Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Оценка плюс пример
“Оценка плюс пример” — это метод решения задач, который применяется при нахождении наибольших или наименьших значений. Суть метода состоит в следующем. Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа:
1. Оценка. Показываем, что выполнено неравенство A≥α.
2. Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство A=α.
Тем самым доказываем, что наименьшее значение величины A равно α.
Пример. Найти наименьшее значение функции f(x)=x2+2x–3.
Решение. Выделим полный квадрат: f(x)=(x+1)2–4. Поскольку квадрат числа неотрицателен, получаем оценку: f(x)≥–4.
Приводим пример, когда равенство достигается: f(−1)=−4. Следовательно, искомое наименьшее значение равно −4.
Ответ. −4.
Пример. Натуральные числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй группе. Какое наименьшее значение может принимать частное от деления первого произведения на второе?
Решение. Число 7 должно быть в первой группе, поскольку оно простое и никакое другое число на него не делится. Следовательно, частное не меньше 7 (оценка). Приведем пример разбиения, при котором частное равно 7. Первая группа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; вторая группа: 8, 9, 10. В таком случае
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅78⋅9⋅10=7.
Следовательно, наименьшее значение частного равно 7.
Для того, чтобы придумать этот пример достаточно найти каноническое разложение произведения всех этих чисел:
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅8⋅9⋅10=28⋅34⋅52.
Оно является квадратом числа 24⋅32⋅5=8⋅9⋅10
Ответ. 7.
Пример. Несколько камней весят вместе 10 тонн, при этом каждый из них весит не более одной тонны. На каком наименьшем количестве трехтонок можно увезти этот груз за один раз?
Решение. Покажем, что на пяти трехтонках можно увезти весь груз за один раз. Действительно, на каждой из четырех первых трехтонок можно увезти более двух тонн камней. То есть первые четыре машины увезут по крайней мере 8 тонн камней. Оставшиеся камни (суммарным весом менее двух тонн) увезет пятая машина.
Покажем теперь, что четырех машин может не хватить. Действительно, если бы изначально было 13 камней весом по 10/13 тонн каждый, то каждая трехтонка может увезти только три таких камня. То есть четыре трехтонки могут увезти лишь 12 из 13 камней.
Ответ. 5.
Пример. Каково наименьшее натуральное n такое, что n! делится на 18, на 19, на 20 и на 21?
Решение. 3аметим, что число 19 — простое, поэтому если n<19, то n! не делится на 19. Осталось понять, что 19! делится и на 18, и на 19, и на 20 (20=4⋅5), и на 21 (21=3⋅7).
Ответ. 19.
Пример. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075. Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение. Ясно, что чисел в последовательности будет тем больше, чем меньше сами числа. Поэтому надо по максимуму использовать 1 и 13, чередуя их. Попробуем так и начать: 1, 13, 1, 13, … Эта последовательность состоит из идущих друг за другом пар (1; 13); сумма в каждой паре равна 14. Какое число будет последним? Очевидно, 13 в конце оказаться не может — тогда сумма всех членов последовательности будет делиться на 14, а 6075 — число нечетное. Остается проверить единицу. Делим 6075 на 14 с остатком и получаем: 6075=14⋅433+13. Значит, и единицы в конце быть не может.
Наша последовательность не подошла, но результат деления с остатком подсказывает, что нужно сделать. Изменим чередование: 13, 1, 13, 1, … Тогда после 433 пар (13; 1) мы сможем завершить последовательность числом 13. Таким образом, нам удалось обойтись только числами 1 и 13, и возникает ощущение, что это и есть наиболее длинная последовательность. Теперь попробуем это аккуратно доказать.
Покажем, что больше, чем 433⋅2+1=867 членов быть не может. Предположим обратное: наша последовательность a1, a2, a3, … содержит не менее 868 членов. Разобьем их последовательно на пары: (a1;a2); (a3;a4); … Сумма чисел в каждой паре как минимум 14, а самих пар не менее 434. Сумма всех членов получится тогда не менее 14⋅434=6076, что противоречит условию. Значит, в последовательности может быть самое большее 867 членов.
Ответ. 867.
Задачи
При каком наименьшем натуральном n число n! делится на 10^6?
Ответ 30!
Какое наименьшее количество чисел надо вычеркнуть из произведения
1 * 2 * 3 * … *15,
чтобы оставшееся произведение стало полным квадратом?
Ответ: 3 числа (11;13;10)
В строку выписаны 10 неотрицательных чисел, причем сумма любых трех подряд идущих чисел не превосходит 1. Найдите наибольшее значение суммы всех чисел.
Ответ: 4 (1001001001)
В клетки таблицы 10х10 выписаны неотрицательные числа так, что сумма чисел в любом квадрате 3х3 не превосходит 1. Найдите наибольшее значение суммы всех чисел.
Ответ: 16
На доске написаны числа 1, 2,… , 10. За одну операцию можно стереть два числа и записать вместо них модуль их разности. Какое наибольшее число могло получиться при таких операциях?
Ответ: 9
Какое наименьшее число гирек может содержать набор, с помощью которого
можно уравновесить любой груз массой 1, 2, 3, …, 15 г? (Гири можно класть только на одну чашку весов)
Ответ: 4
Какое наименьшее число выстрелов потребуется для того, чтобы в игре "Морской бой" на доске 7х7 наверняка ранить четырехпалубный корабль (прямоугольник 4х1)?
Ответ:12
Имеется несколько камней суммарной массы 10 тонн, причем каждый камень весит не больше тонны. Какое наименьшее количество трехтонок нужно, чтобы гарантированно увезти эти камни за один раз?
Ответ: 5
В ряд стоят 45 спортсменов в красных и синих костюмах. Известно, что если через 9 человек от спортсмена стоит спортсмен в красном костюме, то этот спортсмен одет в синий костюм. Какое наибольшее число спортсменов в красных костюмах могло быть?
Ответ: 27
(Ладьи в пространстве)
Какое наибольшее количество попарно не бьющих друг друга ладей можно расставить на кубической доске 4х4х4?
(Бусы)
Имеются красные и синие бусинки. Составляется ожерелье из 15 бусинок. Оно называется счастливым, если в нем нет двух красных бусинок, между которыми ровно k бусинок. Какое наибольшее количество красных бусинок может быть в счастливом ожерелье? Если
а) k = 0; б) k = 2; в) k = 3; г) k = 4; д) k = 5?
(Лампочки)
Имеется 16 выключателей, каждая кнопка включает одну из 16 лампочек, находящихся в соседней комнате. За одну попытку можно включить несколько выключателей и посмотреть, какие лампочки горят. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число на каждой карточке?
Задачи
Такие далекие числа
35.71 баллa
Расстоянием между числами a1a2a3−−−−−− и b1b2b3−−−−−− назовем максимальное i, для которого ai≠bi. Все трехзначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?
Решение
Обозначим x1,x2,x3 — количество пар последовательно идущих чисел, таких что расстояние между ними равно соответственно 1, 2, 3. Заметим, что всего последних цифр — 10, поэтому последняя цифра меняется не менее 9 раз. Поэтому у нас x3≥9.Заметим, что всего пар двух последних цифр — 100, поэтому пара последних цифр меняется не менее 99 раз, то есть x2+x3≥99. Аналогичным образом получим x1+x2+x3=899 (первая цифра не 0). Сложив все 3 соотношения получим: x1+2x2+3x3≥1007.Заметим, что это как раз и есть сумма расстояний. Для того, чтобы построить пример сделаем следующее: запишем все трехзначные числа наоборот (т.е a3a2a1−−−−−−) и запишем в порядке возрастания. Теперь, в соответствующем порядке выпишем начальные числа (то есть a1a2a3−−−−−− будет записано на таком же месте, на котором стояло a3a2a1−−−−−−). Тогда все неравенства обратятся в равенства и сумма расстояний будет 1007.
Ответ: 1007
Смысл суммы дробей
21.43 баллa
Пусть k,l — неотрицательные целые числа. Найдите максимальное значение выражения kl+k+42–k42–k–l.
Решение
Обозначим f(l,k)=kl+k+42–k42–k−l. Заметим, что kl+k+42–k42–k–l=2+l(142–k–l–1k+l).
Рассмотрим 2 случая – k+l>42 и k+l<42. Пусть k+l>42, тогда f(l,k)<2, так как 42–(k+l)<0. Пусть k+l<42. Тогда l≤(42–1),k+l≤41. Значит f(l,k)≤2+41(142–41–141)=42. Поэтому
максимальное значение не более 42. Тогда нужно чтобы все неравенства
обратились в равенства, т.е. l=41,k=0. Таким образом, maxf(l,k)=42.
Радиусы и высоты
14.29 баллa
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Какое наибольшее значение может принимать наименьшая высота этого треугольника?
Решение
Обозначим a,b,c — стороны треугольника, r,h — радиус
описанной окружности и наименьшая высота, причем a – максимальная сторона. Так как наименьшей высоте соответствует наибольшая сторона
(из формулы площади), то S=12ha=12r(a+b+c). Тогда h=1+ba+ca≤3. Заметим, что
в правильном треугольнике h=3, так как центр вписанной
окружности — точка пересечения медиан и высот, которые делятся в
отношении 2:1, считая от вершины
Целый многоугольник
14.29 баллa
Найдите наибольшее натуральное n, что существует выпуклый n-угольник, у которого все углы измеряются целым числом градусов.
Ответ: 360
Заметим, что если каждый угол измеряется целым числом градусов,то он не более 179∘. Значит внешний угол, соответствующий емуне менее 1∘. У каждого выпуклого n-угольника сумма внешнихулов равна 360∘. Значит внешних углов не более 360. Поэтому,всего углов не более 360. В качестве примера можно взять правильный 360-угольник (у него все углы по 179∘).
Остров постоянных людей
14.29 баллa
На острове живут рыцари и лжецы, всего 2012 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый житель острова заявил: “Среди оставшихся жителей острова более половины — лжецы”. Какое максимальное количество лжецов может быть на острове?
На острове живут рыцари и лжецы, всего 2012 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый житель острова заявил: “Среди оставшихся жителей острова более половины — лжецы”. Какое максимальное количество лжецов может быть на острове?