ТЕМАТИКИ

Работа добавлена на сайт samzan.net:

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ВОЕННЫЙ ИНСТИУТ С ВЯЗИ

РАКЕТНЫХ ВОЙСК

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УТВЕРЖДАЮ

Зам. начальника по УНР

полковник О.Малофей

Л Е К Ц И Я

по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для курсантов

специальности: «Сети связи и системы коммутации»

специальности: «Многоканальные телекоммуникационные системы»

специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение»

ТЕМА № 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция № 9 Законы распределения непрерывной случайной величины

Обсуждено на заседании кафедры

протокол № 25 от 11.04.2007

Ставрополь

Учебные и воспитательные цели: уяснить основные законы распределения непрерывной случайной величины: равномерный и показательный

Учебно - материальное обеспечение:

Плакат «Непрерывные распределения»

Время - 90 мин.

Распределение времени лекции

Проверка готовности курсантов к занятию - - 2 мин.

Вступительная часть - 3 мин.

Учебные вопросы занятия:

1. Равномерное распределение, числовые характеристики .- 30 мин

Показательное распределение, числовые характеристики - 30 мин.

Показательный закон надежности. Функция надежности - 20 мин.

Заключение - 2 мин.

Задание курсантам для самостоятельной работы - 3 мин.

Содержание

Вступительная часть

На предыдущей лекции вы рассматривали законы распределения дискретных случайных величин ( какие ? – биномиальный и Пуассона).

Теперь перейдем к изучению законов распределения непрерывной случайной величины. Как известно, непрерывная случайная величина задается интегральной (как и дискретная случайная величина) и дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения).

О непрерывной случайной величине мы говорили как о переменной, которая в результате испытаний может принять любое значение в одном или нескольких интервалов.

К таким величинам принадлежат, например, погрешности обработки, ошибки измерений, шумы в радиоприемных устройствах, расстояние точки поражения до цели и т.д.

Равномерное распределение, числовые характеристики

Пусть возможные значения случайной величины Х заключены в интервале .

Распределение вероятностей называют равномерным если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение.

О.1.1. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется равномерным, если он описывается функцией:

Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать, с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, Х имеет равномерное распределение.

Найдем значение постоянной С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то по свойству дифференциальной функции должно выполняться равенство

Отсюда

Итак, закон равномерного распределения аналитически можно записать так:

График дифференциальной функции равномерного распределения изображен на рис. 1.

Рисунок 1

Найдем интегральную функцию равномерного распределения.

Для этого воспользуемся формулой .

Если , то .

Если , то и, следовательно,

Если , то

. Итак аналитическое выражение интегральной функции распределения имеет вид (рисунок 2):

Рисунок 2

Математическое ожидание , т.к. график дифференциальной функции равномерного распределения симметричен относительно прямой . Этот результат получится, если математическое ожидание вычислить по формуле.

Известно, что математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то

Пример 1: цена деления шкалы амперметра равна . Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая .

Решение: ошибку округления отсчета будем рассматривать как случайную величину , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями (рисунок 3) . Дифференциальная функция

Рисунок 3

Перейдем к следующему вопросу лекции, посвященному показательному закону распределения.

Показательное распределение, числовые характеристики

О.2.1. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью

где положительная константа (рисунок 4) .

Рисунок 4.

Показательное распределение имеет один параметр . Очевидно, проще оценить один параметр по результатам испытаний, чем несколько. Найдем интегральную функцию распределения вероятностей:

Тогда

График интегральной функции представлен на рисунке 5.

Рисунок 5

Найдем числовые характеристики показательного распределения

Известно, что . Тогда, интегрируя дважды по частям, получим

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством:

Показательное распределение широко применяется в теории надежности, а одним из основных понятий является функция надежности.

Показательный закон надежности. Функция надежности

О.3.1. Элементом называют некоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени , а в момент происходит отказ. Обозначим через - непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы элемента. Тогда функция распределения

определяет вероятность отказа за время длительностью . Тогда вероятность безотказной работы за время длительностью , т.е. вероятность противоположного события , равна

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью :

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого .

Следовательно, в силу равенства

имеем для показательного распределения времени безотказной работы элемента функцию надежности в виде:

Показательным законом надежности называют функцию, определяемую равенством:

где - интенсивность отказа. Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью , если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример 2. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью часов элемент откажет.

Решение.

Заключение. Таким образом, мы с вами изучили два закона распределения вероятностей непрерывной случайной величины: равномерный и показательный. На следующей лекции мы рассмотрим основной закон распределения – нормальный.

Задание курсантам на самоподготовку

Учить: лекция №9

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика -М.: Высшая школа, 2001. стр118-119,146-152

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003, стр. 97-101

3. Сподынюк С.В., Васильженко Л.Б., Орехова Т.И., Гулянская О.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики. – Ставрополь: СВИС РВ, 2004, стр.109-119

Использованная для подготовки лекции литература:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа , 2001.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003

3. Вентцель Е.С. , Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.

4. Максимов Ю.Д. Лекции и практические занятия по высшей математике. Теория вероятностей – Ленинград, 1970.

5. Сподынюк С.В., Васильженко Л.Б., Орехова Т.И., Гулянская О.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики. – Ставрополь: СВИС РВ, 2004

Лекция переработана

С. Сподынюк

EMBED Equation.3

1. Специфика подачи информации на телеканалах Первый, НТВ, РенТВ
2. УжгородБратислава Прага Январь
3. 5
4. варианту марксистского атеизма 1
5. тематическое положение Подробно рассмотреть жизненный цикл гельминтов с названиями личиночных стадий
6. Темы и мотивы образа автора в романе ВВ Набокова Другие берега
7. Холодный Том 1 Племя скрылось
8. Правовладение и его виды в Римском праве
9. Курсовая работа- Учет расчетов со смежными организациями
10. Криминалистическая трасология
11. Наскальные рисунки
12. нибудь задумывался над тем насколько могут быть одиноки наши близкие Как трудно жить пожилым людям в одиноч
13. методического управления О
14. Основными задачами финансовой политики являются- обеспечение соответствующими финансовыми ресурса.html
15. ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Герман Гессе Петер Каменцин
16. Вариант 6 Выполнил- ст
17. Системы автоматизированного проектирования
18. 1 ~німдерді сату мен ~ызметтер к~рсетуден т~скен табыс
19. 4 Введение 2
20. фабриката в г Масса готового продукта в г Масса нетто на 2 порции

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе