Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Загальним розв`язком рівнянь типу є будь-яка гармонічна функція, наприклад, синус. Значить, за цих умов для можна записати такий розв’язок: , до якого входять дві константи: A0 і j. Це константи інтегрування диференціального рівняння другого порядку. Перепишемо здобутий розв’язок для змінної =x(t):
. (1.2.12)
Для визначення констант інтегрування застосуємо початкові умови це початкова швидкість руху кінця мотузки, яка виникає внаслідок падіння муфти. Швидкість визначається з закону збереження механічної енергії:
Знайдемо вираз для швидкості руху в довільний момент часу: Скориставшись вказаними початковими умовами, маємо наступну систему рівнянь:
(1.2.13)
Звідси знайдемо:
. (1.2.14)
Тепер визначимо момент часу , коли кінчик мотузки припинить рух внаслідок її розтягування на максимальну величину:
. (1.2.15)
Значить, , або . Тому координата, що визначає положення муфти в момент часу t, має наступний аналітичний вираз:
(1.2.16)
Максимальна деформація нитки настає, коли муфта зупиняється. Таким чином, здобуваємо відповідь:
. (1.2.17)
Звичайно, її можна здобути і у більш простий спосіб, скориставшись законом збереження механічної енергії. Прирівнявши потенціальну енергію муфти перед падінням до роботи, яку вона виконує проти сил пружності, розтягуючи нитку, можна отримати квадратне рівняння для видовження x(t): . Але розв’язком цього рівняння все одно буде вищезазначений вираз (1.2.17). Тому ця задача є чудовою нагодою для практики в галузі застосування знань, що їх здобуто на лекціях з математичного аналізу.
1.2.4. Перетворення Галілея
Перетворення Галілея показують, в який спосіб пов’язані між собою координати механічного об’єкта у різних інеpціальних системах відліку. Питання про перетворення координат, якщо воно стосується тільки однієї інеpціальної системи відліку, є чисто математичним і розв`язується методами аналітичної геометрії та математичного аналізу. Але питання про перетворення координат, що відносяться до різних інеpціальних систем відліку, є питанням фізики. Воно може бути розв`язане тільки експериментальними засобами.
Найпростішим відносним рухом систем відліку є поступальний рівномірний рух. З численних дослідів відомо: “В усіх системах координат, які рухаються поступально та рівномірно відносно сфери нерухомих зірок та відносно одна одної, усі механічні явища відбуваються однаково”. Це твердження є принципом відносності Галілея. У подальшому цей принцип був визнаний справедливим і для інших явищ, наприклад, електромагнітних. Цей принцип є постулатом, оскільки, по-перше, він не є перевіреним з достатньою точністю; по-друге, досі не всі явища природи є нам відомими.
Нехай система відліку K є нерухомою, а система відліку K1 рухається відносно K зі швидкістю . Вважаємо, що в момент часу t=0 системи відліку K та K1 співпадали, тоді траєкторія руху матеріальної точки в системі K описується функцією , а в системі K1, відповідно, . Наступні формули називаються перетвореннями Галілея:
t1=t, (1.2.18)
. (1.2.19)
Перетворення Галілея показують:
Скористаємося перетвореннями Галілея для опису переходу з системи відліку K1 до системи K. Виходячи з принципу відносності руху, можна сказати, що система рухається відносно системи K1 зі швидкістю «». Тому перехід від системи відліку K1 до системи K описується формулами (1.2.18) та (1.2.19), в яких слід замінити: t1 t, r1 r, 1, -:
t=t1, , . (1.2.20)
Такий самий результат можна здобути з арифметичних міркувань внаслідок розв’язання рівнянь (1.2.18) та (1.2.19) відносно t, і , що підтверджує, що побудована Галілеєм теорія є внутрішньо несуперечливою, самоузгодженою.
Зверніть увагу на те, що принцип відносності Галілея використовує припущення про те, що час змінюється однаково в різних системах відліку. Це є справедливим тільки для повільних рухів зі швидкістю , що є значно меншою швидкості світла, які досліджує класична механіка. Для систем відліку, які рухаються з релятивістськими швидкостями, це не так: дійсно, в них час змінюється повільніше, ніж у нерухомих системах відліку.
1.2.5. Інваріанти перетворення Галілея
Коли певна фізична величина не змінює свого числового значення при перетворенні координат, то це значить, що вона має об`єктивне значення, яке не залежить від обраної системи відліку. Такі фізичні величини відображають властивості самих явищ, що вивчаються, а не їх співвідношення з обраною системою відліку. Величини, числові значення яких не змінюються при переході з однієї системи відліку до іншої системи відліку, називаються інваріантами перетворень.
До інваріантів перетворень Галілея належать: лінійні розміри механічного об`єкта, інтервал часу спостереження за об`єктом, прискорення механічного об`єкта. У цьому легко пересвідчитися:
1).
=l(2) (1.2.21)
,
де - довжини, що виміряні у системах відліку та , відповідно, перша з яких, наприклад, є нерухомою, а друга – рухається рівномірно та прямолінійно зі швидкістю .
2). ; (1.2.22)
3). , (1.2.23)
де - це радіуси-вектори матеріальної точки у системах відліку та , відповідно. Нехай система відліку рухається прямолінійно та рівномірно відносно зі швидкістю . Тоді, якщо обчислити похідну від (див. для порівняння формули (1.2.18) та (1.2.19)) за часом, можна отримати зв’язок між швидкостями матеріальної точки, які обчислено в різних ( та , відповідно) системах відліку:
. (1.2.24)
Експериментальна перевірка саме формули (1.2.24) і вказала на приблизний характер перетворень Галілея. Зазначимо, що відхилення експериментальних результатів від теоретичних, що визначаються за допомогою (1.2.24), є тим більшими, чим більшими є швидкості руху механічних об`єктів. Таким чином, це - ще одне свідчення існування релятивістських обмежень на коло тих механічних явищ, які досліджує класична механіка.
1.2.6. Закон збереження імпульсу
Виходячи з другого та третього законів Ньютона, можна здобути закони збереження імпульсу та енергії. Цікаво, що існує також можливість пройти й зворотнім шляхом, тобто вивести закони Ньютона із законів збереження. За великим рахунком, це справа смаку: що обрати за аксіому, а які закони механіки виводити. Даний курс викладання механіки є традиційним, тобто відповідає історичній послідовності розвитку фізики.
Насправді, використовуючи більш складний математичний апарат, можна вивести і закони Ньютона, і закони збереження, виходячи з однорідності простору та часу. Однорідність простору означає, що закони фізики однакові в усьому просторі. А однорідність часу означає, що закони фізики не змінюються з часом. Експериментальним підтвердженням однорідності часу є існування універсальних фізичних констант.
Закон збереження імпульсу свідчить, що повний імпульс замкненої системи матеріальних точок залишається незмінним з часом. Повний імпульс – це є векторна сума імпульсів усіх частинок у замкненій системі. Доведемо закон збереження імпульсу на прикладі замкненої системи з двох матеріальних точок. За третім законом Ньютона маємо наступне співвідношення для сил, з якими взаємодіють ці дві матеріальні точки: . Отже, або Звідси маємо закон збереження повного імпульсу замкненої системи: Те саме є справедливим для N матеріальних точок:
(1.2.25)
Отже, при будь-яких змінах руху матеріальних точок в замкненій системі сумарний імпульс такої системи залишається сталою величиною.
Питання для самоконтролю до розділу
§ 1.2. Динаміка матеріальної точки
§ 1.3. Рух системи матеріальних точок
Досі ми вивчали рух однієї матеріальної точки, на яку не впливали інші матеріальні точки. Але дуже часто в процесі руху механічних об’єктів відбувається їхня взаємодія між собою. Саме такий механічний рух і вивчається в даному розділі.
1.3.1. Теорема про рух центру мас
Центром мас (або центром інерції) механічної системи (системи матеріальних точок) називають таку уявну точку, радіус-вектор якої визначається за наступною формулою:
. (1.3.1)
У разі неперервного розподілу маси (1.3.1) має вигляд: .
Перепишемо це визначення в наступний спосіб: та візьмемо похідну від нього за часом:
. (1.3.2)
Тоді природним виглядає назвати швидкістю центру мас таку величину:
. (1.3.3)
У разі неперервного розподілу маси: .
Імпульс центру мас визначається в такий спосіб:
, (1.3.4)
де M - це повна маса системи.
Продиференціюємо рівняння (1.3.3) за часом і визначимо прискорення, з яким рухається центр мас:
. (1.3.5)
Оскільки сума внутрішніх сил, що діють між компонентами механічної системи за третім законом Ньютона дорівнює нулю, то у чисельнику виразу (1.3.5) лишається лише сума зовнішніх сил. Тим самим ми довели наступну теорему про рух центру мас (закон руху центру інерції).
Теорема: Центр мас системи матеріальних точок рухається як одна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас усіх матеріальних точок, що є складовими частинами системи, під дією сили, яка є геометричною сумою усіх зовнішніх сил, що діють на систему, тобто:
(1.3.6)
Якщо система є замкненою, тобто , тоді Отже, за цих умов центр мас замкненої системи матеріальних точок рухається рівномірно та поступально. Повний імпульс замкненої системи матеріальних точок відносно системи відліку, що рухається зі швидкістю центру мас, дорівнює нулю.
1.3.2. Рух тіл змінної маси
Термін “змінна маса” в класичній механіці має інше значення, ніж у теорії відносності. У рамках класичної механіки досліджується повільний рух об’єктів, чия маса змінюється через втрати або набуття певної кількості речовини. Наприклад, дощова крапля збільшує свою початкову масу під час падіння у повітрі, яке є перенасиченою водяною парою; або інший приклад – маса реактивного літака зменшується за рахунок витікання газу, який утворюється у двигунах через згоряння палива. Повільність руху означає, що досліджуються випадки швидкостей, що є значно меншими за швидкість світла.
Рівняння руху механічних об`єктів, що мають змінну масу, принципово не відрізняються від звичайного другого закону Ньютона, бо вони є наслідками законів Ньютона. Ці рівняння становлять певний інтерес, головним чином, у зв`язку з розвитком ракетної техніки.
Елементарну теорію руху ракет побудовано на припущенні, що ракета разом з газами, що витікають, створює замкнену систему, нехтуючи при цьому тертям, дією зовнішніх сил гравітації сусідніх космічних об`єктів і таке інше. Повний імпульс такої системи з часом не змінюється. Газ, що утворюється при згорянні палива, викидається з ракети з великою швидкістю, що в свою чергу діє на ракету, надаючи їй прискорення у напрямку, який є протилежним до напрямку витікання газу.
Здобудемо рівняння, що описує рух тіл змінної маси. Для визначеності (яка не обмежує загальності) вважатимемо, що йдеться про політ ракети. Для цього скористаємося стандартним методом: розглянемо імпульс механічної системи «ракета плюс гази» у довільний момент часу t і у наступний, фізично безкінечно близький, момент часу t+dt, і знайдемо зміну імпульсу за цей проміжок часу.
Нехай у довільний момент часу ракета разом із паливом має масу m(t) і рухається зі швидкістю (t). При цьому її імпульс дорівнює (t)=m(t)(t). За елементарний проміжок часу маса ракети та її швидкість отримали, відповідно, прирости та : m(t) m(t+dt)= m(t)+dm, (t)(t+dt)=(t)+d . Тому кількість руху (імпульс) ракети разом із паливом, що в ній залишиться, на цей час стане добутком (t) (t+dt)=. Крім того, на момент часу t+dt в системі виникне ще один компонент - це газ, який полишає ракету внаслідок згоряння палива. Маса новоутвореного газу , його швидкість відносно інерціальної системи відліку . При цьому слід узяти до уваги, що , оскільки повна маса системи «ракета плюс паливо» з часом зберігається. Таким чином, повний імпульс системи «ракета плюс паливо» в момент часу дорівнює:
. (1.3.7)
Обчислимо зміну імпульсу за проміжок часу dt:
(1.3.8)
Величиною другого порядку малості слід знехтувати. Тоді для зміни величини імпульсу можна записати: . Позначимо швидкість витікання газу відносно ракети: , тоді
(1.3.9)
З другого закону Ньютона маємо:
, (1.3.10)
де - це геометрична сума усіх зовнішніх сил, що діють на ракету. Порівнюючи два вирази (1.3.9) та (1.3.10) для , дістаємо:
(1.3.11)
Звідси маємо: , або в формі рівняння Мещерського:
. (1.3.12)
Величину називають реактивною силою. У випадку польоту ракети dm/dt<0, тому реактивна сила штовхає ракету у напрямку, протилежному до того, в якому гази вилітають із сопла двигуна ракети.
Розглянемо випадок, коли , тобто коли ракета летить у космосі далеко від Землі та інших планет та зірок так, що силою гравітаційного тяжіння можна знехтувати, або коли реактивна сила є набагато більшою за результуючу решти сил. Тоді рівняння (1.3.12) спрощується:
. (1.3.13)
Нехай ракета рухається прямолінійно, наприклад, вздовж осі . Тоді вектори та орієнтовано у взаємно протилежних напрямках, а маса ракети зменшується (dm/dt<0). Спроектуємо рівняння (1.3.13) на вісь і дістанемо скалярне рівняння:
(1.3.14)
Обмежимо наше дослідження простим випадком сталої швидкості витікання газів, коли >0. Виконаємо процедуру поділу змінних у співвідношенні (1.3.14), що в цьому випадку полягає у тому, щоб поділити рівняння (1.3.14) на m:
(1.3.15)
Проінтегруємо рівняння (1.3.15) від деякого початкового моменту часу t=t0, коли V(t0)=V0 і m(t0)=m0, до поточного моменту часу t
(1.3.16)
та здобудемо:
. (1.3.17)
Рівняння (1.3.17) показує: для того, щоб ракета набула найбільшої швидкості, по-перше, слід обладнати її гарним двигуном з найбільшою швидкістю витікання газів із сопла ракети і, по-друге, виготовити ракету з найменшою корисною масою, m0>>m(t). При чому перший шлях є більш ефективним, бо лінійна функція зростає швидше за логарифмічну.
Рівняння (1.3.17) можна переписати ще так:
(1.3.18)
Коли , тоді з (1.3.18) здобуваємо формулу Ціолковського:
(1.3.19)
1.3.3. Робота та кінетична енергія
Кількість енергії, яку людство одержує з надр Землі у формах, які є зручними для сучасного промислового виробництва, має свою межу, до якої вже недалеко. Добробут людства безпосередньо пов`язано із споживанням енергії. Об`єми валових національних продуктів є приблизно пропорційними до величини споживаної енергії. Виробництво та розподіл енергії за умов обмежених ресурсів та ажіотажного попиту становить соціальну, економічну та політичну проблему. Але фізика опікується іншими аспектами питань енергії.
Коли сила діє на рухому матеріальну точку, то вона виконує роботу над нею. Робота вимірюється в Джоулях: в системі СІ або в ергах: в системі СГС. Кількісно елементарна робота, що її виконує сила при переміщенні на , - це добуток . Коли матеріальна точка рухається вздовж криволінійної траєкторії під дією змінної сили, долаючи шлях скінченної величини, тоді робота - це є криволінійний інтеграл. Коли рух відбувається за умов дії кількох сил, наприклад, , то . Значить, елементарна робота кількох сил дорівнює сумі елементарних робіт цих сил.
Потужність P - це робота, яку виконано за одиницю часу . Розмірність потужності: = 1 Вт
=
Кінетичною енергією матеріальної точки називають величину Робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює приросту кінетичної енергії. Доведемо це шляхом інтегрування:
. (1.3.20)
Отже,
. (1.3.21)
Цей результат можна узагальнити на випадок довільної системи матеріальних точок.
Сформулюємо закон збереження кінетичної енергії механічної системи: «Кінетична енергія системи матеріальних точок дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок, з яких ця система складається або на які цю систему можна уявно поділити. Приріст кінетичної енергії системи матеріальних точок дорівнює роботі усіх сил, що діють на цю систему».
Якщо порівняти цей закон із законом збереження імпульсу системи матеріальних точок, який можна розглядати як теорему про зв`язок між та , то видно, що вони сильно відрізняються. Внутрішні сили (внаслідок рівності дії та протидії, тобто виконання третього закону Ньютона) не змінюють імпульсу системи матеріальних точок, тобто приріст кількості руху не залежить від внутрішніх сил, але ці сили можуть змінювати кінетичну енергію системи.
1.3.4. Зіткнення
Терміном зіткнення у механіці позначають процес взаємодії між механічними об`єктами у широкому розумінні, тобто це не є обов`язково явище їхнього торкання один з одним з наступним відштовхуванням. Механічні об`єкти, що зіштовхуються, на нескінченно великій відстані перед зіткненням та після зіткнення ми будемо вважати вільними. Проходячи один повз інший, ці об`єкти взаємодіють в різний спосіб: 1) обмінюються масою аж до об`єднання, утворюючи нові тіла, 2) обмінюються імпульсом і енергією, внаслідок чого ці об’єкти змінюють траєкторію руху порівняно з випадком відсутності взаємодії. Для описання різних типів взаємодії використовують кілька моделей. До їхнього числа належать моделі абсолютно пружного та абсолютно непружного зіткнення.
Абсолютно пружне зіткнення – це ідеалізована модель взаємодії, коли механічні об`єкти після певного наближення знову розходяться без зміни свого внутрішнього стану. Таким чином, кінетична енергія не переходить до інших типів енергії, внаслідок чого повна кінетична енергія механічної системи при абсолютно пружному зіткненні зберігається. Пружні зіткнення відіграють важливу роль в атомній фізиці, де збереження кінетичної енергії можливе не приблизно (ідеалізовано), а точно.
Для абсолютно пружного зіткнення мають місце два закони збереження - імпульсу та кінетичної енергії:
(1.3.22)
Тут літерами та позначено швидкості взаємодіючих матеріальних точок перед та після зіткнення.
Абсолютно непpужне зіткнення має місце, коли після взаємодії механічні об`єкти рухаються з однаковою швидкістю (як одне ціле). При цьому, звичайно, їхня механічна енергія не зберігається.
Решта зіткнень є непpужними, для них має місце втрата частини кінетичної енергії на такі процеси, як нагрівання, деформація взаємодіючих тіл, генерація звуку і таке інше.
Обчислимо зміну кінетичної енергії двох матеріальних точок з масами та , що утворюють замкнену механічну систему, при абсолютно непpужному зіткненні . Запишемо спочатку закон збереження імпульсу, що виконується для замкнених систем незалежно від того, в який спосіб відбувається взаємодія складових частин цих систем: . Звідси можна отримати вираз для швидкості матеріальних точок після абсолютно непружного зіткнення. Тоді можна обчислити зміну кінетичної енергії :
(1.3.23)
,
де - це зведена маса системи двох матеріальних точок.
Із співвідношення (1.3.23) видно, що тільки коли , тобто ніколи, оскільки рівність означає рух даних механічних об’єктів в один бік та з однаковою швидкістю, що свідчить про неможливість їхнього зіткнення. Зменшення величини кінетичної енергії при абсолютно непpужному зіткненні підтверджує тезу про перехід частини кінетичної енергії до немеханічної, що супроводжує такий тип взаємодії.
Лобовим зіткненням (або центральним ударом) називають таке зіткнення механічних об`єктів, що рухаються перед та після взаємодії вздовж однієї прямої, яка поєднує центри мас цих об`єктів.
Розглянемо пружне лобове зіткнення двох кульок, які не обертаються навколо жодної осі, тобто їх можна розглядати як матеріальні точки. Оберемо систему відліку так, щоб у ній друга кулька була нерухомою перед зіткненням: , а одна з її координатних осей була паралельною вектору швидкості першої частинки перед зіткненням, тобто вектору . Тоді в першому з системи рівнянь (1.3.22) можна перейти до проекцій векторів швидкості на обрану вісь координат. Для спрощення задачі обмежимося випадком взаємодії матеріальних точок однакової маси: . Друге рівняння в системі (1.3.22) домножимо для зручності запису на двійку. За цих умов з системи (1.3.22) здобудемо:
(1.3.24)
Піднесемо перше рівняння системи (1.3.24) в квадрат:
. (1.3.25)
Якщо порівняти рівняння (1.3.25) з другим рівнянням (1.3.24), то дістаємо, що добуток . Це може бути у двох випадках: або U2=0, або U1=0. Перший варіант () є нефізичним, бо означає незмінність імпульсу (а також кінетичної енергії) другої кульки внаслідок зіткнення, тобто відсутність взаємодії. Отже, залишається другий варіант: U1=0, тобто внаслідок зіткнення перша кулька передала свій імпульс другій кульці і зупинилася, а друга кулька почала рухатися після зіткнення з початковою швидкістю першої кульки, .
Розглянемо тепер іншу задачу - випадок пружного нелобового зіткнення кульок за умов . Оберемо систему відліку так, аби друга кулька перед зіткненням була нерухомою, =0. Це припущення не накладає жодних фізичних обмежень на дане дослідження, проте спрощує математичні викладки, зокрема систему рівнянь (1.3.22), що було показано для попереднього випадку (див. систему (1.3.24)). Отже, система вихідних рівнянь має вигляд:
(1.3.26)
Система (1.3.26) не визначає однозначно швидкості кульок після зіткнення та за відомими масами m1 та m2, а також швидкістю налітаючої кульки . Дійсно, у загальному випадку одне векторне і одне скалярне рівняння з (1.3.26) є еквівалентними чотирьом скалярним рівнянням, тоді як невідомі шість компонентів двох векторів та . Щоправда, тут слід скористатися симетрією задачі і зауважити, що задача є не тривимірною, а двовимірною: вектори , та лежать в одній площині. Тому векторне рівняння в (1.3.26) є еквівалентним двом скалярним, і система рівнянь (1.3.26) задає три умови на чотири компоненти векторів та . Але навіть з урахуванням зауваження про двовимірний характер задачі вона не розв’язується однозначно. Тому слід ввести ще одне обмеження: порахуємо, на який максимальний кут max a може відхилитися кулька внаслідок пружного зіткнення з нерухомою кулькою іншої маси.
Для знаходження max a перейдемо до системи відліку, яка пов’язана з центром мас. Нагадаємо, що швидкість центра мас відносно лабораторної системи відліку визначається так: Позначимо імпульси кульок перед зіткненням відносно системи центра мас та . Тоді імпульс першої кульки перед зіткненням відносно лабораторної системи відліку:
(1.3.27)
Тут - це швидкість першої кульки до зіткнення відносно системи центра мас. Тоді її імпульс до зіткнення відносно системи центра мас:
, (1.3.28)
де - це зведена маса (див. формулу (1.3.23)).
Імпульс другої кульки в лабораторній системі відліку: бо так ми обрали лабораторну систему відліку, що . Отже, імпульс другої кульки перед зіткненням відносно системи центра мас:
(1.3.29)
Тобто: . На перший погляд, це дивно, але нагадаємо, що під час аналізу теореми про рух центра мас було, зокрема, відзначено, що сумарний імпульс замкненої механічної системи, порахований відносно центра мас, дорівнює нулю: До речі, в такий спосіб ми перевірили, що досі не помилились у викладці. Значить, після зіткнення сумарний імпульс також буде дорівнювати нулю: .
Зверніть увагу на те, що досі закон збереження енергії не був використаний, тому для випадку довільного зіткнення (коли закон збереження кінетичної енергії може і не виконуватися) маємо таке розташування імпульсів, що представлено на рис. 1.3.1.
Якщо зіткнення є пружним, тоді виконується закон збереження кінетичної енергії, тому характер взаємодії буде дещо іншим, порівняно з тим, що наведено на рис. 1.3.1. Застосовуючи закон збереження кінетичної енергії, маємо наступне рівняння:
. (1.3.30)
Оскільки та , то з рівняння (1.3.30) можна знайти наступне співвідношення: =, що означає рівність модулів імпульсів першої і другої кульок перед і після зіткнення, якщо їх розглядати відносно центра мас:
|
Рис. 1.3.1 |
. (1.3.31)
Таким чином, пружне зіткнення в системі центра мас матиме вигляд, що представлено на рис. 1.3.2, який відрізняється від попереднього рисунка. Дослідження пружного зіткнення кульок довільної маси в системі центра мас має самостійне значення. Як було показано, в системі центра мас пружне зіткнення двох кульок виглядає так, що діаметр кола, який складається з імпульсів кульок перед зіткненням, повертається внаслідок зіткнення навколо центра кола, та імпульси кульок після зіткнення утворюють інший діаметр цього ж кола.
Повернемося до лабораторної системи відліку та визначимо максимальний кут, на який здатна легша нерухома кулька відхилити внаслідок зіткнення важку налітаючу кульку, , від напрямку, вздовж якого рухалась важча кулька перед зіткненням. Як було показано вище, . Складові вектори і мають однаковий напрямок, що збігається із напрямком швидкості першої частинки перед зіткненням . При цьому внаслідок умови задачі дістаємо, що за модулем перша складова є меншою: , оскільки
|
Рис. 1.3.2 |
|
Рис. 1.3.3 |
>. (1.3.32)
Нарисуємо для ілюстрації задачі наступний рис. 1.3.3, на якому Оскільки , то Використовуючи попередні результати, що здобуті у системі центра мас, нарисуємо коло радіусом навколо точки O. Тоді внаслідок взаємодії досліджуваних матеріальних точок їхні імпульси (тобто вектори і ) повертаюся на кут і переходять у вектори і , відповідно. При цьому довжини цих векторів не змінюються, тобто усі вони утворюють радіуси одного кола. З геометричної побудови (див. рис. 1.3.3) видно, що ступінь відхилення імпульсу першої кульки від її початкового напрямку внаслідок зіткнення з другою кулькою маси m2 характеризується кутом .
Максимальний кут відхилення буде спостерігатися тоді, коли точка D співпаде з точкою H, тобто AH буде дотичною лінією, тому: . Отже, максимальному відхиленню відповідає наступне значення синуса кута:
(1.3.33)
|
Рис. 1.3.4 |
З аналізу (1.3.33) можна зробити висновок, що нерухома легка кулька не може сильно відхилити важку кульку від попередньої траєкторії руху.
Розглянемо випадок пружного зіткнення легкої частинки з нерухомою важкою частинкою, , тобто протилежний до попереднього випадок: . Нарисуємо розташування імпульсів частинок перед та після взаємодії в системі центра мас, де всі імпульси – це є радіуси одного кола (див. рис. 1.3.4). Таким чином, маємо: . Вектор визначимо в такий спосіб: . На відміну від попереднього випадку, коли , зараз вектор є меншим за величиною порівняно з вектором . Тобто в даному випадку маємо нерівність
, (1.3.34)
оскільки . Значить, вектор - це є імпульс легкої частинки після зіткнення. З рис. 1.3.4 видно, що цей вектор може складати будь-який кут з напрямком свого попереднього руху .
Таким чином, легка частинка може розсіятися на будь-який кут після взаємодії з важкою. Але продовжити свій рух після взаємодії без зміни своєї траєкторії вона не може, тобто рух вздовж вектора заборонено.
Зауваження: оскільки під час нашого теоретичного дослідження не було враховано справжніх скінченних розмірів частинок, то реально кут розсіяння є дещо меншим.
1.3.5. Методика розв`язання задач про зіткнення
При розв’язанні задач на тему зіткнень між механічними об’єктами слід пам’ятати: якщо за умови задачі взаємодія є пружною, тоді можна використовувати як закон збереження імпульсу, так і закон збереження енергії. Продемонструємо це на прикладі наступної задачі. Якщо ж з умов задачі виходить, що взаємодія є непружною, тоді можна використовувати тільки закон збереження імпульсу. Щоправда є ще одна можливість скористатися законом збереження енергії при непружній взаємодії, якщо відомі втрати механічної енергії, бо в цьому випадку можна скласти рівняння балансу енергії.
Задача 1
Дано: Перша частинка пружно провзаємодіяла з другою частинкою, яка перебувала у стані спокою.
Знайти: частку їхніх мас у двох окремих випадках:
а). Зіткнення було лобовим, а частинки розлетілися у взаємно протилежних напрямках з однаковими за модулем швидкостями.
б). Частинки розлетілися симетрично по відношенню до напрямку початкового руху першої частинки, а кут розльоту склав .
Розв’язання:
Розглянемо випадок а), запишемо систему з двох рівнянь, яка відповідає законам збереження імпульсу та кінетичної енергії. При цьому, по-перше, спроектуємо вектори швидкостей на вісь, вздовж якої відбувається рух при лобовому зіткненні, що дозволить записати закон збереження імпульсу у скалярній формі, по-друге, множник 1/2 у виразі для кінетичної енергії для спрощення запису опустимо.
За умовами задачі , значить, , оскільки зіткнення є лобовим. Отже, (тут U1 та U2 додатні величини), тому маємо наступну систему рівнянь:
(1.3.35)
де літерами та позначено швидкості перед та після зіткнення. З першого рівняння системи (1.3.35) знайдемо зв'язок між швидкостями та :
. (1.3.36)
Піднесемо значення (1.3.36) у другий ступень та порівняємо з другим рівнянням системи (1.3.35): ; . Значить, маси частинок співвідносяться так:
. (1.3.37)
|
Рис. 1.3.5 |
Цікаво відзначити, що з аналізу (1.3.36) можна дійти висновку: тіла з однаковими масами при лобовому зіткненні не можуть розлетітися в протилежні боки.
Розв’язання задачі у випадку б) є більш складним, бо вимагає використання закону збереження імпульсу: у проекціях на дві взаємно перпендикулярні осі. Для поздовжнього напрямку, враховуючи умову задачі про симетричність руху (див. рис. 1.3.5), маємо:
. (1.3.38)
Друге рівняння здобувається при проектуванні імпульсів на вісь, що є перпендикулярною до швидкості :
(1.3.39)
Третє рівняння, що описує цю взаємодію, здобудемо з закону збереження кінетичної енергії:
. (1.3.40)
Скористаємося виразом (1.3.39) та знайдемо з (1.3.40) швидкість першої частинки:
. (1.3.41)
Підставимо з (1.3.39) до (1.3.38) та здобудемо інший вираз для :
. (1.3.42)
Отже, маємо систему двох рівнянь:
(1.3.43)
Звідси можна виключити швидкості руху та здобути рівняння для мас:
(1.3.44)
та нарешті: .
Таким чином, у випадку лобового зіткнення частинка, яка грала роль мішені, є втричі важчою за першу частинку, а при симетричному розльоті частинок маса частинки «мішені» є вдвічі легшою за .
Якщо взаємодія матеріальних точок є абсолютно непpужною, то така взаємодія описується тільки законом збереження імпульсу; кінетична енергія не зберігається, бо певна її частина витрачається на роботу проти сил, які не є механічними. Але і в таких задачах іноді існує обмежене поле використання закону збереження механічної енергії. Продемонструємо це на наступному прикладі.
Задача 2
Дано: Куля масою m, яка летіла горизонтально, влучила в тіло маси M>>m, яке підвішене на мотузках довжиною l та залишилася у ньому. Після абсолютно непpужної взаємодії мотузки відхилились на кут . Силами тертя та опору повітря можна знехтувати.
Знайти:
а). Швидкість кулі V перед тим, як вона застрягла.
б). Частку кінетичної енергії кулі, яку вона втратила через непружне зіткнення.
|
|
|
Рис. 1.3.6 |
Розв`язання:
Дана система не є замкненою, бо на тіло, що висить, діють сила тяжіння та натягу мотузки. Але вважаємо, що зіткнення відбулося миттєво, тому в горизонтальному напрямку зовнішні сили не діють. До того ж, зіткнення є лобовим, , тому можна записати закон збереження імпульсу в проекції на горизонтальний напрямок:
. (1.3.45)
Звідси можна знайти зв’язок швидкості кулі перед зіткненням V та швидкості U тіла M+m одразу після зіткнення:
. (1.3.46)
Хоча закон збереження механічної енергії не можна використовувати для опису непpужної взаємодії, але в цій задачі є проміжок часу, коли його таки можна застосувати. Цей проміжок часу відповідає руху новоутвореного тіла маси , в якому воно витратило свою початкову кінетичну енергію на роботу проти сил тяжіння та піднялося внаслідок цього на висоту h. Закон збереження повної механічної енергії можна застосовувати у даному випадку, оскільки сила натягу мотузки не виконує роботу (вектор цієї сили є перпендикулярним до вектора переміщення), а сила тяжіння є потенціальною. Отже, внаслідок виконання роботи тіло маси M+m піднімається на висоту h в полі сил тяжіння:
. (1.3.47)
Застосуємо закон збереження повної механічної енергії:
(1.3.48)
Підставимо (1.3.48) до виразу (1.3.46) та знайдемо швидкість кулі:
(1.3.49)
Кількість втраченої кінетичної енергії визначається як різниця :
. (1.3.50)
Відносна частка втраченої кінетичної енергії визначається в наступний спосіб:
. (1.3.51)
За умов задачі маса кулі є малою: . Отже, маємо можливість приблизно оцінити величину втрат механічної енергії:
Тобто, коли легка куля влучає у важку мішень, то майже вся її кінетична енергія витрачається на утворення отвору в мішені, різні дисипативні процеси, генерацію звуку тощо.
Питання для самоконтролю до розділу
§ 1.3. Рух системи матеріальних точок
§ 1.4. Силове поле
Силове поле – це область простору, де в кожен момент часу для кожної точки простору відома сила, що діє на фізичне тіло, яке знаходиться в цій точці простору. Під словами «відома сила» слід розуміти, що визначено як модуль сили, так і її напрямок у обраній системі відліку. Наведемо порівняльну таблицю взаємодій, які відомі людству на теперішній час.
|
№ |
Назва взаємодії |
Закон взаємодії |
Порівняльна інтенсивність |
Відстань |
|
1 |
Гравіта-ційна |
10-39 |
Без обмежень |
|
|
2 |
Електро-магнітна |
|
10-2 |
Без обмежень |
|
3 |
Слабка |
Відповідає за радіоактивність атомів |
10-12 |
10-12см |
|
4 |
Сильна |
Відбувається між нуклонами у ядрах |
1 |
10-13см |
Тут G - гравітаційна стала, її величину наведено у Розділі 3, m1,2 - маси взаємодіючих механічних об’єктів, r - відстань між їхніми центрами мас, q1 - електричний заряд досліджуваної частинки, q2 - електричний заряд частинки, у полі якої знаходиться досліджувана частинка, - швидкість руху досліджуваної частинки, - індукція зовнішнього магнітного поля, в якому відбувається цей рух, k1,2 - константи, їхні величини залежать від обраної системи одиниць.
1.4.1. Класифікація сил
Існують сили, що мають силове поле, та такі, що його не мають. Силового поля не мають сили тертя, опору та Лоренца, бо вони залежать від напрямку руху. При цьому сили тертя залежать ще від «рельєфу» взаємодіючих тіл, а дві останні сили залежать ще й від модуля швидкості. Взагалі, сила тертя має електромагнітну природу, але в рамках класичної механіки її описують феноменологічно, спираючись на експериментальні дані.
Серед сил, що мають силове поле, в механіці важливу роль відіграють центральні сили, назва яких пов’язана з їхнім напрямком у просторі. Центральною називають силу, що спрямована до певної точки у просторі (цю точку називають центром сил або силовим центром). Величина центральної сили залежить тільки від відстані між силовим центром та точкою, де розташовано механічний об’єкт, на який діє сила.
|
Рис. 1.4.1 |
Якщо робота певної сили щодо пересування матеріальної точки з довільного початкового положення у довільне кінцеве положення не залежить від траєкторії переходу між точками, а визначається виключно початковим та кінцевим положеннями, то таку силу звуть потенціальною (або консервативною). Сила тяжіння та усі центральні сили є потенціальними. Робота потенціальних сил вздовж замкненого шляху дорівнює нулю, тому . Покажемо це шляхом інтегрування:
(1.4.1)
Отже, для інтеграла від потенціальної сили за радіусом-вектором вздовж замкненого контуру маємо наступний вираз:
. (1.4.2)
У механіці також досліджують неконсервативні сили (або непотенціальні), зокрема, це дисипативні та гіроскопічні сили. Дисипативними називають сили, повна робота яких у замкненій системі завжди є від’ємною при будь-яких рухах, бо вони перетворюють механічну енергію в інші типи енергії. Гіроскопічні сили не виконують жодної роботи над тілами, бо вони спрямовані перпендикулярно до швидкості руху тіл. До таких, наприклад, належать: сила Коріоліса, яка діє у неінерціальних системах відліку, та сила Лоренца (вивчається в електриці та магнетизмі), яка діє на заряджені частинки, що рухаються у зовнішньому магнітному полі.
1.4.2. Потенціальна енергія
Властивості потенціальних сил дозволяють ввести поняття про потенціальну енергію U. Потенціальною енергією для матеріальної точки у певному положенні називають роботу A, яку виконують потенціальні сили при переміщеннях цієї точки із зазначеного положення до спеціально обраного нульового положення. Зрозуміло, що значення U залежить від вибору цього нульового положення.
|
Рис.1.4.2 |
Потенціальна енергія U є лише функцією координат та, взагалі кажучи, визначається з точністю до константи, наявність якої пов’язана з необхідністю обрати вищезазначене «нульове положення». Покажемо це на рис.1.4.2. Визначимо енергію U(C), прийнявши за нульове положення точку B, як роботу: U(C)=ACB, а тепер зробимо це відносно точки D: U(C)=ACD=ACB+ABD. При цьому величина інтеграла ABD не залежить від вибору точки C, значить, U визначається з точністю до константи. Тому фізичний сенс має лише різниця між значеннями потенціальних енергій в різних точках простору, а не сама потенціальна енергія.
Наприклад, для гравітаційних сил домовилися вважати, що нульовою потенціальною енергією характеризуються дві матеріальні точки скінченної маси, які віддалено одну від одної на нескінченно велику відстань: (цю умову використовують для визначення вищезазначеної константи). Порахуємо потенціальну енергію гравітаційної взаємодії двох тіл масами M та m, які віддалені одне від одного на відстань r1, скориставшись введеним визначенням її як роботи, яку виконують для пересування тіла m з відстані r1 на нескінченність:
. (1.4.3)
Тобто, потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох тіл масами M та m, які віддалені одне від одного на відстань r, дорівнює:
U(r)=U(r)- U()=Ar,= . (1.4.4)
Саме така формула відома зі шкільного курсу. Тим самим ми показали, що введене визначення потенціальної енергії як криволінійного інтеграла у відомих випадках дає знайомі результати.
1.4.3. Закон збереження повної механічної енергії
За умов дії консервативних сил та/або гіроскопічних сил повна механічна енергія системи матеріальних точок залишається незмінною. При цьому можуть відбуватися тільки перетворення потенціальної енергії у кінетичну та навпаки, але повний запас механічної енергії за таких умов не змінюється.
Робота зовнішніх сил , або (див. формулу (1.3.21)), отже, . Значить, повна енергія E механічної системи за умов дії консервативних та/або гіроскопічних сил зберігається:
. (1.4.5)
Нагадаємо, що, як і робота, механічна енергія вимірюється і обчислюється у Джоулях (в системі СІ).
1.4.4. Зв’язок потенціальної сили та
потенціальної енергії
Як було показано раніше, механічна робота, за визначенням, пов’язана з силою в наступний спосіб: . Оскільки механічну роботу також можна визначити через зміну потенціальної енергії (1.4.4), то на часі дослідження питання про знаходження за відомим розподілом потенціальної енергії .
Нехай , тоді . За умов малого переміщення () потенціальну енергію можна розкласти в ряд Тейлора в малому околі поблизу точки :
. (1.4.6)
З іншого боку:. Отже,
. (1.4.7)
Незважаючи на те, що у виразі (1.4.7) ми маємо в знаменнику вектор, тим не менш цей вираз є математично вірним, просто він потребує наповнення фізичним змістом. Для цього припустимо, що нам відома залежність . Тоді для диференціала потенціальної енергії маємо:
. (1.4.8)
Нехай траєкторія, вздовж якої відбулося переміщення , є паралельною до осі x: y=const, z=const; тоді зміна потенціальної енергії
dUy,z=-Fxdx; Fx=-. (1.4.9)
Аналогічно , . Скористаємося оператором Гамільтона: , тоді:
. (1.4.10)
У фізиці поверхні, на яких потенціальна енергія має певне значення, , називають еквіпотенціальними. Зрозуміло, що переміщення матеріальної точки уздовж еквіпотенціальних поверхонь не змінює потенціальної енергії. Це пов’язано з тим, що в цьому випадку консервативні сили не виконують роботу, бо вектори та є взаємно перпендикулярними. Уявні лінії у просторі, вздовж яких діють сили, називають силовими лініями. Силові лінії консервативних сил є перпендикулярними до еквіпотенціальних поверхонь.
Як відомо з теорії тензорного аналізу, векторний оператор градієнта застосовується до скалярної функції. Градієнт скалярної величини - це є вектор, що його спрямовано перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні у бік зростання даної функції. Величина градієнта дорівнює похідній від даної функції вздовж нормалі до цієї еквіпотенціальної поверхні.
1.4.5. Просторові межі механічного руху
Якщо у механічній системі відсутні дисипативні та неконсервативні сили, тоді зберігається сума енергій: K+U E=const. Оскільки за визначенням кінетична енергія не може бути від’ємною величиною: , то для потенціальної енергії та повної енергії механічної системи виконується нерівність: U E. Це означає, що можливими координатами механічних об’єктів, що входять до системи, є тільки такі, щодо яких виконується нерівність . Тобто система не може перебувати у тій частині простору, де потенціальна енергія є більшою за повну енергію.
|
Рис. 1.4.3 |
Розглянемо для прикладу одновимірний випадок . Намалюємо цю залежність, позначивши . Нерівність означає, що повна енергія системи є більшою або дорівнює (див. рис. 1.4.3). Тобто ситуація U0>E взагалі є неможливою. Для випадку, що відповідає рис. 1.4.3, механічний рух із значенням повної енергії відбувається в обмеженій частині простору і тому називається фінітним, а при рух стає інфінітним: матеріальна точка в такому потенціальному полі за зазначених умов може мати будь-які значення координати.
Розглянемо інший приклад залежності , наведений на рис. 1.4.4. На ньому позначено різні характерні області механічного руху. Для значення повної енергії області простору, які позначено I, II та IV, є неможливими. Область простору BNC називається потенціальним ним бар’єром. В області III для реалізується фінітний рух. Область АМВ називається потенціальною ямою. В області V для механічний рух є
|
Рис. 1.4.4 |
інфінітним. А для більшого значення повної енергії система не може перебувати тільки в області I, в решті областей простору механічний рух є інфінітним.
На рис. 1.4.4 є дві точки координатного простору, для яких . Це точки: N – на горбі потенціального бар’єру та М – на дні потенціальної ями. Ці точки відповідають стану рівноваги, в точці N реалізується стан нестійкої рівноваги, в точці М, навпаки, рівновага є стійкою. Механічна сила, за визначенням, усюди направлена в такий спосіб, щоб повернути матеріальну точку до потенціальної ями (в області праворуч від точки N дно потенціальної ями розташовано на нескінченності).
На рис. 1.4.5 зображено залежність для випадку гравітаційних сил. При цьому силу пpитягування спрямовано до силового центру, точки . Зазначимо, що механічна система завжди прагне до стану з мінімумом потенціальної енергії, що відображає характер взаємодії складових частин системи. Це саме правило є справедливим і по відношенню до внутрішньої енергії будь-якої складної системи. Якщо внутрішня енергія системи є більшою за внутрішню енергію її складових частин, то така система є нестійкою. Зворотне твердження також є справедливим.
Аналізуючи рис. 1.4.5, можна визначити умови обмеженого та необмеженого рухів. Якщо , то механічний рух є обмеженим. З астрономії відомо, що таким є рух планет навколо Сонця, який відбувається вздовж еліптичних орбіт. Якщо , тоді рух є необмеженим. Таким є, наприклад, механічний рух комет.
1.4.6. Закон збереження моменту імпульсу
Назвемо моментом імпульсу та моментом сили , відповідно, наступні величини, які визначаються через векторні добутки:
; . (1.4.11)
Доведемо, що між векторами та існує такий саме зв'язок, як і між силою та імпульсом: =S . Для цього згадаємо другий закон Ньютона = , помножимо вираз для нього векторним чином на радіус-вектор: . Слід взяти до уваги також, що вектори швидкості та імпульсу є паралельними один одному, тому їхній векторний добуток дорівнює нулю , тоді:
. (1.4.12)
Таким чином, маємо основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки:
. (1.4.13)
При цьому слід мати на увазі, що під значенням вектора в загальному випадку слід розуміти результуючий момент зовнішніх сил. Рівняння (1.4.13) також називають рівнянням моментів.
Для замкненої (зовнішні сили відсутні або їхній результуючий момент дорівнює нулю, ) ізольованої системи рівняння моментів (1.4.13) перетворюється в таке: . Значить, за цих умов момент імпульсу зберігається:
. (1.4.14)
Отже, момент імпульсу ізольованої системи матеріальних точок не змінюється за будь-яких внутрішніх взаємодій, що відбуваються всередині системи. Це твердження становить зміст закону збереження моменту імпульсу. Якщо взяти до уваги аналогію між імпульсом та моментом імпульсу, то видно, що рівняння (1.4.14) є подібним до закону збереження імпульсу. Цікаво, що закон збереження моменту імпульсу виконується також у випадку дії центральних сил, бо для них , і попри присутність при цьому зовнішніх сил моменти центральних сил внаслідок властивостей векторного добутку дорівнюють нулю, що призводить до рівняння .
Закон збереження моменту імпульсу носить векторний характер. Отже, можлива ситуація, коли зберігається тільки одна із складових вектора . Наприклад, , , але при цьому проекція рівняння (1.4.13) на вісь є нульовою, отже, . Тоді
Це означає, що закон збереження моменту імпульсу можна використовувати також і для частково ізольованих механічних систем.
1.4.7. Рух матеріальної точки
у полі центральної сили
Для матеріальної точки, яка рухається в полі центральної сили за умов відсутності дисипації, виконується закон збереження механічної енергії. До того ж, як показано у попередньому підрозділі, для центральних сил векторний добуток , отже, виконується закон збереження моменту імпульсу . Це означає, що траєкторія руху механічного об’єкта в полі центральних сил лежить в одній площині, оскільки радіус-вектор та елементарне переміщення, що відбувається в процесі руху зі швидкістю , вектор , належать одній площині, що є перпендикулярною до вектора : , , . Отже, радіус-вектор, що визначає положення матеріальної точки, у даному випадку залишається в площині, яка є перпендикулярною до моменту імпульсу , назавжди.
Порахуємо модуль моменту імпульсу: . Для цього запишемо радіус-вектор і вектор швидкості у декартовій та циліндричній системах координат:
, , (1.4.15)
, , . (1.4.16)
Звідси видно, що складова подовжує радіус-вектор на , а складова швидкості повертає радіус-вектор на кут dj.
Покажемо, що :
, (1.4.7)
=
= =r. (1.4.18)
Отже, ми довели, що
. (1.4.19)
Проаналізуємо, що це означає фізично. Для цього поділимо траєкторію руху на малі ділянки, що їх проходить матеріальна точка за однакові малі проміжки часу. Продемонструємо це за допомогою рис. 1.4.6. Обчислимо площу трикутника, що виділено на рис. 1.4.6, для чого слід згадати геометричний зміст векторного добутку:
PAGE 79
0
V
3
2
1
C EMBED Equation.3
O
EMBED Equation.3 H
B EMBED Equation.3
D EMBED Equation.3
A EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 H
IV
III
II
I
M
N
C
B
A
E1
E2
H
A
O
B
С EMBED Equation.3
E EMBED Equation.3
D EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
U
x
C
B
D
U0
U
х
0