У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одном из следующих видов-

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.12.2024

Вопрос №1 Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексной переменной

Теорема 3. Пусть функция определена в некоторой области G. Для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой в точке z области G необходимо и достаточно, чтобы

  1.  функции u(x;y) и v(x;y) были дифференцируемы в точке z как функции двух действительных переменных;
  2.  в точке z выполнялись равенства

и .  (1)

При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одном из следующих видов:

. (2)

Равенства (1) называются условиями Коши-Римана (или Даламбера-Эйлера).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z области G. Тогда по теореме 1 ее приращение может быть представлено в виде

, где .

- комплексная функция от z. Следовательно, , где .  - комплексное число, значит, , a,b. Тогда

f(z)=u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=ax-by+i(ay+bx)+

+1x-2y+i(1y+2x)=(ax-by+1x-2y)+i(ay+bx+1y+2x).

Отсюда 

u=ax-by+1x-2y,

v=bx+ay+2x+1y, где .  (3)

Из (3) следует, что

1) функции u(x;y) и v(x;y) дифференцируемы в точке (x;y),

2) их частные производные в точке (x;y):

, ,

, .

Отсюда , , т.е. удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Тогда для производной получаем:

.

2) Достаточность.

Пусть в точке z области G выполнены условия 1) и 2) теоремы. Придадим точке z=(x;y) приращение z=x+iy0. По условию

где .  (4)

Приращение функции , соответствующее приращению , имеет вид: . Разделим на :

. Используя условия Коши-Римана, перейдём к частным производным по x:

. (5)

Т.к. , , и , то и (огр.БМФ).

Следовательно, переходя в (5) к , получим:

, т.е. f(z) дифференцируема в точке z.

Формулами (2) можно пользоваться для вычисления производных.

Вопрос №2  Понятие функции аналитической в точке и области. Гарм. функции. Необх. и достат. условие.

Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .

Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:

f(z) дифференцируема в точке ,

f(z) аналитическая в точке

Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.

Примеры. 

1) - аналитическая на .

2) аналитическая на .

3) аналитическая на .

4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).

                                            Гармонические функции

Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.

Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.

Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.

Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.

Доказательство.

 1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая  в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:

 .

Производная может быть представлена в одном из видов:

или .

Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.

Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и - второе:

 ,   ,

 ,  (7)  ,  (8)

т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.

Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) - аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.

Дифференцируя по x, получим .

Из (7), (8).

Дифференцируя по y, получим ,

т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:

.

Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.

Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.

2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G.  .

Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.

Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.

, , , .

. Следовательно,  только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из . 

Вопрос №3. Теорема о восстановление аналитической функции по заданной действительной или мнимой части

Теорема 6. Для заданной функции u(x,y), гармонической в односвязной области G, существует бесконечное множество аналитических в G функций, действительной частью которых является u(x,y). Все они выражаются формулой

и отличаются между собой на чисто мнимую постоянную .

Доказательство.

Пусть дана гармоническая функция u(x,y). Для нахождения аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) необходимо найти мнимую часть v(x,y), которая дифференцируема в G и связана с u(x,y) условиями Коши – Римана:

, .

Так как u(x,y) известна, то известны её частные производные. Обозначим

,

Тогда условия Коши – Римана запишутся в виде:

 . (9)

Т.к. u гармоническая функция, то она имеет непрерывные производные второго порядка, следовательно, существуют   и непрерывны в G. Тогда уравнение Лапласа для функции u примет вид

.  (10)

Т.к. непрерывны в G и удовлетворяют условию (10), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции v0(x,y):

dv0(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

и ,

где интеграл по кривой, соединяющий точки (x0,y0) и (x,y) в , не зависит от пути интегрирования. Имеем  . Надо найти функцию v(x,y) удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,

.

Учитывая обозначения, получим

.  (11)

Следовательно, функция f(z)= u(x,y)+iv(x,y), где v(x,y) определяется соотношением (11), является аналитической функцией (u и v-дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана). Итак, .

Аналогично можно показать, что для любой функции v(x,y), гармонической на области G существует аналитическая в G функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мнимая часть которой равна v(x,y). Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого .

Вопрос №4. Линейная и дробно-линейная функция комплексного переменного. Свойства.

Определение.  Линейной функцией называется функция вида    , (1)

где а, b- комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

- поворот на угол вокруг точки О;

- подобие с коэффициентом r;

- параллельный перенос на вектор .

Подойдем с другой стороны. Найдем число с, такое что . Отсюда, т.к. , то . Значит, при ) отображение (1) сводится к повороту всей плоскости вокруг точки на угол с последующим растяжением относительно этой точки в раз, (т.е. подобие с центром в точке и коэффициентом подобия ).

 Дробно-линейная функция

Рассмотрим функцию вида   , (2)

где a,b,c,d- комплексные числа.

Если , то получаем -линейную функцию.

Если , выделим в дроби целую часть

.

Если ,то получаем, что . В дальнейшем будем считать, что , .

Определение. Функция вида (2), где a, b, c, d - комплексные числа, такие что , , называется дробно-линейной.

Свойства дробно-линейного преобразования

1 Конформность

.

существует во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме точки и 0 (т.к. ). Функция является аналитической во всех конечных точках плоскости, кроме . Следовательно, отображение является конформным во всех конечных точках к плоскости, кроме .

Т.к. , .

Таким образом, функция определена на .

Итак, дробно-линейная функция отображает взаимно однозначно и конформно расширенную комплексную плоскость саму на себя.

2 Круговое свойство.

Рассмотрим астный случай .  (3).

Положим , .Тогда (3) примет вид

Следовательно, отображение (3) разбивается на два отображения. Сначала точка переходит в точку .Т.к. эти точки лежат на одном луче, выходящем из начала координат и их модули связаны соотношением , то это преобразование инверсии относительно единичной окружности. Затем точка  переходит в точку, симметричную ей относительно действительной оси.

x

y

1

Теорема. При отображении совокупность прямых и окружностей на комплексной плоскости переходит в себя.

Доказательство.

 Уравнение для любой прямой или окружности имеет вид:

А(x2+y2)+2Bx+2Cy+D=0.  (4)

При А=0 и В, С0 одновременно это уравнение определяет прямую, при А=0 и В2+С2 -AD>0 – окружность.

Заменим , ,  , (5)

получим   .

Обозначим  , тогда

.  (6)

Если А=0, а Е0, то уравнение (6) определяет прямую, если А0 и, то окружность. Т.е. любая окружность или прямая на комплексной плоскости определяется уравнением (6).

Верно и обратное: уравнение вида (6) определяет прямую или окружность на комплексной плоскости. Для доказательства надо в (6) сделать замену по формулам (5). Получим (4) , которое является уравнением либо прямой, либо окружности.

При преобразовании имеем . Линия (6) перейдет в линию:    

.  (7)

Уравнение (7) имеет тот же вид, что и (6), с заменой A на D, D на А, E на . Следовательно, при D=0 – это уравнение прямой, а при - уравнение окружности.

Теорема 2. Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w=L(z) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность).

Доказательство.

 .

Следовательно, w=L(z) является композицией трех отображений: t=cz+d, , w=kq+l, где , . Первое и третье - линейные отображения. Они и отображение переводят в себя совокупность прямых и окружностей.

Замечание. Несложно установить, что при отображении w=L(z) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w), а все прямые или окружности, не проходящие через точку , - в окружности плоскости (w).

3 Инвариантность двойного отношения

Дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех параметров (например, если с0, то ими могут быть ). Поэтому это отображение определяется заданием образов трех точек. Выведем формулу дробно-линейного преобразования.

Пусть , k=1,2,3. Пусть . Образуем разности

,

,  ,

,  .

Разделим почленно первое уравнение на второе и третье и на четвертое.

,

.

Разделим теперь снова первое уравнение на второе:

.  (8)

Это и есть искомое линейное преобразование.

Т.к. за z1, z2, z3, z и w1, w2, w3, w могут быть приняты любые четверки точек, соответствующие друг другу при дробно-линейном преобразовании, то (8) выражает следующее свойство:

отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек.

4 Сохранение симметрии

Если точки z1 и z2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности , то при любом дробно-линейном отображении w=L(z) их образы w1 и w2 будут симметричны относительно образа : .

В случае, когда  - окружность, преобразование называют инверсией.

5 Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

D

0

u

v

x

y

0

D

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность  переходит в прямую или окружность  ,то область D, которую ограничивает , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии  область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии  область D тоже должна оказаться слева (справа).

Вопрос №5.  Определение показательной функции и ее свойства.

Показательной функцией комплексного переменного называется функция вида.

Свойства expz

1 Если , то expz=expx=ex, т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.

2 

 

.

С другой стороны,

.

Следовательно, .   

Аналогичное свойство имеет место для функции действительного переменного: .

Назовём комплексное число z показателем функции expz. Следовательно, при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. В связи с этим можно вместе с обозначением expz использовать обозначение ez:  .

3 Из свойства 2 следует . С другой стороны . Следовательно,

 .

4 .

 .

Т.к. , то .   

   .

5 expz -периодическая функция с основным периодом 2i, т.е.

exp(z+2i)=expz.

  .

Покажем что 2i -основной период функции expz, т.е. любой другой период имеет вид 2ki,где .

Действительно, пусть - период expz. Тогда exp(z+w)=expz z. Значит и при z=0 это равенство выполнено.

Для z=0: . Отсюда

что и требовалось доказать.

6 Если так, что ,то .

    Если так, что , то .

(6 следует из того, что ).

Выражение лишено смысла. Отсюда, в частности, следует, что expz не совпадает ни с одним многочленом . Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями. Следовательно expz - трансцендентная целая функция.

7 Показательная функция является аналитической на ,  (expz)=expz.

Вопрос №6. Тригонометрические функции. Гиперболические функции.

Т. к. , то при сложении и вычитании соответственно получим:

, (14)

Формулы (14) – формулы Эйлера, верные .

Если , то функции , определены и являются аналитическими, следовательно они целые. При они принимают действительные значения, совпадающие соответственно с cosx и sinx. Поэтому по определению первую обозначают через cosz, а вторую – sinz и называют косинусом и синусом z.

Определение.   (15)

Формулы (15) тоже называются формулами Эйлера. Если вторую умножить на i и сложить с первой, то получим

– (16) – тоже формула Эйлера.

Свойства cosz и sinz

1 Из (15) следует cos(-z)=cosz, sin(-z)=sinz , следовательно cosz – чётная,  sinz – нечётная.

2 cosz и sinz – периодические с периодом 2.

 ,

т. к. 2i– основной период expz.

Покажем, что 2 – основной период cosz и sinz.

Пусть w – период cosz. Следовательно, cos(z+w)=cosz.

Если , то .

Следовательно, (по определению cosz).

Отсюда  .

Тогда, поскольку из expz=w следует , то

. Значит w=k.

Если z=0, то (чётное число).

Значит w=2m. Следовательно, 2 – основной период функции cosz.

Для sinz аналогично.

3 Для sinz и cosz справедливы основные формулы тригонометрии:

а)    (17)

 Заменяя в (16) z на , получим

Следовательно,

.

Заменяя здесь z1  и z2 на -z1 и -z2 и учитывая свойство 1, получим

.

Складывая и вычитая две последних формулы, получим (17).

Формулы (17) являются основными в теории тригонометрических функций.

б) Из них следуют «формулы приведения».

Положим в (17) z1=z, . Тогда

, .

Положим в (17) z1=z, . Следовательно,

, .

в) Положим в 1-й из формул (17) z1=z, z2=-z, получим

.  (18)

4 Из (18) не следует, что .

5 cosz=0 при , sinz=0 при .

 cosz=0

Следовательно, .

Для sinz=0 аналогично.

6 Функции cosz и sinz аналитические в .

,

.

Определение. .

Свойства tgz и ctgz

1. , .

2. tgz=tgx, ctgz=ctgx при .

3. tg(-z)=-tgz, ctg(-z)=-ctgz .

4. tgz и ctgz – периодические с периодом .

5. tgz и ctgz – непрерывны в своих областях определения.

6. tgz и ctgz – аналитические в своих областях определения,

, .

7. Нули tgz совпадают с нулями sinz, нули ctgz – с нулями cosz.

8. tgz и ctgz принимают любые значения из , кроме z=i и z=-i.

 

.

Следовательно,   

 

.  (*)

Если w=i, то (*) примет вид – нет решений;

если w=-i, то (*): 0=2 – не имеет смысла. Т. е. .

Пусть w=A (), тогда

.

Следовательно, существует точка z0: . Т. к. , то, следовательно, существует .

Гиперболические функции

Определение. Гиперболический косинус ,

гиперболический синус . (19)

Свойства chz и shz

1 Для  chz=chx и shz=shx.

2 ch(-z)=chz и sh(-z)=-shz.

3 chz=cos(iz) и shz=-isin(iz)   (20)

(или sin(iz)=ishz)

 ,

.

4 Из (20) следует.

5 chz и shz аналитические в

6 chz и shz - периодические с периодом .

Вернемся к sinz и cosz.

Определим их действительные, мнимые части и модули.

Покажем, что и - неограниченные функции.

,

.

Отсюда следует

,

.

(эти соотношения можно получить из (15)).

Т.к. , то из последних соотношений заключаем:

при , т. е. sinz и cosz- неограниченные функции.

Вопрос 7 Однолистные и многолистные  аналитических функций. Логарифмические и степенные функции. Радикал.

Пусть функция w=f(z) - аналитическая в области D. Пусть G - образ области D при отображении w=f(z), т.е. G=f(D).

Определение. Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то аналитическая функция w=f(z) называется однолистной в области D.

Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G.

При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wG состоит из единственного элемента:  : .

Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной , определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.

Справедливы тождества:  

 

и имеет место

Теорема. Если f(z)- однолистная и аналитическая на D, ина D, то - аналитическая на G=f(D).

Определение. Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.

Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=ez, w=sinz, w=cosz, w=zn), то в этом случае некоторым значениям wG соответствует более, чем одна точка zD: f(z)=w.

Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Определение. Функция w=f(z) называется многозначной функцией на множестве E, если некоторыми значениям zE соответствует более чем одно значение w.

Теорема. Если аналитическая функция w=f(z) многолистна в области D, то эту область можно разбить на конечное или счетное множество областей, в каждой из которых функция f(z) является однолистной.

К многозначным функциям неприменимы понятия аналитичности и непрерывности. Они могут применяться только к однозначным функциям. Для того, чтобы их использовать, выделяют однозначные ветви многозначных функций.

Определение. Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zD совпадает с одним из значений F в этой точке.

0

w=expz

x1=x2

z1

z2

2πk

y

x

.w

0

v

 u

Если функция w=f(z) многолистна на D, то обратная функция  будет многозначной. Чтобы выделить однозначную ветвь этой функции поступают, следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Найдем области однолистности функции expz. Выберем

 

x

y

0

D0

D1

D2

D-2

D-1

2

4

6

-2

-4

 .

Тогда областью однолистности функции будут полоса шириной не больше , параллельная действительной оси.

Разобьем плоскость на области однолистности: .

Если, например, , то .

Логарифмическая функция

Как было сказано, множество всех корней уравнения w=ez (w) представляется формулой

z=ln|w|+iArgw=ln|w|+i(argw+2k)), .

Значит, функция, обратная к z=ew=eu(cosv+isinv), определена z0, z и задается формулой

w=ln|z|+iArgz.

Эта функция многозначная (бесконечнозначная), называется логарифмической и обозначается Lnz:

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2k).

Назовем значение логарифма ln|z|+iargz главным значением и обозначим через lnz:

lnz=ln|z|+iargz.

Тогда      Lnz=lnz+2ki, .

Следовательно, любое комплексное число z0, z имеет бесконечное множество логарифмов (значений логарифмической функции), из которых любые два отличаются на целое кратное 2i. Если , то Lnz=ln|z|. Но для этих существует еще бесконечно много значений логарифма. Например, Ln2=ln2+2ki, .

Все логарифмы комплексного числа z имеют одну и ту же действительную часть ln|z|, а мнимые части отличаются на кратное 2. Следовательно, все логарифмы комплексного числа z расположены на комплексной плоскости на одной прямой параллельной оси Оy на расстоянии 2 друг от друга.

Пример. Ln1=ln1+2ki=2ki, .

Свойства логарифмической функции

1 Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2.

 Ln(z1z2)=ln|z1z2|+i Arg(z1z2)=ln|z1|+ln|z2|+i(Argz1+Argz2)=Lnz1+Lnz2.

2 .

  .

Замечание. Эти равенства означают равенство множеств (в том смысле, что множества состоят из одних и тех же элементов). Отсюда следует что, например, Lnz22Lnz 

Например, Ln(-1)2=Ln1=2ki,

2Ln(-1)=2(+2k)i=i(2+4k),

Ln(-1)22Ln(-1): 4i Ln(-1)2, но 4i2Ln(-1).

Степенная функция и радикал

Определение. Степенной называется функция вида .

Если , то . Следовательно,   

                 - многолистная функция.

, при . Следовательно, -аналитическая в функция.

Функция  обладает основными свойствами функции действительного переменного:

   .

Найдем области однолистности функции . Выберем произвольные ,

D0

D1

D2

Dn-1

x

y

0

Следовательно, областью однолистности функции будет любой угол с вершиной в начале координат и раствором:

Если , то

.

Радикал   определяется как функция, обратную к функции . Пусть т.е. , тогда

.

Следовательно,  радикал имеет n различных значений, которые выражаются формулой

Следовательно, функция  является многозначной (n – значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При и получаем по одному значению функции и .

Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой области однолистности изменяется w. Мы установили выше, что областью однолистности функции  является угол с вершиной в начале координат и раствором :

Любой луч плоскости ()  при отображении  переходит в луч плоскости (z): . Если луч  пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость (z) от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости (z): угол раствора 2π, границей которой служит луч .

0

D0

D1

Dn-1

v

u

0

n0

x

y

0

G

z=wn

Dk

u

v

0

Таким образом, в области получаем n однозначных ветвей функции Каждая из них определяется условием, что ее значения принадлежат области .

Будем обозначать эти ветви .

Вопрос №8.  Достаточное условие существования интеграла

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при (или при ), не зависящий ни от способа разбиения T кривой L, ни от выбора точек , то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой L и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция f(z) называется интегрируемой по кривой L.

Теорема 1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на , f(z)=u(x;y)+iv(x;y) непрерывна на L. Тогда существует , причем справедливо равенство:

. (2)

Доказательство.

Выберем произвольно разбиение T кривой L на дуги , на каждой выберем произвольно точку . Составим интегральную сумму . Выделим в действительную и мнимые части:

z=x+iy, f(z)=u(x;y)+iv(x;y), , , , , . Тогда

. (3)

В правой части (3) стоят интегральные суммы для криволинейных интегралов II типа двух действительных функций u(x;y) и v(x;y). Если и , то и   (или ).

Т.к. L – гладкая кривая, а функции u(x;y) и v(x;y) непрерывны на L, то

и .

Тогда существует предел при левой части (3), т.е. существует .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

Пусть вначале f(t)=u(t)+iv(t) –комплексно-значная функция действительной переменной. Тогда интеграл от f(t) по отрезку [a;b] определяется следующим образом:

.

Рассмотрим теперь интеграл от функции комплексного переменного по кривой L.

Теорема 2.Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически:

L: z(t)=x(t)+iy(t), t, функция f(z) непрерывна на L. Тогда справедливо равенство: (где ).

Доказательство.

Т.к. выполнены условия теоремы 1, то имеет место равенство (2) . Каждый криволинейный интеграл II типа можно заменить по формуле, сводящей его вычисление к вычислению обычного определенного интеграла:

=.

Вопрос №9. Необходимое и достаточное условие независимости интеграла. Интегральная теорема Коши.

Рассмотрим . Он зависит от функции f(z) и от вида кривой L. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(z), чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования L, а определялся начальной и конечной точками кривой.

Как и в случае криволинейного интеграла II рода независимость интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру.

Теорема. не зависит от пути интегрирования на области D тогда и только тогда, когда по любому кусочно-гладкому контуру .

Доказательство.

() Пусть , где и -кривые, лежащие в D и соединяющие точки A и B. Тогда , где .

() Пусть , где C - кусочно-гладкий замкнутый контур, . Разобьем C точками A и B на кривые и так, что . Тогда

  

Для доказательства интегральной теоремы Коши нам понадобится следующая

Лемма. Пусть f(z)- непрерывная в области G функция, L - произвольная кусочно - гладкая линия, LG. Тогда >0 существует ломаная P, вписанная в L, PG, такая что

.

Доказательство.

 Разобьём L на частичные дуги , ,…,  sk – длина ). Впишем в L ломаную P, звенья которой стягивают дуги . Точки z0, z1,…,zn – вершины ломаной P. Звенья ломаной (и их длины) обозначим через lk , k=

Рассмотрим сумму

S=f(z1)z1+f(z2)z2++f(zn)zn . (4)

S является интегральной суммой для интеграла , в которой в качестве точек k взяты точки zk. Так как f(z) – непрерывна в G, а L – кусочно – гладкая линия, то (), т.е. >0 1>0: T: <1  

.  (5),

Оценим . Так как , то (4) примет вид:

.   (6)

С другой стороны, . (7)

Вычтем (6) из (7):

.

Так как функция f(z) непрерывна в G, то она равномерно непрерывна на любом ограниченном замкнутом множестве точек из G. Следовательно, она непрерывна на ломаной P. По определению равномерной непрерывности: для выбранного числа >0 2>0: z, zP: |z-z|<2 выполнено . Пусть <2. Так как k на звене lk |z-zk|< lk<<2, то . Тогда

.  (8)

Выберем =min{1;2}. Из (5) и (8) получим: >0 >0: T: < выполнено

.

Итак, в линию L всегда можно вписать ломаную P так, что разность значений  будет меньше любого наперёд заданного числа.

I. Случай односвязной области

Теорема (Коши для односвяз.). Если f(z) аналитическая в односвязной области G функция, то, где L- любой замкнутый контур, лежащий в G.

Доказательство.

 Согласно лемме в линию L можно вписать ломаную P так, что

.

Следовательно, если мы докажем, что , то отсюда будет следовать что и, значит, .

Следовательно, теорему достаточно доказать для случая, когда контуром интегрирования является ломаная P.

Далее: данный многоугольник с периметром P можно разбить на треугольники. Тогда , так как по AC, DA интегрирование совершается два раза в противоположных направлениях. Следовательно, если допустить, что теорема Коши доказана для случая, когда контуром интегрирования является любой треугольник, то из последнего равенства будет следовать, что .

A

B

C

D

E

Итак, докажем, что если f(z) – аналитическая в области G функция, то, где - периметр любого треугольника, лежащего в G.

Положим и докажем, что M=0.

Разделим стороны треугольника пополам и соединим точки деления. Треугольник, таким образом, разобьётся на четыре равных треугольника 1, 2, 3, 4.

.

Так как , то существует периметр k:

.

С этим треугольником k=(1) поступим так же, как и с , разбив на четыре разных треугольника. Следовательно, существует треугольник с периметром (2)(1): .

Этот процесс продолжим неограниченно, получим последовательность треугольников с периметрами =(0), (1), (2),…, (n),…, из которых каждый содержит следующий и таких, что:

(n=0,1,…).  (9)

Обозначим периметр  через U. Тогда периметр .

Оценим . Имеем {(n)} – последовательность вложенных треугольников. Их периметры стремятся к 0 при n. Следовательно, существует точка z0, принадлежащая всем треугольникам последовательности {(n)}. Так как z0G, а f(z)-аналитическая в G, то . Следовательно, >0 ()>0: z: |z-z0|< выполнено , отсюда

.  (10)

Начиная с достаточно большого номера n0, треугольник (n) будет находиться в круге и, следовательно, для оценки можно использовать (10). Заметим, что

,

так как  и  (см. пример о ).

Тогда  .

Так как z0(n), то (расстояние между z и z0 меньше периметра).

Следовательно,

.  (11)

Из (9) и (11) следует . Так как - произвольное сколь угодно малое число, то переходя к пределу при 0, получим M=0. Следовательно, .  

II. Случай многосвязной области

Пусть D- многосвязная область, граница которой L  состоит из внешнего контура L0 и внутренних L1, L2,… Ln, , (D- (n+1)-связная область).

Определение. Положительным обходом границы L многосвязной области D называется такое направление обхода каждого контура, при котором область D остаётся всё время слева.

Теорема (Коши для многосвяз.). Пусть f(z) – аналитическая в области G, D – многосвязная область, которая вместе со своей границей L целиком лежит в G.

G

D

l2

l1

Тогда, где интеграл берётся в положительном направлении.

Доказательство.

 Рассмотрим случай n=2: . Соединим контуры L1 и L2 c внешним контуром L0 линиями l1, l2 (l1 и l2 выберем так, чтобы они не пересекались). Т.о., мы получим односвязную область D*, которая ограничена кривыми L0,  L1, L2, l1, l2, причём l1, l2 проходятся дважды в противоположных направлениях.

. – граница D*. По предыдущей теореме Пользуясь свойством аддитивности интеграла получим:

 Следствие. Если l1 и l2 кусочно – гладкие замкнутые кривые ограничивающие кольцеобразную область в области G, и функция f(z) – аналитическая в G, то.

Вопрос №10. Первообразная. Формула ньютона-Лейбница.

Если f(z) аналитическая в односвязной области D функция, то, как было установлено, значение , взятого по любой кусочно – гладкой кривой LD, не зависит от вида кривой, а определяется лишь начальной и конечной точками кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной кусочно – гладкой кривой L, соединяющей точки z0 и z, используют обозначение, где z0 и z называются соответственно,  нижним и верхним пределами интегрирования.

Зафиксируем z0, тогда зависит только от точки z, т.е. является однозначной функцией, определённой на D, т.е. .

Теорема 1. Пусть f(z)-функция, непрерывная в области D, для которой интеграл вдоль любой кусочно – гладкой кривой LD не зависит от вида кривой, а определяется только начальной и конечной точками кривой. Тогда является аналитической на D функцией и F'(z)=f(z) .

Доказательство.

Пусть LD-кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки z0 и z. Выберем ∆z≠0 так, чтобы z+∆zD. 

.

L

z0

z

z+∆z

.  (1)

Т.к. , то

. (2)

Интегралы (1) и (2) не зависят от пути интегрирования, поэтому в качестве пути от z до z+∆z можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки. Из (1) и (2) следует:

.  (3)

Зафиксируем >0. Так как f(z) непрерывна на D, то для любой точки zD выполнено

  .  (4)

В равенстве (3) . Следовательно,  . Поэтому если , то , значит, выполнено (4).

Тогда из (3) следует

.

Таким образом, .

По определению это означает, что ,

то есть F'(z)=f(z) .

Замечание 1. Теорему 1 можно было сформулировать следующим образом:

если f(z) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F'(z)=f(z), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z0 и z.

Действительно, если f(z) – аналитическая функция, то  не зависит от пути интегрирования.

Определение. Функция F(z) называется первообразной для функции f(z) на области G, если F'(z)=f(z) .

Из определения следует, что если F(z) первообразная для f(z) на D, то и функция F(z)+C является первообразной для f(z) на D ().

Следовательно, если выполнены условия теоремы 1, то функция f(z) имеет первообразную.

Теорема 2. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, и F(z), (z)-две первообразные для f(z) на D, то справедливо F(z)-Φ(z)=С=const.

Доказательство.

Пусть F(z) и Φ(z) - две первообразные функции f(z) на D. Рассмотрим функцию w(z)=F(z)(z) , w(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Тогда w(z)=F'(z)-Φ'(z)=f(z)-f(z)=0 .

Так как , то  и .

Так как w(z) - аналитическая функция, то  и .

Итак, ,  u=aconst,

,  v=bconst.

Тогда w(z)=a+ibconst.

Значит, F(z)(z)=С.  

Следствие 1. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то любая её первообразная имеет вид

, где . (5)

Следствие 2. Положим в (5) z=z0, тогда C=F(z0).Заменяя в (5) C на F(z0) получим:

- формула Ньютона-Лейбница.

Таким образом, интеграл от аналитической функции комплексной переменной вычисляется с помощью тех же методов и формул, что и в случае функции действительной переменной.

Вопрос №11. Интегральная формула Коши и ее следствия

Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, L-произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D. Тогда для любой точки z0, лежащей внутри контура L, справедлива формула:

, (1)

где L обходится в положительном направлении.

(1) - интегральная формула Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре. 

Доказательство.

L

D

z0

r

γr

Пусть z0- произвольная точка, лежащая внутри контура L. Рассмотрим окружность γr: |z-z0|=r , где r выберем так, чтобы γr лежала внутри L. В двусвязной области, ограниченной контурами L и γr, функция  является аналитической, следовательно, она аналитическая и на области . Тогда по следствию из теоремы Коши:

.  (2)

Из (2) следует, что значение  не зависит от радиуса окружности γr.

Из (2) следует, что для доказательства (1) достаточно показать, что

. (3)

Так как , то или

.  (4)

Из (3) и (4) следует, что для доказательства (1) надо доказать, что

. (5)

Заметим, что интеграл в (5) не зависит от r .

Возьмем . Так как f(z) аналитическая на D, то f(z) непрерывна в точке z0D. Тогда  выполнено .

Если γr такая, что r<δ, то выполнено |z-z0|=r<δ  |f(z)-f(z0)|<ε.

.  (6)

Так как ε>0 – произвольное сколь угодно малое число, а значение интеграла не зависит от r, то (6) может быть выполнено только если , то есть выполнено (5), а значит, выполнено (1).

Следствие . Если две аналитические в односвязной области D функции f(z) и g(z) совпадают на замкнутом контуре LD, то они совпадают и внутри контура L.

Замечание. Если точка z0 лежит вне контура L, то .

Действительно, в этом случае  является аналитической не только на L, но и внутри L, следовательно, применима интегральная формула Коши, согласно которой этот интеграл равен 0.

Итак,

2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в области D, имеет производные всех порядков на этой области, и для z0D справедлива формула:

, (7)

где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z0.

Замечание 1. Из (7) следует, что 

. (9)

Замечание 2. В теореме установлено, что если f(z) имеет производную в любой точке z из области D, то она в каждой точке этой области имеет производную любого порядка. Следовательно, все производные аналитической функции являются непрерывными.  В частности, если f(z) на D, то она обязательно непрерывна. Для действительной функции действительной переменной это выполняется далеко не всегда. Например, , , f(x) дифференцируема на , - не дифференцируема в точке x=0.

Вопрос №12. Теорема Морера

Согласно теореме Коши если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то она непрерывна на D и для любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема (Морера). Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и вдоль любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD , то f(z) – аналитическая в D.

Доказательство.

Равенство нулю интеграла по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD означает, что вдоль любой кривой, соединяющей точки z0 и z не зависит от вида кривой. Как было доказано, функция является аналитической в D, причём F(z)=f(z). Но по предыдущей теореме f(z)-аналитическая функция, так как является производной аналитической функции.

Определение. Функция f(z) непрерывная на односвязной области D, называется аналитической на D, если  по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD.

Теорема о среднем

Теорема. Значение аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому её значений на окружности этого круга, то есть, если z-z0r круг, лежащий в области G, f(z)-аналитическая в G, то

.  (10)

 z=z0+rei, ([0,2])-уравнение окружности С с центром в точке z0, радиуса r.

По интегральной формуле Коши

.  

Принцип максимума модуля аналитической функции

Теорема. Модуль функции f(z),аналитической в некоторой области G и не равной тождественно константе, не может иметь максимума ни в одной точке этой области.

Доказательство.

Обозначим и предположим противное:  точка z0G: f(z0)=M. Из формулы (10) следует

.  (11)

Так как , а f(z0)=M, то из (11) следует, что .

r

z0

Действительно, если допустить, что при некотором значении =0 , то в силу непрерывности функции f(z) неравенство будет выполняться для любого  из достаточно малого промежутка 0-0+, а вне этого промежутка . Значит, в этом случае правая часть неравенства (11) должна быть меньше M , а левая часть равна M (f(z0)=M). Этого быть не может. Следовательно, если в некоторой точке z0 f(z0)=M, то и в достаточно малой её окрестности |z-z0|<r .

z0

z1

d

L

G

Покажем теперь, что f(z)=M всюду в области G. Пусть z1- произвольная  точка области G. Соединим точку z0 с точкой z1 непрерывной линией L, целиком лежащей в G. Обозначим через d расстояние от L до границы области G. Круг с центром в произвольной точке кривой L радиусом принадлежит области G. Следовательно, по доказанному f(z)=M всюду внутри круга с центром в точке z0 радиуса :. Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от точки z0 к точке  z1. Равенство f(z)=M должно выполняться всё время внутри круга, каково бы ни было положение центра круга. Следовательно, в частности f(z1)=M. Так как z1 - произвольная точка области G, то это означает, что f(z)=M всюду в области G. 

Покажем теперь, что в этом случае f(z)const. 

- аналитическая функция.

, следовательно, по условиям Коши-Римана получим, что . Следовательно, vconst. Значит, и ln(f(z))const. Поэтому f(z)const в G.

Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение неверно, и аналитическая функция, не может иметь максимума модуля ни в одной точке области G. 

Замечание. Из доказанного принципа следует, что если f(z)- аналитическая в области G и непрерывная в замкнутой области, то максимум модуля достигается на границе области G при условии, что f(z)const. В самом деле, так как f(z)- непрерывная функция, то в замкнутой области  она принимает наибольшее значение в некоторой точке z0.Так как точка z0 не может лежать в области G (по доказанной теореме), то она расположена на границе области G. 

Вопрос №13. Степенные ряды в комплексной области. Коши-Адамар. Теорема Абеля.

Степенной ряд, радиус и круг сходимости

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,  (1)

где an (n=0,1,2,…), zn - комплексные числа, z-комплексная переменная.

Числа an называются коэффициентами ряда, z0 - его центром.

Область определения степенного ряда - вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке z=z0 ряд (1) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Определение. Число называется верхним пределом последовательности действительных чисел {n}: , если выполнены условия:

  1.  ;
  2.  cуществует подпоследовательность .

(Верхний предел - наибольший из частичных пределов; частичный предел- предел подпоследовательности.)

Теорема (Коши-Адамара). Пусть дaн степенной ряд (1) и . Тогда

  1.  при =0 ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости,
  2.  при = (1) сходится только в точке z=z0 и расходится zz0,
  3.  если 0<<, то (1) абсолютно сходится в круге и расходится вне этого круга.

Доказательство.

1) Пусть =0. Тогда . Следовательно, z выполнено , значит, по признаку Коши ряд сходится. Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно во всей комплексной плоскости.

2) Пусть =. Тогда существует подпоследовательность   . Следовательно, для (1) не выполняется необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходитсяzz0.

Z0

z 

z 

z 

3) Пусть0<<. Если z=z0, то все члены ряда, начиная со второго, равны нулю, и, следовательно, ряд абсолютно сходится. Если zz0 и z лежит внутри K, то положим , где . Обозначим . Тогда по свойству 1) верхнего предела . Отсюда . Следовательно, по признаку Коши (1) абсолютно сходится.

Если z лежит вне круга К, то положим . По свойству 2) верхнего предела существует подпоследовательность  . Следовательно, . Отсюда . То есть для ряда (1) не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.

Определение. Круг с центром z0 и радиусом , внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется кругом сходимости степенного ряда, а число - радиусом сходимости.

Если =0 (R=), то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если = (R=0), то круг вырождается в точку z0, а в его внешности, т.е. во всей комплексной плоскости, кроме точки z0, ряд расходится.

z0 

z1 

z 

R

На окружности ряд (1) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться. 

Из теоремы Коши-Адамара вытекает

Теорема 2 (Абеля). Если ряд (1) сходится в точке z1z0, то он абсолютно сходится в круге .

Доказательство.

Так как ряд сходится в точке z1, то она не может лежать вне круга сходимости, значит, она лежит внутри него или на границе. В обоих случаях круг принадлежит кругу сходимости, следовательно, в нем ряд сходится.

Замечание. Степенной ряд равномерно сходится в каждом замкнутом круге , лежащем внутри круга сходимости. Действительно . Т.к. r<R, то числовой ряд сходится, следовательно, по признаку Вейерштрасса степенной ряд сходится равномерно в .

Аналитичность суммы степенного ряда.

Теорема 3. В круге сходимости |z-z0|<R (R>0) степенного ряда (1) его сумма f(z) является аналитической функцией, причем может быть получена путем почленного дифференцирования ряда (1):

. (2)

Доказательство.

z0 

 

R 

z1

 Пусть R– радиус сходимости ряда (2). Покажем, что R=R. Очевидно, что R совпадает с радиусом сходимости ряда . Тогда

.

Пусть z1 принадлежит кругу |z-z0|<R, возьмем точку так, чтобы . Так как точка  принадлежит кругу сходимости, то ряд абсолютно сходится и, следовательно, выполнено . (3)

Положим . Тогда если zz1, |z-z0| то оценим

.

Используя равенство

,

получим  

Перейдем к пределу при тогда . Следовательно, для выбранного  ()>0: при |z-z1|<() . В силу (3) rn<.

Следовательно, при |z-z1|<(), отсюда

.

Так как z1 - произвольная точка внутри круга сходимости, то отсюда следует, что сумма степенного ряда (1) является аналитической функцией, и ее производная

Вопрос №14. Теорема о единственности. Разложение аналитической функции в степенной ряд.

Разложение некоторых функций в ряд Тейлора:

,

,

,

,

,

,

.

Ряд Тейлора

Теорема 4(о единственности). Если функция f(z) разлагается в степенной ряд (1) в круге |z-z0|<R, то это разложение единственно.

Доказательство.

По условию в круге |z-z0|<R. По теореме 3 - аналитическая в круге |z-z0|<R и к ней можно применить теорему 3 и т.д. Получим

…………………………………………………………………………..

Положим z=z0. Тогда

,

,

………………..

Подставляя найденные коэффициенты в (1), получим .  (4)

Ряд (4) называется рядом Тейлора функции f(z).

Покажем единственность разложения.

Пусть и . Тогда по доказанному , следовательно, разложение единственно. Т.е. если функция f(z) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно и является рядом Тейлора.

Замечание. В процессе доказательства теоремы 4 установили, что сумма степенного ряда (1) бесконечно дифференцируема в круге сходимости |z-z0|<R; производная любого порядка m получается m- кратного почленного дифференцирования ряда (1).

Вопрос №15. Теорема о разложение аналитической функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля.

Теорема 5. Пусть функция f(z)- однозначная и аналитическая в области G. Если z0G и r - расстояние от z0 до границы области G, то в круге |z-z0|<r f(z) разлагается в степенной ряд, расположенный по степеням (z-z0).

Доказательство.

G

z

r

z0

Возьмем z{|z-z0|<r}. Рассмотрим круг .

–его граница .

Согласно интегральной формуле Коши

.

Разложим в степенной ряд по степеням z-z0:

;

Так как , то является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и . Тогда

.

Отсюда

. (5)

Так как для каждого фиксированного z

,

и числовой ряд  сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем  , то по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости ряд (5) абсолютно и равномерно сходится относительно и, следовательно, его можно интегрировать почленно. Тогда

Получили степенной ряд с коэффициентами:

. (6)

Эти коэффициенты не зависят от радиуса . Действительно, если 1 и 0<1<r, то по следствию из интегральной теоремы Коши

.

Итак, мы показали, что f(z) разлагается в степенной ряд .

Так как z - произвольная точка круга |z-z0|<r, то теорема доказана.

Из теоремы 5 следует еще одно определение аналитической функции.

Определение 1. Функция f(z) называется аналитической в точке  z0, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки z0.

Определение 2. Функция f(z) называется аналитической на области D, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки z0D.

Следствие. Положим . Из (6) следует следующая оценка коэффициентов степенного ряда:

,

- неравенства Коши,

(где 0<<r, |z-z0|<r - круг сходимости ряда (1)).

Эти неравенства позволяют оценить сверху модули коэффициентов степенного ряда через максимум модуля суммы ряда на окружности |z-z0|= и радиус этой окружности.

Из неравенств Коши следует теорема.

Теорема 6 (Лиувилля). Если f(z)аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена по модулю на ней, то эта функция есть константа.

Доказательство.

Так как f(z) – аналитическая на всей комплексной плоскости, то она разлагается в степенной ряд с центром в точке z0=0:

.

Ряд сходится во всей комплексной плоскости, т.е. R=. Так как f(z) ограничена по модулю на , то M>0: |f(z)|M, тогда по неравенствам Коши:

,

где в качестве  можно взять любое положительное число. Зафиксируем и перейдем к пределу при . Получим |an|0, т.е. |an|=0 n=1,2,… . Следовательно, f(z)a0=const, и теорема доказана.

Вопрос №16. Теорема о единственности и нули аналитических функций

Теорема(единственности). Если две функции f(z) и g(z), аналитические в некоторой области G, имеют равные значения на бесконечном множестве точек EG, которое имеет по крайней мере одну предельную точку, лежащую внутри G, то f(z)=g(z) всюду в G (т.е. f(z)g(z)).

Доказательство.

Пусть z0 - предельная точка множества EG.

1) Пусть G – круг с центром в точке z0. Так как f(z) и g(z) - аналитические функции, то по теореме 5 §15 в любой точке z круга G имеют место разложения этих функций в степенной ряд:

,

.

Достаточно доказать равенство коэффициентов an=bn n0. По условию, если zE,то f(z)=g(z). (*)

Так как z0 - предельная точка множества Е, то можно выделить последовательность {zk}E: . Так как f(zk)=g(zk), то переходя в этом равенстве к пределу при k, получим f(z0)=g(z0)  a0=b0. Тогда (*) примет вид:

,

где z- произвольная точка множества Е. Сокращая на z- z0, получим

.

Это равенство имеет место zE, в частности, при z=zk, где . Переходя к пределу, получим a1=b1. Поступая и так далее найдем:

a2=b2,… an=bn  . Следовательно, f(z)=g(z) в G.

d

z

z0

d

  z’

2) Пусть G – произвольная область, f(z)=g(z) на бесконечном множестве EG и Е имеет предельную точку z0G. Пусть z - произвольная точка области G. Покажем, что f(z )=g(z ). Соединим точки z0 и z произвольной непрерывной линией LG .Обозначим d=dist(L,G). Ясно, что круг с центром в любой точке линии L и радиусом целиком лежит в G. По доказанному f(z)=g(z) всюду внутри круга , так как z0 - предельная точка множества Е. Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от z0 к z. Тогда f(z)=g(z) все время внутри круга. Следовательно, в частности, f(z )=g(z ). Так как z - произвольная точка, то f(z)=g(z) всюду в области G.

Замечание. Из теоремы следует, что функции f(z) и g(z) аналитические в области G, тождественно равны между собой, если

1) f(z)=g(z) всюду в произвольной малой окрестности точки области G;

2) f(z)=g(z) на произвольной малой линии, целиком лежащей в G. 

Это - одно из замечательных свойств аналитических функций. В случае же произвольной непрерывной функции комплексного переменного ее значения в окрестности точки не определяют ее значения во всех точках области.

Нули аналитической функции

Пусть f(z) - аналитическая в области G функция. Нулем функции называется точка z0G , в которой f(z0)=0.

Множество нулей функции f(z), лежащих в области G, может быть конечным или бесконечным, но никакая точка области G не может быть предельной точкой множества нулей, если . Отсюда следует, что любое ограниченное замкнутое множество точек F области G может содержать лишь конечное число нулей функции f(z). Действительно, если допустим противное: F содержит бесконечное множество нулей, то получим, что множество имеет предельную точку, принадлежащую множеству , а, следовательно, принадлежащую множеству G.

Пусть f(z) - аналитическая в области G, и в точке z0 f(z0)=0. Тогда разложение для некоторой окрестности точки z0  имеет вид

,

т.к а0=f(z0)=0.

Очевидно, все коэффициенты разложения не могут быть равны 0, т.к в этом случае было бы f(z)≡0 (по теореме единственности). Следовательно, среди коэффициентов аn (n=1,2...) есть отличные от нуля. Обозначим номер наименьшего из них через m (m≥1). Тогда а1=а2=...=аm-1=0, am≠0, и, следовательно, разложение f(z) имеет вид

f(z)=am∙(z-z0)m+am+1∙(z-z0)m+1+...

В этом случае точка z0нуль порядка m для функции f(z). Если m=1, то нуль называется простым, при m>1- кратным. Простой нуль характеризуется тем, что для него f(z0)=0, f(z0)≠0 (т.к. , n=1,2…), кратный нуль порядка m≥2 характеризуется соотношениями f(z0)=0, f(z0)=0,…, f(m-1)(z0)=0, f(m)(z0)≠0.

Все сказанное имеет место и для тех точек области G, для которых f(z0)=А, т.к. эти точки являются нулями, аналитической функции f(z0)-A. Точки, в которых f(z0)=А, называются А- точками аналитической функции f(z).

Вопрос №17. Понятие ряда Лорана. Теорема об сходимости.

Ряд Лорана, область сходимости

Рассмотрим ряд, расположенный по целым отрицательным степеням z-z0:

А0+A1∙(z-z0)-1+A2∙(z-z0)-2+…+An∙(z-z0)-n+….  (1)

Полагая , получим обычный степенной ряд

A0+A1t+A2t2+…+Antn+... .  (2)

Радиус сходимости ряда (2) по теореме Коши- Дамара .

1) Если 0<R<∞ , то ряд (2) абсолютно сходится в круге <R и расходится вне его, т.е при >R. Вернемся к переменной z: . Следовательно, при ряд (1) сходится абсолютно, а при ряд (1) расходится.

2) Если R=0, то ряд (2) сходится только в точке t=0. Значит, при =∞ ряд (1) расходится во всей конечной к плоскости.

3) Если R=∞, то ряд (2) абсолютно сходится во всей конечной комплексной плоскости. Поэтому, если =0, то ряд (1) абсолютно сходится во всей конечной плоскости, кроме точки z=z0.

Обозначим через r=.

Итак, область сходимости ряда (1) – это внешность круга |z-z0|<r, т.е область |z-z0|>r (при r- конечном). При r=0 она превращается во всю конечную плоскость, кроме точки z=z0. При r=∞ она вырождается в точку z=∞.

Обозначим . Т. к. ряд (2) сходится равномерно внутри , то ряд (1) равномерно сходится внутри К и определяет функцию

F(z)=А0+A1∙(z-z0)-1+A2∙(z-z0)-2 +…+An∙(z-z0)-n+…,  (1׳)

которая является аналитической во всех конечных точках области К. При z=∞ F(∞)=A0. Будем по определению F(z) называть аналитической в бесконечно удаленной точке. Т.о., аналитичность в точке z=∞ характеризуется наличием разложения (1′), сходящимся в некоторой окрестности точки z=∞.

Определение. Рядом Лорана называется функциональный ряд

,  (3)

который является суммой рядов

 (4) и . (5)

Определение. Ряд Лорана называется сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится каждый из рядов (4) и (5). Суммой ряда Лорана называется функция S(z)=S1(z)+S2(z), где S1(z) и S2(z)- суммы рядов (4) и (5).

Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на D, если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (4) и (5).

Ряд Лорана называется равномерно сходящимся на D, если на этом множестве равномерно сходятся ряды (4) и (5).

Ряд (4) называется правильной частью ряда Лорана, ряд (5)- его главной частью.

Теорема 1.

1) Область сходимости ряда Лорана есть круговое кольцо. Ряд Лорана абсолютно сходится в этом кольце и равномерно сходится в каждой замкнутой его части.

2) Сумма ряда Лорана является аналитической функцией.

R

𝛄

r

Г

z0

Доказательство.

1)Обозначим =Λ, =r. Тогда ряд (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области , т.е. внутри окружности , и расходится вне этой окружности. Ряд (5) сходится абсолютно и равномерно внутри области g: |z-z0|>r, т.е вне окружности γ:|z-z0|=r и расходится внутри γ. Области G и g имеют общие точки тогда и только тогда, когда выполнено r<R. В этом случае Gg=D={z: r<|z-z0|<R} - круговое кольцо. Внутри области D оба ряда сходятся в каждой его замкнутой части абсолютно и равномерно, следовательно, внутри D абсолютно и равномерно сходится ряд Лорана (3). В каждой точке вне D один из рядов (4) или (5) расходится, следовательно, вне D ряд (3) расходится.

2) - аналитическая функция (как сумма степенного ряда) в |z-z0|<R.

- аналитическая функция zz0. Сумма ряда - аналитическая в . Следовательно, также аналитическая функция в |z-z0|>r (т.к. композиция аналитических функций – аналитическая функция, по теореме о производной сложной функции). Следовательно, f(z)=S1(z)+S2(z)= - аналитическая функция в кольце D.

В дальнейшем будем считать, что r<R.

Теорема 2. Если функция f(z) разлагается в кольце D={z: r<|z-z0|<R} в ряд Лорана, то это разложение единственно.

Доказательство.

Пусть     (6).

Пусть ρ: r<ρ<R. Тогда ряд (6) будет равномерно сходиться на окружности γ: |z-z0|=ρ (по теореме 1). Тогда ряд

 (7)

будет равномерно сходиться, т.к функция ограничена по модулю . Следовательно, этот ряд (7) можно почленно интегрировать на окружности . Тогда

. (8)

Рассмотрим интеграл в правой части.

1) nk:

.

2) n=k. В этом случае (доказывали раньше).

Следовательно, в сумме правой части (8) все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером к. Тогда из (8) получим

. (9)

Формула (9) выражает коэффициенты ряда Лорана через его сумму f(z) (аналогична формуле для коэффициентов степенного ряда, но там , а здесь !)

Докажем единственность разложения. Пусть

, .

Эти ряды сходятся в кольцах D и соответственно, содержащих окружность γ:|z-z0|=ρ и f(z)=φ(z) на γ. Тогда из (9) следует, что ak=bk (). Следовательно, ряды тождественны. В частности, если D=, то f(z)=φ(z) zD.

Как найти кольцо сходимости ряда Лорана? Для этого надо знать r и R. Правильная часть сходится в круге |z-z0|<R, где или . Главная часть сходится при |z-z0|>r, где или (получается с помощью замены ).

Разложение аналитической функции в ряд Лорана

Теорема 3 (Лорана). Каждая функция f(z), однозначная и аналитическая в круговом кольце D={r<|z-z0|<R}, представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана: .

Вопрос №18. Теорема о поведении функции в окрестности изолир. точки.

Теорема1. Изолированная особая точка является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) является ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки z0.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть z0- устранимая особая точка f(z), тогда по определению

.  (2)

Степенной ряд в правой части сходится в . Сумма S(z) степенного ряда является аналитической в . Следовательно, она непрерывна в , причем , т.е. . Следовательно, переходя к в (2), получим . Т.к. существует конечный предел в точке z0 функции f(z), то f(z) ограничена в некоторой окрестности z0.

2) Достаточность. Пусть f(z) аналитическая и ограниченная в , т.е. . Разложим функцию в ряд Лорана: . Докажем, что все коэффициенты с отрицательными степенями равны нулю.

, где .

.

Пусть n<0. Перейдем в последнем неравенстве к при фиксированном n: . Следовательно, z0 - устранимая особая точка f(z).

Замечание. Если z0-устранимая особая точка f(z), то функцию f(z) можно доопределить так, чтобы она стала аналитической в z0:

где , тогда будет аналитической в z0, т.к. она совпадает с суммой ряда Тейлора.

Теорема 2. Изолированная особая точка z0 является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда .

Доказано в теореме 1.

Теорема 3. Изолированная особая точка z0 является полюсом m-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует функция F(z), аналитическая в некоторой окрестности , такая, что .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть z0 - полюс m- го порядка функции f(z). Тогда по определению разложение f(z) в имеет вид

,

где . Умножим обе части на :

.

Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда, , тогда . Отсюда

, где , F(z) - аналитическая функция.

2) Достаточность.

Пусть существует функция F(z), аналитическая в и , такая, что  . Так как F(z) - аналитическая, то она разлагается в ряд Тейлора с центром в точке z0:

, причём . Тогда

.

Главная часть содержит слагаемых, следовательно, z0- полюс -го порядка функции f(z).

Теорема 4. Изолированная особая точка z0 является полюсом функции f(z) тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть z0 полюс функции f(z), тогда по теореме 3 существует функция F(z), аналитическая в , такая, что   и . Перейдем к :

, так как , а =0.

2) Достаточность.

Пусть z0 - изолированная особая точка и . Тогда . Следовательно, ограничена в окрестности точки z0, значит, по теореме 1 z0-устранимая особая точка для функции и , где -коэффициент в разложении Лорана для функции (главная часть=0), то есть

.

Пусть - первый ненулевой коэффициент в ряде справа (то есть ). Тогда

.

Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда и , следовательно, . Отсюда . Обозначим - аналитическая в и . Тогда , и по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции .

Из теоремы 3 следует также

Теорема 5. Точка z0 является полюсом - го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда она является нулём -го порядка для функции при zz0.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть z0 - полюс m-го порядка функции f(z). Тогда по теореме 3 , где. Тогда .

Так как , то – аналитическая в точке z0 и . Следовательно, z0- нуль -го порядка функции .

2) Достаточность.

Пусть z0 - нуль – го порядка функции . Тогда , где - аналитическая в точке z0 и . Отсюда , где - аналитическая в точке z0 и . Тогда по теореме 3 z0 - полюс -го порядка функции f(z).

-

Теорема 6 (А.В.Сохоцкого). Каково бы ни было комплексное число (конечное или бесконечное), найдётся такая последовательность точек {zn}, сходящаяся к существенно особой точке z0, что .

(Короче можно сформировать следующим образом: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки f(z) принимает значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному.)

Доказательство.

1) А=. Тогда утверждение справедливо, т.к. функция не ограничена в окрестности существенно особой точки (следовательно, ).

2) A. От противного. Пусть в произвольной окрестности нет точек, в которых значения функции сколь угодно близки к А. Значит, и :  . Положим - аналитическая в и , т.е. ограничена по модулю. Значит, по теореме 1 z0 - устранимая особая точка функции . Следовательно, . Но так как f(z) не ограничена по модулю ни в какой окрестности точки z0, то , то есть функция имеет нуль в точке z0. А значит, функция f(z)-A (по теореме 5) имеет полюс в точке z0. Полученное противоречие доказывает теорему.  




1. Челябинский государственный университет Троицкий филиал Кафедра права ВЫПУСКНАЯ К
2.  Может ли организация опт
3. экв Определяем молярность и нормальность раствора- СМ mB-MV 545-1382500103 08моль-л2
4. 03 КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРИ І МИСТЕЦТВ повне найменування вищого навча
5. тема в контексте конституционного права и политики.
6. деловой этикет Особенности невербального общения
7. Общественное производство, его факторы и результаты
8. Предприниматель всегда ориентируется на цели которые ставит перед собой перед предприятием на достижение
9. Бхавабхути (Bhavabhuti)
10. Этапы конструкторской разработки изделия их задачи и содержание
11. Исковая давность
12. Лекция 6 Ревматизм
13. Влияние атмосферных загрязнителей на растения
14. Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ СФТИ НИЯУ МИФИ К
15. Жорж Роденбах
16. Реформы Хрущева
17.  Принцип народности как ценностный ориентир в поисках идеала национальной образовательной сист
18.  Заболеваемость раком пищевода в России в последние годы- а повышается б снижается в о
19. Субъекты административного права
20. Конт. Он утверждал что религия будет вытеснена и заменена наукой