Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
II. Введение в анализ
1. Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом (). Можно сказать, что последовательность является функцией (). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.
Число называется пределом последовательности если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .
Если , , то: 1) ;
2) ; 3) ;
4) при ().
Пример 1. Дана последовательность . Найдите: а); б) такое, что для всех выполняется неравенство.
Решение. а) Имеем
.
б) Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, что должно быть подобрано так, чтобы для всех
или ;
отсюда следует , . Следовательно, можно взять .
Последовательность называется бесконечно малой, если.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер n0 такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняют положительный (отрицательный) знак, то пишут () .
Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е 2,718.
2. Элементарные функции
К элементарным функциям относятся:
1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрическая , обратные тригонометрические ;
2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).
Пример 2. В класс элементарных функций попадают:
а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в), так как ; г) ; д) , так как и множество других.
3. Предел функции
Пусть функция определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут . Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке x0, если для любой последовательности чисел , сходящейся к , .
Если определена в интервале ,то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут или . Аналогично определяется.
Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или , или , если для любого найдется такое, что для всех (для всех ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .
Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или или Аналогично определяются и .
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то
(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.
Пример 3. Доказать, что . По данному найти такое, что из неравенства следует .
Решение. Пусть произвольно. Неравенство
равносильно неравенству . Поэтому, если по данному взять , то из неравенства будет следовать неравенство а это и означает, что . В частности, для достаточно взять .
Пример 4. Найти пределы:
а), б), в).
Решение. а)
;
б)
в)
Пример 5. Вычислить:
а) б)
Решение. а) При подстановке в числитель и знаменатель они обращаются в нуль.
Следовательно, мы имеем неопределенность вида
Разложим числитель и знаменатель на множители и перейдем к пределу
б) В этом примере имеем неопределенность Умножим числитель и знаменатель на произведение получим
.
Пример 6. .
Решение. Имеем неопределенность .
.
Имеют место равенства
, ,
называемые первым и вторым замечательными пределами.
Пример 7. Найти:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Применяем первый замечательный предел:
.
a)
.
б)
.
в)
(из предыдущего .
Пример 8. Найти:
а) ; б) .
Решение.
а) .
В основании прибавим и вычтем единицу
.
Тогда
.
Вычисляем
.
Тогда
б)
.
Тогда
.
в) .
4. Непрерывность функции
Функция , определённая в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .
Другими словами, непрерывна в точке x0, если выполнены два условия:
1) определена в некотором интервале, содержащем точку ,
2) бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции .
Функция непрерывна в точке в том и только том случае, если .
Если функция непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что непрерывна на множестве X .
Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями.
Функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:
1), но либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимого разрыва;
2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);
3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x0 – точка разрыва второго рода (рис.3).
|
Рис.1 |
Рис.2 |
|
Рис. 3 |
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Пример 9. Исследовать на непрерывность функцию
и построить её график.
Решение. Аналитические выражения , , , входящие в определение , задают непрерывные элементарные функции. Поэтому непрерывна всюду кроме, может быть, точек «склейки» и . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек.
а) .
;
;
.
Так как , то функция непрерывна в точке x = –1.
б) .
;
;
.
Так как , то в точке терпит разрыв первого рода.
Сделаем чертёж (рис.4).
Рис.4
Пример 10. Исследовать на непрерывность функцию . Сделать эскиз графика.
Решение. Функция является элементарной, поэтому непрерывна во всех точках, кроме точек , , , в которых она не определена. Найдём характер разрыва в этих точках.
а) .
(+0 означает, что стремится к 0, оставаясь больше 0).
Так как , , то в точке терпит разрыв второго рода.
б) .
Видим, что , но не определена, следовательно, является точкой устранимого разрыва.
в) .
;
Так как , , то является точкой разрыва второго рода.
Для построения эскиза графика исследуем поведение функции при
и :
,
(выражение (1+0) означает, что стремится к 1, оставаясь больше 1).
Опираясь на полученные данные, сделаем эскиз графика (рис. 5).
Рис. 5
5. Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если . Пусть , – б.м.в. при и ; тогда
а) если , то говорят, что и являются б.м.в. одного порядка;
при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;
б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем , и пишут .
При справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:
, , ;
, .
Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.
Пример 11. Найти
Решение. Имеем
,
,
, .
Учитывая это, получаем
= .
Пример 12. Найти
.
Решение. Имеем
= = =
= = =
=====
==.
Пример 13. Найти предел
.
Решение. Имеем ~ = ,
~. Отсюда находим =
= = =
= = =
= .
Задание 2.1
Для заданной последовательности найдите:
а) ;
б) такое, что для всех выполняется неравенство .
1) ; 10) ;
2) ; 11) ;
3); 12) ;
4); 13) ;
5); 14) ;
6) ; 15) ;
7) ; 16) ;
8) ; 17) ;
9) ; 18) ;
19) ; 25) ;
20); 26) ;
21) ; 27) ;
22) ; 28) ;
23) ; 29) ;
24) ; 30) .
Задание 2.2
Пользуясь определением предела функции, докажите, что . По данному найдите такое, что из неравенства следует .
|
№ п/п |
A |
№ п/п |
A |
||||
|
1 |
7x–1 |
1 |
6 |
16 |
–2x+1 |
1 |
–1 |
|
2 |
9x+1 |
–1 |
–8 |
17 |
–3x–3 |
1 |
–6 |
|
3 |
3x+4 |
2 |
10 |
18 |
x–5 |
4 |
–1 |
|
4 |
5x+3 |
–2 |
–7 |
19 |
–3x+4 |
2 |
–2 |
|
5 |
8x–2 |
2 |
14 |
20 |
7x–2 |
2 |
12 |
|
6 |
x2–9 |
2 |
–5 |
21 |
10x+1 |
1 |
11 |
|
7 |
6x–7 |
2 |
5 |
22 |
12x–5 |
2 |
19 |
|
8 |
4x2–1 |
1 |
3 |
23 |
11x+3 |
–1 |
–8 |
|
9 |
–3x+5 |
–1 |
8 |
24 |
–6x+5 |
–1 |
11 |
|
10 |
8x–4 |
2 |
12 |
25 |
–x+7 |
1 |
6 |
|
11 |
4x–3 |
1 |
1 |
26 |
–x2+1 |
1 |
0 |
|
12 |
x2–1 |
1 |
0 |
27 |
–x2–5 |
3 |
–14 |
|
13 |
x2–4 |
3 |
5 |
28 |
3x–9 |
3 |
0 |
|
14 |
6x+1 |
1 |
7 |
29 |
2x+7 |
–1 |
5 |
|
15 |
–x+4 |
2 |
2 |
30 |
–4x+3 |
2 |
–5 |
Задание 2.3
Найдите пределы.
1) ; 14) ;
2) ; 15) ;
3) ; 16) ;
4) ; 17) ;
5) ; 18) ;
6) ; 19) ;
7) ; 20) ;
8) ; 21) ;
9) ; 22) ;
10) ; 23) ;
11) ; 24) ;
12) ; 25) ;
13) ; 26) ;
27) ; 29) ;
28) ; 30) .
Задание 2.4
Найдите пределы.
1) ; 13) ;
2) 14) ;
3) 15) ;
4); 16) ;
5) ; 17) ;
6) ; 18) ;
7) ; 19) ;
8) ; 20) ;
9) ; 21);
10) ; 22);
11) ; 23) ;
12) ; 24) ;
25) ; 28) ;
26) ; 29) ;
27) ; 30) .
Задание 2.5
Найдите пределы.
1) ; 12) ;
2) ; 13) ;
3) ; 14) ;
4) ; 15) ;
5) ; 16) ;
6) ; 17) ;
7) ; 18) ;
8) ; 19) ;
9) ; 20) ;
10) ; 21) ;
11) ; 22) ;
23) ; 27) ;
24) ; 28) ;
25) ; 29) ;
26) ; 30) .
Задание 2.6
Найдите пределы.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
Задание 2.7
Найдите пределы.
1) ; 2) ;
3) ; 17) ;
4) ; 18) ;
5) ; 19) ;
6) ; 20) ;
7) ; 21) ;
8) ; 22) ;
9) ; 23) ;
10) ; 24) ;
11) ; 25) ;
12) ; 26) ;
13) ; 27) ;
14) ; 28) ;
15) ; 29) ;
16) ; 30) .
Задание 2.8
Исследуйте на непрерывность функцию и постройте её график.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 2.9
Исследуйте на непрерывность функцию , сделайте эскиз графика.
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) ;
7) ; 19) ;
8) ; 20) ;
9) ; 21) ;
10) ; 22) ;
11) ; 23) ;
12) ; 24) ;
13) ; 25) ;
14) ; 26) ;
15) ; 27) ;
16) ; 28) ;
17) ; 29) ;
18) ; 30) .
Задание 2.10
Найдите пределы.
Задание 2.11
Найдите предел, используя второй замечательный предел.
1) ; 3);
2) ; 4);
5) ; 17);
6) ; 18);
7) ; 19) ;
8) ; 20);
9) ; 21) ;
10) ; 22) ;
11) ; 23) ;
12) ; 24) ;
13) ; 25) ;
14); 26);
15) ; 27) ;
16) ; 28) ;
29) ; 30) .
Задание 2.12
Найдите предел, используя замечательные пределы и их следствия.
1) ; 15) ;
2) ; 16) ;
3) ; 17) ;
4) ; 18);
5) ; 19);
6) ; 20) ;
7) ; 21)
8) ; 22) ;
9); 23) ;
10) ; 24) ;
11) ; 25) ;
12); 26) ;
13) ; 27) ;
14) ; 28) ;
29) ; 30) .
34