МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Работа добавлена на сайт samzan.net:
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Балабан Е.И.
Методические указания
по выполнению лабораторной работы
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
г. Коломна
2008 г.
Цель работы: Изучение методов численного интегрирования; изучение априорной и апостериорной оценки погрешности интегрирования; сравнение методов по числу разбиений интервала интегрирования и количеству вычислений значений подынтегральной функции, необходимому для достижения заданной точности вычисления.
Содержание работы:
1. Применить приближенные методы для вычисления определенного интеграла от функции, не имеющей особенностей на промежутке интегрирования.
2. Сравнить абсолютную погрешность вычисления интеграла и предельную погрешность.
3. Оценить трудоемкость использования квадратурных формул.
4. Рассмотреть особенности вычисления несобственных интегралов и интегралов от сильноосциллирующих функций.
Краткие теоретические сведения
На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, так как первообразную функцию не всегда удается выразить через элементарные функции или ее нахождение связано с необходимостью выполнения весьма сложных преобразований. Распространенной также является ситуация, когда подынтегральная функция задана таблицей экспериментально полученных значений. Во всех этих случаях применяется численное интегрирование.
Приближенное вычисление определенного интеграла основано на замене интеграла конечной суммой по формуле
,
называемой квадратурной формулой, где Ck - коэффициенты (или веса) квадратурной формулы, точки отрезка интегрирования xk- узлы квадратурной формулы. Разность между точным и приближенным значениями интеграла
называется Rn- погрешностью квадратурной формулы.
На практике обычно делят заданный отрезок [a,b] на N равных частичных отрезков [ai-1,ai] длиною h=(b-a)/N (шаг разбиения), на каждом из которых применяют какую-либо одну каноническую квадратурную формулу, суммируют результаты и получают составную (или обобщенную) квадратурную формулу. Независимо от выбранного метода, погрешность обобщенной квадратурной формулы будет уменьшаться при увеличении числа разбиений N за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции. Однако при этом будет возрастать вычислительная погрешность суммирования частичных интегралов, и, начиная с некоторого N0, она станет преобладающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привлечь внимание к важности как априорной, так и апостериорной оценки погрешности интегрирования. Ниже приведены несколько часто используемых квадратурных формул и априорных оценок погрешности.
Метод прямоугольников - простейший прием численного интегрирования, при котором функция заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка:
. (1)
При k1 = 0, k2 = N-1 формула (1) называется формулой левых прямоугольников, при k1= 1, k2 = N - формулой правых прямоугольников, при k1 = 0.5, k2 = N -0.5 - формулой средних прямоугольников. Погрешность двух первых формул имеет порядок O(h), погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников имеет более высокий порядок: .
Метод трапеций основан на линейной интерполяции f(x) на частичном отрезке. С учетом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщенная формула метода трапеций имеет вид
(2)
Знак оценки погрешности формулы трапеций противоположен знаку оценки погрешности формулы средних прямоугольников. Разность значений, полученных по формулам прямоугольников и трапеций, можно использовать для оценки погрешности каждой из них. Однако эта оценка не безукоризненна; может случиться, что обе формулы дадут один и тот же неверный результат.
Метод Симпсона (парабол). Подынтегральную функцию заменяют параболой, проходящей через узлы ak, ak+h/2, и ak+1 частичного отрезка. Обобщенная формула метода имеет вид
(3)
Выражение для остаточного члена показывает, что алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трем. Формула позволяет получить высокую точность, если четвертая производная не слишком велика.
Метод Бодэ использует пять узлов на частичном интервале [ai,ai+1] длиною 4h:
Метод Уэддля используют семь узлов на каждом из отрезков разбиения:
Формула Ньютона-Котеса с семью узлами имеет повышенную точность по сравнению с методом Уэддля:
При вычислении определенных интегралов методом Монте-Карло на отрезке интегрирования [a, b] выбираем N=100 случайных точек xi =a +( b - a ) zi ( i=1,..,n) . Случайные числа 0 £ zi £ 1
( i=1,..,n) получают с помощью датчика случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1) . За приближенное значение интеграла принимают
Содержание работы:
1. Найти точное значение определенного интеграла от первой из заданных функций и приближенное значение, используя два вида квадратурных формул (по вариантам) и метод Монте-Карло.
2. Для каждого из методов (за исключением метода Монте-Карло) на 1-й итерации N0=4, а на последующих – увеличивается в 4 раза.
3. На каждой итерации требуется найти абсолютную и относительную погрешность вычисления определенного интеграла сравнением с полученным аналитически его точным значением, а также, если это возможно, оценку погрешности по общей формуле.
4. Составить сводную таблицу, в которой указать метод приближенного интегрирования, число разбиений интервала интегрирования, погрешности и их оценки, а также количество вычислений значений подынтегральной функции.
5. Для рассмотренных методов нарисуйте блок-схему приближенного вычисления определенного интеграла с заданной точностью.
6*. Для второй из заданных функций проведите те же расчеты. Предложите и реализуйте приближенное вычисление интеграла с предварительным разбиением интеграла на подинтервалы с различным шагом разбиения, что связано с особенностями подинтегральной функции .
6. Составить отчет о проделанной работе.
Номера квадратурных формул:
- метод левых прямоугольников;
- метод правых прямоугольников;
- метод средних прямоугольников;
- метод трапеций;
- метод Симпсона;
- метод Боде;
- метод Уэддля;
- формула Ньютона-Котеса с семью узлами.
2. Роль и место политических партий в современной России в условиях реформирования государства и общества
3. Контрольная работа- Прикладные аспекты биоэнергетики
4. Грашовая сістэма. Рэальная і намінальная вартасці манет
5. Учет валютных операций.html
6. Реферат- Примеры построения АСУ-СВЯЗЬ
7. на тему- Финансовые прогнозы- виды сферы применения роль
8. Эксперт от 19 октября 1998 года 39 анализа инвестиционной привлекательности регионов России СПетербург зан
9. Традиция местного самоуправления в России (на историческом материале Российской империи)1
10. Лекция 91 CCCР в 19451953 гг
11. Організація позакласної роботи в загальноосвітній школі
12. становление географической науки Зачатки многих современных географических теорий мы находим у античных
13. По сути цена является коэффициентом обмена конкретного товара на деньги
14. Классификация доходов предприятия
15. ТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА Учебное пособие РПК
16. ТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ ДИ
17. небольшой экскурс в историю портала
18. Использование в них тесной решетки является неизбежным следствием использования в качестве замедлителя
19. biz wwwsturn1biz Skype- nik1949 Приглашение на фестивали в СЛОВАКИЮ и страны Европы 2014г
20. психологічні методи вивчення організації в структурі управління Соціальнопсихологічні методи базуються