Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Типовые задания, решения вариантов типовых заданий и литература
для самостоятельной подготовки к экзамену (зачету, тесту) по
математике, 3 семестр для студентов заочной (сокращенной) формы
обучения инженерно-технических специальностей
Раздел 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
1.1. 1.2. 1.3.
1.4. 1.5.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Раздел 2. Элементы теории поля
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5.
Раздел 3. Теория функций комплексной переменной
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5.
5.1. 5.2. 5.3.
5.4. 5.5.
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5.
7.1. 7.2. 7.3.7.4.7.5.
Раздел 4. Операционное исчисление
8.1. 8.2. 8.3.
8.4. 8.5.
9.1.9.2.9.3.
9.4.9.5.
10.1. 10.2.
10.3. 10.4.
10.5.
Решение типовых заданий
Типовые задания 1–10 предназначены для студентов заочной (сокращенной)
формы обучения инженерно-технических специальностей.
При решении типовых заданий 1–10 студенты должны использовать методические пособия [1]–[8].
1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной линиями
. Построить область .
Решение. Строим график функции (прямая). Находим: Строим график функции (парабола). Находим нули параболы: Так как , то ветви параболы направлены вверх (рис. 1). Находим точки пересечения графиков функций:
Тогда площадь плоской области вычисляется с помощью двойного интеграла, который выражается через повторный:
Рис.1.
2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями, .
Решение. Область интегрирования (рис. 2) ограничена сверху параболой , а снизу прямой . Пределы интегрирования и
определяются из системы уравнений:
Отсюда получаем уравнение:
или , которое имеет корни , . Таким образом, пределы интегриро-
вания , . Тогда площадь плоской области вычисляется с по-
мощью двойного интеграла, который выражается через повторный:
3. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .
Решение. Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке находится по формуле
Так как на кривой , то причем точке от-
вечает значение , а точке отвечает значение . Тогда получим:
4. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке .
Решение. Работа силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке находится по формуле
Запишем каноническое уравнение прямой , проходящей через точки и :
Отсюда следует параметрическое уравнение прямой :
Тогда получим:
5.Найти циркуляцию силы при перемещении вдоль контура
(обход по контуру происходит против часовой стрелки).
Решение. Циркуляция силы при перемещении вдоль контура
находится по формуле
Точки пересечения линий и находим из системы уравнений:
На кривой меняется от до , а на кривой
меняется от до . Тогда получим:
6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля
.
Решение. Векторное поле является потенциальным, если ротор поля равен нулю: . Ротор поля в базисе дается формулой:
Находим:
Следовательно,, а, значит, век-
торное поле не является потенциальным.
Векторное поле является соленоидальным, если дивергенция поля равна нулю: . Дивергенция поля в базисе дается формулой:
Находим:
Следовательно, , а, значит, векторное поле не
является соленоидальным.
7. Вычислить
Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:
8. Вычислить интеграл , используя основную теорему теории
вычетов. Построить контур интегрирования.
Решение. Контуром интегрирования является окружность . Сравни-
вая общий вид уравнения окружности с , находим:
. В комплексной плоскости переменной строим окружность
(рис. 3). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
теля: – полюсы первого порядка подынтег-
ральной функции. Точка попала внутрь области, ограниченной ок-
ружностью . Используя основную теорему теории вычетов и фор-
мулу для вычета в полюсе первого порядка, ,
находим:
9. Вычислить интеграл , используя основную теорему
теории вычетов. Построить контур интегрирования.
Решение. Контуром интегрирования является окружность .
Сравнивая общий вид уравнения окружности с , находим:
. В комплексной плоскости переменной строим окружность
(рис. 4). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
теля:
–
полюсы второго порядка подынтегральной функции. Точка попала
внутрь области, ограниченной окружностью . Используя основную
теорему теории вычетов и формулу для вычета в полюсе порядка,
, находим:
10. Вычислить производную аналитической функции в точке
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, на-
ходим:
11. Решить задачу Коши операционным методом.
Решение. Обозначим изображение Лапласа для оригинала через
Используя формулу для изображения производной и таблицу
изображений, находим:
Тогда, подставляя найденные выражения в исходное дифференциальное
уравнение, получим:
Коэффициенты и находим методом вычеркивания, а коэффициенты и
– общим методом:
Следовательно, для изображения получим выражение:
Отсюда, используя таблицу изображений, находим искомое решение:
12. Вычислить и
Решение. 1) Запишем комплексное число в показательной форме:
. Находим:
Тогда по правилу возведения комплексного числа в дробную степень получим:
Здесь использовали формулу Эйлера:
2) Запишем комплексное число в показательной форме:
. Находим:
Тогда по правилу возведения комплексного числа в целую степень получим:
Здесь также использовали формулу Эйлера:
13. Найти изображение для оригинала .
Решение. Используя формулу тригонометрии , запишем
выражение для оригинала в виде:. Нахо-
дим изображения функций, входящих в выражение для , используя свой-
ства преобразования Лапласа и таблицу изображений элементарных функций:
Тогда получим:
14. Восстановить оригинал по его изображению
.
Решение. Находим оригиналы изображений, входящих в выражение для ,
используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений элемен-
тарных функций:
Тогда получим:
Литература
шая математика», разделы «Теория функций комплексного перемен-
ного. Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математичес-
кая статистика», № 2199, 1997 г.
циплине «Высшая математика», разделы «Теория функций комплекс-
ного переменного. Операционное исчисление. Теория вероятностей.
Математическая статистика», № 2231, 1997 г.
«Теория функции комплексного переменного и операционное исчисле-
ние» к контрольным заданиям по одноименному разделу курса «Мате-
матика» для студентов заочного отделения технических специальнос-
тей, часть 4, № 2948, 2004 г.
ции комплексного переменного и операционное исчисление» к конт-
рольным заданиям по разделу «Математика» для студентов заочного от-
деления технических специальностей, часть 4, № 2950, 2004 г.
Составил: доцент Черниченко Ю.Д.
x
y
1
-3
(
;
y
)
y
D
1
-
=
a
x
x
11
2
11
x
y
-
=
b=11
y = – 10x
Рис. 2.
y
Re z
Im z
5i
-5i
Рис. 3.
Rez
Im z
-5
Рис. 4.