Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос №1 Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексной переменной
Теорема 3. Пусть функция определена в некоторой области G. Для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой в точке z области G необходимо и достаточно, чтобы
и . (1)
При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одном из следующих видов:
. (2)
Равенства (1) называются условиями Коши-Римана (или Даламбера-Эйлера).
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z области G. Тогда по теореме 1 ее приращение может быть представлено в виде
, где .
- комплексная функция от z. Следовательно, , где . - комплексное число, значит, , a,b. Тогда
f(z)=u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=ax-by+i(ay+bx)+
+1x-2y+i(1y+2x)=(ax-by+1x-2y)+i(ay+bx+1y+2x).
Отсюда
u=ax-by+1x-2y,
v=bx+ay+2x+1y, где . (3)
Из (3) следует, что
1) функции u(x;y) и v(x;y) дифференцируемы в точке (x;y),
2) их частные производные в точке (x;y):
, ,
, .
Отсюда , , т.е. удовлетворяют условиям Коши-Римана.
Тогда для производной получаем:
.
2) Достаточность.
Пусть в точке z области G выполнены условия 1) и 2) теоремы. Придадим точке z=(x;y) приращение z=x+iy0. По условию
где . (4)
Приращение функции , соответствующее приращению , имеет вид: . Разделим на :
. Используя условия Коши-Римана, перейдём к частным производным по x:
. (5)
Т.к. , , и , то и (огр.БМФ).
Следовательно, переходя в (5) к , получим:
, т.е. f(z) дифференцируема в точке z.
Формулами (2) можно пользоваться для вычисления производных.
Вопрос №2 Понятие функции аналитической в точке и области. Гарм. функции. Необх. и достат. условие.
Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .
Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:
f(z) дифференцируема в точке ,
f(z) аналитическая в точке
Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.
Примеры.
1) - аналитическая на .
2) аналитическая на .
3) аналитическая на .
4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).
Гармонические функции
Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.
Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.
Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.
Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.
Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.
Доказательство.
1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:
.
Производная может быть представлена в одном из видов:
или .
Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.
Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и - второе:
, ,
, (7) , (8)
т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.
Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) - аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.
Дифференцируя по x, получим .
Из (7), (8).
Дифференцируя по y, получим ,
т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:
.
Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.
Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.
2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G. .
Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.
Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.
, , , .
. Следовательно, только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из .
Вопрос №3. Теорема о восстановление аналитической функции по заданной действительной или мнимой части
Теорема 6. Для заданной функции u(x,y), гармонической в односвязной области G, существует бесконечное множество аналитических в G функций, действительной частью которых является u(x,y). Все они выражаются формулой
и отличаются между собой на чисто мнимую постоянную .
Доказательство.
Пусть дана гармоническая функция u(x,y). Для нахождения аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) необходимо найти мнимую часть v(x,y), которая дифференцируема в G и связана с u(x,y) условиями Коши – Римана:
, .
Так как u(x,y) известна, то известны её частные производные. Обозначим
,
Тогда условия Коши – Римана запишутся в виде:
. (9)
Т.к. u гармоническая функция, то она имеет непрерывные производные второго порядка, следовательно, существуют и непрерывны в G. Тогда уравнение Лапласа для функции u примет вид
. (10)
Т.к. непрерывны в G и удовлетворяют условию (10), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции v0(x,y):
dv0(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
и ,
где интеграл по кривой, соединяющий точки (x0,y0) и (x,y) в , не зависит от пути интегрирования. Имеем . Надо найти функцию v(x,y) удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,
.
Учитывая обозначения, получим
. (11)
Следовательно, функция f(z)= u(x,y)+iv(x,y), где v(x,y) определяется соотношением (11), является аналитической функцией (u и v-дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана). Итак, .
Аналогично можно показать, что для любой функции v(x,y), гармонической на области G существует аналитическая в G функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мнимая часть которой равна v(x,y). Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого .
Вопрос №4. Линейная и дробно-линейная функция комплексного переменного. Свойства.
Определение. Линейной функцией называется функция вида , (1)
где а, b- комплексные постоянные.
Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .
В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:
- поворот на угол вокруг точки О;
- подобие с коэффициентом r;
- параллельный перенос на вектор .
Подойдем с другой стороны. Найдем число с, такое что . Отсюда, т.к. , то . Значит, при (и ) отображение (1) сводится к повороту всей плоскости вокруг точки на угол с последующим растяжением относительно этой точки в раз, (т.е. подобие с центром в точке и коэффициентом подобия ).
Дробно-линейная функция
Рассмотрим функцию вида , (2)
где a,b,c,d- комплексные числа.
Если , то получаем -линейную функцию.
Если , выделим в дроби целую часть
.
Если ,то получаем, что . В дальнейшем будем считать, что , .
Определение. Функция вида (2), где a, b, c, d - комплексные числа, такие что , , называется дробно-линейной.
Свойства дробно-линейного преобразования
1 Конформность
.
существует во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме точки и 0 (т.к. ). Функция является аналитической во всех конечных точках плоскости, кроме . Следовательно, отображение является конформным во всех конечных точках к плоскости, кроме .
Т.к. , .
Таким образом, функция определена на .
Итак, дробно-линейная функция отображает взаимно однозначно и конформно расширенную комплексную плоскость саму на себя.
2 Круговое свойство.
Рассмотрим астный случай . (3).
Положим , .Тогда (3) примет вид
Следовательно, отображение (3) разбивается на два отображения. Сначала точка переходит в точку .Т.к. эти точки лежат на одном луче, выходящем из начала координат и их модули связаны соотношением , то это преобразование инверсии относительно единичной окружности. Затем точка переходит в точку, симметричную ей относительно действительной оси.
x
y
1
Теорема. При отображении совокупность прямых и окружностей на комплексной плоскости переходит в себя.
Доказательство.
Уравнение для любой прямой или окружности имеет вид:
А(x2+y2)+2Bx+2Cy+D=0. (4)
При А=0 и В, С0 одновременно это уравнение определяет прямую, при А=0 и В2+С2 -AD>0 – окружность.
Заменим , , , (5)
получим .
Обозначим , тогда
. (6)
Если А=0, а Е0, то уравнение (6) определяет прямую, если А0 и, то окружность. Т.е. любая окружность или прямая на комплексной плоскости определяется уравнением (6).
Верно и обратное: уравнение вида (6) определяет прямую или окружность на комплексной плоскости. Для доказательства надо в (6) сделать замену по формулам (5). Получим (4) , которое является уравнением либо прямой, либо окружности.
При преобразовании имеем . Линия (6) перейдет в линию:
. (7)
Уравнение (7) имеет тот же вид, что и (6), с заменой A на D, D на А, E на . Следовательно, при D=0 – это уравнение прямой, а при - уравнение окружности.
Теорема 2. Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w=L(z) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность).
Доказательство.
.
Следовательно, w=L(z) является композицией трех отображений: t=cz+d, , w=kq+l, где , . Первое и третье - линейные отображения. Они и отображение переводят в себя совокупность прямых и окружностей.
Замечание. Несложно установить, что при отображении w=L(z) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w), а все прямые или окружности, не проходящие через точку , - в окружности плоскости (w).
3 Инвариантность двойного отношения
Дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех параметров (например, если с0, то ими могут быть ). Поэтому это отображение определяется заданием образов трех точек. Выведем формулу дробно-линейного преобразования.
Пусть , k=1,2,3. Пусть . Образуем разности
,
, ,
, .
Разделим почленно первое уравнение на второе и третье и на четвертое.
,
.
Разделим теперь снова первое уравнение на второе:
. (8)
Это и есть искомое линейное преобразование.
Т.к. за z1, z2, z3, z и w1, w2, w3, w могут быть приняты любые четверки точек, соответствующие друг другу при дробно-линейном преобразовании, то (8) выражает следующее свойство:
отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек.
4 Сохранение симметрии
Если точки z1 и z2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности , то при любом дробно-линейном отображении w=L(z) их образы w1 и w2 будут симметричны относительно образа : .
В случае, когда - окружность, преобразование называют инверсией.
5 Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)
D
0
u
v
x
y
0
D
Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность переходит в прямую или окружность ,то область D, которую ограничивает , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии область D тоже должна оказаться слева (справа).
Вопрос №5. Определение показательной функции и ее свойства.
Показательной функцией комплексного переменного называется функция вида.
Свойства expz
1 Если , то expz=expx=ex, т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.
2
.
С другой стороны,
.
Следовательно, .
Аналогичное свойство имеет место для функции действительного переменного: .
Назовём комплексное число z показателем функции expz. Следовательно, при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. В связи с этим можно вместе с обозначением expz использовать обозначение ez: .
3 Из свойства 2 следует . С другой стороны . Следовательно,
.
4 .
.
Т.к. , то .
.
5 expz -периодическая функция с основным периодом 2i, т.е.
exp(z+2i)=expz.
.
Покажем что 2i -основной период функции expz, т.е. любой другой период имеет вид 2ki,где .
Действительно, пусть - период expz. Тогда exp(z+w)=expz z. Значит и при z=0 это равенство выполнено.
Для z=0: . Отсюда
что и требовалось доказать.
6 Если так, что ,то .
Если так, что , то .
(6 следует из того, что ).
Выражение лишено смысла. Отсюда, в частности, следует, что expz не совпадает ни с одним многочленом . Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями. Следовательно expz - трансцендентная целая функция.
7 Показательная функция является аналитической на , (expz)=expz.
Вопрос №6. Тригонометрические функции. Гиперболические функции.
Т. к. , то при сложении и вычитании соответственно получим:
, (14)
Формулы (14) – формулы Эйлера, верные .
Если , то функции , определены и являются аналитическими, следовательно они целые. При они принимают действительные значения, совпадающие соответственно с cosx и sinx. Поэтому по определению первую обозначают через cosz, а вторую – sinz и называют косинусом и синусом z.
Определение. (15)
Формулы (15) тоже называются формулами Эйлера. Если вторую умножить на i и сложить с первой, то получим
– (16) – тоже формула Эйлера.
Свойства cosz и sinz
1 Из (15) следует cos(-z)=cosz, sin(-z)=sinz , следовательно cosz – чётная, sinz – нечётная.
2 cosz и sinz – периодические с периодом 2.
,
т. к. 2i– основной период expz.
Покажем, что 2 – основной период cosz и sinz.
Пусть w – период cosz. Следовательно, cos(z+w)=cosz.
Если , то .
Следовательно, (по определению cosz).
Отсюда .
Тогда, поскольку из expz=w следует , то
. Значит w=k.
Если z=0, то (чётное число).
Значит w=2m. Следовательно, 2 – основной период функции cosz.
Для sinz аналогично.
3 Для sinz и cosz справедливы основные формулы тригонометрии:
а) (17)
Заменяя в (16) z на , получим
Следовательно,
.
Заменяя здесь z1 и z2 на -z1 и -z2 и учитывая свойство 1, получим
.
Складывая и вычитая две последних формулы, получим (17).
Формулы (17) являются основными в теории тригонометрических функций.
б) Из них следуют «формулы приведения».
Положим в (17) z1=z, . Тогда
, .
Положим в (17) z1=z, . Следовательно,
, .
в) Положим в 1-й из формул (17) z1=z, z2=-z, получим
. (18)
4 Из (18) не следует, что .
5 cosz=0 при , sinz=0 при .
cosz=0
Следовательно, .
Для sinz=0 аналогично.
6 Функции cosz и sinz аналитические в .
,
.
Определение. .
Свойства tgz и ctgz
1. , .
2. tgz=tgx, ctgz=ctgx при .
3. tg(-z)=-tgz, ctg(-z)=-ctgz .
4. tgz и ctgz – периодические с периодом .
5. tgz и ctgz – непрерывны в своих областях определения.
6. tgz и ctgz – аналитические в своих областях определения,
, .
7. Нули tgz совпадают с нулями sinz, нули ctgz – с нулями cosz.
8. tgz и ctgz принимают любые значения из , кроме z=i и z=-i.
.
Следовательно,
. (*)
Если w=i, то (*) примет вид – нет решений;
если w=-i, то (*): 0=2 – не имеет смысла. Т. е. .
Пусть w=A (), тогда
.
Следовательно, существует точка z0: . Т. к. , то, следовательно, существует .
Гиперболические функции
Определение. Гиперболический косинус ,
гиперболический синус . (19)
Свойства chz и shz
1 Для chz=chx и shz=shx.
2 ch(-z)=chz и sh(-z)=-shz.
3 chz=cos(iz) и shz=-isin(iz) (20)
(или sin(iz)=ishz)
,
.
4 Из (20) следует.
5 chz и shz аналитические в
6 chz и shz - периодические с периодом .
Вернемся к sinz и cosz.
Определим их действительные, мнимые части и модули.
Покажем, что и - неограниченные функции.
,
.
Отсюда следует
,
.
(эти соотношения можно получить из (15)).
Т.к. , то из последних соотношений заключаем:
при , т. е. sinz и cosz- неограниченные функции.
Вопрос 7 Однолистные и многолистные аналитических функций. Логарифмические и степенные функции. Радикал.
Пусть функция w=f(z) - аналитическая в области D. Пусть G - образ области D при отображении w=f(z), т.е. G=f(D).
Определение. Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то аналитическая функция w=f(z) называется однолистной в области D.
Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G.
При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wG состоит из единственного элемента: : .
Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной , определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.
Справедливы тождества:
и имеет место
Теорема. Если f(z)- однолистная и аналитическая на D, ина D, то - аналитическая на G=f(D).
Определение. Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.
Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=ez, w=sinz, w=cosz, w=zn), то в этом случае некоторым значениям wG соответствует более, чем одна точка zD: f(z)=w.
Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.
Определение. Функция w=f(z) называется многозначной функцией на множестве E, если некоторыми значениям zE соответствует более чем одно значение w.
Теорема. Если аналитическая функция w=f(z) многолистна в области D, то эту область можно разбить на конечное или счетное множество областей, в каждой из которых функция f(z) является однолистной.
К многозначным функциям неприменимы понятия аналитичности и непрерывности. Они могут применяться только к однозначным функциям. Для того, чтобы их использовать, выделяют однозначные ветви многозначных функций.
Определение. Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zD совпадает с одним из значений F в этой точке.
0
w=expz
x1=x2
z1
z2
2πk
y
x
.w
0
v
u
Если функция w=f(z) многолистна на D, то обратная функция будет многозначной. Чтобы выделить однозначную ветвь этой функции поступают, следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .
Найдем области однолистности функции expz. Выберем
x
y
0
D0
D1
D2
D-2
D-1
2
4
6
-2
-4
.
Тогда областью однолистности функции будут полоса шириной не больше , параллельная действительной оси.
Разобьем плоскость на области однолистности: .
Если, например, , то .
Логарифмическая функция
Как было сказано, множество всех корней уравнения w=ez (w) представляется формулой
z=ln|w|+iArgw=ln|w|+i(argw+2k)), .
Значит, функция, обратная к z=ew=eu(cosv+isinv), определена z0, z и задается формулой
w=ln|z|+iArgz.
Эта функция многозначная (бесконечнозначная), называется логарифмической и обозначается Lnz:
w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2k).
Назовем значение логарифма ln|z|+iargz главным значением и обозначим через lnz:
lnz=ln|z|+iargz.
Тогда Lnz=lnz+2ki, .
Следовательно, любое комплексное число z0, z имеет бесконечное множество логарифмов (значений логарифмической функции), из которых любые два отличаются на целое кратное 2i. Если , то Lnz=ln|z|. Но для этих существует еще бесконечно много значений логарифма. Например, Ln2=ln2+2ki, .
Все логарифмы комплексного числа z имеют одну и ту же действительную часть ln|z|, а мнимые части отличаются на кратное 2. Следовательно, все логарифмы комплексного числа z расположены на комплексной плоскости на одной прямой параллельной оси Оy на расстоянии 2 друг от друга.
Пример. Ln1=ln1+2ki=2ki, .
Свойства логарифмической функции
1 Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2.
Ln(z1z2)=ln|z1z2|+i Arg(z1z2)=ln|z1|+ln|z2|+i(Argz1+Argz2)=Lnz1+Lnz2.
2 .
.
Замечание. Эти равенства означают равенство множеств (в том смысле, что множества состоят из одних и тех же элементов). Отсюда следует что, например, Lnz22Lnz
Например, Ln(-1)2=Ln1=2ki,
2Ln(-1)=2(+2k)i=i(2+4k),
Ln(-1)22Ln(-1): 4i Ln(-1)2, но 4i2Ln(-1).
Степенная функция и радикал
Определение. Степенной называется функция вида .
Если , то . Следовательно,
- многолистная функция.
, при . Следовательно, -аналитическая в функция.
Функция обладает основными свойствами функции действительного переменного:
.
Найдем области однолистности функции . Выберем произвольные ,
D0
D1
D2
Dn-1
x
y
0
Следовательно, областью однолистности функции будет любой угол с вершиной в начале координат и раствором:
Если , то
.
Радикал определяется как функция, обратную к функции . Пусть т.е. , тогда
.
Следовательно, радикал имеет n различных значений, которые выражаются формулой
Следовательно, функция является многозначной (n – значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При и получаем по одному значению функции и .
Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой области однолистности изменяется w. Мы установили выше, что областью однолистности функции является угол с вершиной в начале координат и раствором :
Любой луч плоскости () при отображении переходит в луч плоскости (z): . Если луч пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость (z) от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости (z): угол раствора 2π, границей которой служит луч .
0
D0
D1
Dn-1
v
u
0
n0
x
y
0
G
z=wn
Dk
u
v
0
Таким образом, в области получаем n однозначных ветвей функции Каждая из них определяется условием, что ее значения принадлежат области .
Будем обозначать эти ветви .
Вопрос №8. Достаточное условие существования интеграла
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при (или при ), не зависящий ни от способа разбиения T кривой L, ни от выбора точек , то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой L и обозначается .
Таким образом, .
В этом случае функция f(z) называется интегрируемой по кривой L.
Теорема 1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на , f(z)=u(x;y)+iv(x;y) непрерывна на L. Тогда существует , причем справедливо равенство:
. (2)
Доказательство.
Выберем произвольно разбиение T кривой L на дуги , на каждой выберем произвольно точку . Составим интегральную сумму . Выделим в действительную и мнимые части:
z=x+iy, f(z)=u(x;y)+iv(x;y), , , , , . Тогда
. (3)
В правой части (3) стоят интегральные суммы для криволинейных интегралов II типа двух действительных функций u(x;y) и v(x;y). Если и , то и (или ).
Т.к. L – гладкая кривая, а функции u(x;y) и v(x;y) непрерывны на L, то
и .
Тогда существует предел при левой части (3), т.е. существует .
Переходя в (3) к пределу при , получим (2).
Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
Пусть вначале f(t)=u(t)+iv(t) –комплексно-значная функция действительной переменной. Тогда интеграл от f(t) по отрезку [a;b] определяется следующим образом:
.
Рассмотрим теперь интеграл от функции комплексного переменного по кривой L.
Теорема 2.Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически:
L: z(t)=x(t)+iy(t), t, функция f(z) непрерывна на L. Тогда справедливо равенство: (где ).
Доказательство.
Т.к. выполнены условия теоремы 1, то имеет место равенство (2) . Каждый криволинейный интеграл II типа можно заменить по формуле, сводящей его вычисление к вычислению обычного определенного интеграла:
=.
Вопрос №9. Необходимое и достаточное условие независимости интеграла. Интегральная теорема Коши.
Рассмотрим . Он зависит от функции f(z) и от вида кривой L. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(z), чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования L, а определялся начальной и конечной точками кривой.
Как и в случае криволинейного интеграла II рода независимость интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру.
Теорема. не зависит от пути интегрирования на области D тогда и только тогда, когда по любому кусочно-гладкому контуру .
Доказательство.
() Пусть , где и -кривые, лежащие в D и соединяющие точки A и B. Тогда , где .
() Пусть , где C - кусочно-гладкий замкнутый контур, . Разобьем C точками A и B на кривые и так, что . Тогда
Для доказательства интегральной теоремы Коши нам понадобится следующая
Лемма. Пусть f(z)- непрерывная в области G функция, L - произвольная кусочно - гладкая линия, LG. Тогда >0 существует ломаная P, вписанная в L, PG, такая что
.
Доказательство.
Разобьём L на частичные дуги , ,…, sk – длина ). Впишем в L ломаную P, звенья которой стягивают дуги . Точки z0, z1,…,zn – вершины ломаной P. Звенья ломаной (и их длины) обозначим через lk , k=
Рассмотрим сумму
S=f(z1)z1+f(z2)z2+…+f(zn)zn . (4)
S является интегральной суммой для интеграла , в которой в качестве точек k взяты точки zk. Так как f(z) – непрерывна в G, а L – кусочно – гладкая линия, то (), т.е. >0 1>0: T: <1
. (5),
Оценим . Так как , то (4) примет вид:
. (6)
С другой стороны, . (7)
Вычтем (6) из (7):
.
Так как функция f(z) непрерывна в G, то она равномерно непрерывна на любом ограниченном замкнутом множестве точек из G. Следовательно, она непрерывна на ломаной P. По определению равномерной непрерывности: для выбранного числа >0 2>0: z, zP: |z-z|<2 выполнено . Пусть <2. Так как k на звене lk |z-zk|< lk<<2, то . Тогда
. (8)
Выберем =min{1;2}. Из (5) и (8) получим: >0 >0: T: < выполнено
.
Итак, в линию L всегда можно вписать ломаную P так, что разность значений будет меньше любого наперёд заданного числа.
I. Случай односвязной области
Теорема (Коши для односвяз.). Если f(z) аналитическая в односвязной области G функция, то, где L- любой замкнутый контур, лежащий в G.
Доказательство.
Согласно лемме в линию L можно вписать ломаную P так, что
.
Следовательно, если мы докажем, что , то отсюда будет следовать что и, значит, .
Следовательно, теорему достаточно доказать для случая, когда контуром интегрирования является ломаная P.
Далее: данный многоугольник с периметром P можно разбить на треугольники. Тогда , так как по AC, DA интегрирование совершается два раза в противоположных направлениях. Следовательно, если допустить, что теорема Коши доказана для случая, когда контуром интегрирования является любой треугольник, то из последнего равенства будет следовать, что .
A
B
C
D
E
Итак, докажем, что если f(z) – аналитическая в области G функция, то, где - периметр любого треугольника, лежащего в G.
Положим и докажем, что M=0.
Разделим стороны треугольника пополам и соединим точки деления. Треугольник, таким образом, разобьётся на четыре равных треугольника 1, 2, 3, 4.
.
Так как , то существует периметр k:
.
С этим треугольником k=(1) поступим так же, как и с , разбив на четыре разных треугольника. Следовательно, существует треугольник с периметром (2)(1): .
Этот процесс продолжим неограниченно, получим последовательность треугольников с периметрами =(0), (1), (2),…, (n),…, из которых каждый содержит следующий и таких, что:
(n=0,1,…). (9)
Обозначим периметр через U. Тогда периметр .
Оценим . Имеем {(n)} – последовательность вложенных треугольников. Их периметры стремятся к 0 при n. Следовательно, существует точка z0, принадлежащая всем треугольникам последовательности {(n)}. Так как z0G, а f(z)-аналитическая в G, то . Следовательно, >0 ()>0: z: |z-z0|< выполнено , отсюда
. (10)
Начиная с достаточно большого номера n0, треугольник (n) будет находиться в круге и, следовательно, для оценки можно использовать (10). Заметим, что
,
так как и (см. пример о ).
Тогда .
Так как z0(n), то (расстояние между z и z0 меньше периметра).
Следовательно,
. (11)
Из (9) и (11) следует . Так как - произвольное сколь угодно малое число, то переходя к пределу при 0, получим M=0. Следовательно, .
II. Случай многосвязной области
Пусть D- многосвязная область, граница которой L состоит из внешнего контура L0 и внутренних L1, L2,… Ln, , (D- (n+1)-связная область).
Определение. Положительным обходом границы L многосвязной области D называется такое направление обхода каждого контура, при котором область D остаётся всё время слева.
Теорема (Коши для многосвяз.). Пусть f(z) – аналитическая в области G, D – многосвязная область, которая вместе со своей границей L целиком лежит в G.
G
D
l2
l1
Тогда, где интеграл берётся в положительном направлении.
Доказательство.
Рассмотрим случай n=2: . Соединим контуры L1 и L2 c внешним контуром L0 линиями l1, l2 (l1 и l2 выберем так, чтобы они не пересекались). Т.о., мы получим односвязную область D*, которая ограничена кривыми L0, L1, L2, l1, l2, причём l1, l2 проходятся дважды в противоположных направлениях.
. – граница D*. По предыдущей теореме Пользуясь свойством аддитивности интеграла получим:
Следствие. Если l1 и l2 кусочно – гладкие замкнутые кривые ограничивающие кольцеобразную область в области G, и функция f(z) – аналитическая в G, то.
Вопрос №10. Первообразная. Формула ньютона-Лейбница.
Если f(z) аналитическая в односвязной области D функция, то, как было установлено, значение , взятого по любой кусочно – гладкой кривой LD, не зависит от вида кривой, а определяется лишь начальной и конечной точками кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной кусочно – гладкой кривой L, соединяющей точки z0 и z, используют обозначение, где z0 и z называются соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Зафиксируем z0, тогда зависит только от точки z, т.е. является однозначной функцией, определённой на D, т.е. .
Теорема 1. Пусть f(z)-функция, непрерывная в области D, для которой интеграл вдоль любой кусочно – гладкой кривой LD не зависит от вида кривой, а определяется только начальной и конечной точками кривой. Тогда является аналитической на D функцией и F'(z)=f(z) .
Доказательство.
Пусть LD-кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки z0 и z. Выберем ∆z≠0 так, чтобы z+∆zD.
.
L
z0
z
z+∆z
. (1)
Т.к. , то
. (2)
Интегралы (1) и (2) не зависят от пути интегрирования, поэтому в качестве пути от z до z+∆z можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки. Из (1) и (2) следует:
. (3)
Зафиксируем >0. Так как f(z) непрерывна на D, то для любой точки zD выполнено
. (4)
В равенстве (3) . Следовательно, . Поэтому если , то , значит, выполнено (4).
Тогда из (3) следует
.
Таким образом, .
По определению это означает, что ,
то есть F'(z)=f(z) .
Замечание 1. Теорему 1 можно было сформулировать следующим образом:
если f(z) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F'(z)=f(z), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z0 и z.
Действительно, если f(z) – аналитическая функция, то не зависит от пути интегрирования.
Определение. Функция F(z) называется первообразной для функции f(z) на области G, если F'(z)=f(z) .
Из определения следует, что если F(z) первообразная для f(z) на D, то и функция F(z)+C является первообразной для f(z) на D ().
Следовательно, если выполнены условия теоремы 1, то функция f(z) имеет первообразную.
Теорема 2. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, и F(z), (z)-две первообразные для f(z) на D, то справедливо F(z)-Φ(z)=С=const.
Доказательство.
Пусть F(z) и Φ(z) - две первообразные функции f(z) на D. Рассмотрим функцию w(z)=F(z)-Φ(z) , w(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Тогда w(z)=F'(z)-Φ'(z)=f(z)-f(z)=0 .
Так как , то и .
Так как w(z) - аналитическая функция, то и .
Итак, , u=aconst,
, v=bconst.
Тогда w(z)=a+ibconst.
Значит, F(z)-Φ(z)=С.
Следствие 1. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то любая её первообразная имеет вид
, где . (5)
Следствие 2. Положим в (5) z=z0, тогда C=F(z0).Заменяя в (5) C на F(z0) получим:
- формула Ньютона-Лейбница.
Таким образом, интеграл от аналитической функции комплексной переменной вычисляется с помощью тех же методов и формул, что и в случае функции действительной переменной.
Вопрос №11. Интегральная формула Коши и ее следствия
Интегральная формула Коши
Теорема. Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, L-произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D. Тогда для любой точки z0, лежащей внутри контура L, справедлива формула:
, (1)
где L обходится в положительном направлении.
(1) - интегральная формула Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.
Доказательство.
L
D
z0
r
γr
Пусть z0- произвольная точка, лежащая внутри контура L. Рассмотрим окружность γr: |z-z0|=r , где r выберем так, чтобы γr лежала внутри L. В двусвязной области, ограниченной контурами L и γr, функция является аналитической, следовательно, она аналитическая и на области . Тогда по следствию из теоремы Коши:
. (2)
Из (2) следует, что значение не зависит от радиуса окружности γr.
Из (2) следует, что для доказательства (1) достаточно показать, что
. (3)
Так как , то или
. (4)
Из (3) и (4) следует, что для доказательства (1) надо доказать, что
. (5)
Заметим, что интеграл в (5) не зависит от r .
Возьмем . Так как f(z) аналитическая на D, то f(z) непрерывна в точке z0D. Тогда выполнено .
Если γr такая, что r<δ, то выполнено |z-z0|=r<δ |f(z)-f(z0)|<ε.
. (6)
Так как ε>0 – произвольное сколь угодно малое число, а значение интеграла не зависит от r, то (6) может быть выполнено только если , то есть выполнено (5), а значит, выполнено (1).
Следствие . Если две аналитические в односвязной области D функции f(z) и g(z) совпадают на замкнутом контуре LD, то они совпадают и внутри контура L.
Замечание. Если точка z0 лежит вне контура L, то .
Действительно, в этом случае является аналитической не только на L, но и внутри L, следовательно, применима интегральная формула Коши, согласно которой этот интеграл равен 0.
Итак,
2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в области D, имеет производные всех порядков на этой области, и для z0D справедлива формула:
, (7)
где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z0.
Замечание 1. Из (7) следует, что
. (9)
Замечание 2. В теореме установлено, что если f(z) имеет производную в любой точке z из области D, то она в каждой точке этой области имеет производную любого порядка. Следовательно, все производные аналитической функции являются непрерывными. В частности, если f(z) на D, то она обязательно непрерывна. Для действительной функции действительной переменной это выполняется далеко не всегда. Например, , , f(x) дифференцируема на , - не дифференцируема в точке x=0.
Вопрос №12. Теорема Морера
Согласно теореме Коши если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то она непрерывна на D и для любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD . Справедливо и обратное утверждение.
Теорема (Морера). Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и вдоль любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD , то f(z) – аналитическая в D.
Доказательство.
Равенство нулю интеграла по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD означает, что вдоль любой кривой, соединяющей точки z0 и z не зависит от вида кривой. Как было доказано, функция является аналитической в D, причём F(z)=f(z). Но по предыдущей теореме f(z)-аналитическая функция, так как является производной аналитической функции.
Определение. Функция f(z) непрерывная на односвязной области D, называется аналитической на D, если по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD.
Теорема о среднем
Теорема. Значение аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому её значений на окружности этого круга, то есть, если z-z0r круг, лежащий в области G, f(z)-аналитическая в G, то
. (10)
z=z0+rei, ([0,2])-уравнение окружности С с центром в точке z0, радиуса r.
По интегральной формуле Коши
.
Принцип максимума модуля аналитической функции
Теорема. Модуль функции f(z),аналитической в некоторой области G и не равной тождественно константе, не может иметь максимума ни в одной точке этой области.
Доказательство.
Обозначим и предположим противное: точка z0G: f(z0)=M. Из формулы (10) следует
. (11)
Так как , а f(z0)=M, то из (11) следует, что .
r
z0
Действительно, если допустить, что при некотором значении =0 , то в силу непрерывности функции f(z) неравенство будет выполняться для любого из достаточно малого промежутка 0-0+, а вне этого промежутка . Значит, в этом случае правая часть неравенства (11) должна быть меньше M , а левая часть равна M (f(z0)=M). Этого быть не может. Следовательно, если в некоторой точке z0 f(z0)=M, то и в достаточно малой её окрестности |z-z0|<r .
z0
z1
d
L
G
Покажем теперь, что f(z)=M всюду в области G. Пусть z1- произвольная точка области G. Соединим точку z0 с точкой z1 непрерывной линией L, целиком лежащей в G. Обозначим через d расстояние от L до границы области G. Круг с центром в произвольной точке кривой L радиусом принадлежит области G. Следовательно, по доказанному f(z)=M всюду внутри круга с центром в точке z0 радиуса :. Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от точки z0 к точке z1. Равенство f(z)=M должно выполняться всё время внутри круга, каково бы ни было положение центра круга. Следовательно, в частности f(z1)=M. Так как z1 - произвольная точка области G, то это означает, что f(z)=M всюду в области G.
Покажем теперь, что в этом случае f(z)const.
- аналитическая функция.
, следовательно, по условиям Коши-Римана получим, что . Следовательно, vconst. Значит, и ln(f(z))const. Поэтому f(z)const в G.
Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение неверно, и аналитическая функция, не может иметь максимума модуля ни в одной точке области G.
Замечание. Из доказанного принципа следует, что если f(z)- аналитическая в области G и непрерывная в замкнутой области, то максимум модуля достигается на границе области G при условии, что f(z)const. В самом деле, так как f(z)- непрерывная функция, то в замкнутой области она принимает наибольшее значение в некоторой точке z0.Так как точка z0 не может лежать в области G (по доказанной теореме), то она расположена на границе области G.
Вопрос №13. Степенные ряды в комплексной области. Коши-Адамар. Теорема Абеля.
Степенной ряд, радиус и круг сходимости
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида , (1)
где an (n=0,1,2,…), zn - комплексные числа, z-комплексная переменная.
Числа an называются коэффициентами ряда, z0 - его центром.
Область определения степенного ряда - вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке z=z0 ряд (1) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.
Определение. Число называется верхним пределом последовательности действительных чисел {n}: , если выполнены условия:
(Верхний предел - наибольший из частичных пределов; частичный предел- предел подпоследовательности.)
Теорема (Коши-Адамара). Пусть дaн степенной ряд (1) и . Тогда
Доказательство.
1) Пусть =0. Тогда . Следовательно, z выполнено , значит, по признаку Коши ряд сходится. Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно во всей комплексной плоскости.
2) Пусть =. Тогда существует подпоследовательность . Следовательно, для (1) не выполняется необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходитсяzz0.
Z0
z
z
z
3) Пусть0<<. Если z=z0, то все члены ряда, начиная со второго, равны нулю, и, следовательно, ряд абсолютно сходится. Если zz0 и z лежит внутри K, то положим , где . Обозначим . Тогда по свойству 1) верхнего предела . Отсюда . Следовательно, по признаку Коши (1) абсолютно сходится.
Если z лежит вне круга К, то положим . По свойству 2) верхнего предела существует подпоследовательность . Следовательно, . Отсюда . То есть для ряда (1) не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.
Определение. Круг с центром z0 и радиусом , внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется кругом сходимости степенного ряда, а число - радиусом сходимости.
Если =0 (R=), то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.
Если = (R=0), то круг вырождается в точку z0, а в его внешности, т.е. во всей комплексной плоскости, кроме точки z0, ряд расходится.
z0
z1
z
R
На окружности ряд (1) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.
Из теоремы Коши-Адамара вытекает
Теорема 2 (Абеля). Если ряд (1) сходится в точке z1z0, то он абсолютно сходится в круге .
Доказательство.
Так как ряд сходится в точке z1, то она не может лежать вне круга сходимости, значит, она лежит внутри него или на границе. В обоих случаях круг принадлежит кругу сходимости, следовательно, в нем ряд сходится.
Замечание. Степенной ряд равномерно сходится в каждом замкнутом круге , лежащем внутри круга сходимости. Действительно . Т.к. r<R, то числовой ряд сходится, следовательно, по признаку Вейерштрасса степенной ряд сходится равномерно в .
Аналитичность суммы степенного ряда.
Теорема 3. В круге сходимости |z-z0|<R (R>0) степенного ряда (1) его сумма f(z) является аналитической функцией, причем может быть получена путем почленного дифференцирования ряда (1):
. (2)
Доказательство.
z0
R
z1
Пусть R– радиус сходимости ряда (2). Покажем, что R=R. Очевидно, что R совпадает с радиусом сходимости ряда . Тогда
.
Пусть z1 принадлежит кругу |z-z0|<R, возьмем точку так, чтобы . Так как точка принадлежит кругу сходимости, то ряд абсолютно сходится и, следовательно, выполнено . (3)
Положим . Тогда если zz1, |z-z0| то оценим
.
Используя равенство
,
получим
Перейдем к пределу при тогда . Следовательно, для выбранного ()>0: при |z-z1|<() . В силу (3) rn<.
Следовательно, при |z-z1|<(), отсюда
.
Так как z1 - произвольная точка внутри круга сходимости, то отсюда следует, что сумма степенного ряда (1) является аналитической функцией, и ее производная
Вопрос №14. Теорема о единственности. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
Разложение некоторых функций в ряд Тейлора:
,
,
,
,
,
,
.
Ряд Тейлора
Теорема 4(о единственности). Если функция f(z) разлагается в степенной ряд (1) в круге |z-z0|<R, то это разложение единственно.
Доказательство.
По условию в круге |z-z0|<R. По теореме 3 - аналитическая в круге |z-z0|<R и к ней можно применить теорему 3 и т.д. Получим
…………………………………………………………………………..
Положим z=z0. Тогда
,
,
………………..
…
Подставляя найденные коэффициенты в (1), получим . (4)
Ряд (4) называется рядом Тейлора функции f(z).
Покажем единственность разложения.
Пусть и . Тогда по доказанному , следовательно, разложение единственно. Т.е. если функция f(z) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно и является рядом Тейлора.
Замечание. В процессе доказательства теоремы 4 установили, что сумма степенного ряда (1) бесконечно дифференцируема в круге сходимости |z-z0|<R; производная любого порядка m получается m- кратного почленного дифференцирования ряда (1).
Вопрос №15. Теорема о разложение аналитической функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля.
Теорема 5. Пусть функция f(z)- однозначная и аналитическая в области G. Если z0G и r - расстояние от z0 до границы области G, то в круге |z-z0|<r f(z) разлагается в степенной ряд, расположенный по степеням (z-z0).
Доказательство.
G
z
r
z0
Возьмем z{|z-z0|<r}. Рассмотрим круг .
–его граница .
Согласно интегральной формуле Коши
.
Разложим в степенной ряд по степеням z-z0:
;
Так как , то является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и . Тогда
.
Отсюда
. (5)
Так как для каждого фиксированного z
,
и числовой ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем , то по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости ряд (5) абсолютно и равномерно сходится относительно и, следовательно, его можно интегрировать почленно. Тогда
Получили степенной ряд с коэффициентами:
. (6)
Эти коэффициенты не зависят от радиуса . Действительно, если 1 и 0<1<r, то по следствию из интегральной теоремы Коши
.
Итак, мы показали, что f(z) разлагается в степенной ряд .
Так как z - произвольная точка круга |z-z0|<r, то теорема доказана.
Из теоремы 5 следует еще одно определение аналитической функции.
Определение 1. Функция f(z) называется аналитической в точке z0, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки z0.
Определение 2. Функция f(z) называется аналитической на области D, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки z0D.
Следствие. Положим . Из (6) следует следующая оценка коэффициентов степенного ряда:
,
- неравенства Коши,
(где 0<<r, |z-z0|<r - круг сходимости ряда (1)).
Эти неравенства позволяют оценить сверху модули коэффициентов степенного ряда через максимум модуля суммы ряда на окружности |z-z0|= и радиус этой окружности.
Из неравенств Коши следует теорема.
Теорема 6 (Лиувилля). Если f(z) – аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена по модулю на ней, то эта функция есть константа.
Доказательство.
Так как f(z) – аналитическая на всей комплексной плоскости, то она разлагается в степенной ряд с центром в точке z0=0:
.
Ряд сходится во всей комплексной плоскости, т.е. R=. Так как f(z) ограничена по модулю на , то M>0: |f(z)|M, тогда по неравенствам Коши:
,
где в качестве можно взять любое положительное число. Зафиксируем и перейдем к пределу при . Получим |an|0, т.е. |an|=0 n=1,2,… . Следовательно, f(z)a0=const, и теорема доказана.
Вопрос №16. Теорема о единственности и нули аналитических функций
Теорема(единственности). Если две функции f(z) и g(z), аналитические в некоторой области G, имеют равные значения на бесконечном множестве точек EG, которое имеет по крайней мере одну предельную точку, лежащую внутри G, то f(z)=g(z) всюду в G (т.е. f(z)g(z)).
Доказательство.
Пусть z0 - предельная точка множества EG.
1) Пусть G – круг с центром в точке z0. Так как f(z) и g(z) - аналитические функции, то по теореме 5 §15 в любой точке z круга G имеют место разложения этих функций в степенной ряд:
,
.
Достаточно доказать равенство коэффициентов an=bn n0. По условию, если zE,то f(z)=g(z). (*)
Так как z0 - предельная точка множества Е, то можно выделить последовательность {zk}E: . Так как f(zk)=g(zk), то переходя в этом равенстве к пределу при k, получим f(z0)=g(z0) a0=b0. Тогда (*) примет вид:
,
где z- произвольная точка множества Е. Сокращая на z- z0, получим
.
Это равенство имеет место zE, в частности, при z=zk, где . Переходя к пределу, получим a1=b1. Поступая и так далее найдем:
a2=b2,… an=bn . Следовательно, f(z)=g(z) в G.
d
z
z0
d
z’
2) Пусть G – произвольная область, f(z)=g(z) на бесконечном множестве EG и Е имеет предельную точку z0G. Пусть z - произвольная точка области G. Покажем, что f(z )=g(z ). Соединим точки z0 и z произвольной непрерывной линией LG .Обозначим d=dist(L,G). Ясно, что круг с центром в любой точке линии L и радиусом целиком лежит в G. По доказанному f(z)=g(z) всюду внутри круга , так как z0 - предельная точка множества Е. Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от z0 к z. Тогда f(z)=g(z) все время внутри круга. Следовательно, в частности, f(z )=g(z ). Так как z - произвольная точка, то f(z)=g(z) всюду в области G.
Замечание. Из теоремы следует, что функции f(z) и g(z) аналитические в области G, тождественно равны между собой, если
1) f(z)=g(z) всюду в произвольной малой окрестности точки области G;
2) f(z)=g(z) на произвольной малой линии, целиком лежащей в G.
Это - одно из замечательных свойств аналитических функций. В случае же произвольной непрерывной функции комплексного переменного ее значения в окрестности точки не определяют ее значения во всех точках области.
Нули аналитической функции
Пусть f(z) - аналитическая в области G функция. Нулем функции называется точка z0G , в которой f(z0)=0.
Множество нулей функции f(z), лежащих в области G, может быть конечным или бесконечным, но никакая точка области G не может быть предельной точкой множества нулей, если . Отсюда следует, что любое ограниченное замкнутое множество точек F области G может содержать лишь конечное число нулей функции f(z). Действительно, если допустим противное: F содержит бесконечное множество нулей, то получим, что множество имеет предельную точку, принадлежащую множеству , а, следовательно, принадлежащую множеству G.
Пусть f(z) - аналитическая в области G, и в точке z0 f(z0)=0. Тогда разложение для некоторой окрестности точки z0 имеет вид
,
т.к а0=f(z0)=0.
Очевидно, все коэффициенты разложения не могут быть равны 0, т.к в этом случае было бы f(z)≡0 (по теореме единственности). Следовательно, среди коэффициентов аn (n=1,2...) есть отличные от нуля. Обозначим номер наименьшего из них через m (m≥1). Тогда а1=а2=...=аm-1=0, am≠0, и, следовательно, разложение f(z) имеет вид
f(z)=am∙(z-z0)m+am+1∙(z-z0)m+1+...
В этом случае точка z0 – нуль порядка m для функции f(z). Если m=1, то нуль называется простым, при m>1- кратным. Простой нуль характеризуется тем, что для него f(z0)=0, f(z0)≠0 (т.к. , n=1,2…), кратный нуль порядка m≥2 характеризуется соотношениями f(z0)=0, f(z0)=0,…, f(m-1)(z0)=0, f(m)(z0)≠0.
Все сказанное имеет место и для тех точек области G, для которых f(z0)=А, т.к. эти точки являются нулями, аналитической функции f(z0)-A. Точки, в которых f(z0)=А, называются А- точками аналитической функции f(z).
Вопрос №17. Понятие ряда Лорана. Теорема об сходимости.
Ряд Лорана, область сходимости
Рассмотрим ряд, расположенный по целым отрицательным степеням z-z0:
А0+A1∙(z-z0)-1+A2∙(z-z0)-2+…+An∙(z-z0)-n+…. (1)
Полагая , получим обычный степенной ряд
A0+A1t+A2t2+…+Antn+... . (2)
Радиус сходимости ряда (2) по теореме Коши- Дамара .
1) Если 0<R<∞ , то ряд (2) абсолютно сходится в круге <R и расходится вне его, т.е при >R. Вернемся к переменной z: . Следовательно, при ряд (1) сходится абсолютно, а при ряд (1) расходится.
2) Если R=0, то ряд (2) сходится только в точке t=0. Значит, при =∞ ряд (1) расходится во всей конечной к плоскости.
3) Если R=∞, то ряд (2) абсолютно сходится во всей конечной комплексной плоскости. Поэтому, если =0, то ряд (1) абсолютно сходится во всей конечной плоскости, кроме точки z=z0.
Обозначим через r=.
Итак, область сходимости ряда (1) – это внешность круга |z-z0|<r, т.е область |z-z0|>r (при r- конечном). При r=0 она превращается во всю конечную плоскость, кроме точки z=z0. При r=∞ она вырождается в точку z=∞.
Обозначим . Т. к. ряд (2) сходится равномерно внутри , то ряд (1) равномерно сходится внутри К и определяет функцию
F(z)=А0+A1∙(z-z0)-1+A2∙(z-z0)-2 +…+An∙(z-z0)-n+…, (1׳)
которая является аналитической во всех конечных точках области К. При z=∞ F(∞)=A0. Будем по определению F(z) называть аналитической в бесконечно удаленной точке. Т.о., аналитичность в точке z=∞ характеризуется наличием разложения (1′), сходящимся в некоторой окрестности точки z=∞.
Определение. Рядом Лорана называется функциональный ряд
, (3)
который является суммой рядов
(4) и . (5)
Определение. Ряд Лорана называется сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится каждый из рядов (4) и (5). Суммой ряда Лорана называется функция S(z)=S1(z)+S2(z), где S1(z) и S2(z)- суммы рядов (4) и (5).
Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на D, если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (4) и (5).
Ряд Лорана называется равномерно сходящимся на D, если на этом множестве равномерно сходятся ряды (4) и (5).
Ряд (4) называется правильной частью ряда Лорана, ряд (5)- его главной частью.
Теорема 1.
1) Область сходимости ряда Лорана есть круговое кольцо. Ряд Лорана абсолютно сходится в этом кольце и равномерно сходится в каждой замкнутой его части.
2) Сумма ряда Лорана является аналитической функцией.
R
𝛄
r
Г
z0
Доказательство.
1)Обозначим =Λ, =r. Тогда ряд (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области , т.е. внутри окружности , и расходится вне этой окружности. Ряд (5) сходится абсолютно и равномерно внутри области g: |z-z0|>r, т.е вне окружности γ:|z-z0|=r и расходится внутри γ. Области G и g имеют общие точки тогда и только тогда, когда выполнено r<R. В этом случае G∩g=D={z: r<|z-z0|<R} - круговое кольцо. Внутри области D оба ряда сходятся в каждой его замкнутой части абсолютно и равномерно, следовательно, внутри D абсолютно и равномерно сходится ряд Лорана (3). В каждой точке вне D один из рядов (4) или (5) расходится, следовательно, вне D ряд (3) расходится.
2) - аналитическая функция (как сумма степенного ряда) в |z-z0|<R.
- аналитическая функция zz0. Сумма ряда - аналитическая в . Следовательно, также аналитическая функция в |z-z0|>r (т.к. композиция аналитических функций – аналитическая функция, по теореме о производной сложной функции). Следовательно, f(z)=S1(z)+S2(z)= - аналитическая функция в кольце D.
В дальнейшем будем считать, что r<R.
Теорема 2. Если функция f(z) разлагается в кольце D={z: r<|z-z0|<R} в ряд Лорана, то это разложение единственно.
Доказательство.
Пусть (6).
Пусть ρ: r<ρ<R. Тогда ряд (6) будет равномерно сходиться на окружности γ: |z-z0|=ρ (по теореме 1). Тогда ряд
(7)
будет равномерно сходиться, т.к функция ограничена по модулю . Следовательно, этот ряд (7) можно почленно интегрировать на окружности . Тогда
. (8)
Рассмотрим интеграл в правой части.
1) n≠k:
.
2) n=k. В этом случае (доказывали раньше).
Следовательно, в сумме правой части (8) все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером к. Тогда из (8) получим
. (9)
Формула (9) выражает коэффициенты ряда Лорана через его сумму f(z) (аналогична формуле для коэффициентов степенного ряда, но там , а здесь !)
Докажем единственность разложения. Пусть
, .
Эти ряды сходятся в кольцах D и ∆ соответственно, содержащих окружность γ:|z-z0|=ρ и f(z)=φ(z) на γ. Тогда из (9) следует, что ak=bk (). Следовательно, ряды тождественны. В частности, если D=∆, то f(z)=φ(z) z∈D.
Как найти кольцо сходимости ряда Лорана? Для этого надо знать r и R. Правильная часть сходится в круге |z-z0|<R, где или . Главная часть сходится при |z-z0|>r, где или (получается с помощью замены ).
Разложение аналитической функции в ряд Лорана
Теорема 3 (Лорана). Каждая функция f(z), однозначная и аналитическая в круговом кольце D={r<|z-z0|<R}, представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана: .
Вопрос №18. Теорема о поведении функции в окрестности изолир. точки.
Теорема1. Изолированная особая точка является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) является ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки z0.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть z0- устранимая особая точка f(z), тогда по определению
. (2)
Степенной ряд в правой части сходится в . Сумма S(z) степенного ряда является аналитической в . Следовательно, она непрерывна в , причем , т.е. . Следовательно, переходя к в (2), получим . Т.к. существует конечный предел в точке z0 функции f(z), то f(z) ограничена в некоторой окрестности z0.
2) Достаточность. Пусть f(z) аналитическая и ограниченная в , т.е. . Разложим функцию в ряд Лорана: . Докажем, что все коэффициенты с отрицательными степенями равны нулю.
, где .
.
Пусть n<0. Перейдем в последнем неравенстве к при фиксированном n: . Следовательно, z0 - устранимая особая точка f(z).
Замечание. Если z0-устранимая особая точка f(z), то функцию f(z) можно доопределить так, чтобы она стала аналитической в z0:
где , тогда будет аналитической в z0, т.к. она совпадает с суммой ряда Тейлора.
Теорема 2. Изолированная особая точка z0 является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда .
Доказано в теореме 1.
Теорема 3. Изолированная особая точка z0 является полюсом m-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует функция F(z), аналитическая в некоторой окрестности , такая, что .
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть z0 - полюс m- го порядка функции f(z). Тогда по определению разложение f(z) в имеет вид
,
где . Умножим обе части на :
.
Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда, , тогда . Отсюда
, где , F(z) - аналитическая функция.
2) Достаточность.
Пусть существует функция F(z), аналитическая в и , такая, что . Так как F(z) - аналитическая, то она разлагается в ряд Тейлора с центром в точке z0:
, причём . Тогда
.
Главная часть содержит слагаемых, следовательно, z0- полюс -го порядка функции f(z).
Теорема 4. Изолированная особая точка z0 является полюсом функции f(z) тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть z0 полюс функции f(z), тогда по теореме 3 существует функция F(z), аналитическая в , такая, что и . Перейдем к :
, так как , а =0.
2) Достаточность.
Пусть z0 - изолированная особая точка и . Тогда . Следовательно, ограничена в окрестности точки z0, значит, по теореме 1 z0-устранимая особая точка для функции и , где -коэффициент в разложении Лорана для функции (главная часть=0), то есть
.
Пусть - первый ненулевой коэффициент в ряде справа (то есть ). Тогда
.
Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда и , следовательно, . Отсюда . Обозначим - аналитическая в и . Тогда , и по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции .
Из теоремы 3 следует также
Теорема 5. Точка z0 является полюсом - го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда она является нулём -го порядка для функции при zz0.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть z0 - полюс m-го порядка функции f(z). Тогда по теореме 3 , где. Тогда .
Так как , то – аналитическая в точке z0 и . Следовательно, z0- нуль -го порядка функции .
2) Достаточность.
Пусть z0 - нуль – го порядка функции . Тогда , где - аналитическая в точке z0 и . Отсюда , где - аналитическая в точке z0 и . Тогда по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции f(z).
-
Теорема 6 (А.В.Сохоцкого). Каково бы ни было комплексное число (конечное или бесконечное), найдётся такая последовательность точек {zn}, сходящаяся к существенно особой точке z0, что .
(Короче можно сформировать следующим образом: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки f(z) принимает значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному.)
Доказательство.
1) А=. Тогда утверждение справедливо, т.к. функция не ограничена в окрестности существенно особой точки (следовательно, ).
2) A. От противного. Пусть в произвольной окрестности нет точек, в которых значения функции сколь угодно близки к А. Значит, и : . Положим - аналитическая в и , т.е. ограничена по модулю. Значит, по теореме 1 z0 - устранимая особая точка функции . Следовательно, . Но так как f(z) не ограничена по модулю ни в какой окрестности точки z0, то , то есть функция имеет нуль в точке z0. А значит, функция f(z)-A (по теореме 5) имеет полюс в точке z0. Полученное противоречие доказывает теорему.