темах всех форм обучения Одобрено редакционноиздательским советом Балаковского института т
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники технологии и управления
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
по дисциплине «Численные методы»
для студентов направления 220400.62 «Управление в технических системах»
всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2013
ВВЕДЕНИЕ
В зависимости от числа независимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории:
- обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную
- уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х). Их можно записать в виде
(1)
где х - независимая переменная.
Наивысший порядок п входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения. В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (1) удается выразить старшую производную в явном виде.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит п произвольных постоянных:
(2)
где (2) является решением уравнения (1) при любых значениях , а любое решение уравнения (1) можно представить в виде (2) при некоторых.
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.
Здесь рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений. Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.
Цель работы - научиться решать краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с помощью MathCAD.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Линейная краевая задача имеет вид:
(3)
(4)
при 1+2 0 1+2 0 xab.
Решение задачи (3)-(4) проводится в последовательности, приведенной ниже.
Отрезок ab делится на конечное число частей (задается сетка)
y1 y2 yk yn-1 yn yn+1
x1=a x2 xk xn-1 xn xn+1=b x
xk x1 (k 1)h
k1…n1
h (ba)n.
x1, xn+1 - краевые точки, x2, x3, , xn-1, xn - внутренние точки.
Затем определяется сеточная функция yi = y(xi):
|
x1 |
x2 |
x3 |
... |
xn+1 |
|
у1 |
у2 |
у3 |
... |
у n+1 |
Аппроксимация производных y(x) и y(x) центральными конечноразностными аналогами имеет вид
(5)
(6)
Подстановка полученных соотношений (5)-(6) в уравнение (3) дает следующее уравнение:
, (7)
где
После этих преобразований уравнение (7) можно представить в виде
, (8)
где
Для краевых условий применяем следующие разностные формулы:
или
Подставляя в краевые условия, получим:
После преобразований краевые условия (4) запишем в виде:
(9)
(10)
где
Таким образом, для определения (n+1) неизвестных величин yk составляется (n+1) уравнений вида:
(11)
Пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения при условиях и , а также значениях параметров
Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб [2] и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:
- v– вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий;
- xmin, xmax – границы интервала, на котором ищется решение;
- D(x,y) – вектор–функция, содержащая правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения;
- load(xmin,v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления;
- score(xmax,y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и вектор v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному.
Задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
Поэтому функция D имеет вид
Задаем граничные условия:
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, нулевой индекс вектора должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины: v0:=0.1.
На левой границе интервала нам известно значение и задано начальное приближение для . Это значение записано в . Задаем вектор-функцию load. Ее нулевой элемент – начальное значение для , первый – для .
Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed – функция для решения ОДУ методом Рунге-Кутты. Пример решения иллюстрирует рис.1.
n:=500, i:=0..n,
Рис. 1 Результат решения краевой задачи
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
- Изучить метод конечных разностей.
- Составить программу алгоритма вычислений MathCAD.
- Составить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- Какие уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями?
- Какие методы решения ОДУ вы знаете?
- Что такое аппроксимация?
- Какой вид имеют разностные уравнения?
- Какой порядок точности имеет метод Эйлера?
ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Подготовка к работе – 1,0 акад.час
Выполнение работы – 2,0 акад. часа
Оформление работы – 1,0 акад.час
ЛИТЕРАТУРА
- Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах : учеб. пособ. / В.И. Кирссв, А.В. Пантелеев. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 480 с.
- Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.Н. Исаков. - М.: Издательский центр «Академия», 2009.
- Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Численные методы. Часть 2. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. -Казань, 2008. -35с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
Основные понятия 3
Порядок выполнения работы 7
Вопросы для самоконтроля 8
Литература 9
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
по дисциплине «Численные методы»
для студентов направления 220400.62 «Управление в технических системах»
всех форм обучения
СОСТАВИЛА: ЕФРЕМОВА Татьяна Александровна
Рецензент Т.Н. Скоробогатова
Редактор Л.В.Максимова
|
Подписано в печать 03.05.13 |
Формат 60х84 1/16 |
|
|
Бумага тип. |
Усл.печ.л. |
Уч.- изд.л. |
|
Тираж 100 экз. |
Заказ |
Бесплатно |
Саратовский государственный технический университет
410054, г.Саратов, ул.Политехническая, 77
Копипринтер БИТТиУ, 413840, г. Балаково, ул. Чапаева, 140
2. методические рекомендации по выполнению работ на персональном компьютере перечень рекомендуемой литератур
3. За этот период времени накопился колоссальный опыт применения сырья растительного и животного происхожден
4. Административно-правовые нормы
5. на тему Управление государственной собственностью
6. Законодательные и нормативноправовые акты Конституция Российской Федерации- Принята всенародным
7. ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общественного здоровья и здравоохр
8. на тему- Проектирование несущих конструкций многоэтажного каркасного здания Выполнил- Климоче
9. Вариант тестовых вопросов по дисциплине ldquo; Физика2rdquo; Р-о 2курс 1
10. ОТРЕШЕНИЕ ПРЕЗИДЕНТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОТ ДОЛЖНОСТИ 6 1
11. экономический институт Курсовая работа по дисциплине ldquo;Организация производства
12. Абрис Нижегородского Государственного Университета им
13. Экономический анализ деятельности и его роль в управлении медицинским учреждением
14. причины возникновения и последствия распада
15. Введение Предпринимательство является одной из самых динамично развивающихся отраслей современной эконо
16. .ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Город Солнца Tommso Cmp
17. ВАРИАНТ 3 Тестовые задания
18. Тема Структура и механизмы социальной перцепции Фамилия студента
19. Название ткани Подвиды Особенности структуры ткан
20. Пучок предварительно никак не ориентированных в пространстве атомов пропускался между полюсами магнита в