Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
12. Операторный метод решения дифференциальных уравнений
13. Прямое и обратное преобразование Лапласа
Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат.
Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле: , (2.1) где - комплексная переменная.
На функцию x(t) накладываются некоторые ограничения /3/. Иногда для простоты пользуются символической записью выражения (2.1) в виде: , где L - оператор прямого преобразования Лапласа.
Функция x(t) называется оригиналом, а Х(р) - изображением. В таблице 2.1 приведены преобразования Лапласа для некоторых функций х(t). Кроме прямого существует также и обратное преобразование Лапласа, определяемое по формуле:, (2.2) где интеграл берется на комплексной плоскости р вдоль любой прямой . Символически операцию обратного преобразования Лапласа по (2.2) записывают в виде: .
Обратное преобразование Лапласа можно определить по (2.2), из табл. 2.1, а также с помощью теоремы вычетов, из которой следует соотношение: где - вычеты подынтегральной функции n - число полюсов функции где она обращается в бесконечность.
Вычет в простом полюсе определяется по формуле: а вычет в полюсе кратности k:
Таблица 2.1
14. Операторные изображения производной и интеграла
При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяются операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью некоторого функционального преобразования.
Это преобразование выбирается так, чтобы операции интегрирования и дифференцирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями. В этом случае дифференциальные уравнения для оригиналов переводят в алгебраические для их изображений.
Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:
, (10.1)
где p = G + jη – комплексное число.
Операторное изображение действительной функции f(t) является функцией комплексного числа p.
Для того чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение, функция f(t) должна удовлетворять определенным условиям. Она должна удовлетворять условиям Дирихле: за любой конечный промежуток времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. Кроме того, будем считать, что при t > 0 удовлетворяется условие: , где A и α – некоторые положительные числа. Все реальные токи и напряжения удовлетворяют этим условиям. Для того чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение, необходимо полагать G > α.
Комплексное число p называют оператором.
Условимся записывать преобразование Лапласа в виде
F(p) = L[f(t)].(10.2)
Соответствие между оригиналом и изображением
F(p) := f(t). (10.3)
По определению, преобразование Лапласа применимо с момента t = 0+. Обозначая значение функции и ее производных и т.д., будем понимать под ними их значение при t = 0+.
Существует обратное функциональное преобразование Лапласа, по которому можно определить оригинал, зная его изображение. Его называют обратным преобразованием Лапласа:
,(10.4)
где p = G0 + jη.
Обратное преобразование Лапласа кратко записывается в виде
L–1[F(p)] = f(t).(10.5)
Соттветствие некоторых характерных функций и их изображений приведено приложении.
В электротехнике распространено также функциональное преобразование, называемое преобразованием по Карсону:
. (10.6)
Достоинством преобразования по Карсону является одинаковость размерностей оригинала и изображения. При преобразовании Лапласа размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на размерность времени.
Достоинством преобразования по Лапласу является его соответствие с преобразованием Фурье, на котором основывается широко используемый в настоящее время частотный метод анализа цепей. В дальнейшем будем использовать преобразование Лапласа.
Преобразование производной
.(10.7)
Изображение второй производной
. (10.8)
Изображение производной n-го порядка
. (10.9)
При нулевых начальных значениях
.(10.10)
Изображение интеграла
. (10.11)
В дифференциальных уравнениях электрических цепей с производной во времени чаще всего встречаемся в напряжении на катушке: . Операторное изображение для uL
.(10.12)
С интегралом чаще всего встречаемся в выражении напряжения на конденсаторе: .
Изображение по Лапласу
, (10.13)
где UC(0)/p – изображение постоянной величины uC(0).
Таким образом, при составлении уравнений цепи в операторной форме автоматически будут учитываться физические начальные условия – значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах при t = 0.
Соответствие некоторых наиболее часто встречающихся функций их изображениям приведено в приложении. Более полно таблицы соответствия оригиналов и изображений приведены в справочниках по высшей математике.
При использовании преобразования Карсона следует умножить все изображения на p.
Изображение функции, смещенной во времени на величину x:
. (10.14)
Если изображение смещено в комплексной плоскости на комплексное число α, то
. (10.15)
15. Анализ и синтез динамических систем
16. Передаточная функция инерционного звена и соединений звеньев
17. Введение мультипликатора в контур обратной связи с моделью Кейнса
18. Введение акселератора в контур обратной связи с моделью Кейнса
19. Понятие об устойчивости линейных динамических систем
20. Обобщенная модель многосвязной линейной динамической системы
21. Открытые и замкнутые однопродуктовые модели Леонтьева.
Инвестиции, сделанные за некоторый период времени, идут на приращение производственных фондов и амортизационные расходы. Переведем это на математический язык в предположении, что этот период времени равен одному году:
It = q AKt + A ,
где AKt = Kt+1 - Kt - прирост основных производственных фондов в году t; q - коэффициент пропорциональности, параметр модели, отражающий возможное несоответствие инвестиций стоимости основных фондов, на них построенных. Обычно будем предполагать, что q = 1.
Предположим теперь, что изменение производственных фондов происходит без скачков и изломов. Это предположение в достаточной мере соответствует действительности, если мы рассматриваем макроэкономические процессы, где любой параметр и переменная неизбежно являются результатом осреднения. В математике такую функцию называют дифференцируемой. Итак, если K(t) дифференцируема, то в последнем уравнении можно перейти от дискретного времени к непрерывному. Тогда получаем следующее соотношение в приращениях:
I(t)dt = dK(t)+A(t)d. (2)
С учетом балансовых соотношений (1) получаем
^ = X(t)-A(t)-C(t)-Wa (t). (3)
Учтем еще некоторые связи между переменными, прямо вытекающие из их экономического смысла. Во-первых, амортизационные расходы, как правило, составляют некоторую долю от производственных фондов:
A(t) = K).
Коэффициент ц называют коэффициентом амортизации, и величина его зависит от типа производства. Скажем, для недвижимости он невысок, для автотранспорта - выше, для электронно-вычислительной техники - еще выше. Понятно также, что экономический смысл требует, чтобы 0 < ц < 1. (Если бы ц оказался больше единицы, это означало, что из-за амортизации основные фонды за единицу времени сокращаются более, чем на 100 %).Далее производственные расходы также обычно составляют некоторую, меняющуюся от отрасли к отрасли, долю валового продукта:
Wa(t) = aX(t).
Для коэффициента, характеризующего производственное потребление, также возможно принимать значения в области
Учитывая эти предположения, получаем более замкнутое соотношение между введенными параметрами:
dK (t)
■ = -цК(t) + (1 - a)X(t) - C(t). (4)
dt
Открытая одноотраслевая модель Леонтьева
Соотношение (4) получено в более чем осторожных экономических предположениях, и потому его применимость весьма ограничена. Действительно, для того чтобы выяснить, как будут развиваться производственные фонды, нужно знать не только параметры (константы), но и функции, описывающие валовый продукт и конечное потребление. Хорошо бы попробовать сократить число неизвестных, выдвинув новые гипотезы о связях между ними.
Одну из таких гипотез принято называть именем американского экономиста русского происхождения, лауреата Нобелевской премии Василия Леонтьева.
В рамках этой гипотезы считается, что амортизационные расходы отсутствуют, а инвестиции за некоторый период времени вызывают пропорциональный прирост в валовом продукте:
dX(t) =1/n I (t) dt.
Коэффициент пропорциональности n отражает возможное несоответствие цены продукта и размера инвестиций. Отметим, что этим производственные фонды как бы выводятся за рамки рассмотрения. По существу, вводится некоторый элементарный прообраз производственной функции, которая будет рассмотрена позже.
Тогда из баланса (1), учитывая то, что A(t) = 0 и Wa(t) = aX(t), получаем
^ = I [(1 - a)x(t)-C(t). (5)
dt n
Это соотношение именуется открытой одноотраслевой моделью Леонтьева, так как для вычисления валового продукта нам необходимо знать конечное потребление. Действительно, для этого можно воспользоваться квадратурной формой решения данного неоднородного дифференциального уравнения
x (t )=- n
X0e(1-a)t -Je(1~a)tC(t - т)
_ 0 _
где X0 = X(0) - уровень валового производства в базовый (нулевой) момент времени.
Замкнутая одноотраслевая модель Леонтьева
Для получения замкнутой модели делаются дополнительные предположения:
C(t) = Y L(t).
L(t) = bX(t).
Отметим, что эти дополнительные предположения позволяют, наконец, связать валовой продукт и потребление в последнем уравнении и получить так называемую замкнутую модель. Тогда имеем
dX(t) = 1 - a - bY X(t)
dt n
С математической точки зрения полученное уравнение относится к простейшему типу: однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом. Его решение
X(t) = X0^ ,
где
p=, x0 = x(0). n
22. Двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева
Будем теперь рассматривать экономику как совокупность двух отраслей, которые взаимодействуют друг с другом, например, сельское хозяйство и промышленность. Основное отличие от однопродуктовой модели в наличие межотраслевых потоков и перекрестных инвестиций.
Макроэкономическая модель теперь будет выражена системой двух уравнений:
|
(12) |
Здесь Xi, Yi и Wi - соответственно валовой продукт, конечный продукт и производственное потребление i-ой отрасли, . Производственное потребление каждой отрасли распадается на межотраслевые поставки, например: , где - продукция i-ой отрасли, идущая на производство продукции j-ой отрасли. То есть - продукция первой отрасли, идущая на производство продукции второй отрасли, а - продукция первой отрасли, остающаяся в первой отрасли. Таким образом:
Как и для однопродуктовой модели, сделаем предположение о том, что производственное потребление пропорционально валовому продукту. В нашем случае это означает, что межотраслевые поставки из i-ой отрасли в j-ую пропорциональны валовому выпуску j-ой отрасли, то есть Xj:
,
где - коэффициент, который показывает, какие необходимо сделать затраты продукции отрасли i на производство единицы продукта отрасли j – коэффициент прямых затрат.
Предыдущая система примет вид:
|
, |
(13) |
Рассмотрим теперь инвестиции. Оставим в силе предположение об отсутствии износа и о том, что инвестиции полностью идут на прирост выпуска продукции. В то же время будем считать, что инвестиции каждой отрасли направляются на прирост выпуска и в своей отрасли и в соседней, например: . Инвестиции из первой отрасли во вторую будем считать пропорциональными приросту выпуска во второй отрасли, то есть X2. Таким образом:
|
(14) |
Подставив (13) и (14) в (12) получим:
|
(15) |
В непрерывном случае:
|
(16) |
В непрерывном случае двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева задается системой дифференциальных уравнений (16).