Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа по курсу «Теория игр»
стратегия игра равновесие
|
a |
b |
|||
|
A |
Ф |
? |
||
|
? |
И |
|||
|
B |
? |
О |
||
|
В |
? |
|
c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
c5 |
|
|
s1 |
5 |
2 |
3 |
6 |
4 |
|
s2 |
4 |
1 |
1 |
5 |
0 |
|
s3 |
6 |
0 |
4 |
9 |
-3 |
Пример должен быть действительно из реальный жизни, а не просто получаться из семейного спора заменой «муж» на «зять» и «театр» на «рыбалка» - такие примеры оцениваются в 0 балов!
|
a |
b |
c |
d |
|
|
A |
2 5 |
6 2 |
4 1 |
3 0 |
|
B |
1 4 |
4 3 |
1 2 |
2 1 |
|
C |
0 1 |
1 1 |
5 1 |
1 5 |
|
D |
3 2 |
1 0 |
2 0 |
4 4 |
Решение:
Получаем:
|
b |
c |
d |
|
|
A |
6 2 |
4 1 |
3 0 |
|
B |
4 3 |
1 2 |
2 1 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
1 5 |
|
D |
1 0 |
2 0 |
4 4 |
Получаем:
|
b |
c |
d |
|
|
A |
6 2 |
4 1 |
3 0 |
|
B |
4 3 |
1 2 |
2 1 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
1 5 |
|
b |
c |
d |
|
|
B |
4 3 |
1 2 |
2 1 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
1 5 |
|
D |
1 0 |
2 0 |
4 4 |
Продолжим рассматривать 2 варианта игры: в первом варианте вычеркиваем стратегию d, а втором – стратегию D. Получим 2 игры:
|
b |
c |
|
|
A |
6 2 |
4 1 |
|
B |
4 3 |
1 2 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
|
b |
c |
d |
|
|
B |
4 3 |
1 2 |
2 1 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
1 5 |
|
b |
c |
|
|
B |
4 3 |
1 2 |
|
C |
1 1 |
5 1 |
|
b |
c |
|
|
A |
6 2 |
4 1 |
|
B |
4 3 |
1 2 |
Исключим в первом варианте стратегию С, во втором – с.
|
b |
c |
|
|
B |
4 3 |
1 2 |
|
b |
|
|
A |
6 2 |
|
B |
4 3 |
|
b |
|
|
B |
4 3 |
На основании этого можно сделать вывод, что в исходной игре должен реализоваться исход (B, b).
2. Заполните пропуски в таблице так, чтобы в этой игре в чистых стратегиях было бы 3 равновесия по Нэшу. Найдите все равновесия в смешанных стратегиях (любым способом).
|
a |
b |
|
|
A |
7 ? |
? 4 |
|
B |
? 25 |
9 ? |
Решение:
Заменим знаки вопроса на неизвестные переменные следующим образом:
|
a |
b |
|
|
A |
7 y |
x 4 |
|
B |
t 25 |
9 z |
Попытаемся заполнить пропуски в таблице так, чтобы равновесия по Нэшу достигались в вариантах игры (A, a), (B, a), (B, b), а при игре (A, b) равновесие по Нэшу не достигалось. Тогда должна выполняться система неравенств (объедим их парами для каждого варианта игры):
Откуда получаем:
Возьмем минимальные целые числа, удовлетворяющие системе неравенств. Получим игру:
|
a |
b |
|
|
A |
7 25 |
6 4 |
|
B |
9 25 |
9 5 |
Действительно, в данной игре варианты (A, a), (B, a), (B, b) будут являться равновесиями по Нешу, т.к. здесь ни одному из игроков не выгодно изменить свою стратегию, а при игре (A, b) каждому из игроков выгодно изменить свою стратегию.
Найдем равновесие в смешанных стратегиях. Предположим, что первый игрок с вероятностью µ играет стратегию A, соответственно с вероятностью (1 - µ) – стратегию B. Второй игрок с вероятностью ν играет стратегию a, а с вероятностью (1 - ν) - стратегию b. Тогда функции выигрыша игроков будут выглядеть следующим образом:
;
Тогда функции отклика будут следующими:
Имеем 2 равновесия в смешанных стратегиях. Если второй игрок играет стратегию b, то первый игрок всегда будет играть стратегию B. Если первый игрок играет стратегию А, то второй игрок будет играть стратегию a.
Решением же в доминируемых стратегиях будет (B, a).
3. Двое бегут по лыжной трассе навстречу друг другу. У каждого лыжника 2 стратегии: «уступить» (У) и «не уступить» (Н). Если один из игроков уступает другому, то его потери - 9 секунд, второй – не теряет ничего; если же лыжники сталкиваются, то оба теряют 25 секунд.
Решение:
|
У |
Н |
|
|
У |
-9 -9 |
0 -9 |
|
Н |
-9 0 |
-25 -25 |
В чистых стратегиях равновесия в данной игре нет.
Предположим, что первый игрок с вероятностью µ играет стратегию У, соответственно с вероятностью (1 - µ) – стратегию Н. Второй игрок с вероятностью ν играет стратегию У, а с вероятностью (1 - ν) - стратегию Н.
Функции выигрыша игроков:
Соответственно функции откликов:
Имеем 2 точки пересечений линий, соответствующие равновесиям в смешанных стратегиях:
|
У |
Н |
УП |
|
|
У |
-9 -9 |
0 -9 |
-4 -9 |
|
Н |
-9 0 |
-25 -25 |
-29 -25 |
|
УП |
-9 -4 |
-25 -29 |
-4 -4 |
В чистых стратегиях равновесия нет.
4. Профсоюз заключает с фирмой соглашение на несколько лет об уровне заработной платы w>0. Профсоюз максимизирует функцию совокупной прибыли членов профсоюза (зарплата за вычетом издержек от работы): u(w,L)=wL-4*L2, фирма максимизирует свою прибыль (выпуск за вычетом зарплаты): П(w,l)=7*L0.5-wL.
Решение:
ПL’(w*,l)= 3.5L-0.5 – w* = 0 при L*=.
То есть при установлении профсоюзом уровня з/п в значение w* фирма примет решении о найме рабочей силы в значение L*=.
Максимизируем теперь функцию совокупной прибыли членов профсоюза u(w,L)=wL-4*L2
Подставим в функцию найденное на предыдущем шаге значение L*.
u(w,L*)=wL*4*L*2=
. , откуда .
Решение игры: .
Тогда прибыль членов профсоюза будет определяться: u(w*,L)=w*L-4*L2. Профсоюз максимизирует свою прибыль, варьируя значение L.
, откуда максимизирующий прибыль сотрудников профсоюза уровень занятости определяется как . Подставим это значение в функцию прибыли фирмы:
П(w, L*)=7*L*0.5-wL*=. Пw’(w, L*)==0 при .
Соответственно .
Решение игры: (;).
5. В этой игре с нулевой суммой найдите равновесие в осторожных стратегиях. Существует ли в этой игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях?
|
c1 |
c2 |
c3 |
c4 |
c5 |
|
|
s1 |
5 |
2 |
3 |
6 |
4 |
|
s2 |
4 |
1 |
1 |
5 |
0 |
|
s3 |
6 |
0 |
4 |
9 |
-3 |
Решение:
Игра антагонистическая, значит можем найти MinMax и MaxMin и сравнить их.
MaxMin = Max (2, 0, -3) = 2 и соответствует s1.
MinMax = Min (6, 2, 4, 9, 4) = 2 и соответствует c2.
Получаем, что MinMax = MaxMin = 2, следовательно в игре существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и соответсвует (s1, c2).
6. На корабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележ предлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна, то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт и дележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровое равновесие в этой игре.
Решение:
Будем использовать метод обратной индукции. Упорядочим всех пиратов по старшинству.
Итак, капитан предлагает описанный выше план дележа золота.
Соответственно совершенным подыгровым равновесием будет следующий набор стратегий:
|
Пират |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
50 (капитан) |
|
Голосование |
против |
за |
против |
за |
… |
за |
|
Выигрыш |
0 |
1 |
0 |
1 |
… |
76 |
Никому из пиратов невыгодно менять стратегию, т.к. в противном случае он не получит ничего. Соответственно равновесия является равновесием по Нэшу в полной игре и принимая во внимание метода обратной индукции во всех подыграх этой игры.
7. Приведите пример стратегического взаимодействия из вашей реальной жизни (укажите для этой игры – игроков; возможные стратегии участников; характер игры (с обоснованием): статическая или динамическая, с полной информацией или нет, с совершенной информацией или нет). Какое решение в этой игре было достигнуто в реальном мире? Попытайтесь объяснить - почему именно это решение реализовалось
Если я должен ехать куда-то на поезде или лететь на самолете, то предпочитаю приезжать на вокзал или в аэропорт заблаговременно (оптимально – за час). У меня есть друзья, с которыми я часто пересекаюсь и «путешествуем» одними маршрутами. При этом они как раз предпочитают приезжать минута в минуту. Соответственно, когда мы выезжаем из одного места в пункт назначения, то всегда спорим, во сколько нужно выезжать. Я не хочу приезжать минута в минуту, потому что считаю это рискованным, т.к. в дороге может что-нибудь произойти, и мы можем не успеть на транспорт. Они уверены, что все будет нормально, и они успеют и лучше этот лишний час провести в уютной обстановке, чем на вокзале или в аэропорте. Если мы выезжаем из разных мест, то каждый следует своей стратегии – я приезжаю за час, они приезжают точно в срок. При этом я переживаю, что они могут не успеть, а ехать в поездку одному мне не хочется. Можно рассмотреть вариант, когда мы выезжаем из одного места.
Каждый такой вариант можно представить как статическую игру с полной информацией, т.к. каждый знает интересы другого. Игроки: я, мои друзья. У каждого есть две стратегии: «ехать рано» или «ехать поздно». При этом выигрыши игроков условно следующие:
Я рассмотрел 4 варианта, т.к. если бы мы принимали решения независимо друг от друга (тайным голосованием) и следовали стратегиям, то все 4 варианта имеют место быть. В реальной же жизни нам всегда удается договориться и прийти к общему согласию. Как правило, мне удается убедить о необходимости выехать заблаговременно. Хотя, когда они отправляются без меня, то всегда приезжают минута в минуту до назначенного времени отправления поезда или окончания регистрации на рейс. .