елементи матриці кусково неперервні:; вимірна неперервна вектор-функція, яка належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій:; вимірна вектор-функція з простору кусково-неперервних по вектор-функцій:; - - вимірні матриці, елементами яких є дійсні числа;, матриці, - невироджені; лінійний обмежений - вимірний векторний функціонал, визначений на просторі кусково-неперервних - вимірних векторних функцій:. Розв’язок нетерової імпульсної крайової задачі шукається в класі - вимірних неперервних вектор-функцій, таких що. малий невід’ємний параметр. Функції, , , , , вважаються неперервними зліва у точках розриву.
Припускається, що в околі розв’язків породжуючої задачі нелінійна векторна функція неперервно диференційовна за першими двома аргументами і належить класу по змінній, векторні функціонали, , неперервно диференційовні (у розумінні Фреше) за першими двома аргументами. Крім того, функція і функціонали, , та вважаються неперервними по.
Розв’язана задача про знаходження необхідних умов існування розв’язків нетерової імпульсної крайової задачі таких, що, , які при перетворюються в один із розв’язків, породжуючої імпульсної крайової задачі. Побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд.
Теорема 3.1. Нехай породжуюча крайова задача розв’язна, тобто виконується умова, а збурена нелінійна нетерова крайова задача з імпульсною дією має розв’язок, , , який при перетворюється у розв’язок породжуючої крайової задачі з векторною сталою .
Тоді вектор задовольняє рівняння .
У випадку, коли справедливі тотожності, , , та, отримана достатня умова існування розв’язків розглядуваної задачі.
У випадку, коли породжуюча крайова задача нерозв’язна, розглянута лінійна неоднорідна крайова задача для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та малим збуренням лінійних членів (слабкозбурена лінійна крайова задача): , , , , ,
де та вимірні вектор-функції;, , , - - вимірні матриці-функції; елементи матриці - дійсні, неперервно диференційовні з розривами першого роду в точках імпульсної дії функції:, ,; елементи матриці -дійсні, кусково-неперервні функції:;, - - вимірні матриці, елементами яких є дійсні числа;,; лінійні обмежені вимірні векторні функціонали:; малий невід’ємний параметр.
Припускається, що у породжуючої крайової задачі не існує розв’язків при довільних неоднорідностях, , , та, тобто, незбурена крайова задача є нерозв’язною. Це означає, що має місце критичний випадок. Розглянута і розв’язана задача регуляризації: чи можна за допомогою лінійних збурень, , , зробити слабкозбурену імпульсну крайову задачу скрізь розв’язною. Якими мають бути збурюючі доданки, щоб слабкозбурена імпульсна крайова задача була розв’язною скрізь при неоднорідностях, , , та.
Встановлено умови, за яких слабкозбурена імпульсна крайова задача має єдиний розв’язок, який при має вигляд збіжного ряду Лорана. Коефіцієнти цього ряду шукаються з допомогою методу Вішика-Люстерніка.
У третьому розділі також розглядається нелінійна імпульсна крайова задача з розщепленими крайовими умовами, ,
вимірна вектор-функція, розглядуваний відрізок, точки імпульсної дії:,;, , , , ,- сталі вимірні матриці;, ,;.
Припускається, що для вектор-функцій, та, , де, виконуються умови:
) вектор - функція неперервна по;
) для кожного вектор - функція як функція змінних, неперервна на множині:;
) для всіх і вектор - функція обмежена за нормою і задовольняє умові Ліпшиця:, ,
де, , - сталі Ліпшиця;
) для всіх вектор - функції, , обмежені за нормою та справджують умову Ліпшиця: , , , ,
де, , , -сталі Ліпшиця, ,.
Сталі величини, , , , , , , достатньо малі і задовольняють такі нерівності: , , , де,.
Розв’язок нелінійної імпульсної крайової задачі шукається у класі функцій таких, що,.
За умови, що однорідна крайова задача з імпульсною дією має лише тривіальний розв’язок, з допомогою функції Гріна і переходу до еквівалентного інтегро-суматорного рівняння методом простих ітерацій показано, що нелінійна імпульсна крайова задача з розщепленими крайовими умовами має єдиний розв’язок, який є границею рівномірно збіжної послідовності вектор-функцій.
В И С Н О В К И
Дисертаційна робота присвячена актуальним питанням конструктивного аналізу загальних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією. В роботі поставлена і розв’язана задача отримання конструктивних умов розв’язності крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу. Загальні крайові умови задаються з допомогою обмежених (лінійних і слабконелінійних) векторних функціоналів.
У роботі:
- встановлено необхідні і достатні умови розв’язності загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією;
- побудовано узагальнені матричні функції Гріна лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку і систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та досліджено їх властивості. За допомогою узагальнених матриць Гріна побудовані множини розв’язків відповідних крайових задач;
- визначено коефіцієнтну умову виникнення розв’язку слабкозбуреної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку, коли відповідна породжуюча задача не має розв’язків;
- знайдено необхідну умову розв’язності слабкозбуреної нелінійної імпульсної крайової задачі у критичному випадку;
отримано аналог рівняння для породжуючих амплітуд;
- встановлено достатню умову існування розв’язку слабкозбуреної імпульсної нелінійної крайової задачі у критичному випадку;
- з допомогою фундаментальної матриці лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь другого порядку побудована матриця Гріна крайової задачі з розщепленими двоточковими крайовими умовами у некритичному випадку і побудовано розв’язок крайової задачі у лінійному і нелінійному випадках.
Результати дисертації мають теоретичний характер і узагальнюють теорію нетерових лінійних і слабконелінійних крайових задач на випадок крайових задач для систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Шовкопляс Т. В. Необхідні та достатні умови існування розв’язку крайової задачі // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб-к науч. трудов. –Киев: Ин-т м-ки НАН Украины. –. –С. 280-282.
Шовкопляс Т. В. Некритична квазілінійна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Зб-к наук. пр. Чернівецький держ. ун-т ім. Ю. Федьковича. –. –Вип. 4. –С. 202-213.
Шовкопляс Т. В. Критерій розв’язності лінійної крайової задачі для системи другого порядку // Укр. Мат. Журн. –. –Том 52, № 6. –С. 861-864.
Шовкопляс Т. В. Лінійні крайові задачі для імпульсних систем другого порядку // Нелінійні коливання. –Наук. ж-л. –Київ: Ін-т м-ки НАН України. –. –Том 3, № 4. –С. 571-578.
Шовкопляс Т. В. Про розв’язність лінійних двоточкових крайових задач з імпульсною дією // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Математика. Механіка. –. –Вип 3. - С. 48-53.
Шовкопляс Т. В. Слабкозбурені лінійні крайові задачі для систем диференціальних рівнянь другого порядку // Доп. НАН України. –. –№ 4. С. 31-36.
Кривошея С. А., Шовкопляс Т. В. Необхідна умова розв’язності нетерової імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь другого порядку // Вісн. Київ-го ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. –. –Вип. 1. - С. 86-95.
ТЕЗИ
Ронто А. М., Шовкопляс Т. В. Про одну крайову задачу для квазілінійної імпульсної системи другого порядку // Матеріали Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми математики”.–Частина 2. –Чернівці –Київ: Чернівецький держ. ун-т, Ін-т математики НАН України. –. –С. 258-260.
Шовкопляс Т. В. Критерій розв’язності лінійної імпульсної крайової задачі для систем другого порядку // Труды Пятой Крымской Междунар. Математической школы “Метод функций Ляпунова и его приложения” (МФЛ -2000). –Крым, Алушта, Симферополь: Таврический нац. ун-т им. В. И. Вернадского. –-13 сентября 2000. –С. 171.
Шовкопляс Т. В. Критична крайова задача для системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Диференціальні та інтегральні рівняння. // Тези доповідей Міжнар. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння”. –Одеса: Одеський держ. ун-т ім. І. І. Мечникова. –-14 вересня 2000. –С. 304.
Shovcoplyas T. V. (Kyiv, Ukraine). Weakly nonlinear boundary value problems for systems of the second order differential equations // Abstracts of reports International conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary. –Ukraine, Kiev: Institute of Mathematics NAS of Ukraine. – 31 October - 3 November 2000. –P. 58-59.
5. Шовкопляс Т. В. Необхідна умова існування розв’язку нелінійної імпульсної крайової задачі для системи диференціальних рівняннь другого порядку. // Український математичний конгрес - 2001. Тези доповідей Міжнар. конф. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. –Київ: Ін-т математики НАН України, Київський нац. ун-т ім. Тараса Шевченка. –-29 серпня 2001. –С. 168.
.Шовкопляс Т. В. Умови існування розв’язків крайової задачі з імпульсною дією // Тези доповідей Міжнар. конф. П’яті Боголюбовські читання присвяченої пам’яті професора Д. І. Мартинюка “Теорія еволюційних рівнянь”. –Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський держ. педагогічний ун-т. –-24 травня 2002 р. –С. 180.
.Шовкопляс Т. В. Нетерова імпульсна крайова задача та необхідні умови її розв’язності // Тези доповідей Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання”. –Чернівці: Чернівецький нац. ун-т ім. Юрія Федьковича. –-30 серпня 2003. –С. 249.
АНОТАЦІЯ
Шовкопляс Т. В. Нетерові крайові задачі для імпульсних систем диференцііальних рівнянь. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003 рік.
У дисертації досліджуються питання конструктивного аналізу нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу.
Встановлені необхідні і достатні умови розв’язності загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією і без неї. Побудовані узагальнені матричні функції Гріна відповідних крайових задач і досліджено їх властивості, також побудовано узагальнений оператор Гріна. Розв’язана задача регуляризації не скрізь розв’язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі з допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи і крайових умов.
Отримано коефіцієнтну умову виникнення розв’язку слабкозбуреної імпульсної лінійної нетерової крайової задачі в тому випадку, коли відповідна породжуюча крайова задача не має розв’язків. Для слабкозбурених нелінійних крайових задач отримано необхідну умову існування розв’язку в критичному випадку, побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд, отримано достатню умову існування розв’язку в критичному випадку.
Побудовані узагальнені матричні функції Гріна та оператор Гріна відповідних крайових задач; встановлені та досліджені властивості узагальнених матричних функцій Гріна.
Ключові слова: псевдообернена матриця, нетерова імпульсна крайова задача, узагальнений оператор і функція Гріна, критичний випадок нетерової крайової задачі, рівняння для породжуючих амплітуд, критерій розв’язності лінійної алгебраїчної системи з прямокутною матрицею, критерій розв’язності лінійної крайової задачі.
АННОТАЦИЯ
Шовкопляс Т. В. Нетеровы краевые задачи для імпульсних систем диференциальних уравнений. –Рукопис.
Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 –дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2003.
В диссертации исследуются вопросы конструктивниго анализа нетеровых краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений второго порядка с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени.
Определены необходимые и достаточные условия разрешимости общих нетеровых линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с импульсным воздействием и без него.
Построены обобщенные матричные функции Грина соответствующих краевых задач и исследованы их свойства; также построен обобщенный оператор Грина. Разрешена задача регуляризации не везде разрешимой линейной нетеровой импульсной краевой задачи с помощью слабых возмущений коеффициентов импульсной системы и краевых условий.
Получено коефициентное условие возникновения решения слабовозмущенной импульсной линейной нетеровой краевой задачи в том случае, когда соответствующая порождающая краевая задача не имеет решений. Для слабовозмущенных нелинейных краевых задач получено необходимое условие существования решения в критическом случае, построено аналог уравнения для порождающих амплитуд, получено достаточное условие существования решения в критическом случае. Построены обобщенные матричные функции Грина соответствующих краевых задач и исследованы их свойства.
Ключевые слова: псевдообратная матрица, нетерова импульсная краевая задача, обобщенный оператор и функция Грина, критический случай нетеровой краевой задачи, уравнение для порождающих амплитуд, критерий разрешимости линейной алгебраической системы с прямоугольной матрицей, критерий разрешимости линейной краевой задачи.
ABSTRACT
Shovcoplyas T. V. Noether’s boundary value problems for system of differential equations. –Manuscript.
The dissertation for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. Kyiv Taras Schevchenko National University. Kyiv, 2003.
This thesis deals with questions of constructing analises of Noether’s boundary problems for the system of ordinary differential equations of the second order and the systems of differential equations of the second order with impulses at fixed moments of time. In this thesis the problem of obtaining constructive conditions are given by limited (linear and weakly non-linear) functioners of common type. Necessary and sufficient conditions for the solution of common type. Necessary and sufficient conditions for the solution of common Noether’s boundary problems for the systems of ordinary differential equations of the second order with impulse action and without it are set up. Generalized matrix Green functions of certain boundary problems are constructed and their properties are investigated. The coefficient condition of occuring the solution of weakly perturped linear impulse of Noether’s boundary problem does not have the solution is obtained. For weakly perturbed non-linear boundary problems necessary conditions of the solution existance in critical case in set up and an analog of the equation for generating amplitudes is constructed, the sufficient condition for the existance of solutions in the critical case set up.
Methods of research are based on the theory of pseudo inverse matrices, the general theory of differential equations, the theory of system differential equations with impulse action, methods of the theory of perturbation, methods of generalized operators and Green functions, iteration methods.
The theory of linear Noether’s boundary problems for the system of ordinary differential equations of the second order in non-critical and critical cases is developed. Conditions of solutions are founded, generalized Noether’s Operators and generalized Green’s Functions are constructed. The theory of linear Noether’s boundary problems for the system of differential equations of the second order with impulse action at the fix time is developed. The notion of fundamental matrix of the corresponding linear homogeneous system differential equations with impulse action is introduced. The link between fundamental matrixs of linear homogeneous system differential equations with impulse action and linear homogeneous system differential equations without impulse action is established.
The conditions of solutions are found, generalized operator and Green function are constructed, properties of generalized function are investigated. In particular it is shown that the derivative of the generalized Green function in points of impulse action has a jump, whose parameters are defined by coefficients of output impulse system. By fundamental matrix of linear homogeneous system with the impulse action in noncritical case the Green function of linear two-point problem is constructed.
The necessary and sufficient conditions of solving weekly-non-linear Noether’s boundary problems for the system of ordinary differential equations of the second order with impulse action at the fix time is established. For weekly-non-linear two-point boundary problem with disconnected boundary conditions in non critical case the solution is found and its unity is proved by Green function and the method of simple iterations.
Effective methods of perturbation theory are applied to analysis boundary problems for different types of systems: boundary problems for systems ordinary differential equations, boundary problems for different types of systems: boundary problems for systems ordinary differential equations, boundary problems for systems ordinary differential equations with impulse action at the fix time, boundary problems for systems of non-linear differential equations, boundary problems for systems of non-linear differential equations with impulse action at the fix time and other.
The Boundary problems linear’s part of which are noninverse operators are considered in this work. Besides the event when number of boundary environments are not equalized with dimension of solutions is described here. (Noether’s non-critical and critical cases). This type of boundary problems have got the Norther’s name in scientific literature. Traditional methods of investigations can not to be applied to these problems which are based on direct application of the principal of fix point.
The instrument of Green’s functions and operators are applied by investigation and analysis of boundary problems for differential with impulse effect and for differential equations without impulse effect. Noether’s boundary problems for the systems of differential equations of the second order are of significant interest for studying.
This work is devoted to actual problems of constructive analysis Noether’s boundary problems for the systems of ordinary differential equations and for the systems of differential equations with impulse action at fixed time. The problem of receiving constructive conditions of solvability boundary problems for the systems of ordinary differential equations of the second order with impulse action at fixed time is set and solved in this work. General boundary problems are given by means of restricted (linear and weaklynonlinear) vectorial functionals.
Necessary and sufficient conditions of solvability general Noether’s linear boundary problems for systems ordinary differential equations of the second order and systems differential equations of the second order with impulse action at the fixed time have been received.
Generalized Green’s matrices functions of linear Noether’s boundary problems for the systems of ordinary differential equations of the second order and for the systems of differential equations of the second order with impulse action have been built and investigated its properties have been researched. The set of solutions of boundary problems have been constructed by means of Generalized Green’s matrices. On conditions that corresponding origin problem has not the solutions one has determined coefficient conditions of solution’s creating weakly perturbation of linear Noether’s boundary problems for the systems of differential equations of the second order with impulse action. Necessary condition of solvability weakly perturbation nonlinear boundary problems for the systems of differential equations of the second order with impulse action in the critical case has been found out. Analog of equation for generating amplitudes has been obtained.
Sufficient condition of solution existence of weakly perturbation nonlinear impulse boundary problem in critical case has been set. The Green matrix of boundary problem with separated two-point boundary problem in non-critical case and the solution of boundary problem in linear and non-linear events have been constructed by means of fundamental matrix of linear homogeneous system of differential equatians of the second order. Obtained results generalize theory Noether’s linear, weakly non-linear boundary problems for the boundary problems event for the systems of differential equations of second order with impulse effect at fix time.
Key words: Noether’s impulse boundary value problem, pseudoinverse matrix, Generalized Noether’s Operators and Generalized Green’s Funktions, Noether’s boundary value problem in critical case, equation generation’s amplitude, the criterion of solvability linear algebraic system with rectangular matrix .