Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…...……………………………..……………………………….............
1 ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ………........
1.1 Основные свойства и функциональное назначение элементов СА..
1.2 Принцип работы САУ……………………………………………………
1.3 Функциональная схема САУ………………………………………........
2 УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ЭЛЕМЕНТОВ САУ…………………………………………………………..….
3 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА САУ ………………………..……………...................
|
4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САУ ……………………………………………………………………………...... |
|
|
4.1 Дифференциальное уравнение и передаточная функция разомкнутой САУ…………………………………………………………………………... |
|
|
4.2 Дифференциальное уравнение и передаточная функция замкнутой САУ…………………………………………………………………………... |
|
|
4.3 Дифференциальное уравнение и передаточная функция ошибки…... |
|
|
4.4 Исследование системы на астатизм……………………………………. |
5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИСХОДНОЙ ЗАМКНУТОЙ САУ..
5.1 Исследование по критерию Гурвица………………………………….
5.2 Исследование устойчивости по критерию Найквиста…………………...
5.3 Определение показателей качества по логарифмическому критерию……………………….……………………….…………………...
5.4 Исследование устойчивости по критерию Михайлова………………….
5.5 Сравнение результатов исследования устойчивости разными методами……………………………………………………………..
6 РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО
УСТРОЙСТВА (КУ)…………………………………………………………...
6.1 Построение желаемой логарифмической амплитудно-частотной
характеристики (ЖЛАЧХ) ………………...…………………………..
6.2 Выбор КУ……………………….…………………………………………..
6.3 Расчет и построение ЖЛФЧХ……………………………………………..
7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ………………………………………………………………………
7.1 Моделирование скорректированной САУ при помощи пакета
Mathlab……………………………………………………………………….
7.2 Определение показателей качества по переходной характеристике
замкнутой САУ…………………………………………………….....
7.3 Определение запасов устойчивости, граничного коэффициента
усиления по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой . САУ……………………………………………………………………
7.4 Построение и расчет зоны устойчивости………………………………
ВЫВОД……………………………………………………………………….........
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………
ВВЕДЕНИЕ
Пояснительная записка содержит 7 разделов, в которых описывается последовательность исследования системы на устойчивость, выбор и определение параметров корректирующего устройства, а также нахождение необходимых критериев устойчивости.
Рисунок 1 - Принципиальная схема САУ
В данной курсовой работе исследуется электромеханическая следящая система с потенциометрическим измерительным устройством, работа которого основана на использовании принципа регулирования по отклонению. Упрощенная принципиальная схема САУ представлена на рис.1. В ее состав входят: потенциометрическое измерительное устройство Пвх и Пвых, тиристорный преобразователь (усилитель мощности) ТП, электронный усилитель ЭУ, двигатель постоянного тока с независимым возбуждением ДПТ, редуктор РЕД и рабочая машина РМ. Численные значения параметров элементов приведены ниже, в таблице 1.
Таблица 1 - Численные значения параметров элементов согласно варианту заданного руководителем
|
№ ва-р |
ТТП с |
ТМ с |
ТЭ с |
КТП |
КД рад/Вс |
КЭУ |
КПОТ В/рад |
КРЕД |
С1 с |
С2 с2 |
С3 с3 |
|
5 |
3.3310-3 |
1.2 |
0.018 |
15 |
3.0 |
30 |
70 |
1/300 |
0.02 |
0.01666 |
-0.00833 |
Обозначения, принятые в таблице 1:
Ттп - постоянная времени тиристорного преобразователя;
Тэ, Тм - соответственно электромагнитная и электромеханическая постоянная времени ДПТ НВ;
Кред, Кд, Ктп, Кэу, Кпот - коэффициенты усиления соответственно редуктора, двигателя , тиристорного преобразователя, электронного усилителя, потенциометра;
С1, С2, С3 - коэффициенты ошыбок.
1 ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
1.1.1 Двигатель постоянного тока
Двигатель постоянного тока имеет обмотку возбуждения, расположенную на явно выраженных полюсах статора. По обмотке возбуждения проходит постоянный ток, который создает магнитное поле возбуждения. В двигателе размещена двухслойная обмотка, в которой при вращении якоря индуктируется ЭДС. При заданном направлении вращения ЭДС, которое индуктируется в проводниках, зависит только от того, под каким полюсом находится проводник.
1.1.2 Потенциометрическое измерительное устройство
Разновидностью информационных электрических микромашин, предназначенных для использования в дистанционных системах передачи угла, является потенциометрическое измерительное устройство. Выходным сигналом (управляемой величиной) является угол поворота вала рабочего механизма или, что то же самое, угол поворота движка потенциометра Пвых, поскольку этот потенциометр расположен на одном валу с рабочим механизмом (на исполнительной оси ИО), а выходным сигналом – угол поворота движка потенциометра Пвх, который расположен на командной оси КО.
Алгоритм функционирования рассматриваемого привода заключается в том, чтобы исполнительная ось ИО следила бы за произвольно изменяющимся положением оси КО, т. е. ( t ) = (t) при действии на элементы системы различных возмущений, в частности момента статического сопротивления Мс.
Измерительное устройство системы (потенциометры Пвх и Пвых) определяет угловое рассогласование (t) между заданным значением угла поворота командной оси (t) и действительным значением управляемой величины – углом поворота исполнительной оси (t) и преобразует сигнал (t) = (t) - (t) в пропорциональное ему напряжения рассогласования U(t), т. е. U(t) = U(t) - U(t) = K[ (t) - (t) ] - K (t) , где U , U – соответственно потенциалы движков потенциометров Пвх и Пвых ; К – коэффициент усиления измерительного устройства (потенциометры Пвх и Пвых имеют одинаковые конструкции и параметры). Затем сигнал U (t) усиливается по напряжению и мощности соответственно с помощью УТП и ТП. В результате на выходе регулятора формируется управляющее воздействие – напряжение Uд(t) , которое подводится к якорной обмотке двигателя. Значение управляющего напряжения зависищего от величины сигнала рассогласования, коэффициентов усиления тиристорного преобразователя Ктп и усилителя постоянного тока Кэу
1.1.3 Электронный усилитель
Электронный усилитель – устройство, предназначенное для повышения мощности входного электрического сигнала. При этом усиление маломощного входного сигнала достигается за счет энергии внешнего источника питания значительно большего уровня мощности. Структурная схема усилителя показана в виде активного четырёхполюсника, к входным зажимам которого подключается источник входного сигнала в виде источника напряжения. Сопротивление нагрузки Rн подключается к выходным зажимам.
Усилитель содержит активные (полупроводниковые приборы) и пассивные (резисторы, конденсаторы, индуктивности) элементы, а также источники питания. Пассивные элементы предназначены для обеспечения заданного режима работы активных элементов.
1.1.4 Тиристорный преобразователь
Тиристорный преобразователь состоит из системы импульсно-фазового управления (СИФУ) и собственно тиристорного преобразователя, основным элементом которого является силовая схема преобразования энергии переменного тока в энергию постоянного тока (управляемый выпрямитель) с помощью тиристоров. В качестве нагрузки преобразователя принята якорная цепь двигателя постоянного тока. СИФУ осуществляет преобразование непрерывного сигнала управления Uу(t), поступающего на его вход, в последовательность отпирающих импульсов i(t) (формируемых генератором импульсов), сдвинутых по фазе относительно момента естественного отпирания тиристоров. Затем с помощью собственно тиристорного преобразователя производится обратное преобразование дискретных значений i(t) в кусочно-непрерывный сигнал выходной координаты – ЭДС преобразователя.
1.1.5 Редуктор
Представляет собой сугубо механическую конструкцию, предназначенную для передачи вращающего момента, уменьшения (увеличения) частоты вращения вала.
Состоит из зубчатой передачи любого типа (выбирается в зависимости от конкретных нужд и прикладываемых сил). Могут быть одно — и несколько - ступенчатыми, различными по форме, назначению, методам охлаждения и т.п.
Рассмотрим работу следящего привода. При идентичном положении командной и исполнительной осей привода угол рассогласования между ними равен нулю. Также равны нулю напряжения U и Uд , т. е. двигатель и вся система находятся в покое. Повернем теперь командную ось на некоторый угол. В результате этого возникнут угол рассогласования = - и пропорциональные ему напряжения Uд двигатель вращаться и через редуктор будет поворачивать исполнительную ось и движок потенциометра Пвых в сторону уменьшения угла рассогласования до тех пор, пока этот угол не станет равным нулю. При повороте командной оси в другую сторону меняется полярность напряжения, прикладываемого к двигателю, и, следовательно, направления его вращения. Если угловое напряжение (t) командной оси изменяется во времени по произвольному закону, то и угловое положение (t) исполнительной оси также будет изменятся по тому же закону.
Следует отметить, что направление вращения двигателя будет совпадать со знаком угла рассогласования только в том случаи, когда обратная связь от двигателя к исполнительной оси (движку потенциометра Пвых) будет отрицательной.
Если же при вращении двигателя угол рассогласования возрастёт, то это означает, что обратная связь положительна. Для того чтобы сделать её отрицательной, необходимо поменять полярность напряжения, прикладываемого к двигателю.
1.3 Функциональная схема САУ
Функциональная схема САУ приведена на рисунку 2. Представленная схема содержит следующие элементы: П – потенциометр, входной величиной для которого является угол рассогласования Θ(t) а выходной пропорциональное ему напряжения рассогласования UΘ(t); ЭУ – Электронный усилитель, входной величиной для которого является напряжения рассогласования UΘ(t) а выходной усиленное напряжение пропорциональное напряжению рассогласования Uу(t); ТП – тиристорный преобразователь, входной величиной для которого является усиленное напряжение пропорциональное напряжению рассогласования Uу(t) а выходной напряжение питания якорной обмотки двигателя Uд(t); ДПТ – двигатель постоянного тока независимого возбуждения, входной величиной для которого является напряжение питания якорной обмотки двигателя Uд(t) а выходной скорость вращения вала двигателя ω(t) РЕД – редуктор, входной величиной для которого является скорость вращения вала двигателя ω(t) а выходной скорость вращения вала рабочей машины.
(t)
(t)
Uд (t)
Uу (t)
U (t)
(t)
(t)
(t)
Рисунок 2 - Функциональная схема електромеханической следящей системы с потенцыометрическим измерительным устройством
2 уравнения динамики и передаточные функции элементов САУ
2.1 Потенциометр
Потенциометрическое устройство описывается уравнением:
U(t) = kпот (t), (1)
где kпот=70 в/рад.
Уравнение потенциометра в операционной форме:
U(S) = kпот (S) (2)
Откуда передаточная функция потенциометра:
Wпот(S) = = kпот (3)
Следовательно, потенциометрическое устройство представлено пропорциональным звеном и описываются уравнением:
U(S) = 60 (S) (4)
2.2 Электронный усилитель
Электронный усилитель описывается уравнением:
Uу(t) = kэп U (t), (5)
где kэу = 30.
Уравнение электронного усилителя в операционной форме:
Uу(S) = kэу U (S) (6)
Откуда передаточная функция электронного усилителя:
Wэу(S) = = kэу (7)
Следовательно, электронный усилитель представлен пропорциональным звеном и описывается уравнением:
Uу(S) = 30U (S) (8)
2.3 Тиристорный преобразователь
Тиристорный преобразователь в режиме непрерывного тока описывается звеном, состоящим из последовательного соединения линейного безинерционного звена с коэффициентом усиления kтп и звена чистого запаздывания, то есть
, (9)
где – случайное время, обычно называемое среднестатистическим запаздыванием.
Обычно функция раскладывается в степенной ряд и учитываются только два первых члена этого ряда. Тогда передаточная функция тиристорного преобразователя принимает вид:
(10)
Учитывая, что Ттп = получаем
, (11)
где Ттп = 3.3310-3с, kтп = 15.
Для данной передаточной функции дифференциальное уравнение:
(12)
Следовательно, динамической моделью тиристорного преобразователя является апериодическое звено первого порядка.
2.4 Двигатель постоянного тока
Рассмотримучасток системы, включающей ТП и двигатель. Входной величиной этого участка является Uд(t), а выходной — угловая скорость (t) двигателя.
Найдем уравнение, связывающее (t) и Uд(t).
Уравнение Uд(t) в электрической цепи, состоящей из ТП и обмотки якоря двигателя, имеет вид:
Uд(t) = , (13)
где Rd – активное сопротивление обмоток и щеток двигателя;
Ld – индуктивное сопротивление обмоток и щеток двигателя;
eд(t) = - противо-ЭДС двигателя.
Можно считать, что магнитный поток двигателя Ф = const,
тогда: eд(t) = ; ; (14)
Подставляя (14) в (13) получим:
Uд(t) = ; (15)
Формула (15) - уравнение Uд(t) в рассматриваемой цепи. Однако в этой цепи есть и механическая энергия, поэтому необходимо составить уравнение моментов:
Mвр = , (16)
где J – момент инерции всех вращающихся частей, приведенных к валу двигателя, Нмс2;
Mc – приведенный момент сопротивления рабочего механизма.
Момент вращения двигателя Mвр = или учитывая,
что Ф = const, Mвр = ; .
Подставив Mвр в уравнение моментов, получим:
= ; (17)
Примем MC = 0, тогда
= ; (18)
Uд(t) = (19)
или
(20)
где - электромагнитная постоянная времени цепи;
- электромеханическая постоянная времени цепи;
.
Характер переходной функции двигателя зависит от значений Тэ и Тм. Так как Тм = 1,2 с, Тэ = 0,018 с, то:
(21)
Делаем проверку:
(22)
(23)
(24)
Полученные значения Т1 и Т2 близки к Тм и Тэ.
Тогда при получим:
(25)
Запишем в операционной форме:
(26)
Откуда передаточная функция рассматриваемого участка:
Wд(S) = (27)
Полученная передаточная функция - апериодическое звено второго порядка.
2.5 Редуктор
Угол поворота приемного вала определяется соотношением:
(28)
Запишем это уравнение в операционной форме:
(29)
Передаточная функция звена:
Wред(S) = (30)
Следовательно, динамической моделью редуктора является интегрирующее звено.
3 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА САУ
Структурная схема САУ (рис.3) представляет собой графическое изображение математической модели САУ в виде соединений отдельных звеньев, которые изображаются прямоугольником внутри которого записывается либо передаточная функция либо уравнение либо статическая характеристика и отражает ее динамические свойства. Для получения структурной схемы САУ необходимо заменить временные уравнения на их изображения, представленные в операторном виде.
(S)
(S)
(S)
U (S)
Uу (S)
Uд (S)
(S)
(S)
Рисунок 3 - Структурная схема САУ
В приведенной на рисунке 2 системе нет местных обратных связей, и поэтому имеется только один замкнутый контур, образованный с помощью главной отрицательной обратной связи.
4 ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦЫИ САУ
4.1 Дифференциальное уравнение и передаточная функция разомкнутой САУ
Размыкаем схему на рисунке 2 перед элементом сравнения (цепь обратной связи) и разворачиваем в прямую цепь. Для разомкнутой САУ входной величиной является угол рассогласования (t), а выходной величиной - угол поворота (t) вала рабочего механизма.
Передаточная функция разомкнутой САУ представляет собой произведение передаточных функций каждого звена:
Wр(S) = , (31)
где коэффициент усиления разомкнутой САУ kv определяется как произведение:
kv = kпотkредkтпkэуkд = 70∙0,00333333333∙15∙30∙3 = 315 (32)
Тогда передаточная функция разомкнутой САУ примет вид:
Wр(S) = (33)
Для данной передаточной функции разомкнутой САУ получим следующее дифференциальное уравнение:
(34)
С учетом подставленных значений постоянных времени:
(35)
4.2 Дифференциальное уравнение и передаточная функция замкнутой САУ
Замыкаем цепь обратной связи. Для замкнутой системы входной величиной является угол поворота входного вала (t), а выходной - угол поворота (t). В замкнутом состоянии величина (t) представляет собой рассогласование:
(t) = (t) - (t). (36)
Передаточную функцию замкнутой САУ в общем виде можно определить следующим образом:
(37)
Для данной системы:
4.3 Дифференциальное уравнение и передаточная функция ошибки
Передаточную функцию ошибки можно найти используя выражение связывающее передаточные функции разомкнутой САУ и передаточную функцию ошибки:
(38)
Пользуясь выражением преобразуем передаточную функцию разомкнутой САУ в передаточную функцию ошибки:
(39)
После подстановки численных значений и вычислений, получим передаточную функцию ошибки:
4.4 Исследования сау на астатизм
Исследуем систему на астатизм. Для этого проверим выполнение условия:
(40)
Т.к. С0=0, то данная САУ астатическая.
Определим порядок астатизма:
(41)
Следовательно, система является астатической первого порядка.
5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИСХОДНОЙ ЗАМКНУТОЙ САУ
5.1 Исследование по критерию Гурвица
Чтобы определить, устойчива ли САУ, используем алгебраический критерий Гурвица. Берём характеристическое уравнение замкнутой системы:
(42)
Делаем замену:
a4 = Ттп .Тм.Тэ = 7,193.10-5; (43)
a3 = ТмТэ+ТтпТэ+ТмТтп = 0,026; (44)
a2 = Ттп+Тм+Тэ = 1,221; (45)
a1 = 1; (46)
a0 = kV = 315. (47)
Составляем определитель Гурвица четвёртого порядка в соответствии с правилом его составлении (основная диагональ – а3 – а0, вниз от диагонали –по увеличению индекса, вверх от диагонали –по уменьшению индекса):
(48)
Определяем миноры Гурвица:
(49)
0,031 (50)
(51)
Итак, поскольку все коэффициенты системы положительны, выполняется необходимое условие устойчивости. Но поскольку один из миноров Гурвица является отрицательным, то по критерию устойчивости Гурвица система является не устойчивой.
По критерию Гурвица можно найти предельный коэффициент усиления (коэффициент усиления при котором система находится на границе устойчивости). Для этого в главном определителе Гурвица вместо а0 подставим Кпред и прировняем его к нулю:
(52)
Кпред = 47,495
5.2 Исследование устойчивости по критерию Найквиста
В соответствии со структурной схемой (рис.3) АЧХ и ФЧХ разомкнутой САУ можно представить в виде произведения АЧХ и суммы ФЧХ элементарных динамических звеньев.
а) интегрирующего звена:
, ; (53)
б) апериодического звена первого порядка:
, ; (54)
в) апериодического звена первого порядка:
, ; (55)
г) апериодического звена первого порядка:
, ; (56)
Причем
A () = A1()A2()A3()A4(); () = 1()+2()+3()+4(). (57)
Задаемся определенным значением частоты и определяем АЧХ и ФЧХ для каждого звена. Результаты вычислений сведены в табл. 2.
Таблица 2 – Результаты вычислений для построения АФЧХ разомкнутой САУ
|
Звенья |
Частоты ,с-1 |
||||||||||||
|
0 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
||
|
A1() |
3150 |
315 |
63 |
31,5 |
6,3 |
3,15 |
2,1 |
1,575 |
1,26 |
1,05 |
0,9 |
||
|
1() |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
-90 |
|
|
A2() |
1 |
1 |
0,998 |
0,992 |
0,984 |
0,926 |
0,866 |
0,817 |
0,775 |
0,739 |
0,7 |
0,68 |
|
|
2() |
0 |
-0,019 |
-0,191 |
-0,954 |
-1,907 |
-9,45 |
-18,41 |
-26,54 |
-33,66 |
-39,77 |
-44,97 |
-49,37 |
|
|
A3() |
1 |
0,945 |
0,674 |
0,378 |
0,277 |
0,128 |
0,091 |
0,074 |
0,064 |
0,058 |
0,053 |
0,049 |
|
|
3() |
0 |
-6,843 |
-50,19 |
-80,53 |
-85,23 |
-89,05 |
-89,52 |
-89,68 |
-89,76 |
-89,8 |
-89,84 |
-89,86 |
|
|
A4() |
1 |
0,999 |
0,991 |
0,958 |
0,921 |
0,7725 |
0,598 |
0,52 |
0,466 |
0,426 |
0,395 |
0,37 |
|
|
4() |
0 |
-0,103 |
-1,031 |
-5,143 |
-10,2 |
-41,98 |
-60,95 |
-69,67 |
-74,47 |
-77,47 |
-79,5 |
-80,98 |
|
|
A() |
2973 |
210,17 |
22,62 |
7,912 |
0,542 |
0,148 |
0,066 |
0,037 |
0,023 |
0,015 |
0,011 |
||
|
() |
-90 |
-96,96 |
-141,4 |
-176,6 |
-187,3 |
-230,4 |
-258, |
-275,9 |
-287,9 |
-297,0 |
-304,3 |
-310,2 |
По данным таблицы 2 строим АФЧХ (см. приложение) исходной разомкнутой САУ. Снимая показания, видим, что график при пересечении отрицательной вещественной оси охватывает точку с координатами (-1;j0). Следовательно, исходная система неустойчива.
5.3 Определение показателей качества по логарифмическому критерию
Для исследования САУ по логарифмическому критерию строим логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой САУ. Для этого определяем:
частоты сопряжения
с-1; (58)
с-1; (59)
с-1; (60)
Откладываем эти частоты на логарифмической шкале, причем длина одной декады равна 50мм:
50мм∙lgωм = 50∙lg8,33 ≈ 46 мм; (61)
50мм∙lgωэ= 50∙lg5,556 ≈ 37,24 мм; (62)
50мм∙lgωэу= 50∙lg3,003≈ 23,87 мм; (63)
коэффициент усиления САУ
дБ. (64)
наклон первой асимптоты — -20 дБ/дек;
наклон второй изменяется на -20дБ/дек и составляет — -40 дБ/дек;
наклон третьей изменяется на -20 дБ/дек и составляет — -60 дБ/дек;
наклон четвёртой изменяется на -20 дБ/дек и составляет — -80 дБ/дек;
Для построения ЛФЧХ используем данные таблицы 2. Из характеристик (см. приложение) очевидно, что система неустойчива, так как ЛФЧХ пересекает ось раньше, чем ЛАЧХ.
5.4 Исследование устойчивости по критерию Михайлова
Критерий Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента и позволяет судить об устойчивости системы по некоторой кривой, которая называется кривой Михайлова.
Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы действительная часть полинома Михайлова D(j)= была U(0)0 и =0 0 и достаточно, чтобы корни действительной части U()=0:1, 3, 5 и корни мнимой части =0: 0, 2, 4 были действительные и перемежающиеся, то есть эти частоты чередовались.
Запишем передаточную функцию замкнутой системы :
(65)
Откуда характеристический полинов будет равен:
(66)
Раскрыв скобки, получим:
(67)
Преобразуем полученное уравнение по Фурье (S→jω) при этом подставив:
(68)
(69)
Вещественная и мнимая части будут соответственно:
(70)
(71)
Проверяем выполнение условий:
U(0) 0; (72)
=0 0; (73)
315 0;
Найдем корни характеристического полинома. Для этого прировняем вещественную и мнимую части к нулю.
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
Найденые корни:
0<129,29<6,244<16,27
Найденные корни не являются перемежающимися (т.е. между любыми двумя соседними корнями U(ω)=0 лежит не корень V(ω)=0 и наоборот). Следовательно, система по критерию Михайлова неустойчива.
5.5 Сравнение результатов исследования устойчивости разными методами
Исследование устойчивости САУ мы производим по четырем критериям: критерий Гурвица, критерий устойчивости Найквиста, критерий устойчивости Михайлова, и по логарифмическим частотным характеристикам. По всем критериям наша САУ неустойчива. Но в ходе исследования, используя различные критерии, мы сможем сопоставить результаты исследования устойчивости по следующим показателям: трудоёмкости, точности и наглядности исследований.
Критерий Гурвица является математическим критерием, т.е. с условием правильности вычисления определителя, мы получаем точный ответ, а также можем определить значения коэффициента, при котором система будет находиться на границе устойчивости. Но все же этот метод не имеет наглядности, и трудоёмкий, т.к. требуется вычисление определителя.
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы. Данный метод имеет ряд преимуществ: наглядность – мы можем на графике убедится в правильности наших вычислений. Но также есть и отрицательное: необходимость вычисления множества точек для построения АФЧХ и неточность вычислений, когда данная САУ находится на границе устойчивости.
Исследование устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам получило широкое распространение в инженерной практике в силу простоты построения логарифмических частотных характеристик. Данный метод также преобладает наглядностью, устойчивость системы мы определяем по тому, в каком порядке ЛАЧХ пересекает ось 0 дБ, а значение ЛФЧХ совпадающую с осью -180°.Но по точности данный критерий уступает критерию Гурвица, потому что геометрические построения всегда вносят определённую погрешность.
Критерий Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента и позволяет судить об устойчивости системы по некоторой кривой, называемой кривой Михайлова.
6 РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА (КУ)
6.1 Построение желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЖЛАЧХ)
Строим ЛАЧХ исходной системы на основе передаточной функции разомкнутой системы.
Каждому апериодическому звену 1-го порядка соответствует изменение угла наклона на -20 дБ / дек.
Строим желаемую ЛАЧХ. При построении желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЖЛАЧХ) выделяют четыре основных зоны:
- Зона I очень низких частот (0 1), характеризующий степень астатизму системы с управляющим воздействием; наклон БЛАЧХ в этой зоне равен - 20 дБ / дек;
- Зона II низких частот (1 2); наклон ЖЛАЧХ в этой зоне определяется количеством апериодических (колебательных) звеньев, имеющих постоянную времени Т=1/1 и составляет –40 или –60 дБ/дек;
- Зона III средних частот (2 3) определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде, а также качество системы в переходном режиме. Для обеспечения требуемых показателей качества наклон ЖЛАЧХ в этой зоне обязательно должен равняться -20 дБ / дек, а ширина зоны - не менее одной декады (чем больше ширина, тем большие запасы устойчивости и меньше колебания системы) СР - частота среза;
- Зона IV высоких частот (3 ), наклон в который определяется количеством апериодических или колебательных звеньев. Ход ЖЛАЧХ в ней существенно не влияет на качество системы. Ход ЖЛАЧХ в этой зоне следует выбирать при условии получения наиболее простого корректирующего устройства, т.е. направлять ЖЛАЧХ по ЛАЧХ исходной системы или параллельно ей.
Расчет ЖЛАЧХ можно выполнить по заданным коэффициентам ошибок Сi. Для этого используют примерные соотношения, связывающие показатели качества САУ с параметрами ограниченного количества типовых ЛАЧХ и позволяют достаточно просто решить задачу синтеза корректирующего устройства:
Рассчитаем параметры ЖЛАЧХ:
; (86)
дб; (87)
с-1; (88)
с-1; (89)
с-1. (90)
По полученным данным и с учётом предъявляемых требований строим ЖЛАЧХ.
От ЖЛАЧХ геометрически вычитаем ЛАЧХ и получаем ЛАЧХКУ последовательного корректирующего устройства (КУ). По ее виду находим передаточную функцию корректирующего устройства.
КУ содержит два форсирующих и два апериодических звена первого порядка. Итак, передаточная функция КУ имеет вид:
; (91)
где
kvk – коэффициент усиления скорректированной САУ;
kV – коэффициент усиления исходной САУ.
Количество сомножителей вида () в числителе соответствует количеству переходов +20дб/дек, а в знаменателе — -20дб/дек. Постоянные времени , определяются соответствующими частотами сопряжения на ЛАЧХ корректирующего устройства:
; (92)
; (93)
; (94)
. (95)
Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы с последовательно соединённой КУ будет иметь вид:
(96)
6.2 Выбор КУ
Для полученной ЛАЧХ КУ в литературе выбираем КУ постоянного тока, которое представляет собой четырёхполюсник (рис. 4).
Рисунок 4 - Схема корректирующего пассивного контура
Для данной схемы известны такие соотношения:
(97)
где k0=kvk/kv=50/315=0,1587 (98)
(99)
(100)
Задаёмся двумя параметрами так, чтобы полученные значения резисторов R и ёмкостей С были удобными для технической реализации и находились в диапазоне: R = Ом; С = мкФ.
Пусть R1 = 100 кОм і С2 = 1 мкФ, тогда:
R3= Т2/С2=0,16666/1·10-6= 166,66 кОм, ближайшее значение из стандарт-ного ряда Е192 – 167 кОм;
кОм, ближайшее значение из ста-ндартного ряда Е48 – 31,6 кОм;
мкФ, ближайшее значение стандартного ряда – 50 мкФ.
Параметры электрической схемы КУ:
R1 =100 кОм; R2 = 31,6 кОм; R3 = 167 кОм; С1 = 50 мкФ; С2 = 1 мкФ.
6.3 Расчет и построение ЖЛФЧХ
Определяем ФЧХ каждого из звеньев, входящих в передаточную функцию КУ по следующим формулам:
-для апериодических звеньев:
(101)
-для форсирующих первого порядка:
(102)
Используя эти формулы, рассчитываем значения фазы для каждого из звеньев, задавая частоту ω в диапазоне [0;350]c-1, Эти данные сведены в таблицу 3.
Таблица 3 - Результаты вычислений для построения ЖЛФЧХ САУ
|
Звенья |
Частоты , с-1 |
|||||||||||
|
0 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
|
|
иссх() |
-90 |
-96,96 |
-141,4 |
-176,6 |
-187,3 |
-230,4 |
-258, |
-275,9 |
-287,9 |
-297,0 |
-304,3 |
-310,2 |
|
а1() |
0 |
-2,328 |
-22,587 |
-64,323 |
-76,483 |
-87,25 |
-88,62 |
-89,08 |
-89,31 |
-89,45 |
89,54 |
-89,6 |
|
а2() |
0 |
-0,103 |
-1,031 |
-5,143 |
-10,204 |
-41,98 |
-60,94 |
-69,67 |
-74,47 |
-77,47 |
-79,5 |
-80,98 |
|
ф1() |
0 |
6,843 |
50,194 |
80,538 |
85,236 |
89,05 |
89,52 |
89,68 |
89,76 |
89,8 |
89,84 |
89,86 |
|
ф2() |
0 |
0,955 |
9,462 |
39,806 |
59,036 |
83,15 |
86,56 |
87,7 |
88,28 |
88,62 |
88,85 |
89 |
|
ж() |
-90 |
-91,648 |
-105,632 |
-125,723 |
-129,715 |
-187,43 |
-231,47 |
-257,27 |
-273,64 |
-285,48 |
294,65 |
-301,9 |
По данным таблицы 3 строим ЖЛФЧХ (см. приложение).
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Синтез корректирующего устройства при помощи метода ЛАЧХ базируется на некоторых допущениях. Кроме того, реализация необходимой ЛАЧХ устройства также может быть приблизительной. Поэтому обязательно необходима проверка качества синтезированной системы. Показатели качества могут быть определены разными методами, например, по переходной характеристике системы, по ее частотным характеристикам.
7.1 Моделирование скорректированной САУ при помощи пакета Mathlab
Для моделирования САУ воспользуемся пакетом Mathlab (рис. 5).
Рисунок 5 - Схема модели разомкнутой скорректированной САУ в пакете Mathlab
7.2 Определение показателей качества по переходной характеристике замкнутой САУ
После построения структурной схемы скорректированной САУ и определения всех ее параметров выполним моделирование этой системы в пакете Mathlab (рис. 6).
Рисунок 6 - Схема модели замкнутой скорректированной САУ в пакете Mathlab
По полученной переходной характеристике замкнутой системы определяем прямые показатели качества (рис. 7).
Рисунок 7 - Переходная характеристика скорректированной САУ
К прямым показателям качества скорректированной системы относят:
1. Перерегулирование , где hус т= 1 - установившееся значение переходной характеристики, hmax = 1,37 – максимальное значение переходной характеристики;
2. Время первого согласования tпу=0,0572 – время, за которое характеристика впервые приобретает установившееся значение;
3. Время достижения первого максимума tmax=0,147
4. Время регулирования tрег=0,248– время, после которого отклонение регулируемой величины от установившегося значения не превышает (–постоянная величина, которая задается в процентах от установившегося значения выходной величины hуст=1; по умолчанию принимают =5%).
7.3 Определение запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой САУ
Запас по амплитуде и фазе найдём, смоделировав разомкнутую скорректированную САУ в среде Matlab (рис. 8) и просмотрев ее ЛАЧХ и ЛФЧХ при помощи встроенных функций Matlab (рис. 9).
Рисунок 8 - Схема модели разомкнутой скорректированной САУ в пакете Matlab
Рисунок 9 - ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой скорректированной САУ в пакете Matlab
Проанализировав данный график мы видим что запас по амплитуде составляет 11.2 дБ а по фазе - 38.8 градуса.
7.4 Построение и расчет зоны устойчивости
Для расчёта необходимо знать передаточную функцию скорректированной замкнутой системы. Получим её зная передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы:
(103)
Найдем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы:
Прировняем знаменатель к нулю и найдем чему равен коэффициент усиления скорректированной замкнутой системы:
(106)
Заменяем S→jω:
(107)
Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число:
(108)
Раскроем скобки и введем обозначения учитывая что :
(109)
где
А5=
А4=
А3=
А2=
(110)
(111)
(112)
В пакете Mathcad строим зависимость V(ω) от U(ω) (рис. 10).Область устойчивости находится слева от кривой. Из этой зависимости можно определить, что предельный коэффициент данной системы равен Кпр = 184.
Рисунок 10 - Зона устойчивости в среде MathCAD для Кvk
Выполненные расчеты D-разбиения позволяют установить предельный коэффициент усиления Кгр = 186. С учетом запаса устойчивости Азап=11,3, коэффициент усиления kvk =50 с-1 входит в зону рекомендуемых значений для разомкнутой системы.
В пакете Mathcad строим зависимость U(ω) от V(ω) (рис. 10). Область устойчивости находится слева от кривой. Из этой зависимости можем определить, что граничный коэффициент данной системы равен Кгр=600. С учетом запаса устойчивости выделим область устойчивости D(n;0), где n=4 (по наивысшему показателю степени).
Рисунок 10 - Характеристика D-разбиения
ВЫВОД
В данной курсовой работе была исследована замкнутая электромеханическая система автоматического управления, работа которой основана на использовании принципа регулирования по отклонению. Устойчивость системы была исследована четырьмя методами: по критерию Гурвица, который позволяет получить только качественное суждение о характере процесса регулирования, по критерию Найквиста (с помощью построения АФЧХ),по критерию Михайлова и логарифмическому критерию. Система оказалась устойчивой, но имела маленькие запасы устойчивости. Затем были построены желаемая ЛАЧХ системы и ЛАЧХ корректирующего устройства. После чего было разработано корректирующее устройство, которое обеспечило устойчивость исследуемой системы с необходимыми запасами по фазе и амплитуде.
В результате были получены основные показатели качества скорректированной системы: перерегулирование, время первого согласования, время достижения первого максимума и время регулирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ