У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

69 и называемых краевыми задачами граничными задачами

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.4.2025

4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

     Во второй главе  была поставлена задача Коши для уравнений с частными производными общего вида, в частности для уравнений эллиптического типа. Рассмотрим еще один класс задач, характерных только для эллиптических уравнений (1.69) и называемых краевыми задачами (граничными задачами). При постановке краевых задач условия на искомую функцию ставятся не на части поверхности, а на всей граничной поверхности, охватывающей выделенную область пространства. Краевые задачи изучим на примере уравнений Лапласа и Пуассона.

[Лекция 13]

4.1. Формулы Грина для оператора Лапласа

     Гармонические функции. Для простоты изложения ограничимся трехмерным евклидовым пространством  с декартовой системой координат . В пространстве   рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение – уравнение Лапласа:

                               .                                          (4.1)

     

     В плоском случае  имеем уравнение (1.83).

     Выделим ограниченную связную область . Пусть граница  области  представляет собой поверхность без самопересечений,  (см. определение 2.1).

     Определение 4.1. Функция   называется гармонической в области , если  и удовлетворяет уравнению Лапласа (4.1) в области .  ■

     В параграфе 1.6 был описан метод построения гармонических функций на плоскости . Укажем на исключительную роль при исследовании краевых задач для уравнения (4.1) фундаментального решения (1.86).

     Первая, вторая и третья формулы Грина. При изучении свойств решений уравнения (4.1) важную роль играют формулы Грина, связывающие значения функций на границе  и внутри области .

     Для вывода  воспользуемся формулой  векторного анализа

                                    ,                                 (4.2)

где   - скалярная функция;  - вектор-функция, то есть векторное поле в области ;  - скалярное произведение векторов  и .

     Дифференциальные операторы определяются формулами

,      .

     Выберем ,   , где произвольные функции ,   ,   ,   .

     После подстановки в (4.2) получим

,

так как .

     Проинтегрируем полученное тождество по области , тогда

     Преобразуем интеграл слева к поверхностному интегралу, используя формулу Остроградского-Гаусса

,

где - внешняя единичная нормаль к поверхности , а . В результате получим первую формулу Грина:

          ,            (4.3)

где  - нормаль к поверхности  в точке ;  - производная по нормали;

.

     В формуле (4.3) поменяем местами функции  и вычтем из формулы (4.3), получим вторую формулу Грина

          ,      (4.4)

где .

     В равенстве (4.3) положим , получим формулу

                ,                    (4.5)

называемую третьей формулой Грина.

4.2. Интегральная формула Грина

     В теории гармонических функций важную роль играет интегральная формула Грина, в которой значение функции в любой  внутренней точке  области  выражается через значения функции на границе  области . Для вывода такой формулы во второй формуле Грина (4.4) функцию  выберем специальным образом, положив ее равной фундаментальному решению (1.86), то есть приняв , где . Подстановка такой функции в (4.4) неправомочна, так как функция  имеет особенность в точке  В связи с этим опишем вокруг точки  сферу  радиуса  и рассмотрим область , заключенную между поверхностями  и  (см. рис.4.1).

Рис. 4.1

     В области  выбранная функция , , принадлежит пространству , поэтому для области  имеет место вторая формула Грина:

        .    (4.6)

     Здесь, так как  - фундаментальное решение уравнения Лапласа.

     Преобразуем интеграл по сфере :

                   .                            (4.7)

     Вычислим

.

     Точка , поэтому . Таким образом, в выражении (4.7) , .

     

     Преобразуем каждый интеграл в отдельности, используя теорему о среднем:

,

,

где - некоторая точка на сфере .

     Полученные выражения подставим в (4.6), тогда

           Перейдем  к  пределу  при . Так как  при , то

в силу непрерывности функции  В результате получим интегральную формулу Грина:

    

              (4.8)

 

где - любая функция из пространства ,  – внешняя единичная нормаль к поверхности  в точке .

     Если  - гармоническая функция (), тогда получим интегральную формулу для гармонических функций:

                      .                     (4.9)

     Замечание 4.1. Формула (4.8) может быть получена с использо-ванием обобщенных функций. Действительно, для фундаментального решения (1.86) имеет место формула (2.91), то есть

                                            ,                                      (4.10)

 

   где - - функция Дирака.

     Подставляя (4.10) в формулу (4.4) и используя свойство - функции (2.71), вычисляем интеграл:

.

     В результате из второй формулы Грина (4.4) следует формула (4.8). ■      

     Замечание 4.2. Заменив фундаментальное решение (1.86) на функ-цию (1.84), получим интегральную формулу Грина в плоском случае :

,

где - плоская область, ;  – внешняя единичная нормаль к контуру  в точке . ■

4.3. Свойства гармонических функций

     Свойство 4.1. Пусть  - гармоническая функция в области , тогда функция  любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам  в области , то есть .

     Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что . Воспользуемся интегральной формулой Грина (4.9):

     ,           (4.11)

где  - внутренняя точка области  Докажем дифференцируемость функции (4.11) в окрестности любой точки . Пусть - замкнутая шаровая область радиуса , описанная вокруг точки . В подынтегральном выражении (4.11) функция  любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам  точки , так как , а расстояние . Следовательно, всевозможные производные

являются непрерывными функциями на множестве точек  и . На основании соответствующей теоремы из математического анализа выражение (4.11) дифференцируемо и имеет место формула

     Из произвольности точки  следует, что . ■

     Свойство 4.2. Теорема о нормальной производной. Пусть любая функция и является гармонической в области , тогда

                                                                   (4.12)

     Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина (4.3), где произвольная функция . Положим , тогда  из условия теоремы. В результате формула (4.3) преобразуется к виду (4.12). ■   

     Рассмотрим произвольную точку . Опишем вокруг точки  сферу  радиуса , такую, что замкнутый шар  сферы  целиком содержится внутри области . Выведем формулу, выражающую значение гармонической функции  в центре сферы, то есть в точке , через значения на сфере .

     Свойство 4.3. Теорема о среднем.  Пусть - гармоническая функция в области , тогда для  и сферы , , имеет место формула

                                                                       (4.13)

где  - площадь сферы.

     Доказательство. Рассмотрим интегральную формулу Грина (4.9) для сферы  , взяв в качестве точки  центр сферы:

.

     Так как , то .

В результате

.

     Учитывая соотношение (4.12) для поверхности , получаем требуемую формулу (4.13). ■                                                         

    В плоском случае с учетом замечания 4.2 имеем формулу

                                                  .

4.4. Принцип максимума и минимума

для гармонических функций

     Рассмотрим связную ограниченную область  с границей . Будем считать для определенности, что . В области  задана функция .

     Свойство 4.4. Принцип максимума и минимума. Пусть  и удовлетворяет в области  уравнению Лапласа . Тогда функция  достигает своего максимального и минимального значений на границе , то есть

.

     Доказательство. От противного. Пусть максимум функции  достигается в некоторой внутренней точке , то есть

                                    для .                                 (4.14)

     

     Опишем вокруг точки  сферу  радиуса , которая вместе со своим шаром принадлежит области  (см. рис.4.2)

Рис.4.2

  Для сферы  имеет место формула (4.13) из теоремы о среднем:

.

    Представим эту формулу в виде

                                               ,                                       (4.15)

где функция  в силу неравенства (4.14).

     Покажем, что  для . От противного, пусть существует точка  такая, что . Функция  непрерывная, поэтому существует окрестность   точки , то есть , для которой  при.  Поэтому

,

 

что противоречит условию (4.15). Таким образом,  при . Так как радиус  произвольный, то будем его увеличивать до касания сферы  с границей  в точке . В результате , то есть максимум достигается в точке  на границе .

Для минимума доказательство проводится аналогично. ■  

     Заметим, что принцип максимума и минимума и другие свойства имеют место для гармонических функций в пространстве  произвольной размерности.

     Приведем некоторые следствия из принципа максимума и минимума, аналогичные следствиям 2.1-2.4.

     Следствие 4.1. Пусть функции  и являются гармоническими в . Если    для , то  для . ■

    Следствие 4.2. Пусть функции  и являются гармоническими в . Если  для , то  для .

     Следствие 4.3. Пусть функции  и являются гармоническими в . Если  для , то  для      . ■

    Следствие 4.4. Пусть функция  и является гармонической в области . Если , , для , то  для  . ■  

123




1. Реферат- Теплоэнергетика и окружающая среда
2. Корпоративное управление в коммерческих банках
3.  Основні етапи та комплекс вправ на заняттях лікувальної фізкультури
4. тематикою- апокрифи й панегірики вірші записи фольклорних творів житійноповістеві тексти полемічні орат
5. Особенности источников трудового права коллективных трудовых споров
6. Мосты и сооружения на автомобильных дорогах ~ это закрепление знаний по расчету несущих конструкций проле
7. Реферат на тему- ldquo;Освітанаукапреса в роки війниrdquo;.html
8. Омский юридический институт по специальности ~ Юриспруденция специализация гражданскоправовая квалифи
9. . Философия как разновидность мировоззрения
10. тема мировоззренческих ценностей и методологических ориентиров и привычный механизм трансляции культурных