Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
124
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Муромский институт (филиал)
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет»
Ш.Н. Магдеев
В.А. Шлягина
ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ
КВАНТОВАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Конспект лекций
Муром 2007
УДК 53 (075.8)
ББК 22.3
М 55
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей физики и электротехники
Балаковского института техники, технологии и управления СГТУ
П.В. Леонов
Кандидат физико-математических наук,
генеральный директор ЗАО «Информтек»
М.В. Матвеичев
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Муромского института
М 55 Магдеев, Ш.Н. Общий курс физики. Квантовая и ядерная физика: конспект лекций / Ш.Н. Магдеев, В.А. Шлягина. – Муром: Изд.-полиграфический центр МИ ВлГУ, 2007. – 133 с.: 20 ил. – Библиогр.: 9 назв.
ISBN 978-5-8439-0160-8
В пособии кратко изложен материал по разделам вузовского курса общей физики, посвященным квантовой теории излучения, основам квантовой механики, элементам физики атомного ядра. Каждая глава содержит основной теоретический материал, краткие выводы по теме, вопросы для самоконтроля и повторения, примеры решения задач, упражнения для самостоятельной подготовки студентов.
Предназначено для студентов технических специальностей всех форм обучения.
УДК 53 (075.8)
ББК 22.3
ISBN 978-5-8439-0160-8 © Магдеев Ш.Н., Шлягина В.А., 2007
© Муромский институт (филиал)
Владимирского государственного
университета, 2007
Предисловие
Настоящее учебное пособие продолжает серию конспектов лекций по физике, читаемых преподавателями кафедры физики Муромского института ВлГУ, и содержит краткое изложение теории, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения по квантовой оптике, квантовой механике, физике излучений и основам ядерной физики.
При изложении материала основное внимание уделяется рассмотрению физической сущности явлений и описывающих их законов без привлечения подробных математических выкладок.
В учебном пособии рассматриваются разделы физики, разработанные в конце XIX – первой половине XX вв. зарубежными и отечественными учеными и ставшие основой современной техники – от квантовой электроники до ядерной энергетики. Поэтому овладение основами знаний по этим вопросам необходимо современному человеку независимо от рода его профессиональной деятельности.
При составлении учебного пособия в качестве базового учебника использовался «Курс физики» А.А. Детлафа и Б.М. Яворского, предназначенный для студентов высших технических учебных заведений. Ввиду краткого изложения теоретического материала в данном учебном пособии, для приобретения более полных и глубоких знаний по рассмотренным разделам физики необходимо пользоваться дополнительной литературой, часть которой приведена в конце учебного пособия.
Учебное пособие предназначено прежде всего для студентов заочного обучения, но может быть полезно и студентам других форм обучения.
Глава 1. Квантовая природа излучения
1.1. Тепловое излучение
Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оптических свойств этого тела, называется тепловым.
Тепловым излучателем может быть любое тело, нагретое до некоторой температуры. Если температура излучателя достаточно высока, тепловое излучение может быть видимым – так, стальной расплав светится, а по мере его остывания свечение прекращается.
Излучение, наряду с работой и теплопередачей – одна из форм обмена энергией: излучая, тепловой источник теряет энергию, поглощая излучение – получает ее. В результате одновременного процесса излучения и поглощения тело приходит в равновесие с окружающей средой, его внутренняя энергия (а значит, температура) стабилизируется. Такая установившееся температура теплового излучателя называется термодинамической, а излучение при этой температуре – равновесным.
Способность различных тел излучать и поглощать энергию различна. Излучательной способностью (энергетической светимостью, излучательностью) тела Rэ называется энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности теплового излучателя:
(1.1)
где Р – мощность излучения; S – площадь излучающей поверхности.
Тепловые излучатели в различных интервалах спектра электромагнитного излучения излучают по-разному, поэтому вводят спектральную плотность энергетической светимости rλ – количество энергии, излучаемой в единицу времени с единицы поверхности в единичном интервале длин волн λ.
Поглощательной способностью, или коэффициентом поглощения теплового излучателя называется отношение , показывающее, какую долю от упавшего на тело излучения оно поглощает.
Вообще говоря, и коэффициент поглощения у тепловых излучателей для различных длин волн различен, но есть тела, которые во всех областях спектра поглощают одинаково – такие тела называют серыми.
Тело, поглощающее все упавшее на него излучение, называется абсолютно черным (АЧТ). Для него интегральный коэффициент поглощения равен единице:
.
Все реальные тепловые излучатели являются серыми, они характеризуются коэффициентом серости (черноты) k, который показывает, во сколько раз поглощательная способность данного тела, меньше, чем у абсолютно черного тела при той же температуре:
.
Все законы теплового излучения, которые будут рассмотрены ниже, справедливы для равновесного излучения абсолютно черного излучателя.
Закон Кирхгофа. Поскольку излучение равновесное, тело, которое при данной температуре поглощает больше энергии, излучать тоже должно больше. Поэтому для теплового излучателя отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его спектральному коэффициенту поглощения не зависит от материала тела и равно спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре:
, (1.2)
Следовательно, при данной температуре сильнее излучают те тела, которые имеют больший коэффициент поглощения.
Закон Стефана – Больцмана. Законы Вина.
Экспериментальные кривые распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, то есть зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны λ при постоянной температуре Т, называемые кривыми Кирхгофа, представлены на рис. 1.1.
Рис. 1.1
Из рисунка видно, что спектр абсолютно черного тела всегда является сплошным, то есть в спектре представлен непрерывный ряд длин волн, но коротковолнового излучения в спектре АЧТ практически нет, а длинноволнового – много.
Поскольку энергетическая светимость АЧТ , площадь под кривой Кирхгофа пропорциональна излучательной способности АЧТ. С увеличением температуры излучательная способность АЧТ растет.
Закон Стефана – Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры
, (1.3)
где – постоянная Стефана-Больцмана.
Для реальных тепловых излучателей , где k – коэффициент серости.
Из рис. 1.1 следует, что для каждой температуры кривые Кирхгофа имеют максимум , и что с ростом температуры максимум смещается в сторону более коротких длин волн, то есть больших частот. Немецкий физик Вин установил, что длина волны , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости АЧТ обратно пропорциональна его термодинамической температуре Т:
, (1.4)
где .
Это первый закон Вина, или закон смещения Вина.
Второй закон Вина позволяет определить само значение максимальной спектральной плотности энергетической светимости АЧТ при данной температуре Т:
, (1.5)
где .
Гипотеза и формула Планка.
Попытки получить формулу, позволяющую математически описать кривую Кирхгофа, долгое время терпели неудачу.
Так, по формуле Релея-Джинса
, (1.6)
где – частота; – постоянная Больцмана; с – скорость света; Т – абсолютная температура; – мощность излучения АЧТ в единичном интервале частот.
Было получено хорошее совпадение с экспериментом в области малых частот (то есть больших длин волн), но согласно ей в области бесконечно больших частот АЧТ должно излучать бесконечно много, а на самом деле доля высокочастотного излучения в спектре тепловых излучателей очень мала (например, лампа накаливания не излучает ультрафиолета). Этот факт так поразил физиков, что они назвали его «ультрафиолетовой катастрофой».
Классическая теория излучения как непрерывной электромагнитной волны не могла объяснить, почему кривые Кирхгофа имеют максимум – ведь по волновой теории энергия, переносимая волной, возрастает с ростом частоты. Тупиковую ситуацию разрешил в 1890 г. немецкий физик-теоретик Макс Планк, предположивший, что электромагнитные колебания излучаются атомами не непрерывно, а дискретными порциями (квантами), энергия которых пропорциональна частоте
, (1.7)
где – постоянная Планка.
Планк предложил формулу для спектральной плотности энергетической светимости АЧТ, хорошо описывающую кривые Кирхгофа:
или (1.8)
Фундаментальность гипотезы Планка была подтверждена тем, что эмпирические законы излучения АЧТ могут быть выведены из формулы Планка (1.8).
1.2. Квантово-оптические явления
На рубеже XIX – XX вв. были открыты и исследованы явления, подтвердившие и развившие квантовую гипотезу Планка, и получившие поэтому название квантово-оптических – фотоэлектрический эффект, эффект Комптона и давление света.
Фотоэлектрический эффект – вырывание электронов из атомов и молекул вещества под действием света (излучения) – впервые был обнаружен в 1887 г. Г. Герцем.
Если электроны, выбитые светом, вылетают за пределы вещества, фотоэффект называют внешним, он наблюдается главным образом у металлов. Если же оторванные от своих атомов или молекул электроны остаются внутри освещаемого вещества в качестве свободных, фотоэффект называют внутренним, он наблюдается у некоторых полупроводников и в меньшей степени у диэлектриков.
Явление внешнего фотоэффекта впервые было исследовано А.Г. Столетовым в 1890 г. Схема опытов Столетова по исследованию фотоэффекта приведена на рис. 1.2.
Излучение через окно С вакуумной трубки попадает на исследуемую пластинку К, служащую катодом. Анодом служит вспомогательный электрод А. Напряжение между катодом и анодом регулируется потенциометром R и регистрируется вольтметром V. Источник напряжения, к которому подключен потенциометр, представляет собой две аккумуляторных батареи, включенные встречно, что позволяет менять значение и знак напряжения между катодом и анодом.
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Если пластинку К освещать через окно С, то свет вырвет из пластинки электроны, называемые фотоэлектронами. Под действием электрического поля фотоэлектроны движутся к аноду А, замыкая цепь, и гальванометр G показывает наличие тока, который называют фототоком, так как если катод не освещать, ток в цепи отсутствует. Изменяя при помощи потенциометра R величину и знак напряжения, Столетов получил зависимости фототока от напряжения при неизменной величине светового потока Ф, вид которых показан на рис. 1.3.
Из рисунка видно, что ток в цепи возникает и в том случае, когда анодное напряжение равно нулю и даже при небольшом отрицательном (задерживающем) напряжении на аноде. Это связано с тем, что вылетающие из катода фотоэлектроны, обладают кинетической энергией, за счет которой совершается работа против сил задерживающего поля. Если поле тормозит электроны, то при некотором значении напряжения Uз, называемом задерживающим потенциалом, фотоэлектроны полностью растрачивают на работу против сил поля полученную при выходе из катода кинетическую энергию и не достигают анода – фототок становится равным нулю. Зная величину задерживающего потенциала, можно определить кинетическую энергию фотоэлектронов, а значит, и их скорость.
Если электрическое поле между катодом и анодом является ускоряющим, то при некотором значении напряжения все фотоэлектроны достигают анода, и через гальванометр идет ток, зависящий только от числа электронов, вырываемых светом с поверхности катода за единицу времени. Этот ток называют током насыщения Iн. Из рисунка видно, что величина тока насыщения зависит от интенсивности светового потока, падающего на катод.
Опытным путем были сформулированы следующие законы фотоэффекта:
Классическая теория излучения как непрерывной электромагнитной волны рассматривала фотоэффект следующим образом: падающая на металл электромагнитная волна приводит электроны, находящиеся вблизи поверхности металла в колебательное движение с амплитудой, пропорциональной интенсивности падающего света. В результате электрон приобретает энергию, достаточную для преодоления силы притяжения положительных ионов и вылетает из катода. Чем больше интенсивность падающей световой волны, тем больше электронов получат энергию, достаточную для вылета из катода, и тем больше будет ток насыщения.
Такая картина объясняла первый закон фотоэффекта, но из этих же рассуждений следовало, что кинетическая энергия вылетающих электронов также должна быть пропорциональна интенсивности падающего света, а это противоречит второму закону фотоэффекта. Кроме того, будь свет непрерывной электромагнитной волной, внешний фотоэффект, практически мгновенный, должен был бы обладать инерцией – ведь на «раскачку» электронов электромагнитной волной требуется некоторое время. Красной границы по классической теории тоже не должно быть – фотоэффект должен был бы наблюдаться на любых частотах, но при разных освещенностях, так как энергия волны пропорциональна не только квадрату амплитуды, но и квадрату частоты.
Чтобы объяснить эти загадочные закономерности фотоэффекта А. Эйнштейн использовал и развил квантовую гипотезу Планка: он предположил, что излучение не только испускается, но и распространяется, и поглощается также отдельными порциями – квантами, каждый из которых локализован в пространстве и имеет энергию hν, пропорциональную частоте.
По Эйнштейну, внешний фотоэффект представляет собой взаимодействие электрона с одним квантом. Электрон, находящийся внутри вещества, поглотив квант излучения, либо покинет вещество, либо останется внутри него. Это зависит от того, что больше: энергия поглощенного кванта hν или работа выхода электрона. Если энергия кванта больше работы выхода Ав, электрон сможет покинуть катод, совершив работу выхода, а превышающая ее часть энергии кванта пойдет на придание фотоэлектрону кинетической энергии
(1.9)
– уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Оно представляет собой закон сохранения и превращения энергии применительно к фотоэффекту и позволяет объяснить все его законы: работа выхода электрона из металла зависит только от природы вещества (находится по справочным данным), поэтому для данного фотокатода скорость фотоэлектронов действительно должна зависеть от частоты света, а не от его интенсивности.
Становится понятным и существование красной границы фотоэффекта – с уменьшением частоты падающего света уменьшается поглощенная электроном энергия, и когда она станет равна работе выхода, фототок прекратится:
, или , (1.10)
то есть красная граница фотоэффекта зависит только от природы вещества.
Наконец, раз каждый из квантов взаимодействует лишь с одним электроном, общее число фотоэлектронов должно быть пропорционально чис-
лу падающих квантов, то есть интенсивности света.
Внешний фотоэффект широко применяется в технике для превращения энергии излучения в электрическую энергию – в различных фотоэлементах и фотореле, управляющих электрическими цепями, для воспроизведения звука в кино.
Давление света. Квантовый характер излучения был экспериментально подтвержден не только фотоэффектом, но и опытами П.Н. Лебедева, который установил, что свет, падающий на какую-либо поверхность, оказывает на нее давление, зависящее от светового потока и отражающей способности поверхности:
, или , (1.11)
где – давление света, с – скорость света, n – число фотонов, падающих на единицу площади освещаемой поверхности в единицу времени, Ее – энергетическая освещенность, R – коэффициент отражения поверхности.
Давление естественного света очень мало для идеально отражающей поверхности (R ~ 1) оно на десять порядков меньше атмосферного давления у поверхности земли.
Опыты Лебедева позволили предположить, что квант электромагнитного излучения обладает не только энергией, но и импульсом, который он может передавать, взаимодействуя с веществом, то есть ведет себя как частица – фотон.
Существование фотонов как частиц света, обладающих импульсом, а, следовательно, и массой, получило новое подтверждение с открытием в 1923 г. эффекта Комптона.
Эффект Комптона – это увеличение длины волны излучения при его рассеянии на электронах или нуклонах.
Американский физик Артур Комптон исследовал рассеяние рентгеновского излучения на легких веществах (парафин, графит), в которых энергия связи электронов с ядром много меньше энергии квантов излучения, поэтому электроны можно считать свободными. Схема опыта Комптона приведена на рис. 1.4.
Рис. 1.4
Поток монохроматического излучения с длиной волны λ от рентгеновской трубки P, вырезанной диафрагмами Д, падал на рассеивающее вещество К и после рассеивания на угол φ попадал в спектрограф S, где измерялась длина волны рассеянного излучения.
Оказалось, что длина волны рассеянного излучения λ' больше длины волны падающего излучения λ, причем разность зависит только от угла рассеяния:
, или , (1.12)
где – комптоновская длина волны электрона.
Согласно волновой теории света Комптон-эффект необъясним – ведь волновая теория рассматривает рассеяние излучения на электронах как вынужденные колебания электронов вещества под действием первичной световой волны, а вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, то есть рассеянное излучение должно иметь ту же частоту (а значит и длину волны), что и падающее.
Однако если предположить, что световой квант, попадая на электрон атома рассеивающего вещества, ведет себя так, как частица, обладающая импульсом, совпадающим по направлению с направлением распространения света, закономерности Комптон-эффекта легко объяснимы из схемы, приведенной на рис. 1.5.
Рис. 1.5
Фотон первичного излучения имеет импульс Рф и распространяется в направлении, указанном стрелкой. В точке е фотон рассеивается на электроне, то есть испытывает упругое соударение с электроном, который по сравнению с квантом можно считать неподвижным и свободным. При упругом соударении подвижная частица теряет энергию, а покоившаяся получает: после рассеяния фотон имеет меньший по модулю импульс , а электрон, с которым он взаимодействовал (так называемый электрон отдачи) получает импульс Ре, подчиняющийся закону сохранения импульса. Тогда при заданном значении начального импульса импульс рассеянного фотона будет зависеть от угла рассеяния φ. Импульс частицы – это произведение массы на скорость, тогда импульс фотона , где – масса фотона, а с – скорость света.
Используя формулу связи энергии и массы из теории относительности и формулу энергии кванта , получим выражение для массы фотона:
, (1.13)
где λ – длина волны излучения.
Масса покоя фотона равна нулю, фотоны существую только в движении со скоростью света. Импульс фотона обратно пропорционален длине волны, и в вышеприведенной схеме комптоновского рассеяния длина волны рассеянного фотона действительно должна быть больше начальной и увеличиться с ростом угла рассеяния.
Краткие выводы
Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела, называется тепловым.
Тепловым излучателем может быть любое тело, нагретое до некоторой температуры.
Излучательная способность теплового излучателя (энергетическая светимость) – это энергия, испускаемая в единицу времени с единицы поверхности излучателя.
Поглощательная способность тела характеризуется отношением поглощенного излучения к излучению, упавшему на поверхность тела.
Тело, поглощательная способность которого равна единице, называется абсолютно черным.
Тепловое излучение абсолютно черного тела при установившейся температуре подчиняется законам Кирхгофа, Стефана-Больцмана, первому и второму законам Вина.
Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается в виде порций энергии – квантов.
Кванты (фотоны) имеют массу и импульс.
Вопросы для самоконтроля и повторения
Примеры решения задач
Дано: ; .
Найти: , где N – мощность излучения АЧТ.
Решение
Длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости связана с температурой законом смещения Вина:
, где .
Найдем отсюда выражения для температур, соответствующих заданным длинам волн:
; .
Мощность N излучения АЧТ связана с энергетической светимостью Rэ соотношением
,
где S – площадь излучателя.
Энергетическая светимость АЧТ связана с его температурой законом Стефана-Больцмана
,
где – постоянная Стефана-Больцмана.
Выразим энергетические светимости, соответствующие температурам Т1 и Т2:
; .
Выразим соотношение мощностей n:
.
Подставляя численные значения, получим
.
Ответ: мощность излучения увеличится в 16 раз.
2. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод и начальную скорость вырываемых этим светом фотоэлектронов, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5 В.
Дано: ;.
Найти: , .
Решение
Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, энергия поглощенного кванта тратится на совершение фотоэлектроном работы выхода А и придание ему кинетической энергии Е:
.
Если фотокатод освещать светом с длиной волны, равной красной границе, вся энергия поглощенного фотона идет на совершение работы выхода:
.
Кинетическую энергию фотоэлектронов можно найти через задерживающую разность потенциалов: раз фотоэлектроны задерживаются разностью потенциалов , то их кинетическая энергия полностью расходуется на работу против сил тормозящего поля, следовательно,
,
где е – заряд электрона.
Тогда уравнение Эйнштейна можно переписать в виде
.
Отсюда найдем длину волны падающего света:
.
Подставив численные значения, получим:
.
Найдем начальную скорость фотоэлектронов:
,
откуда
,
где – масса покоя электрона.
Подставляя численные значения, получим:
.
Ответ: , .
3. Угол рассеяния фотона с энергией 1,2 МэВ на свободном электроне равен 600. Найти длину волны рассеянного фотона, энергию и импульс электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.
Дано: ; .
Найти: , , .
Решение
Найдем длину волны падающего фотона:
;
.
Найдем комптоновское увеличение длины волны по формуле
,
где – масса покоя электрона, равная :
.
Найдем длину волны рассеянного фотона:
.
Найдем энергию рассеянного фотона:
;
.
По закону сохранения энергии, электрон отдачи получит при комптоновском рассеянии кинетическую энергию Ее, равную разности энергий первичного и рассеянного фотонов:
.
Грубая прикидка показывает, что скорость электрона отдачи, получившего такую энергию, будет сравнима со скоростью света, следовательно, электрон отдачи надо рассматривать, как релятивистскую частицу. До взаимодействия с фотоном электрон обладал энергией покоя . После взаимодействия с фотоном полная энергия электрона . Для релятивистской частицы в любой системе отсчета . Отсюда импульс электрона отдачи
Ответ: , ,
4. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм, производя давление . Определить число фотонов, падающих на 1 м2 поверхности в 1 с и концентрацию фотонов вблизи поверхности.
Дано: ; ; R = 0; S = 1 м2; t = 1 с.
Найти: n, n0.
Решение
Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения R вычисляется по формуле
.
Найдем отсюда число фотонов, падающих на единицу площади поверхности в единицу времени n:
.
Выражая частоту через длину волны, получим:
.
Подставив численные значения, получим:
.
Концентрация фотонов 0 – это их количество в единице объема. Поскольку за время 1 с на единицу поверхности попадут все фотоны, отстоящие от нее на расстояние, численно равное скорости света в вакууме , то определенная нами величина n есть число фотонов, заключенное внутри параллелепипеда с основанием 1 м2, высотой с и объемом . Тогда концентрация фотонов в единице объема
.
Ответ: ; .
Задачи для самостоятельного решения
а) на свободных электронах;
б) на свободных протонах.
Глава 2. Основы квантовой механики
свойств света
Такие явления, как интерференция и дифракция света, убедительно свидетельствуют о волновой природе света. В то же время закономерности равновесного теплового излучения, фотоэффекта и эффекта Комптона можно успешно истолковать только на основе квантовых представлений о свете, как о потоке дискретных фотонов. Однако волновой и квантовый (корпускулярный) способы описания света не противоречат, а взаимно дополняют друг друга, так как свет одновременно обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами. Он представляет собой диалектическое единство этих противоположных свойств.
Основные уравнения, связывающие волновые свойства света (частоту и длину волны в вакууме ) и его корпускулярные свойства (энергию фотона и импульс фотона ),
и постоянная Планка).
Волновые свойства света играют определяющую роль в закономерностях его распространения, интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные – в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны света, тем меньше импульс и энергия фотона и тем труднее обнаружить квантовые свойства света. Например, внешний фотоэффект происходит только при энергиях фотонов, больших или равных работе выхода электрона из вещества. Чем меньше длина волны электромагнитного излучения, тем больше энергия и импульс фотонов и тем труднее обнаружить волновые свойства этого излучения. Например, рентгеновское излучение дифрагирует только на очень «тонкой» дифракционной решетке – кристаллической решетке твердого тела.
2.2. Спектр водорода. Постулаты Бора
Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском электрическом поле ядра. Водородоподобными ионами (изоэлектронными водороду) называют ионы Не+, Li++, Be+++ и т.д., имеющие ядро с зарядом Ze и один электрон.
Среди оптических свойств атома важнейшим является его спектр излучения. Частоты линий в дискретном линейчатом спектре атома водорода описываются формулой Бальмера – Ридберга
(2.1)
где с – скорость света в вакууме; n и n1 – положительные целые числа, причем n1>n. Величина R называется постоянной Ридберга ().
Целые числа n и n1 называются главными квантовыми числами, причем и т.д. Группа линий с одинаковым числом n называется серией. Серии линий водородного спектра: – серия Лаймана, – серия Бальмера, – серия Пашена, – серия Брэкета, – серия Пфунда, – серия Хэмфри.
Для водородоподобных ионов формула Бальмера-Ридберга имеет вид
(2.2)
где Z – порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева.
Спектр и энергетические уровни атома водорода были объяснены впервые с помощью постулатов Бора.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существует набор стационарных состояний, находясь в которых атом не излучает электромагнитные волны. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым электроны движутся с ускорением, но излучение света при этом не происходит.
Правило квантования орбит: в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:
(). (2.3)
Здесь – масса электрона, – его скорость, r – радиус орбиты, .
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон. Излучение фотона происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. При обратном переходе происходит поглощение фотона. Энергия фотона равна модулю разности энергий в двух состояниях атома:
. (2.4)
При происходит излучение фотона, при – его поглощение.
2.3. Корпускулярно-волновая двойственность
свойств частиц вещества. Волны де Бройля
Физика атомов, молекул и их комплексов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Объекты микромира, изучаемые квантовой механикой, имеют линейные размеры порядка 10-610-12 см. Если частицы движутся со скоростями , где с – скорость света в вакууме, то применяется нерелятивистская квантовая механика.
Основополагающей в квантовой механике служит идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер. Все движущиеся частицы обладают волновыми свойствами.
Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса частицы
, (2.5)
где – масса частицы, – ее скорость, – постоянная Планка. Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.
Другой вид формулы де Бройля:
,
где – волновой вектор, модуль которого – волновое число (число длин волн, укладывающихся на единицах длины), – единичный вектор в направлении распространения волны, .
Длина волны де Бройля для частицы с массой , имеющей кинетическую энергию ,
(2.6)
В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов вольт
Ǻ (1 Ǻ = 10-10 м – ангстрем).
Формула де Бройля экспериментально подтверждается опытами по рассеянию электронов и других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещество. Признаком волнового процесса во всех таких опытах служит дифракционная картина распределения электронов (или других частиц) в приемниках частиц.
Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным.
2.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
Волновые свойства микрочастиц вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле.
В классической физике также существуют ограничения в применении некоторых понятий к определенным объектам. Так, понятие температуры не имеет смысла применять для одной молекулы, понятие о точной локализации (пребывание в одной точке) неприменимо к определению положения в пространстве волны и т.д. Однако в классической механике определенному значению координаты частицы соответствуют точные значения ее скорости и импульса. В квантовой механике существуют ограничения в возможности одновременного точного определения координаты частицы и величины ее импульса. Эти ограничения связаны с корпускулярно-волновой двойственностью свойств микрочастиц.
Соотношениями неопределенностей Гейзенберга называются неравенства
. (2.7)
Здесь , и означают интервалы координат, в которых может быть локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекции ее импульса по осям координат заключены в интервалах , и соответственно.
Примечание. Иногда соотношения неопределенностей Гейзенберга записывают также в виде , , . При этом под и понимают среднеквадратичные отклонения координат и проекций импульса частицы от их средних значений
Соотношения Гейзенберга показывают, что координаты частицы и проекции ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения в точности равные и , и , и . Эти физические величины могут иметь значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями Гейзенберга. Чем более точно определено положение частицы, т.е. чем меньше , и , тем менее точно определены значения проекций ее импульса (т.е. тем больше и ). Если положение частицы на оси ОХ определено точно и , то и значение проекции импульса становится совершенно неопределенным.
Соотношения неопределенностей накладывают в квантовой механике определенные ограничения на возможности описания движения частицы по некоторой траектории.
В классической теории в каждой точке траектории частица имеет определенные координаты и определенный импульс с проекциями по осям . В квантовой механике это реализуется только в тех случаях, когда частица движется в макроскопической области пространства (например, оставляет след на фотопластинке или экране осциллографа). Если, например, положение электрона зафиксировано с точностью, определяемой линейными размерами зерна фотоэмульсии, испытывающего воздействие электрона, то . Этому соответствует неопределенность импульса и скорости . Эта неопределенность при скоростях электронов порядка позволяет считать, что электрон движется по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.
Если частица движется в макроскопической области пространства, то соотношения неопределенностей существенно сказываются на характере движения частицы. Например, положение электрона, движущегося в атоме, может быть определено с точностью до размеров атома, то есть . Неопределенность скорости оказывается при этом такого же порядка, что и сама скорость: . Траектория электрона в атоме с точно заданной в каждой точке скоростью не имеет смысла. Это вовсе не означает, что соотношения неопределенностей свидетельствуют о принципиальной ограниченности наших знаний о микромире. Эти соотношения лишь отражают ограниченную применимость понятий классической физики в области микромира.
Соотношения неопределенностей не вносят ограничений в возможность использовать в классическом смысле понятия координаты и импульса для макроскопических тел. Волновые свойства у таких тел не проявляются и поэтому для макроскопических тел соотношения неопределенностей не играют никакой роли.
Соотношение неопределенностей для энергии и времени :
, (2.8)
где – неопределенность энергии частицы, которая находится в течение времени в состоянии с энергией . Энергия частицы в данном состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находится в этом состоянии.
2.5. Уравнение Шредингера
Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси-функции) . Вероятность того, что частица находится в момент времени в малом объеме вблизи точки , равна
, (2.9)
где – квадрат модуля -функции: . Здесь – функция, комплексно сопряженная с . Величина есть плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства:. Интенсивность волны де Бройля определяется величиной .
Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины , характеризующей объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией ,
,
где – среднее значение величины .
Временным уравнением Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики относительно волновой функции . Оно определяет - функцию для микрочастиц, движущихся в силовом поле с потенциальной энергией со скоростью , где – скорость света в вакууме. Уравнение Шредингера имеет вид
(2.10)
где – оператор Лапласа, – масса частицы, , – постоянная Планка, – мнимая единица.
Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на - функцию:
а) функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
б) производные должны быть непрерывны;
в) функция должна быть интегрируема, то есть интеграл должен быть конечным.
В случае, когда функция не зависит от времени , решение временного уравнения Шредингера имеет вид , причем координатная часть волновой функции удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:
(2.11)
где – полная энергия частицы. Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном виде , называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях , называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции , энергетический спектр частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.
Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией , то вероятность обнаружить ее в элементе объема не зависит от времени:. Такое состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны.
2.6. Движение свободной частицы
При свободном движении частицы ее энергия совпадает с кинетической энергией. Если ось ОХ направлена вдоль вектора скорости частицы , то стационарное уравнение Шредингера имеет следующее решение:
(2.12)
где – масса частицы, , – постоянная Планка, и – некоторые постоянные.
Сравнивая это выражение с общим выражением для плоской монохроматической волны
,
можно видеть, что в квантовой механике движению свободной частицы вдоль оси соответствует суперпозиция (наложение) двух плоских монохроматических волн, распространяющихся вдоль этой оси в противоположных направлениях с одинаковой циклической частотой и разными амплитудами – А в положительном направлении оси и В – в отрицательном.
Свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля с волновым числом :
.
Волновое число может принимать любые положительные значения, поэтому и энергия W свободной частицы может принимать любые значения, то есть ее энергетический спектр является непрерывным.
Плотность вероятности обнаружения частицы во всех точках пространства одинакова. Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси ОХ
.
2.7. Частица в одномерной потенциальной яме
бесконечной глубины
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы монотонно возрастает по мере удаления от точки, где эта энергия минимальна. На рис. 2.1 изображена одномерная потенциальная яма бесконечной глубины с «плоским дном»:
при при и .
Рис. 2.1
Стационарное уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме имеет вид
(2.13)
при краевых условиях , означающих, что и вне области т.е. что вероятность найти частицу вне потенциальной ямы равна нулю.
Решение уравнения Шредингера
(2.14)
где и – постоянные, – волновое число. Из краевых условий следует, что , и , то есть волновое число принимает ряд дискретных значений соответствующих требованию , где
Последнее уравнение означает, что
или .
На длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.
Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными (квантование физических величин). Собственные значения энергии частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины
(2.15)
представляют собой дискретный ряд значений энергии, которая является квантованной. Таким образом, энергетический спектр такой частицы является дискретным, в отличие от свободной частицы.
Квантованные значения называются уровнями энергии, а число , определяющее энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом.
При больших квантовых числах происходит относительное сближение энергетических уровней частицы в потенциальной яме: отношение , где . Неравенство при означает, что квантование энергии при больших квантовых числах дает результаты, близкие к результатам, которые получаются в классической физике, – энергетические уровни становятся квазинепрерывными (квазинепрерывность энергетических уровней при ).
Принцип соответствия Бора: выводы и результаты квантовой механики при больших квантовых числах должны соответствовать классическим результатам.
Более общая формулировка принципа соответствия: между любой физической теорией, которая является развитием классической, и первоначальной классической существует закономерная связь – в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. Например, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят в формулы механики Ньютона при таких скоростях, когда . Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики, если можно пренебречь величиной длины волны .
2.8. Линейный гармонический осциллятор
Линейным одномерным гармоническим осциллятором называется частица с массой , которая колеблется с собственной циклической частотой вдоль некоторой оси ОХ под действием квазиупругой силы , пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия: . Здесь – коэффициент квазиупругой силы, связанный с и соотношением . Потенциальная энергия гармонического осциллятора
.
Амплитуда малых колебаний гармонического осциллятора в классической физике определяется запасом его энергии (рис. 2.2). В точках и с координатами энергия равна потенциальной энергии: где а – амплитуда колебаний классического гармонического осциллятора. За пределы области такой осциллятор выйти не может.
Рис. 2.2
В квантовой физике колебания линейного гармонического осциллятора изучаются с помощью стационарного уравнения Шредингера
. (2.16)
Собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора
, (2.17)
где , – собственная циклическая частота, представляют собой совокупность равностоящих друг от друга энергетических уровней, изображенных на рис. 2.3. При и энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантовой энергии осциллятора , которые постулировал Планк в теории излучения абсолютно черного тела.
Рис. 2.3
Наименьшая энергия, которую может иметь линейный гармонический осциллятор, называется нулевой энергией :
(при ). (2.18)
В классической физике и в теории Планка считалось, что (при ). Это означает, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Атомы-осцилляторы при температуре абсолютного нуля (Т=0) не должны, согласно классической физике, совершать колебания. В квантовой механике доказано, что нулевая энергия гармонического осциллятора не может быть от него отнята при любом охлаждении, вплоть до абсолютного нуля. Нулевой энергии осциллятора соответствуют его нулевые колебания. В квантовой механике нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц. При температурах, близких к абсолютному нулю, вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) рассматриваются как колеблющиеся осцилляторы. Нулевая энергия является наименьшей энергией, которой должен обладать квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии (при ) для того, чтобы выполнялись соотношения неопределенностей.
2.9. Туннельный эффект
Согласно представлениям классической механики частица с энергией не может преодолеть потенциальный барьер, то есть перейти из области до в область или обратно (рис. 2.4). Для такого перехода ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную или большую .
В квантовой механике есть отличная от нуля вероятность того, что частица, энергия которой , может пройти («просочиться») сквозь потенциальный барьер. Это явление называется туннельным эффектом. Оно обусловлено волновыми свойствами частиц. Вероятность просачивания частицы называется прозрачностью (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера для этой частицы, причем
,
где – интенсивность волны де Бройля частицы, прошедшей сквозь потенциальный барьер, – интенсивность волны де Бройля частицы, падающей на барьер.
Для прямоугольного потенциального барьера высотой и шириной (рис. 2.4) прозрачность барьера выражается формулой
. (2.19)
Здесь – масса частицы, – ее энергия.
Рис. 2.4 Рис. 2.5
Для потенциального барьера сложной формы
, (2.20)
где и – координаты начала и конца потенциального барьера для данного значения энергии (рис. 2.5). В этих формулах – постоянный коэффициент, близкий к единице.
Туннельный эффект играет заметную роль, когда прозрачность барьера не слишком мала. Это осуществляется в тех случаях, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами. Например, при для электрона при имеем . При и остальных тех же условиях . Прозрачность барьера уменьшается с увеличением массы частицы и разности .
2.10. Атом водорода. Пространственное квантование
Стационарное уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного иона имеет вид
, (2.21)
где – потенциальная энергия электрона, находящегося на расстоянии от ядра, – электрическая постоянная, – энергия электрона в атоме.
Решение стационарного уравнения Шредингера для электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра приводит к следующим результатам:
1. Момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле
, (2.22)
где орбитальное квантовое число l, определяющее модуль момента импульса, изменяется в пределах –главное квантовое число.
В зависимости от значений орбитального квантового числа приняты следующие обозначения состояний электрона в атомах:
-состояние при , – состояние при ,
-состояние при , – состояние при и т.д.
Состояние электрона в атоме водорода при называется основным состоянием. Это состояние является сферически симметричным.
2. При , когда электрон «связан» в атоме, его движения являются периодическими, а значения энергии квантованы. Собственные значения определяются по формуле
, (2.23)
где – главное квантовое число ().
Как следует из условий квантования орбитального момента импульса, квантовая механика, в отличие от классической, допускает нулевое значение орбитального момента импульса электрона (s-состояние), что по классической модели соответствует маятникообразному движению электрона через центр атома ().
Классическая механика и теория Бора, рассматривая электрон в атоме, как частицу массой , движущуюся со скоростью по орбите радиуса r, определяют момент импульса электрона, связанный с его орбитальным движением, как вектор , направление которого определяется по правилу правого винта (рис. 2.6), а модуль .
Рис. 2.6
Пространственным квантованием называется доказанное в квантовой механике существование определенных дискретных ориентаций в пространстве вектора момента импульса электрона в атоме. Возможны лишь такие ориентации , при которых проекция вектора на направление внешнего магнитного поля (ось OZ) принимает значения
, (2.24)
где – целое число, которое называется магнитным квантовым числом и принимает значения , а – орбитальное квантовое число.
В связи с тем, что вектор орбитального момента импульса электрона пропорционален орбитальному магнитному моменту электрона, из пространственного квантования следует, что вектор орбитального магнитного момента электрона во внешнем магнитном поле не может принимать произвольных ориентаций.
Опытным путем было установлено, что наблюдается пространственное квантование магнитных моментов атомов с одним внешним валентным электроном, находящимся в -состоянии (). В таком состоянии атомов у них отсутствует орбитальный момент импульса (). Пространственное квантование, обнаруженное в таких опытах, относилось к спину электрона – собственному моменту импульса электрона, являющемуся его неотъемлемым свойством (как, например, масса) и не зависящему от состояния электрона. Опыты подтвердили наличие двух возможных ориентаций вектора спина во внешнем магнитном поле: либо по направлению поля, либо противоположно ему.
Абсолютная величина спинового момента импульса электрона находится по формуле
, (2.25)
где – спиновое квантовое число электрона. Поэтому численное значение спина электрона равно
.
Пространственное квантование спина означает, что проекция вектора спина на направление внешнего магнитного поля находится по формуле
, (2.26)
где – магнитное спиновое число, которое отличается от спинового числа тем, что может принимать два значения: не только , но и .
Периодическая система элементов Менделеева
Простейшая формулировка принципа Паули (принципа исключения): в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел – главного , орбитального , магнитного и спинового .
Принципу Паули, кроме электронов, подчиняются другие частицы, имеющие полуцелый спин (в единицах ). В любой системе фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одинаковых квантовых состояниях.
Для электронов в атоме принцип Паули записывается следующим образом:
или 1,
где – число электронов в состоянии, характеризуемом данным набором квантовых чисел.
Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых набором трех квантовых чисел , , и отличающихся только ориентацией спинов электронов, равно
,
ибо спиновое квантовое число может принимать лишь два значения: и .
Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами и :
.
При этом учтено, что вектор при заданном может принимать в пространстве различных ориентаций.
Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением главного квантового числа:
.
Систематика заполнения электронных состояний в атомах и периодичность изменения свойств химических элементов позволяют расположить все химические элементы в периодическую систему элементов Менделеева.
Современная теория периодической системы основывается на следующих положениях:
а) порядковый номер Z химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента;
б) состояние электронов в атоме определяется набором четырех квантовых чисел и . Распределение электронов в атомах по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума энергии атома, т.е. с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией;
в) заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули.
Электронным слоем называется совокупность электронных состояний в атоме с одинаковым значением главного квантового числа . Различаются следующие электронные слои: при , при , при , при и т.д.
Внутри электронного слоя электроны распределяются по оболочкам, каждая из которых соответствует своему значению орбитального квантового числа .
Порядок заполнения электронами в атомах энергетических состояний в слоях, а в пределах одного слоя – в оболочках должен соответствовать последовательности расположения энергетических уровней с данными и и принципу Паули. Для легких атомов этот порядок соответствует тому, что сначала заполняется слой с меньшим значением и лишь затем должен заполняться состоянием с , а затем состояния с большими , вплоть до .
Нарушения указанного порядка начинаются с калия (Z=19) и объясняются следующим образом. Взаимодействия между электронами в атоме приводит при достаточно больших главных квантовых числах к тому, что состояния с большим и меньшими могут иметь меньшую энергию, то есть быть энергетически более выгодными, чем состояния с меньшим , но с большим . Поэтому при раньше застраиваются те же электронные оболочки, для которых значение минимально. В результате имеются химические элементы с недостроенными предыдущими слоями, у которых застраиваются последующие. Химические элементы, у которых происходит достройка предыдущих слоев при уже частично заполненных последующих оболочках, называются переходными элементами.
Внешними (валентными) электронами атома называются электроны данного атома, которые в слое с небольшим значением входят в состав и оболочек, т.е. имеют или . Этими электронами определяются химические и оптические свойства атомов. Общее число электронов в и подгруппе равно 8. В основе большинства химических реакций лежит отдача или присоединение внешних (валентных) электронов. Если у атома имеется менее чем наполовину занятая ()-оболочка состояний, то для него энергетически выгодна отдача валентных электронов. В противоположном случае, когда ()-оболочка у атома более чем наполовину занята электронами, более выгодно энергетически оказывается присоединение к такому атому электронов от других атомов в процессе химических реакций.
Строение электронных оболочек атомов объясняет периодическую систему Д.И. Менделеева, открытую им в 1869 г. и явившуюся одним из важнейших законов физики и химии.
Краткие выводы
.
.
.
, .
.
.
, , .
, , , .
.
Вопросы для самоконтроля и повторения
Примеры решения задач
1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.
Дано: n = 4; k = 2.
Найти: ε
Решение
Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных атомов
, (1)
где λ – длина волны фотона, R – постоянная Ридберга, Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода), k – номер орбиты, на которую перешел электрон, n – номер орбиты, с которой перешел электрон.
Энергия фотона выражается формулой . Подставив в это выражение равенство (1), получим для энергии фотона .
Так как величина есть энергия ионизации атома водорода (13,6 эВ), то для атома водорода (Z=1) энергия фотона при переходе электрона с четвертого энергетического уровня на второй составит:
.
Ответ: .
2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода равна 10 эВ. используя соотношение неопределенностей, оценить максимальные линейные размеры атома.
Дано: Ек = 10 эВ = 1,6·10-19 Дж.
Найти: .
Решение
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид: , где – неопределенность координаты электрона, – неопределенность импульса электрона.
Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью . В этом случае соотношение неопределенностей запишем в виде , откуда . Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса , то есть . Импульс связан с кинетической энергией соотношением . Заменим на (такая замена не увеличит значение ). Переходя от неравенства к равенству, получим:
.
Ответ: .
3. Электрон с энергией 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?
Дано: ; ; ;.
Найти: L.
Решение
Вероятность Д прохождения частицы через потенциальный барьер (коэффициент прозрачности барьера) для прямоугольного барьера определяется соотношением
, где , .
Потенцируя это выражение, получим
. Отсюда .
Так как , а , то ширина потенциального барьера составит
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Глава 3. Физика излучений
3.1. Спектры атомов
По теории Бора для атома с тремя электронными оболочками n=3 соответствующее число фотонов тоже равно трем: hν3-1, hν3-2, hν2-1.
Если рассмотреть атом по квантовой механике, то для первой электронной оболочки : n=1, l=0, ml=0, ms= ±½.
Для второй электронной оболочки: n=2, l=0, ml=0, ms= ±½.
ml=0, ms= ±Ѕ.
l=1, ml=1, ms=±Ѕ.
ml=-1, ms=±Ѕ.
Для третей электронной оболочки: n=3, l=0, ml=0, ms=±½.
ml=0, ms= ±½.
ml=-1, ms= ±½.
l=1, ml=1, ms=±½.
ml=0, ms= ±½.
l=2, ml=-1, ms=±½.
ml=2, ms=±Ѕ.
ml=-2, ms=±Ѕ.
Соответственно переходы между подуровнями дадут соответствующие фотоны.
2S→1S, 2p→1S
3S→1S, 3S→2S
3S→2P, 3p→1S
3p→2S, 3d→1S
3d→2S, 3d→2S
Но переходы между одинаковыми подуровнями запрещены, поэтому фотонов будет меньше.
Данная теория используется для спектрального анализа вещества.
3.2. Рентгеновские спектры
Большую роль в исследованиях строения и свойств электрон ах оболочек атомов сыграли лучи, открытые в 1895 г. В. Рентгеном и названные в его честь рентгеновскими лучами.
Рентгеновские лучи возникают при торможении веществом быстрых электронов. Для получения рентгеновских лучей служат спе циальные электровакуумные приборы – рентгеновские трубки, состоящие из вакуумированного стеклянного или металлического кор пуса, в котором на определенном расстоянии друг от друга находятся катод и анод, включенные в цепь высокого напряжения. В рентге новских трубках катод служит источником электронов, а анод (антикатод) – источником рентгеновских лучей. Между катодом и анодом создается сильное электрическое поле, разгоняющее электроны до энергий 104 – 105 эВ. Для получения электронов столь высоких энергий в рентгеновских трубках создается вакуум ~ 10-6 мм. рт. ст.(10-9Па).
Рентгеновские лучи возникают в результате преобразования кинетической энергии быстрых электронов в энергию электромагнитного излучения и представляют собой электромагнитные волны с длиной волны порядка от 0,01 А до 800 А. Волновая электромагнитная природа рентгенов ских лучей полностью доказывается опытами по дифракции рентге новских лучей. Кроме того, с рентгеновскими лучами были осуществлены интерференционные и дифракционные опыты, аналогичные опытам с зеркалами Френеля и дифракции на щели, хотя малая длина волны рентгеновских лучей сильно затруд няла осуществление этих экспериментов. Тем не менее, эти опыты были осуществлены, и волновая электромагнитная природа рентгеновских лучей была твердо установлена.
Для обнаружения рентгеновских лучей используются раз личные их действия. Рентгеновские лучи в сильной степени дейст вуют на фотопластинку, обладают высокой способностью ионизировать газы, вызывают флуоресцентное свечение в так называемых люминофорах. Для измерения интенсивности рентгеновских лучей исполь зуются главным образом их фотохимическое и ионизирующее действия. В специальных ионизационных камерах интенсивность рентгеновского излучения измеряется по величине силы тока насы щения, возникшего в результате ионизации газа, заключенного в камере. Сила этого тока пропорциональна интенсивности рент геновского излучения.
Экспериментальные исследования показали, что существуют два типа рентгеновских лучей. При энергиях электронов, не превы шающих некоторой критической величины, зависящей от материала антикатода, возникают рентге новские лучи со сплошным спектром, подобным спектру белого света. Такое рентгеновское излучение называется бе лым. Белое рентгеновское излучение, как показали подробные исследования, вызывается торможением быстрых элек тронов при их движении в веществе. Поэтому белое излучение называют так же тормозным. Таким образом, этот тип рентгеновских лучей испускается самими электронами, движущимися в веще стве. Согласно классической теории из лучения, при торможении движущегося заряда должно действительно возникать излучение с непрерывным спектром. Однако сплошной рентгеновский спектр отличается важнейшей особенностью — он ограничен со стороны ма лых длин волн некоторой границей λ min, называемой границей сплошного спектра.
На рис. 3.1 изображены сплошные рентгеновские спектры для вольфрама при различной разности потенциалов между электродами рентгеновской трубки. Наличие границы λmin не может быть истолковано с классической волновой точки зрения на природу рентгеновского электромагнитного излучения: непрерывный спектр тормозного излучения согласно этим представлениям не должен быть ограничен со стороны малых длин волн (больших частот). Исследования показали, что граничная длина волны λmin зависит от кинетической энергии WK электронов, вызывающих тормозное рентгеновское излучение. При увеличении WK длина волны λmin уменьшается. Существование границы сплошного рентгеновского спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия hvmax рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда равенство
где φ0 – разность потенциалов, за счет которой электрону сообщена энергия Wк. Переходя от частоты к длине волны, получим
(3.1)
Рис. 3.1
Формула (3.1) полностью соответствует экспериментальным дан ным и лежит в основе одного из методов экспериментального опре деления постоянной Планка h. Значение h, полученное из измере ний коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, является одним из наиболее точных и достоверных.
Вторым типом рентгеновских лучей является так называемое характеристическое рентгеновское излучение. Свое название оно получило вследствие того, что этот тип рентгеновских лучей харак теризует вещество антикатода. Характеристическое рентгеновское излучение имеет линейчатый спектр. Важная особенность этих спектров состоит в том, что атомы каждого химического элемента независимо от того, в каких химических соединениях они нахо дятся, обладают своим, вполне определенным, линейчатым спектром характеристических рентгеновских лучей. В этом заключается отли чие линейчатых рентгеновских спектров от оптических линейчатых спектров, которые существенно различаются для атомов, находя щихся в свободном состоянии и в химических соединениях. Мы убедимся в этом различии подробнее при изучении спектров моле кул. Существование такого различия может быть понято из следующих общих соображений. Мы уже видели, что оптические линейчатые спектры атомов связаны с поведением внешних валент ных электронов. При образовании химических соединений состояния этих электронов изменяются, что не может не сказаться на оптическом спектре. Тот факт, что рентгеновские линейчатые спектры являются индивидуальной характеристикой атома, не изменяю щейся при вступлении его в химические соединения, указывает на то, что возникновение характеристических рентгеновских лучей связано с процессами, происходящими в глубинных, застроенных электронных оболочках атомов, которые не изменяются при химических. реакциях атомов. Как и оптические спектры, линейчатые рентгеновские спектры состоят из линий, составляющих несколько серий. Однако в отличие от серий оптических спектров, имеющих множество линий и обнаруживающих большое разнообразие, у атомов разных химических элементов серии рентгеновских линейчатых спектров имеют небольшое число линий. Особенно важно, что у разных элементов обнаруживаются однотипные серии линий, отличающиеся лишь тем, что у атомов более тяжелых элементов сходные серии линий смещены в сторону более коротких волн.
В порядке возрастания длин волн серии характеристический рентгеновских лучей называются соответственно К-, L-, М-, N- сериями. Эти названия, как будет показано ниже, связаны с происхождением линий этих серий.
Физический смысл появления линейчатых характеристиче ских рентгеновских спектров был выяснен в боровской теории атома. В атомах с большим атомным номером Z внутренние электронные оболочки K, L, М и др. пол ностью заполнены электронами. При удалении электрона с одной из внутренних оболочек на освободившееся место переходит электрон из более удаленной от ядра оболочки и излучается рентгеновский квант. Если например, электрон удаляется из самой внутренней K-оболочки атома под действием налетающего на атом электрона или первичного жесткого излучения, то на его место может перейти электрон с L-, М-, N- и других оболочек. Такой переход связан с испусканием квантов с определенной энер гией и возникновением линий рентгеновской K-серии. Очевидно, что для вырывания электрона из K-оболочки, наиболее близкой к ядру, где электроны испытывают наибольшее к ядру притяжение, требуется затрата значительной энергии – работы вырывания электрона. Энергия налетающего электрона или первичного налетающего кванта должна быть по крайней мере равна этой работе. Поэтому для каждого атома существует определенная граница возбуждения K-серии. Например, для ртути (Z = 80) она составляет около 82 кэВ. Переходу электрона с L-оболочки на K-оболочку соответствует самая длинноволновая линия Ka K-серии рентгеновского характеристического излучения. Линия Kβ соответствует переходу электрона из M-оболочки на K-оболочку, линия Kγ – переходу из N-оболочки на K-оболочку. Совокупность линий Ka , Kβ и Kγ образует K-серию. Частоты линий возрастают при переходе от линий Ka , Kβ и Kγ . Это связано с увеличением энергии, высвобождающейся при переходе электрона на K-оболочку со все более удаленных оболочек. Наоборот, интенсивности линий убывают при переходе от линии Ka к линиям Kβ и Kγ, так как вероятность переходов на K-оболочку с L-оболочки больше, чем с М-, N- и других более удаленных оболочек. Линии серий L,- М- и т. д. характеристического рентгеновского излучения испускаются при освобождении «вакантного» для электрона места соответственно на L- М-, N- и т. д. оболочках. Так, при переходе электрона на L-оболочку из М-оболочки возникает линия La из N-оболочки – линия Lβ и т. д. Все переходы, заканчивающиеся на L-оболочке, соответствуют линиям L-серии характеристических рентгеновских лучей. Общие закономерности, отмеченные для K-серии, остаются справедливыми для L- и других серий.
Рис. 3.2
На рис. 3.2 схематически представлено возникновение различных серий характеристических рентгеновских лучей.
3.3. Молекулярные спектры
Спектры атомов, со стоящие из отдельных линий, образуют серии. Внутри каждой серии атомного спектра спектральные линии находятся на разных расстояниях друг от друга, к границе серии они сближаются. Мо лекулярные спектры уже по внешнему виду сильно отличаются от атомных спектров. Они представляют собой совокупность более или менее широких полос, образованных тесно расположенными спектраль ными линиями. Внутри каждой полосы линии у одного из ее краев располагаются столь тесно, что они сливаются, и край полосы имеет размытый характер. Молекулярные спектры за их характер ный вид называют полосатыми спектрами. Полосы в молекулярных спектрах наблюдаются в инфракрасном, видимом и ультрафиолетовом диапазонах частот электромагнитных волн. Достаточно близко расположенные полосы образуют группы полос. В спектрах двух атомных молекул наблюдается несколько групп полос. С услож нением строения молекул усложняются их спектры. Так, у много атомных молекул сложной конфигурации в ультрафиолетовой и видимой областях спектра наблюдаются лишь сплошные широкие полосы поглощения (испускания).
Из того, что нам известно о механизме возникновения спек тральных линий, можно заключить, что и в молекулах отдельная спектральная линия должна возникнуть в результате изменения энергии молекулы. Полную энергию W молекулы можно рассмат ривать как состоящую из нескольких частей : Wпост – энергия поступательного движения ее центра инерции, Wэл – энергия движения электронов в атомах молекулы, Wкол – энергия коле бательного движения ядер атомов, входящих в молекулу, около их равновесных положений, Wвр – энергия вращательного движения молекулы как целого, Wэл – энергия электронов в молекуле и, наконец, энергии Wяд ядер атомов в моле куле:
(3.2)
Энергия Wпост поступательного движения молекулы не кван тована и ее изменения не могут привести к созданию молекуляр ного спектра. Если не интересоваться сверхтонкой структурой спектральных линий и другими оптическими явлениями, обуслов ленными ядерными частицами, то можно в выражении не учитывать и Wяд. Тогда энергия молекулы, определяющая ее оптические свойства, будет состоять из суммы трех слагаемых:
(3.3)
По правилу Бора, частота v кванта, испускаемого моле кулой при изменении ее энергетического состояния, равна
(3.4)
где ∆Wэл ∆Wкол и ∆Wвр – изменения соответствующих частей энергии молекулы. Так как каждое из слагаемых принимает ряд дискретных квантованных значений, то их изменения также имеют дискретные значения и поэтому спектр молекулы со стоит из густо расположенных линий, образующих полосы. Изуче ние спектра молекул должно основываться на рассмотрении каждого из слагаемых. Как показывают опыт и теоретические исследо вания, эти слагаемые имеют различную величину:
(3.5)
чем и объясняется наличие частот молекулярных спектров в разных диапазонах электромагнитных волн.
Для того чтобы выделить частоты, соответствующие измене ниям различных видов энергии в молекуле, удобнее рассмотреть ее спектр поглощения. Как известно, спектры испускания и поглоще ния обратимы и связаны законом Кирхгофа. Предположим, что на вещество, состоящее из невзаимодействующих между собой моле кул, падает длинноволновое излучение с малыми по величине квантами энергии, и рассмотрим, что будет, если постепенно увели чивать частоту v (энергию квантов). До тех пор, пока энергия кванта hv не станет равной наименьшей возможной разности энер гий между двумя ближайшими энергетическими уровнями моле кулы, поглощения света происходить не будет и линий спектра поглощения не возникнет. Поглощение наступит при длинах волн порядка (0,1—1) мм, то есть в далекой инфракрасной области спектра, и соответствует изменению вращательной энергии молекулы. Кванты энергии таких волн могут перевести молекулу с одного вращательного энергетического уровня на другой более высокий и, следовательно, привести к возникновению спектральной линии вращательного спектра поглощения. По мере уменьшения длины волны в этой области смогут возникнуть все новые линии вращательного спектра поглощения, которые в своей совокупности дадут нам представление о распределении вращательных энергетических состояний молекулы.
Поглощение света в инфракрасной области с длиной волны от единиц до нескольких десятков микрон вызывает переходы между колебательными энергетическими уровнями в молекуле и приводит к возникновению колебательного спектра моле кулы. Однако при изменении колебательных энергетических уровней молекулы одновременно изменяются и ее вращательные энергетические со стояния. Поэтому переходы между дву мя колебательными уровнями сопровож даются изменением вращательных энер гетических состояний, т. е. при измене нии энергии колебаний молекулы совер шают колебательно-вращательные переходы, так что возникает колебательно-вращательный спектр. Это схематически показано на рис. 3.3.
Рис. 3.3
Спектр с частотами vкол.-вращ, соответствующими переходу с од ного колебательного уровня на другой, будет состоять из группы очень близких линий, определяемых различными сопутствующими вращательными переходами. Если эти линии рассматривать в при боре, не обладающем высокой разрешающей способностью, то ли нии сольются в одну полосу, соответствующую данному колеба тельному переходу.
В видимой и ультрафиолетовой областях спектра энергии квантов достаточно для осуществления переходов молекулы между различными электронными энергетическими уровнями. Каждому такому уровню соответствует определенное пространствен ное распределение электронов, принадлежащих атомам, составляю щим молекулы, или, как говорят, определенная конфигурация электронов, обладающая некоторой дискретной энергией. Каждой электронной конфигурации, каждому электронному энер гетическому уровню молекулы будут соответствовать различные возможные колебания ядер в молекуле, то есть целый набор колеба тельных энергетических уровней. Переходы между такими электронно-колебательными уровнями приводят к возникновению электронно-колебательного спектра молекулы (рис. 3.4), характеризуемого частотой vэл.-кол. отдельной линии.
Рис. 3.4
На каждое колебательное энергетическое состояние накладывается, кроме того, система вращательных уровней, показанная на рис. 3.3. Таким образом, каждому электронноколебательному переходу будет соответствовать определенная полоса, по этому весь электронноколебательный спектр в видимой и близкой к ней области представляет собой систему из нескольких групп полос рас положенных в этих участках спектра.
3.4. Комбинационное рассеяние света
Если имеется ряд собственных частот v1, v2, v3 колебаний молекул, то в спектре рассеянного света должны появиться все комбинационные частоты v0 ± vl , vo±v2, vo±v3 и т. д.
Комбинационное рассеяние света обнаружили в 1928 г. Л.И. Мандельштам и Г.С. Ландсберг (при исследовании спектрального состава излучения, рассеянного кристаллами кварца). Одновре менно такое же явление было обнаружено Ч.В. Раманом и К.С. Кришнаном при рассеянии света жидкостями. Публикация об открытии Раманом была сделана в журнале «Nature» несколько раньше и поэтому спектры комбинационного рассеяния иногда называются раман-спектрами.
Линии в спектре комбинационного рассеяния с .частотами v0-v1, v0-v2 и т. д., меньшими частоты падающего света, назы ваются красными, или стоксовыми, спутниками (сателлитами); линии с частотами v0 + v1 , v0 + v2 и т. д., большими v0, – фиоле товыми, или антистоксовыми, спутниками (сателлитами), причем все частоты v1, v2, v3 и т. д. характерны для данного кристалла (или жидкости) и не зависят от частоты v0 падающего света. Экспериментальное изучение комбинационного рассеяния показало, что интенсивность фиолетовых спутников меньше интенсивности крас ных и с повышением температуры возрастает, в то время как у красных она практически не зависит от температуры.
Полное объяснение явления комбинационного рассеяния света, в частности соотношения интенсивностей красных и фиоле товых спутников, было дано на основе квантовых представлений. Пусть квант hv0 падает на вещество, молекулы которого могут на ходиться в различных колебательных энергетических состояниях (Wкол)υ1, (Wкол)υ2 и т. д. Помимо упругого, когерентного рассеяния кванта (состоящего в поглощении и последующем испускании кванта молекулой, при котором частота кванта v0 не изменяется), возможно такое взаимодействие кванта с молекулой, в результате которого молекула будет переведена из нормального колебатель ного состояния с энергией (Wкол)υ1 в более высокое энергетическое состояние с энергией (Wкол)υ2, так что (Wкол)υ2 > (Wкол)υ1. Необ ходимая для этого перевода энергия ∆W = (Wкол)υ2— (Wкол)υ1 будет заимствована у кванта, энергия которого уменьшится на ∆W и станет равной
Таким образом, в рассеянном свете появится частота v, равная
и соответствующая красному спутнику. Перевод молекулы в разные возбужденные колебательные состояния приведет к появлению всей совокупности красных спутников. Появление фиолетовых спутников с квантовой точки зрения объясняется возможностью того, что молекула, находящаяся в одном из возбужденных колебательных состояний с энергией (Wкол)υ2 под действием кванта с энергией hv0, перейдет в нормальное состояние с меньшей энергией (Wкол)υ1. Тогда первоначальная энергия кванта hv0 увеличится на величину ∆W = (Wкол)υ2— (Wкол)υ1, и станет равной hv = hv0 + ∆W. Это будет соответствовать появлению в рассеянном свете фиолетового спутника с частотой
.
В обоих случаях сдвиг частоты v0 падающего света равен v1 = ∆W/h, то есть частоте перехода между колебательными уровнями молекулы. Поскольку число молекул, находящихся в возбужденных энергетических состояниях, обычно меньше, чем число молекул в нормальном колебательном состоянии, очевидно, что вероятность рассеяния кванта hv0 с увеличением частоты на v1 меньше, чем вероятность обратного перехода из нормального состояния в воз веденное. Поэтому интенсивность фиолетовых спутников должна быть меньше, чем красных. С повышением температуры заселенность молекулами возбужденных энергетических состояний возрастает. Поэтому будет расти и вероятность рассеяния фотона с переводом молекулы из возбужденного состояния в нормальное. Другими словами, с повышением температуры будет возрастать интенсивность фиолетовых спутников. Число же молекул, находящихся в нормальном колебательном энергетическом состоянии, мало меняется с повышением температуры. Поэтому интенсивность красных спутников практически мало меняется при нагревании.
Из сказанного выше следует, что сдвиг частот в спутниках при комбинационном рассеянии совпадает с частотами колебаний в молекулах, лежащими в инфракрасной области спектра. Однако это совпадение наблюдается не всегда. В ряде случаев сдвиг частот, наблюдаемых при комбинационном рассеянии, не совпадает с частотами в инфракрасном спектре молекулы. Возможен и такой случай, когда частоты поглощения, наблюдаемые в инфракрасном спектре молекулы, не проявляются в спектрах комбинационного рассеяния. Дело здесь в том, что для излучения (и поглощения) мо лекулой электромагнитных волн необходимо, чтобы молекула, ведущая себя в этом случае как диполь, изменяла бы дипольный. момент Ре. Для комбинационного рассеяния света, связанного с мо дулированием падающей волны, это условие необязательно. Необ ходимо лишь, чтобы в молекуле изменялось взаимное расположение ее частей, и изменялась бы ее поляризуемость. В некоторых случаях различие условий, необходимых для появления инфракрасных частот и частот комбинационного рассеяния, приводит к тому, что наблюдаются одни из них и не наблюдаются другие.
Комбинационное рассеяние света позволяет отыскивать собст венные частоты колебаний сложных многоатомных молекул и тем самым делать заключения о составе и строении таких молекул. Спектры комбинационного рассеяния позволяют, например, прово дить количественный спектральный анализ состава сложных орга нических смесей.
3.5. Явление люминесценции
Помимо теплового излучения, которое наблюдается у тел при температуре Т, существует еще один вид излучения тел, избы точного над тепловым. Оно называется люминесценцией и имеет длительность более 10-10 с. Люминесценция может быть вызвана бомбардировкой тел электронами и другими заряженными части цами, пропусканием через вещество электрического тока или дей ствием электрического поля, освещением видимым светом, рентге новскими и гамма-лучами, а также некоторыми химическими реак циями в веществе. В зависимости от способов возбуждения люми несцентного свечения различают катодолюминесценцию, электролюминесценцию, фотолюмине сценцию, хемилюминесценцию и т. д.
В отличие от теплового излучения, которое, является равновесным, люминесцентное излучение не имеет равновесного характера. Оно вызывается сравнительно небольшим числом атомов, молекул или ионов (образующих центры люминесценции), переходящих под действием какого-либо источника энергии в возбужденное состояние. Центрами люминесценции в твердом теле могут служить ионы, атомы или группы ионов, находящихся около того места кристаллической решетки, где правильность ее структуры нарушена включением активатора – атома постороннего вещества – или вакансией. Последующее возвращение возбужденного центра люминесценции в нормальное или менее возбужденное состояние сопровождается испусканием люминесцентного излучения. Длительность свечения обусловлена длительностью возбужденного состояния, которое, помимо свойств самих излучающих атомов, молекул или ионов зависит от окружающей их среды. Если возбужденное состояние метастабильно, то время пребывания в нем частицы может достигать 10-4 с (вместо обычного времени пребывания в возбужденном состоянии – 10-8 с). Соответственно увеличивается и длительность люминесценции. Люминесценцию с временем затухания ~ 10-8-10-9 с называют обычно флуоресценцией. Такое время затухания характерно, например, для фотолюминесценции многих веществ, главным образом жидкостей и газов. Люминесценция, которая сохраняется длительное время после прекращения действия возбудителя свечения, называется фосфоресценцией. Такое длительное высвечивание наблюдается у твердых тел, способных люминесцировать. Строго говоря, подразделение люминесценции на флуоресценцию и фосфоресценцию условно, так как установить точную временную границу между ними нельзя.
При возбуждении люминесценции электронным (катодным) пучком кинетическая энергия бомбардирующих электронов передается электронам атомов (или молекул, ионов) и переводит их в возбужденное состояние. Передача энергии возможна лишь при условии
(3.6)
где Wкин – кинетическая энергия бомбардирующего электрона, Wв и Wн – полная энергия атома (или иной люминесцирующей частицы) соответственно в возбужденном и нормальном состоя ниях.
При достаточной энергии Wкин возбуждения возвращение атома (молекулы или иона) в нормальное состояние может происходить в несколько этапов через все менее возбужденные состояния. Этому соответствует испускание нескольких фотонов люминесцентного излучения различных частот, причем суммарная их энергия равна энергии Wкин начального возбуждения.
Электролюминесценция в газах вызывается электрическим раз рядом. Энергия возбуждения в этом случае сообщается молекулам газа с помощью электронного удара или удара ионов.
Хемилюминесценция вызывается экзотермическими химичес кими процессами в веществе, то есть процессами, протекающими с вы делением энергии. Люминесцентное излучение уносит избыток энергии, что приводит к образованию химических соединений с более устойчивой в данном окружении и при данных условиях электронной конфигурацией. Хемилюминесценция часто сопровождает, например, процессы окисления с образованием более устойчивых продуктов сгорания. Яркость хемилюминесценции может на несколько порядков превышать яркость теплового излучения люминесцирующего вещества при температуре опыта. Частным случаем хемилюминесценции является биолюминесценция (например, свечение гнилых деревьев и светлячков).
Фотолюминесценция возбуждается электромагнитным излу чением видимого или ультрафиолетового диапазона. Фотолюминесценцию изучал ещё Д. Стокс, который установил, что фотолюминесцирующее вещество излучает, как правило, свет, имеющий боль шую длину волны, чем то излучение, которое вызывает люмине сценция. Это правило Стокса получает свое естественное обоснование в квантовой оптике.
В самом деле, фотон возбуждающего фотолюминесценцию света имеет энергию hv, которая, по закону сохранения энергии, частично расходуется на создание кванта с энергией hvлюм люминесцентного излучения, а в остальном будет израсходована на различные не оптические процессы:
(3.7)
где W – энергия, пошедшая на различные процессы, кроме фотолюминесценции. Обычно W >0 и v<vлюм, то есть λлюм >λ, что соответствует правилу Стокса.
В некоторых случаях фотолюминесцентное излучение имеет длину волны, меньшую, чем длина волны возбуждающего света (так называемое антистоксово излучение). Это явление объясняется тем, что к энергии hv кванта возбуждающего излучения добавляется энергия теплового движения атомов (молекул или ионов) люминесцирующего вещества:
(3.8)
где а – коэффициент, зависящий от природы люминесцирующего вещества, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная темпера тура. Антистоксово излучение проявляется все отчетливее по мере повышения температуры.
Отношение энергии, излучаемой при фотолюминесценции, к поглощаемой энергии возбуждающего ее света называется энергетическим выходом фотолюминесценции. Академиком С. И. Вавиловым установлен закон, согласно которому энергетический выход фотолюминесценции возрастает прямо пропорционально длине волны λ поглощаемого излучения, а затем, достигая максимального значения в некотором интервале длин волн (λ – λмакс), быстро спадает до нуля при дальнейшем увеличении длины волны. Закон Вавилова легко объясняется на основе представлений о квантовом выходе фотолюминесценции. Под этим термином понимается отношение числа фотонов люминесцентного излучения к числу фотонов возбуждающего излучения при фиксированной энергии последнего. Очевидно, что с увеличением длины волны возбуждающего излучения (уменьшения его частоты) увеличивается число фотонов с энергией hv, содержащихся в данной энергии первичного излучения. Поскольку каждый фотон может вызвать появление кванта hvлюм то с увеличением длины волны происходит возрастание энергетического выхода люминесценции. Резкое спадание энергетического выхода при некоторой длине волны объясняется тем, что кванты hv света с такой длиной волны не в состоянии возбудить электроны атомов (молекул или ионов) люминесцирующего вещества.
Величина энергетического выхода люминесценции в сильной степени зависит от возможности в веществе безызлучательных переходов молекул из возбужденного состояния в нормальное состояние. Если, вероятность таких переходов велика, происходит тушение люминесценции. Обычно причиной тушения люминесценции являются либо безызлучательные переходы в самих люминесцирующих молекулах, либо процесс передачи энергии молекулы присутствующим молекулам примеси. Основную роль в последнем случае играют так называемые удары второго рода – столкновения, в результате которых энергия возбуждения переходит без излучения в энергию теплового движения молекул. При чрезмерно большой концентрации люминесцирующего вещества также наблюдается резкое уменьшение интенсивности флуоресценции. Оно называется концентрационным тушением или самотушением и объясняется тем, что в результате усиления связи между молекулами происходит их ассоциация в нелюминесцирующие димеры (сдвоенные молекулы).
Фотолюминесценция ряда жидкостей (растворы некоторых кра сок, растворы хинина и др.) легко наблюдается визуально при пропускании через растворы таких жидкостей видимого света. При этом правило Стокса проявляется непосредственно: видно, что свечение флуоресценции более длинноволновое, чем падающий свет.
Явление флуоресценции связано с переходами атомов, молекул или ионов из обычных возбужденных состояний, длительность существования которых ~ 10-8 с, в нормальное. Фосфоресценция, дающая длительное свечение, обусловлена достаточно продолжительным нахождением атомов в возбужденных состояниях. Возможной причиной этого может быть наличие метастабильных возбужденных состояний, переход из которых в нормальное состояние по тем или иным причинам затруднен. В кристаллических фосфоресцирующих веществах, например полупроводниках р-типа, это связано с оседанием возбужденных электронов на акцепторных примесных уровнях.
На явлении люминесценции основан люминесцентный анализ, принцип которого заключается в следующем. Вещество, состав которого необходимо исследовать, освещается ультрафиолетовыми лучами. Вещество либо само по себе, либо после обработки соответствующими реактивами дает характерное люминесцентное свечение, по характеру которого можно, определяя интенсивности линий в спектре, определить не только качественное, но и количественное содержание исследуемого вещества. Люминесцентный анализ в отличие от обычного спектрального анализа не сопровождается разложением на элементы исследуемого вещества и применяется при весьма малых количествах изучаемого вещества. С другой стороны, чрезвычайно высокая чувствительность люминесцентного анализа позволяет обнаружить наличие ничтожных примесей порядка 10-11 г в 1 г исследуемого вещества. Люминесцентный анализ успешно применяется в различных отраслях промышленности, в биологии, медицине, агротехнике и т. п.
Явление люминесценции позволяет создать источники света, которые обладают значительными преимуществами перед лампами накаливания, излучающими в диапазоне видимого участка спектра лишь около 3 – 5% расходуемой энергии и имеющими малую светоотдачу (порядка 12 – 20 люмен/ватт). Люминесцентные источники света не требуют нагрева, дают излучение в сравнительно узкой спектральной области и являются весьма экономичными. Так, натриевые лампы, в которых пары натрия светятся под действием электрического разряда, имеют светоотдачу порядка 60 люмен/ватт. Натриевые лампы дают излучение, почти полностью сосредоточенное в области около желтой линии натрия с длиной волны 598 мкм, что близко к длине волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза. Однако натриевая лампа придает всем освещаемым объектам неприятную желтую окраску.
Люминесцентными источниками света являются также ртутные лампы, весьма разнообразные по устройству. В области видимого света излучение этих ламп сосредоточено в основном в желтом, зеленом, синем и фиолетовом участках спектра.
Помимо этого, спектр паров ртути значительно простирается в область ультрафиолета. Интенсивное излучение в ультрафиолетовой области ртутных ламп среднего и низкого давления обеспечивает им широкое применение как бактерицидных источников излучения. Так называемые лампы высокого и сверхвысокого давления (с давлением паров ртути до 100 атм) имеют в видимой области светоотдачу до 40 люмен/ватт. Их излучение в видимой области обеднено длинными волнами.
Для получения ламп с излучением, близким по составу с дневным светом, применяются ртутные лампы низкого давления в форме трубок, внутренняя поверхность которых покрывается смесью люминесцирующих веществ. Поглощая ультрафиолетовое излучение ртутных паров, эти вещества дают люминесцентное излучение в видимой области, близкое по составу к дневному свету. Такие лампы дневного света получили широкое распространение для освещения в промышленности и в быту.
3.6. Поглощение света
Из опытов известно, что по мере распространения плоской световой волны в веществе ее интенсивность постепенно уменьшается. Это явление называется поглощением света в веществе (абсорбцией света). Оно связано с преобразованием энергии электромагнитного поля волны в другие виды энергии (чаще всего в энергию хаотического теплового движения частиц вещества, нагреваю щегося в результате поглощения света).
Еще в XVIII в. П. Бугер и И. Ламберт установили, что интенсивность I плоской монохроматической волны после прохождения сквозь слой поглощающего вещества толщиной x связана с интенсивностью I0 этой волны на входе в слой следующим соотношением (закон Бугера – Ламберта):
(3.9)
где – коэффициент поглощения, зависящий только от длины волны света, химической природы и состояния вещества. Важно подчеркнуть, что коэффициент поглощения не зависит от интенсивности света. Его физический смысл легко установить, преобразовав уравнение к следующему виду:
(3.10)
Если при толщине слоя x=d, , то . Таким образом, коэффициент поглощения численно равен единице, деленной на толщину слоя вещества, по прохождении которого интенсивность света уменьшается в е = 2,72 раз.
В диэлектриках нет свободных электронов, и поглощение света тесно связано с явлением резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика. Поэтому диэлектрики поглощают свет более или менее избирательно (селективно) в зависимости от частоты последнего. Поглощение велико лишь в областях частот, близких к частотам собственных колебаний электронов в атомах и атомов в молекулах. Для света всех остальных частот диэлектрик практически прозрачен, то есть его коэффициент поглощения близок к нулю. Наиболее ярко это явление резонансного поглощения обнаруживается у разреженных одноатомных газов, обладающих линейчатым спектром поглощения (рис. 3.5). Дискретные частоты интенсивного поглощения совпадают с частотами собственного излучения возбужденных атомов этих газов.
Рис. 3.5
У газов с многоатомными молекулами наблюдаются системы тесно расположенных линий, образующих полосы поглощения. Структура этих полос определяется составом и строением молекул. Поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов экспериментального исследования строения молекул. Широко используется также спектральный метод количественного и качественного анализа смесей газов, основанный на измерении спектра частот и относительных интенсивностей линий или полос поглощения смеси (абсорбционный спектральный анализ). У сложных органических молекул особенно характерный вид имеют спектры поглощения в области инфракрасного излучения.
Жидкие и твердые диэлектрики имеют сплошные спектры поглощения, состоящие из сравнительно широких полос поглощения, в пределах которых коэффициент поглощения изменяется плавно. За пределами этих полос ≈ 0, то есть диэлектрики прозрачны. Избирательным поглощением объясняется окраска в проходящем свете, наблюдаемая у растворов красителей и многих минералов. Это явление используется для изготовления светофильтров.
Окраска несамосветящихся тел объясняется селективным отражением света от их поверхности. Очевидно, что окраска такого тела зависит не только от оптических свойств его поверхности (например, цвета нанесенной на нее краски), но и от спектрального состава падающего света. Например, тело, покрытое красной краской, будет казаться черным при освещении его зеленым светом.
Классическая теория дисперсии и поглощения света в диэлектриках, базируется на предположении о возможности рассмотрения атомов и молекул диэлектрика как набора осцилляторов. Удовлетворительное согласие этой теории с данными опытов является подтверждением правомерности классической осцилляторной модели атома. Однако более детальное изучение поглощения света в диэлектриках, выполненное С.И. Вавиловым, позволило обнаружить отступления от закона Бугера – Ламберта: при достаточно больших интенсивностях света I0 коэффициент поглощения некоторых диэлектриков начинает убывать с ростом I0. Это явление, необъяснимое с помощью классической осцилляторной модели, легко истолковывается на основе квантовой теории. При поглощении света часть молекул диэлектрика переходит в возбужденное состояние и их «поглощательная способность» изменяется. Если доля этих молекул невелика, т.е. средняя продолжительность τ их жизни в возбужденном состоянии очень мала (порядка 10-8 с), то зависимость от I0 отсутствует и соблюдается закон Бугера – Ламберта. Для некоторых веществ (например, солей урана, сернистого цинка и др.) τ>10-4 с. Поэтому при значительных I0 доля возбужденных молекул столь велика, что коэффициент поглощения уменьшается с ростом I0.
В газообразном состоянии металлы являются диэлектриками и не обнаруживают каких-либо аномальных оптических свойств. В конденсированном состоянии металлы содержат огромное количество свободных электронов и потому обладают хорошей проводимостью. В электрическом поле световой волны свободные электроны совершают упорядоченное переменное движение и излучают вторичные волны. Благодаря наложению первичной и вторичной волн образуется интенсивная отраженная волна и сравнительно слабая преломленная волна. Коэффициент отражения в большой степени зависит от чистоты поверхности металла и его электропроводности. У таких хороших проводников, как серебро и натрий, максимальный коэффициент отражения достигает значений, соответственно равных 0,96 и 0,998.
Преломленная волна быстро поглощается по мере распространения в металле. Ее энергия расходуется на джоулеву теплоту, которая выделяется токами проводимости, возникающими при действии света на свободные электроны. Поэтому отражение и поглощение света происходит в. очень тонком слое металла, прилегающем к его поверхности.
В области видимого и особенно ультрафиолетового света у металлов обнаруживается заметная зависимость коэффициентов отражения и поглощения от частоты. Например, коэффициент отражения от чистой поверхности серебра изменяется от 0,96 при λ0 = 700 мкм до 0,042 при λ0 = 316 мкм. Соответственно возрастает и прозрачность тонкой пленки серебра. Аналогичные закономерности обнаруживаются у щелочных металлов. Следовательно, при больших частотах существенную роль в оптических свойствах металлов начинают играть вынужденные колебания связанных электронов в ионах, образующих кристаллическую решетку металла.
Генераторы когерентного света
Под мазерами понимают генераторы и усилители в сантиметровом диапазоне радиоволн, лазерами называют генераторы и усилители света в видимой и ближней инфракрасной областях. Более правильно было бы эти устройства называть генераторами когерентного света (ГКС). Оба типа устройств работают на основе эффекта вынужденного (индуцированного) излучения. Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно быть по своим характеристикам совершенно тождественным тому излучению, которое, проходя через вещество, вызывает появление индуцированного излучения. Новый фотон, появившийся в результате того, что атом (или молекула) вещества переходит в низшее энергетическое состояние под действием света, имеет ту же энергию и летит строго в том же направлении, что и фотон, стимулировавший появление первого. На волновом языке эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы и поляризации. Другими словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.
В 1939-40 гг. советский физик В.А. Фабрикант впервые обратил внимание на возможность получения среды с отрицательным коэффициентом поглощения . Им был предложен метод получения плазмы газового разряда с отрицательным коэффициентом поглощения. Существо метода состояло в том, чтобы с помощью специальных молекулярных примесей избирательно разрушать некоторые нижние энергетические уровни и таким образом осуществить более высокую заселенность атомами верхних энергетических уровней по сравнению с нижними.
Второй метод получения большей заселенности верхних энерге тических уровней по сравнению с нижними заключается в при менении вспомогательного излучения, которое создает избыточную, по сравнению с равновесной, концентрацию атомов (или других частиц) на верхних энергетических уровнях, соответствующих возбужденным состояниям.
В.А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды с отрицательным коэффициентом поглощения, и было показано, что закон Бугера-Ламберта для случая сред с отрицательным поглощением имеет следующую форму:
(3.11)
Интенсивность J света, прошедшего слой х, оказывается при этом больше, чем первоначальная интенсивность J0. В такой форме закон Буге-ра-Ламберта-Фабриканта описывает лавинообразное нарастание интенсивности света по мере его распространения в среде и составляет содержание принципа молекулярного усиления. В 1951 г. В.А. Фабрикантом, М.М. Вудынским и Ф.А. Бутаевой этот принцип был сформулирован для широкого (ультрафиолетового, видимого, инфракрасного и радио) диапазона длин волн.
На принципе молекулярного усиления в 1954 г. Н.Г. Басовым и А.И. Прохоровым в СССР и Ч.Таунсом, Дж. Гордоном, Г. Цайгером в США были созданы первые молекулярные генераторы и усилители в сантиметровом диапазоне радиоволн. В 1960 г. были построены первые генераторы когерентного света в видимой и ближней инфракрасной областях спектра (лазеры).
Один из первых генераторов когерентного света с твердым телом в качестве активной усиливающей среды был создан в 1960 г. Усиливающей средой являлся кристалл рубина, представляющий собой по химическому составу окись алюминия А12О3 с примесью окиси хрома Сг2О3 в количестве от 0,03 до 0,05%. При этом в кристаллической решетке окиси алюминия определенная часть атомов А1 заменена ионами хрома Сг3+. Активным веществом, в котором осуществляются вынужденные переходы, являются в рубине ионы хрома Сг3+. Энергетическая схема уровней Сг3+ содержит ближай шие к основному уровню две широкие энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, переходы с которого на основной уровень С соответствуют длинам волн красного света 6927 А и 6943 А. (рис. 3.6).
Рис. 3.6
При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной импульсной лампы, наполненной неоном и криптоном (лампы накачки), происходит переход ионов хрома на уровни широкой полосы, откуда наиболее вероятным является безызлучательный переход ионов на двойной уровень с передачей избытка энергии кристаллической решетке рубина. Таким образом, можно создать условия, при которых населенность ионами двойного уровня будет превышать населенность основного уровня, и получить оптический генератор на линиях 6927 и 6943 А. Широкая полоса поглощения для зеленых лучей, соответствующая широкой энергетической полосе А, позволяет ввести в рубин большую мощность возбуждения. Наряду с этим красные линии имеют небольшую ширину, что обеспе чивает хорошие условия для их усиления. Малое ∆v соответствует большему коэффициенту поглощения .
В генераторе когерентного красного света на линии 6943 А был использован кубический кристалл рубина с навитой вокруг него по спирали импульсной лампой накачки. Лампа накачки излучала мощные импульсы света в тысячи киловатт длительностью около 1 мс с частотой повторения импульса 30 – 60 с, ограни ченной нагревом лампы. В кристалле рубина создавался импульс красного когерентного излучения со спектральной шириной ∆λ в 1 А, угловым расхождением 0,01° и мгновенной мощностью по рядка 10 кВт. Средняя по времени мощность красного луча состав ляла 20 Вт. В усовершенствованном рубиновом генераторе вместо рубинового кубика использовался рубиновый цилиндрик с зеркаль ными основаниями. Это, как уже было отмечено выше, приводит к многократному отражению луча света от оснований кристалла и усилению мощности луча за счет удлинения его пути в среде с отрицательным поглощением.
Вслед за рубиновым генератором происходила интенсивная разработка генераторов видимого и инфракрасного излучения с кристаллами флуорита (фтористого кальция), содержащими примеси урана U3+ (длина волны генерации К = 2,46 мкм) или самария Sm2+ (λ = 7081 А). В этих системах удается снизить мощность возбуждения в 500-1000 раз по сравнению с рубином. Излучению 2,46 мкм соответствует переход ионов U3+ c метастабильного уровня на расположенный ниже промежуточный уровень. При сильном охлаждении этот промежуточный уровень имеет в 1010 раз меньшую населенность, чем основной энергетический уровень, поэтому с помощью лампы накачки (с мощностью, в 500 раз меньшей, чем для рубинового генератора) может быть обеспечена нужная перенаселенность ионов на метастабильном уровне.
Недостатком генераторов с кристаллами является импульсный режим их работы. Применение в качестве усиливающей среды газовых смесей дает возможность построить генераторы непрерывного действия.
В генераторе инфракрасного излучения непрерывного действия усиливающей средой служит плазма высокочастотного газового разряда, полученная в смеси гелия с неоном (давление Не 1 мм рт. ст., давление Ne 0,1 мм рт. ст.). За счет соударений с электронами атомы гелия переходят в возбужденное состояние. При столкновениях возбуждённых атомов гелия с атомами неона, последние также возбуждаются и переходят на один из четырех верхних уровней неона, близко расположенных к соответствующему уровню гелия. Переход атомов неона с этих уровней на один из нижних уровней (всего оказывается 10 промежуточных энергети ческих уровней) сопровождается излучением в диапазоне от 0,9 до 1,7 мкм. Инфракрасный остронаправленный луч обладает при этом исключительной монохроматичностью (∆λ ~ 3•10-7A). Эффект усиления света сопровождается всегда ростом его монохроматичности. Мощность в луче 0, 015 Вт.
Оптические генераторы обладают по сравнению с другими источниками света наименьшей шириной линий испускания (наибольшей спектральной плотностью излучения), так что эффективная температура их излучения достигает 1010—1012 К (превышает эффективную температуру излучения Солнца в 107—108 раз).
В силу высокой когерентности и острой направленности излу чения оптических генераторов они могут быть с большой эффективностью использованы для связи, локации, получения очень высоких температур в малых объемах и т. д. При ширине полосы излу чения в 1 А на длине волны в 1 мкм теоретически можно осуществить передачу 10 000 радиопрограмм. С помощью современных моле кулярных генераторов можно осуществить связь на расстояниях около 10 световых лет. Излучением оптических генераторов можно «пробивать» мельчайшие отверстия даже в самых твердых веществах (например, в алмазе), осуществлять сварку микродеталей.
Лучи лазеров нашли применение даже в хирургии – при лечении отслаивания сетчатки в человеческом глазе. Луч лазера как бы «приваривает» отслоившуюся сетчатку к тканям глазного дна.
И все же характеристики современных генераторов когерент ного света пока еще очень далеки от принципиально возможных. В принципе возможно получение мощностей пучков, которым будут соответствовать световые давления порядка миллионов атмосфер. Все это создает необозримые перспективы для применения усилителей и генераторов когерентного света.
Краткие выводы
Вопросы для самоконтроля и повторения
Примеры решения задач
1. Определите наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает при напряжении 150 кВ.
Дано: U=150 кВ = 1,5∙105 В.
Найти: λмин.
Решение
Энергия фотонов рентгеновского излучения определяется по формуле
ε = hνмакс = еU,
где h=6,63∙10-34 Дж∙с, νмакс – максимальная частота рентгеновских фотонов; заряд электрона е=1,6∙10-19 Кл.
Наименьшая длина волны данного рентгеновского излучения составит
, где с=3∙108 м/с – скорость света в вакууме.
Ответ: λмин=8,29 пм.
2. Собственная циклическая частота колебаний молекулы HCl равна 5,63∙1014 с-1, коэффициент ангармоничности γ=0,0201. Определить энергию перехода молекулы с первого на второй колебательный энергетический уровень.
Дано: ω=5,63∙1014 с-1; γ=0,0201.
Найти: ∆Еn+1,n=En+1–En.
Решение
Энергию перехода ∆Еn+1,n между двумя соседними уровнями найдем как разность двух значений колебательного уровня энергии: ∆Еn+1,n=En+1–En.
Так как колебания энергии двухатомной молекулы определяется соотношением
Еv=ħω·[(v+1/2)-γ· (v+1/2)2],
то ∆Е1-2= ħω·{[(v+3/2)-γ· (v+3/2)2]-[( v+1/2)-γ· (v+1/2)2]}= ħω· [1-2 γ(v+1)],
где ħ=1,05·10-34 Дж·с, максимальное значение колебательного квантового числа vмакс = 1/2γ-1, в данной задаче v = 1.
Тогда ∆Е1-2=1,05·10-34 Дж·с · 5,63·1014 с-1[1-2·0,0201(1+1)] =1.09-19 Дж = = 0,682 эВ.
Ответ: ∆Е1-2=0,682 эВ.
Задачи для самостоятельного решения
1. Максимальная длина волны рентгеновских лучей, полученных от трубки, работающей при напряжении 60 кВ, равна 20,7 пм. Определите по этим данным постоянную Планка.
2. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если при увеличении напряжения на рентгеновской трубке в 2 раза она изменилась на 50 пм.
3. Определите длину волны самой длинноволновой линии К-серии характеристического рентгеновского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную экранирования принять равной единице.
4. Длина волны γ-излучения радия равна 0,016 Ǻ. Какую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить рентгеновские лучи с этой длиной волны?
5. Воздух в некотором объеме облучается рентгеновскими лучами. Доза излучения равна 4,5 Р. Найти, какая доля атомов, находящихся в данном объеме, будет ионизирована этим излучением?
6. Воздух, находящийся при нормальных условиях в ионизированной камере объемом 6 см3, облучается рентгеновскими лучами. Мощность дозы рентгеновских лучей равна 0,4 мР/ч. Найти ионизационный ток насыщения.
7. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления для рентгеновских лучей некоторой длины волны, если известно, что коэффициент поглощении алюминия для этой длины волны равен 5,3 м2/кг.
8. Сколько слоев половинного ослабления необходимо для уменьшения интенсивности рентгеновского излучения в 80 раз?
9. Для молекулы HCl коэффициент ангормоничности γ = 0,0201. Определить максимальное значение колебательного квантового числа.
10. Для молекулы HF определить энергию, необходимую для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень энергии.
Глава 4. Элементы физики атомных ядер
4.1. Состав и основные свойства ядер
Опыты Резерфорда по рассеянию -частиц атомами показали, что атом имеет электронную оболочку и ядро малых размеров. Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточена практически вся масса атома (99,6%) и весь его положительный заряд.
Согласно модели, почти одновременно предложенный в 1932 г. Д.Д. Иваненко и В. Гейзенбергом, ядро атома любого химического элемента состоит из двух видов элементарных частиц – протонов и нейтронов, которые являются двумя зарядовыми состояниями ядерной частицы, называемой нуклоном.
Протон, открытый в 1919 г. Резерфордом, имеет положительный электрический заряд по модулю равный заряду электрона. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона. Нейтрон, открытый в 1932 г. английским физиком Дж. Чедвиком, заряда не имеет, а его масса больше массы протона на 2,5 электронные массы.
Заряд ядра равен суммарному заряду входящих в ядро протонов Ze, где Z – порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева. Число Z определяет количество электронов в атоме и протонов в его ядре, т.к. атом в целом электронейтрален.
Количество нейтронов в ядре обозначается N. Общее число нуклонов в ядре называют массовым числом ядра А:
. (4.1)
Массовое число – это целое число, ближайшее к атомному весу элемента, выраженному в атомных (или углеродных) единицах массы.
Атомная единица массы (а.е.м.) – величина, численно равная 1/12 массы атома углерода, ядро которого имеет 6 протонов и 6 нейтронов.
.
Масса протона составляет 1,00728 а.е.м., нейтрона – 1,00867 а.е.м., электрона –
Для легких ядер соотношение , для самых тяжелых .
Ядро химического элемента обозначают символом , где Х – символ атома химического элемента в периодической системе Менделеева, А – массовое число или общее число нуклонов, Z – зарядовое число, или число протонов. Для всех ядер .
Ядра, имеющие одно и то же зарядовое число при различных массовых числах, называются изотопами. Изотопы ядер химического элемента имеют разное количество нейтронов в составе ядра. Все химические элементы представляют собой природные смеси изотопов. например, водород имеет три изотопа: легкий изотоп с ядром (протий), тяжелый изотоп с ядром (дейтерий) и искусственно полученный изотоп с ядром (тритий). У урана (Z=92) имеется 12 изотопов с массовыми числами от А=228 до А=239. Всего известно около 300 устойчивых изотопов 107 химических элементов и более 2000 естественных и искусственно полученных неустойчивых (так называемых радиоактивных) элементов.
Ядра, имеющие одно и то же значение массового числа при различных зарядовых числах, называются изобарами. Примером изобарной пары могут быть и , изобарной триады – , , .
В зависимости от четности числа входящих в ядро протонов и нейтронов, ядра могут быть четно-четными, четно-нечетными, нечетно-четными и нечетно-нечетными. Во всех случаях первой указывается четность числа протонов.
Нуклоны имеют спин, равный (по установившейся традиции под спином частицы понимают значение спинового квантового числа). Проекция спина каждого нуклона на направление индукции внешнего магнитного поля имеет два значения: , где .
Спин ядра равен векторной сумме спинов составляющих ядро нуклонов. Для вычисления спина ядра имеет значение четность чисел Z и N. У четно-четных ядер спин (ядерное спиновое число) равен нулю, у нечетно-нечетных – целому числу. У ядер с нечетным А спины имеют дробное значение: , , и т.д. Целочисленные спины ядер не превышают нескольких единиц, что говорит о том, что спины большинства нуклонов в ядре взаимно компенсируют друг друга, располагаясь антипараллельно.
Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется магнитный момент ядра в целом. Единицей магнитного момента ядер служит ядерный магнетон , где е – заряд электрона, mp – масса покоя протона. Протон имеет магнитный момент , направление которого совпадает с направлением спина протона. Нейтрон, несмотря на отсутствие заряда, имеет собственный магнитный момент , направление которого противоположно направлению спина протона.
Сравнивая величину ядерного магнетона с магнетоном Бора , где mе – масса покоя электрона, можно видеть, что , т.е. магнитные свойства атома определяются магнитными свойствами электронов, а не ядра.
Размер ядра характеризуется радиусом ядра, который носит условный смысл – вследствие того, что нуклоны обладают волновыми свойствами, атомное ядро, как и атом, не имеет резковыраженных границ. Эмпирическая формула радиуса ядра
, где . (4.2)
По современным данным размеры всех ядер примерно равны.
4.2. Энергия связи ядра. Дефект массы
Нуклоны в ядрах находятся в состояниях, существенно отличающихся от их свободных состояний, та как во всех ядрах, за исключением ядра обычного водорода, содержится не менее двух нуклонов, между которыми осуществляется особое ядерное сильное взаимодействие – притяжение, обеспечивающее устойчивость ядер, несмотря на кулоновское отталкивание одноименно заряженных протонов. Чтобы оторвать от ядра хоть один нуклон, нужно совершить определенную работу.
Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе, которую надо совершить для удаления нуклона из ядра, не сообщая ему кинетической энергии.
Энергия связи ядра равна работе, которую надо совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны, не сообщая им кинетической энергии.
Из закона сохранения энергии следует, что при обратном процессе, то есть при образовании ядра из свободных нуклонов, должна выделяться такая энергия, которую надо затратить на расщепление ядра на нуклоны, то есть энергия связи. А раз так, то из соотношения между массой и энергией следует, что и масса образовавшегося ядра должна быть меньше суммы масс покоя входящих в него нуклонов на величину , называемую дефектом массы:
.
Если ядро массой Мя образовалось из Z протонов и нейтронов, то
. (4.3)
Поскольку табличной величиной является не масса ядра Мя, а масса атома Ма, отличающаяся от массы ядра на суммарную массу Z электронов, предыдущую формулу удобнее использовать в виде:
, (4.4)
где – масса протия, равная 1,00783 а.е.м.
Дефект массы служит мерой энергии связи ядра:
. (4.5)
В ядерной физике часто массы частиц выражают в единицах энергии, умножая массу частицы в килограммах на квадрат скорости света и деля, для перевода в электрон-вольты, на заряд электрона . Одной атомной единице массы соответствует атомная единица энергии:
.
Энергия связи ядра зависит главным образом от общего числа нуклонов в ядре (и в меньшей степени – от соотношения числа протонов и нейтронов). Энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон, называется удельной энергией связи , составляет в среднем 8 МэВ на нуклон, изменяясь в зависимости от массового числа согласно графику, приведенному на рис. 4.1.
Рис. 4.1
Величина удельной энергии связи характеризует прочность ядер. Наиболее устойчивыми являются ядра с массовым числом 50÷60, для которых . Для ядер, расположенных в конце периодической системы (например, ) удельная энергия связи составляет 7,6 МэВ. Такая зависимость удельной энергии связи ядра от массового числа делает принципиально возможным получение ядерной энергии двумя путями:
Атомные ядра, как и атомы, характеризуются дискретными значениями энергии. Ядро, находящееся в основном состоянии, имеет наименьшую энергию, равную по модулю энергии связи: . Если ядро обладает энергией, то оно находится в возбужденном состоянии. Если , то это соответствует расщеплению ядра на нуклоны. В отличие от атомных энергетических уровней, энергетические уровни ядра отстоят друг от друга на мегаэлектрон-вольты, чем и объясняется происхождение и свойства гамма – излучение.
4.3. Природа и свойства ядерных сил
Огромная энергия связи нуклонов в ядре говорит о том, что между ними имеется очень сильное взаимодействие, носящее характер притяжения. Оно удерживает нуклоны в ядре на расстоянии ~ 10-15 м друг от друга, несмотря на электростатическое отталкивание между протонами. Ядерное взаимодействие получило название сильного взаимодействия. Его можно описать с помощью поля ядерных сил, которые нельзя свести ни к одному из типов сил, известных в классической механике (электромагнитным или гравитационным). Ядерные силы обладают рядом специфических свойств:
Насыщенность ядерных сил аналогична насыщенности ковалентной связи атомов в молекуле: атом водорода может взаимодействовать лишь с одним атомом, так как имеет всего один валентный электрон, атома углерода – максимум с четырьмя, так как имеет четыре валентных электрона. При образовании ковалентной связи атомы в молекуле как бы обмениваются своими валентными электронами, осуществляя их.
Насыщенность ядерных сил позволила японскому физику Х. Юкава предположить, что они также носят обменный характер: согласно его гипотезе, нуклоны в ядре непрерывно с огромной быстротой обмениваются друг с другом виртуальными* частицами с массой порядка ~ 300mе, которые Юкава назвал «мезонами» (от греческого «мезос» – средний), так как их масса средняя между массой электрона и нуклона.
Если нуклону сообщить энергию, эквивалентную массе мезона, мезон из виртуального станет реальным.
В 1947 г. предсказанные Юкавой частицы были обнаружены в составе космического излучения и названы π-мезонами, или пионами. Существуют положительные (π+), отрицательные (π-) и нейтральные (π0) пионы. Заряженные пионы имеют заряд, равный заряду электрона и массу 273mе, время их жизни составляет ~10-8 с, а нейтральный пион имеет время жизни порядка 10-16 с. Спин пионов равен нулю.
* Виртуальными в квантовой механике называют частицы, которые не могут быть обнаружены за время своего существования.
Нуклоны в ядре непрерывно обмениваются пионами по схеме:
.
В результате этих процессов протон часть времени проводит в виртуальном состоянии , а нейтрон – в виртуальном состоянии . Этим объясняется наличие магнитного момента у незаряженного нейтрона и аномально большой (2,79 μя вместо 1μя) магнитный момент протона. Каждый нуклон в ядре окружен «облаком» виртуальных π-мезонов. Поглощение этих π-мезонов другими нуклонами, то есть обмен пионами и объясняет сильное взаимодействие между нуклонами.
4.4. Радиоактивность. Виды радиоактивного излучения
В 1896 г. французский физик А. Беккерель, изучая люминесценцию полей урана, обнаружил самопроизвольное испускание ими излучения неизвестной природы, которое вызывало почернение фотопластинки, ионизацию воздуха, свечение некоторых веществ и проникало сквозь тонкие металлические пластинки.
Обнаруженное излучение было названо радиоактивным излучением, а само явление испускания радиоактивного излучения – радиоактивностью (от латинского радиус – луч). Продолжая исследования этого явления, супруги Пьер Кюри и Мария Складовская-Кюри в конце XIX века обнаружили, что, кроме урана, свойством самопроизвольной радиоактивности обладают еще радий, полоний и открытые впоследствии актиний и торий.
В настоящее время под радиоактивностью понимают превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотопы другого элемента, сопровождающееся испусканием некоторых частиц и выделением энергии.
Радиоактивность, наблюдающаяся у изотопов, существующих в природе, называют естественной. Радиоактивность, наблюдаемую у изотопов, полученных посредством ядерных реакций, называется искусственной. Искусственные радиоактивные изотопы могут быть получены у всех без исключения химических элементов, если бомбардировать их ядра протонами, нейтронами и другими частицами.
Между искусственной и естественной радиоактивностью нет принципиальных различий – в обоих случаях радиоактивный распад* подчиняется одинаковым законам.
Э. Резерфорд заметил, что радиоактивное излучение неоднородно по составу. В магнитном поле узкий пучок радиоактивного излучения расщеплялся на три компонента:
- слабо отклоняемый пучок положительных - лучей;
- сильно отклоняемый пучок отрицательных β -лучей;
- неотклоняемый пучок - лучей.
Исследование этих компонентов позволило выяснить их природу и основные свойства.
-излучение представляет собой поток моноэнергетических ядер гелия . -частицы обладают высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (поток излучения задерживается слоем алюминия толщиной 0,05 мм).
β - излучение представляет собой поток быстрых элетронов или позитронов. Его ионизирующая способность примерно в 100 раз меньше, чем у - частиц, а проникающая способность значительно больше (поглощается слоем алюминия толщиной примерно в 2 мм). β -излучение сильно рассеивается в веществе.
- излучение не отклоняется на магнитным, ни электрическим полем, оно обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (проходит через слой свинца толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию. - излучение представляет собой электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны и вследствие этого – ярко выраженными корпускулярными свойствами. - кванты испускаются дочерними ядрами при переходе их из возбужденного начального состояния в нормальное.
Под радиоактивным распадом или просто распадом понимают естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, а возникающее в результате распада – дочерним.
4.5. Закон радиоактивного распада
При радиоактивном распаде ядра распадаются независимо друг от друга, и распад каждого является случайным событием. Вероятность этого события, то есть распада ядра за 1 с является константой для данного радиоактивного вещества и называется постоянной радиоактивного распада, которая численно равна доле ядер, распадающихся за 1 с.
Величина называется средней продолжительностью жизни радиоактивного изотопа.
Если на некоторый момент времени t число ядер радиоактивного изотопа равно N, то по истечении времени dt убыль ядер вследствие распада dN составит
.
Разделив переменные и интегрируя, получим:
; ; .
Потенцируя, получим закон радиоактивного распада:
, (4.6)
где N0 – начальное количество нераспавшихся ядер (в момент времени t=0);
N – число нераспавшихся ядер в момент времени t.
Характеристикой устойчивости ядер относительно распада является период полураспада Т – время, за которое исходное число радиоактивных ядер уменьшается вдвое.
Тогда, согласно (4.6) , и , откуда
.
Период полураспада постоянен для данного изотопа и изменяется от лет у урана до с у калифорния.
Активностью А радиоактивного образца называется число распадов, происходящих с ядрами образца за 1 секунду:
. (4.7)
Рассматривая совместно формулы (4.7) и (4.6) можно видеть, что активность радиоактивного изотопа убывает со временем по экспоненциальному закону. Единицей активности в СИ является 1 беккерель (Бк) = 1 распад/сек. В ядерной физике применяется внесистемная единица 1 кюри (Ки) = 3,7·1010 Бк.
Активность единицы массы радиоактивного изотопа называют удельной активностью а:
.
Если дочернее ядро, возникшее в результате распада материнского ядра, также оказывается радиоактивным, возникает цепочка радиоактивных превращений, заканчивающаяся образованием стабильного элемента. Совокупность элементов, образующих такую цепочку, называется радиоактивным семейством. «Родоначальником» каждого семейства является изотоп с наибольшим периодом полураспада. Выделяют семейства тория, урана, актиния и нептуния.
4.6. Виды радиоактивных распадов
Все радиоактивные превращения в природе заканчиваются образованием устойчивых изотопов свинца и происходят с соблюдением законов сохранения электрического заряда, массового числа, энергии и спина.
Альфа-распад – превращения атомных ядер, происходящих с испусканием - частиц.
- распад является свойством тяжелых ядер с А >200 и Z >82. Внутри таких ядер вследствие движения и взаимодействия нуклонов происходит обновление - частицы – системы из двух протонов и двух нейтронов. На такую систему ядерные силы притяжения действую слабее, так как внутри нее они уже насыщены, а кулоновские силы отталкивания – сильнее, чем на отдельные протоны и при определенных условиях - частица может покинуть ядро:
(4.8)
Как видно из (4.8), каждый - распад уменьшает массовое число материнского ядра на 4 единицы, а зарядовое – на две, то есть дочернее ядро оказывается в периодической системе Менделеева на две клетки леве материнского.
Зная массы покоя материнского и дочернего ядер и - частицы, можно определить энергию - распада. Эта энергия делится между дочерним ядром и - частицей обратно пропорционально их массам. В зависимости от рода ядер, энергия - частиц составляет от 4 до 8,8 МэВ, что соответствует скоростям от до м/с.
Дочернее ядро в момент возникновения может находиться как в нормальном, так и в возбужденном состоянии. Максимальной скорости - частицы соответствует случай, когда дочернее ядро находится в нормальном состоянии. Переход дочернего ядра из возбужденного состояния в нормальное состояние сопровождается испусканием - кванта определенной энергии. Поскольку энергетические уровни дочернего ядра квантованы, - частицы, возникающие при распаде, имеют определенные значения скоростей, а значит, и энергий. Изучая энергетический спектр - частиц, можно получить представление об энергетических уровнях дочернего ядра. Снятие возбуждения у дочернего ядра может происходить и без вылета - кванта: в этом случае энергия возбуждения передается одному из электронов К-, L- или М- оболочки атома, в результате чего электрон покидает атом. Это явление называется внутренней конверсией. На вакантное место переходят электроны с более дальних от ядра оболочек, в результате чего возникает характеристическое рентгеновское излучение.
Эксперименты показали, что для того, чтобы покинуть ядро, - частица должна преодолеть потенциальный барьер, высота которого больше энергии самой - частицы. Таким образом, с точки зрения классической физики - распад необъясним.
Квантовая механика рассматривает - распад как результат просачивания - частицы сквозь потенциальный барьер, то есть как результат туннельного эффекта.
Бета – распад. Как показали исследования, радиоактивные превращения ядер могут происходить с испусканием потока электронов. Этот вид распада получил название β-распада. Изучение β-распада показало, что β -частицы, вылетающие из ядра, уносят различную энергию, вплоть до некоторой Еmax, соответствующей разности масс покоя материнского и дочернего ядра. Таким образом, в отличие от -частиц, энергетический спектр β-частиц является непрерывным и имеет вид, показанный на рис. 4.2, где N – число электронов, имеющих энергию Е.
Рис. 4.2
Исследования показали, что при β-распаде массовое число ядра не изменяется, и после испускания электрона материнским ядром дочернее перемещается на одну клетку вправо в периодической системе элементов.
Поскольку протонно-нейтронный состав ядер исключает излучения при β-распаде говорит о том, что испускаемые электроны не вырываются из электронной оболочки, а имеют внутриядерное происхождение, оставалось предположить, что β-распад, протекающий по схеме
, (4.9)
представляет собой внутриядерный процесс превращения одного из нейтронов в протон:
. (4.10)
Масса нейтрона больше массы протона, поэтому этот процесс идет с выделением энергии, ничтожную часть которой получает дочернее ядро в виде «отдачи», а большую часть – электрон. Но такой механизм предполагает постоянство значения энергии электронов Ее, а именно: , что противоречит результатам экспериментов.
Кроме того, раз не изменяется массовое число, значит, не меняется и суммарное число нуклонов материнского и дочернего ядра, а значит и его спин. Но вылетающий из ядра электрон имеет спин, равный , следовательно, спин дочернего ядра должен измениться, что также противоречит эксперименту.
Изучая закономерности β-распада, В. Паули предположил, что при β- распаде одновременно с электроном ядром испускается еще одна частица, получившая название нейтрино (ν)*. Она не имеет заряда и массы покоя, но должна иметь спин, равный спину электрона. При одновременном вылете из ядра электрона и нейтрино их спины ориентированы противоположно, поэтому спин ядра не меняется.
Гипотеза о возникновении нейтрино объясняет и непрерывный энергетический спектр β-электронов: при β-распаде энергия распределяется между электроном и нейтрино в различных пропорциях, но при этом всегда
* После открытия позитрона – античастицы электрона и осуществления искусственных радиоактивных превращений атомных ядер с испусканием позитронов было установлено, что нейтральной частицей, участвующей в позитронном распаде является нейтрино, в электронном же распаде участвует ее античастица – антинейтрино .
.
Таким образом, энергетический спектр электронов действительно должен быть сплошным и ограниченным со стороны больших энергий.
Гипотеза Паули позволила итальянскому физику Энрико Ферми создать теорию β-распада, согласно которой в ядре возможны взаимные превращения нуклонов. По современным представлениям, существуют три разновидности β-распада: электронный (β--распад), позитронный (β+-распад) и электронный захват.
β--распад протекает по схеме
(4.11)
и представляет собой превращение одного из нейтронов ядра в протон с испусканием электрона и антинейтрино:
. (4.12)
Если дочернее ядро вначале находилось в возбужденном состоянии, то при переходе его в нормальное состояние может испускаться -квант с энергией (hν).
β+-распад протекает по схеме
(4.13)
и представляет собой превращение одного из протонов ядра в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрино:
. (4.14)
Масса протона меньше, чем нейтрона, поэтому эта реакция идет с поглощением энергии, то есть свободный протон претерпеть позитронный распад не может, но в ядре такой процесс возможен, так как необходимую энергию протон может получить при взаимодействии с другими нуклонами ядра. При позитронном распаде дочернее ядро перемещается на одну клетку периодической системы элементов влево по сравнению с материнским ядром. Позитронный распад также может сопровождаться испусканием -квантов.
У многих тяжелых ядер протекает процесс третьего вида распада, называемый электронным захватом. В этом случае возбужденное ядро захватывает электрон с ближайшей к ядру оболочки. При этом один из протонов ядра превращается в нейтрон и возникает нейтрино:
. (4.15)
При этом дочернее ядро, как и в случае β-распада, перемещается на одну клетку влево в периодической системе элементов. Из-за открывшейся в соответствующей оболочке электронной вакансии происходят переходы электронов с более удаленных оболочек, и захват сопровождается, помимо -излучения, испусканием рентгеновского характеристического излучения, по этому признаку электронный захват отличают от позитронного β-распада.
4.7. Ядерные реакции
Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные взаимодействием их друг с другом или с элементарными частицами.
Взаимодействие реагирующих частиц возникает при сближении их до расстояний порядка 10-15 м благодаря действию ядерных сил.
Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы с ядром Х, в результате которого образуется легкая частица и ядро Y:
, или сокращенно . (4.16)
Частицы Х и называются исходной парой, а частицы Y и – конечной парой, ядро Х – мишенью, частица – исходной или налетающей, ядро Y – продуктом, частица – испускаемой.
В качестве частиц и могут фигурировать нейтрон n, протон p, ядро тяжелого водорода – дейтрон (d), -частица и -фотон.
При ядерных реакциях соблюдаются законы сохранения: суммарного электрического заряда, массового числа, энергии, импульса и момента импульса (спина).
Все ядерные реакции характеризуются энергией, выделяемой или поглощаемой при протекании реакции. Реакции, протекающие с выделением энергии, называются экзотермическими, а с поглощением энергии – эндотермическими. Если суммарная масса исходной пары больше, чем суммарная масса конечной, реакция будет экзотермической, в противном случае – эндотермической.
Реакции, протекающие по схеме (4.16) называются прямыми ядерными взаимодействиями, они протекают с участием быстрых нуклонов и дейтронов. Если же скорость налетающей частицы не очень велика, реакция идет в два этапа с образованием промежуточного ядра С (составное ядро, или компаунд-ядро):
. (4.17)
На первом этапе налетающая частица а «застревает» в ядре мишени Х, и ее энергия быстро распределяется между всеми нуклонами ядра С, так что ни один их них не получает энергии, достаточной для вылета из ядра. Компаунд-ядро при этом оказывается в возбужденном состоянии. В результате случайных отклонений от равномерного распределения энергии возбуждения между частицами компаунд-ядра, на какой-либо из них концентрируется энергия, достаточная для вылета из ядра. Этот этап длится 10-13 – 10-14 с, что в 107 – 108 раз больше того времени, которое необходимо нуклону с энергией ~1 МэВ, чтобы пролететь сквозь ядро. За это время компаунд-ядро как бы «забывает» причину своего образования, и его распад может идти различными путями (по различным выходным каналам), независимо от причины его образования. Возможны в том числе и такие каналы, для которых , то есть ядро С, превращаясь в ядро продукт Y, испускает частицу, идентичную налетающей. Такая ядерная реакция называется рассеянием. Если при этом и энергии частиц равны, то есть , рассеяние является упругим, если – неупругим. Ядерная реакция в полном смысле этого слова имеет место, только если не тождественна .
Ядерные реакции классифицируются:
а) по энергиям вызывающих их частиц:
до 100 эВ – малые энергии;
до 1 МэВ – средние;
до 50 МэВ – большие;
б) по виду участвующих в них ядер:
– реакции на легких ядрах;
– на средних ядрах;
– на тяжелых ядрах;
в) по виду бомбардирующих частиц: реакции под действием нейтронов, фотонов, заряженных частиц;
г) по характеру ядерных превращений: кулоновское возбуждение, радиационный захват, рассеяние, деление ядер и др.
Одну из первых ядерных реакций наблюдал в 1919 г. Э.Резерфорд:
, или . (4.18)
В 1932 г. опыты Боте и Беккера по бомбардировке -частицами ядер бериллия экспериментально подтвердили наличие в ядрах нейтронов, предсказанное еще в 1920 г.:
.
Впоследствии оказалось, что нейтрон β--радиоактивен, его период полураспада равен 12 мин.
В 1934 г. Фредерик и Ирэн Жолио-Кюри в результате ядерной реакции получили первый искусственный радиоактивный изотоп – :
.
Наибольший интерес для практического использования представляют ядерные реакции с участием нейтронов – не обладая электрическим зарядом, нейтроны могут проникать в ядро, не испытывая кулоновского отталкивания со стороны протонов ядра, следовательно, они могут проникать в ядро при меньших собственных энергиях, вызывая различные виды ядерных превращений. Такие реакции начала проводить группа Э. Ферми.
Характер ядерных реакций под действием нейтронов зависит от их скорости (энергии). По энергиям нейтроны условно делят на две большие группы: медленные и быстрые.
Медленные нейтроны, в свою очередь, подразделяют на:
Ко второй группе относятся нейтроны:
Замедлить нейтроны можно, пропуская их через какое-либо вещество, содержащее водород (парафин, вода): проходя через такие вещества, быстрые нейтроны неупруго рассеиваются на ядрах и замедляются до тех пор, пока их энергия не станет равна, например, энергии теплового движения атомов вещества замедлителя, приблизительно равной ( – постоянная Больцмана). Такие нейтроны называют тепловыми.
Медленные нейтроны эффективны для возбуждения ядерных реакций, так как относительно долго находятся вблизи ядра, что увеличивает вероятность захвата нейтрона ядром, однако из-за своей малой энергии они могут испытывать лишь упругое рассеяние на ядрах (реакция типа ) и радиационный захват (реакция ).
При радиационном захвате образуется новый изотоп исходного вещества, а энергия возбуждения испускается в виде -кванта:
. (4.19)
Новое ядро Y зачастую оказывается β--радиоактивным.
На некоторых легких ядрах под действием тепловых нейтронов наблюдаются реакции с испусканием заряженных частиц – протонов и -частиц, но в основном реакции типа и происходят под действием быстрых нейтронов, поскольку в случае медленных нейтронов энергии ядра недостаточно для преодоления потенциального барьера, препятствующего вылету заряженной частицы. Быстрые нейтроны рассеиваются на ядрах неупруго, то есть замедляются. Для нейтронов с энергиями 10 МэВ становятся возможными реакции типа .
4.8. Деление тяжелых ядер. Цепная реакция
В 1938 г. немецкие ученые О. Ганн и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана нейтронами образуются элементы из середины периодической системы – барий и лантан. Физики А. Мейтнер и О. Фриш объяснили это явление тем, что захватившее нейтрон ядро урана делится на две части, получившие название осколков. Осколки редко бывают одинаковыми по массе – чаще всего масса одного примерно в полтора раза больше массы другого, причем вариантов деления насчитывается более двухсот, например:
. (4.20)
Поскольку у тяжелых ядер соотношение числа нейтронов и протонов , а у более легких ядер – осколков оно близко к единице, осколки в момент своего возникновения оказываются перегруженными нейтронами, чтобы перейти в стабильное состояние, они испускают вторичные нейтроны. Испускание вторичных нейтронов является важной особенностью реакций деления тяжелых ядер, поэтому вторичные нейтроны называют еще нейтронами деления. При делении каждого ядра урана испускаются 2-3 нейтрона деления.
Однако испускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядер-осколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки оказываются радиоактивными: избыточные нейтроны в них превращаются в протоны, то есть происходит β--распад, сопровождающийся испусканием -квантов. Так, осколок деления в результате цепочки β--распадов превращается в стабильный изотоп лантана:
.
Как следует из рис. 4.1, энергия связи, приходящаяся на один нуклон в тяжелом ядре (А>200), примерно на 1 МэВ меньше, чем в ядрах средней массы. Поэтому деление «рыхлого» тяжелого ядра на два более плотно упакованных осколка, сопровождается выделением энергии в количестве примерно 1 МэВ/нуклон. Так, при делении одного ядра изотопа урана выделяется 200 МэВ энергии. Большую часть этой энергии получают ядра-осколки, остальная приходится на кинетическую энергию нейтронов деления и энергию излучения.
Нейтроны деления имеют довольно широкий энергетический спектр – от 0 до 7 МэВ. Деление ядер урана осуществляется тепловыми нейтронами, а урана–238 нейтронами, с энергией порядка 1 МэВ, поэтому вторичные нейтроны с достаточной энергией могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления – ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения нейтронов k, равным отношению числа нейтронов на данном этапе реакции к числу их на предыдущем этапе. Если , цепная реакция не возникает (или прекращается), при идет развивающаяся цепная реакция, число делений лавинообразно нарастает и реакция может стать взрывной. При идет самоподдерживающаяся реакция, при которой число нейтронов остается постоянным. Именно такая цепная реакция осуществляется в ядерных реакторах.
Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного изотопа – от его количества, а также от размеров и формы активной зоны – пространства, в котором происходит цепная реакция. Не все нейтроны, обладающие энергией достаточной для деления ядра, участвуют в цепной реакции – часть их «застревает» в ядрах неделящихся примесей, всегда присутствующих в активной зоне, а часть покидает активную зону, размеры которой конечны, раньше, чем будет захвачена каким-либо ядром (утечка нейтронов). Минимальные размеры активной зоны, при которых возможна цепная реакция, называются критическими размерами, а минимальная масса делящихся веществ, находящихся в системе критических размеров, называется критической массой. Так, в куске чистого урана каждый нейтрон, захваченный ядром вызывает деление с испусканием в среднем 2,5 вторичных нейтронов, но если масса такого урана меньше 9 кг, то большинство нейтронов вылетают наружу, не вызвав деления, так что цепная реакция не возникает. Поэтому вещества, ядра которых способны делиться, хранят в виде изолированных друг от друга кусков, меньших критической массы. Если быстро и плотно соединить несколько таких кусков, так что их суммарная масса превысит критическую массу, начнется лавинообразное размножение нейтронов, и цепная реакция приобретет неуправляемый взрывной характер. На этом основано устройство атомной бомбы.
4.9. Понятие о ядерной энергетике
Цепная реакция может осуществляться на изотопах , и . Эти вещества получили название ядерного горючего, или расщепляющихся материалов. Деление ядер этих изотопов вызывают нейтроны любой энергии, в том числе и медленные. Только один из расщепляющихся материалов, , имеется в природе. Его содержание в природном уране составляет 0,7%. Основной изотоп природного урана, , хоть и делится при поглощении быстрых нейтронов, не способен к цепной реакции, так как дает мало вторичных быстрых нейтронов, да и те большей частью поглощаются его ядрами без деления. Два других расщепляющихся материала получают искусственно: – из , а – из . Превращения ядерного сырья в ядерное горючее осуществляется в ядерных реакторах – устройствах, в которых осуществляется управляемая цепная реакция деления. Управление цепной реакцией заключается в поддержании коэффициента размножения нейтронов равного единице.
Первыми ядерными реакторами были реакторы на медленных нейтронах. Большинство нейтронов, испускаемых при делении ядер U-235, обладают энергиями 1-2 МэВ и скоростями порядка 107 м/с, то есть это быстрые нейтроны. Они поглощаются ядрами U-235 примерно в 500 раз хуже, чем нейтроны со скоростями порядка м/с (медленные), также способные вызывать деление ядер урана-235. Поэтому для осуществления цепной реакции необходимо замедлить быстрые нейтроны до тепловых. Для этого используют вещества – замедлители. Наиболее распространенными замедлителями являются обычная и тяжелая вода и графит. Принципиальная схема ядерного реактора на медленных нейтронах и энергетической установки на его базе показаны на рис. 4.3.
Главной частью реактора является его активная зона, в которой происходит самоподдерживающаяся цепная реакция деления и выделяется энергия.
Рис. 4.3
В активной зоне размещены тепловыделяющиеся элементы (ТВЭЛы), представляющие собой блоки ядерного горючего 1, заключенные в герметичную оболочку, слабо поглощающую нейтроны. Со всех сторон ТВЭЛы окружены замедлителем 2. За счет энергии, выделяющейся при делении ядер, ТВЭЛы разогреваются, поэтому для отвода тепла они помещаются в поток теплоносителя. В данном случае замедлителем и одновременно теплоносителем служит вода. Для уменьшения утечки нейтронов рабочая зона окружена отражателем 3 (например, из бериллия).
Управление цепной реакцией осуществляется специальными управляющими стержнями 4 из материалов, сильно поглощающих нейтроны (например, бор, кадмий). Реактор рассчитан так, что при полностью погруженных в рабочую зону стержнях цепная реакция не идет. Постепенно извлекая стержни, увеличивают коэффициент размножения нейтронов, доводя его значение до единицы. В этот момент реактор начинает работать. В ходе его работы количество ядерного топлива уменьшается, и происходит его загрязнение осколками деления, среди которых могут быть сильные поглотители нейтронов, поэтому по мере «выгорания» ядерного топлива управляющие стержни при помощи специального автоматического устройства постепенно извлекаются из активной зоны. Когда ядерное топливо выгорает, реакция прекращается. До нового запуска реактора ядерные отходы извлекаются и загружают новую порцию ядерного топлива.
Ядерный реактор является мощным источником проникающей радиации (нейтроны, -излучение), поэтому любой реактор имеет систему экранов из защитных материалов (свинец, бетон), находящуюся за отражателем (на схеме не показана).
Деление ядер, содержащихся в одном грамме урана-235, дает столько же энергии, сколько сжигание трех тонн каменного угля. Эту энергию отводят из реактора при помощи теплоносителя (вода, гелий, жидкий натрий), который по трубопроводу 5 поступает в теплообменник 6, частично заполненный водой. В результате нагрева воды в теплообменнике образуется перегретый пар, который по трубопроводу 7 поступает в паровую турбину 8, а после отработки возвращается в теплообменник. Турбина вращает электрический генератор 9, ток от которого поступает в сеть.
Первая в мире атомная электростанция мощностью 5 МВт была введена в эксплуатацию в 1954 г. Обнинске под руководством И.В. Курчатова.
Среди ядерных реакторов особое место занимают энергетические реакторы–размножители, в которых наряду с выработкой электроэнергии идет процесс воспроизводства ядерного горючего. Это реакторы, работающие на быстрых нейтронах, без замедлителя. Топливом для них служит природный уран, содержащий 1 атом урана-235 на 140 атомов U-238. (Иногда используют обогащенный уран, содержащий до 25% урана-235). В таких реакторах свыше быстрых нейтронов поглощаются ядрами урана-238:
. (4.21)
При этом образуется радиоактивный изотоп , имеющий период полураспада около двух суток. В результате β--распада нептуний превращается в другой трансурановый элемент – плутоний . Этот не встречающийся в природе изотоп замечателен тем, что, подобно урану-235 делится тепловыми нейтронами и способен поддерживать цепную реакцию, то есть является ядерным горючим. Он -радиоактивен, но период его полураспада составляет 24000 лет, то есть его можно накапливать.
Таким образом, реакторы на быстрых нейтронах позволяют использовать в качестве топлива природный или слабообогащенный уран, производят энергию и воспроизводят ядерное горючее: на 1 кг такой реактор дает более 1 кг . Кроме того, для более эффективного использования нейтронов, в активную зону вместо замедлителя вводят вещества, ядра которых могут поглощать нейтроны. Таким образом, получают нужные народному хозяйству искусственные радиоактивные изотопы и трансурановые элементы.
4.10. Термоядерные реакции
Ядерный синтез, то есть образование из легких ядер более тяжелых, как и деление тяжелых ядер, сопровождается выделением огромной энергии, так как в обоих случаях образуются ядра с большей удельной энергией связи. Но для осуществления ядерного синтеза необходимо сблизить ядра на расстояния порядка радиуса действия ядерных сил, преодолевая кулоновское отталкивание, то есть придать ядрам огромную скорость, что возможно лишь при температурах К, поэтому реакции синтеза легких ядер в более тяжелые называются термоядерными.
Очевидно, как с точки зрения практического осуществления, так и по энергоотдаче наиболее эффективным должен быть синтез ядер из ядер водорода и , сила кулоновского отталкивания для ядер водорода минимальна, а удельная энергия связи ядра, как видно из рис. 4.1, у легких ядер очень резко растет с ростом массового числа. Однако и такие реакции могут проте6кать при температурах не ниже К, что соответствует температуре в недрах звезд.
Синтез ядер водорода в ядра гелия является, по-видимому, одним из источников энергии Солнца и звезд.
На Солнце термоядерные реакции могут протекать в виде термоядерных циклов: протон-протонного или углеродно-азотного.
Протон-протонный цикл протекает в три этапа:
1) ,
2) , (4.22)
3) .
В результате этого цикла четыре протона (ядра ), превращаются в одно ядро устойчивого изотопа гелия , испускаются два позитрона и -кванта и выделяется 27 МэВ энергии. В углеродно-азотном цикле также происходит синтез ядер гелия из водорода, а ядра углерода, число которых не изменяется, участвуют в реакции в роли катализатора.
Первая искусственная термоядерная реакция была осуществлена в США 1 ноября 1952 г. – взорвано термоядерное устройство, а в Советском Союзе 12 августа 1953 г. – в виде взрыва ядерной (водородной) бомбы:
. (4.23)
Термоядерные реакции дают на один нуклон 3,5 МэВ энергии, а реакции деления – около 1 МэВ. Решение проблемы управляемого термоядерного синтеза (УТС) означает для человечества доступ к неисчерпаемым источникам энергии – ведь синтез ядер дейтерия, содержащегося в стакане воды, в ядра гелия по энергии эквивалентен сжиганию 60 л бензина. Для того чтобы осуществить управляемую термоядерную реакцию, необходимо создать и поддерживать в некотором объеме водородную плазму с температурой 108 К. Создать такую плазму можно, пропуская импульс очень сильного тока сквозь газообразный дейтерий, либо нагревая его лучом мощного лазера. Однако, соприкасаясь со стенками установки, плазма мгновенно охлаждается и перестает существовать. Для ее изоляции от стенок используют магнитные ловушки – так как плазма состоит из заряженных частиц, то в сильном магнитном поле на нее действует сила Лоренца, заставляющая траекторию частицы винтообразно навиваться на силовую линию. Таким образом, частицы плазмы удерживаются от контакта со стенками. Установки, в которых осуществляются искусственные термоядерные реакции, называются токамаками (тороидальная камера с магнитными катушками). С их помощью удалось создать водородную плазму с концентрацией и температурой в объеме 5 м3, и удерживать ее в течение времени . Но пока энергозатраты превышают полученную энергию, а для осуществления самоподдерживающейся термоядерной реакции необходимо в 20 раз превысить показатель по и в десять раз – по температуре.
Краткие выводы
Вопросы для повторения и самоконтроля
Примеры решения задач
1. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .
Найти: , Есв, ω.
Решение
Ядро изотопа кислорода имеет массовое число А=16 и зарядовое Z=8, то есть состоит из 8 протонов и 8 нейтронов.
Дефект массы ядра через массу атома определяется как
, (1)
где – масса атома протия; – масса нейтрона; – масса атома, дефект массы которого определяется.
Из таблицы находим: , , .
Подставляя в формулу (1) числовые данные, получаем:
Энергия связи находится по формуле
. (2)
Если энергию связи выражать в МэВ, а дефект массы – в а.е.м., формула (2) принимает вид
. (3)
Подставляя в (3) численные значения, получим
.
Удельная энергия связи вычисляется по формуле
. (4)
Следовательно,
.
Ответ: , , .
2. Какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы оторвать 1 нейтрон от ядра ?
Найти: Е.
Решение
После отрыва одного нейтрона ядро превратится в ядро изотопа :
.
По закону сохранения энергии при обратном процессе
должна выделяться энергия связи нейтрона с ядром , в точности равная искомой энергии отрыва, следовательно, искомую энергию можно найти через дефект массы :
. (1)
По справочным таблицам находим: , , . Подставив эти значения в формулу (1), получим:
По формуле (3) предыдущей задачи найдем искомую энергию:
.
Ответ: .
3. Определить, сколько ядер в одном грамме радиоактивного стронция распадется в течение одного года.
Дано: , , .
Найти: .
Решение
Число распавшихся за год ядер определится как разность между количеством ядер радиоактивного изотопа в начальный момент времени и через год:
. (1)
Число ядер в начальный момент времени определим по закону Авогадро:
, (2)
где m – масса вещества; μ – его молярная масса (то есть масса одного моля*); – число Авогадро.
Число нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа в любой момент времени определяется по закону радиоактивного распада
. (3)
Постоянную распада можно найти из соотношения:
,
где Т – период полураспада.
Тогда с учетом (2) и (3) формулу (1) можно записать в виде
.
Подставив числовые значения и выполнив вычисления, получим:
.
Ответ: .
* Моль – количество вещества в граммах, численно равное его атомной (для молекул – молекулярной) массе, выраженной в атомных единицах массы. Например, один моль углерода С равен 12 г, кислорода О2 – 32 г, воды Н2О – 18 г.
4. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции
.
Выделяется или поглощается энергия при данной реакции?
Решение
Энергия ядерной реакции
, (1)
где – дефект массы реакции; с – скорость света.
Если выражать в а.е.м., то формула (1) примет вид:
.
Дефект массы реакции
.
Здесь вместо масс ядер изотопов кобальта использованы массы нейтральных атомов, так как число электронов до и после реакции не меняется. Используя справочные таблицы, находим: , , .
Подставив эти значения и производя вычисления, получим: .
Реакция идет с выделением энергии, т.к. :
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
1) Написать уравнение реакции.
2) Найти энергию, выделяющуюся при реакции.
3) Какое количество энергии можно получить при образовании 1 г гелия?
Ответы
к задачам для самостоятельного решения
Глава 1
1. 8,26 Дж.
2.0,71.
3. Уменьшилась в 1,49 раз.
4. Нет.
5. 2,3 эВ.
6. 1,1 Мм/с.
7. 2,48 эВ; ; .
8. 392 пм.
9. 2,4 пм; 1320 пм.
10. 60040'.
11. 70%.
12. 0,7 мкПа; 0,35 мкПа.
13. 100 Вт/м2; 667 нПа.
14. 28,6 мкПа.
Глава 2
1. 13,2 эВ; 4,86 эВ и 1,82 эВ.
2. ; 12,1 эВ.
3. 10,2 В.
4. 7,78 нм.
5. .
6. 60 кВ.
7. .
8. В160 раз.
9. 80 МэВ.
10. 4,48 эВ.
11. .
12. , .
13. -3,4 эВ; ; .
14. 1) ; 2) ; 3) .
Глава 3
1.
2. 100 пм.
3. 20,4 пм.
4. 770 кВ.
5. .
6.
7. 0,5 мм.
8. 6,35.
9. 23.
10. 5,46 мэВ.
Глава 4
1. 2,24 МэВ.
2. 7,26 МэВ.
3. 6 и 3β-.
4. , Т=3,82 сут.
5. 440 кг.
6. 22 МэВ.
7. 316 г.
8. 2) 17,6 МэВ; 3) .
Библиографический список
1. Геворкян, Р.Г. Курс общей физики / Р.Г. Геворкян, В.В. Шепель. – М.: Высш. шк., 1972. – 600 с.
2. Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1989. – 608 с.
3. Дмитриева, В.Ф. Основы физики / В.Ф. Дмитриева, В.Л. Прокофьев. – М.: Высш. шк., 2003. – 528 с.
4. Елютин, П.В. Квантовая механика с задачами / П.В. Елютин, В.Д. Кравченко. – М.: Наука, 1976. – 336 с.
5. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 3 / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989 – 304 с.
6. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990. – 478 с.
7. Фриш, С.Э. Курс общей физики. Т. 3 / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. – СПб.: Лань, 2006. – 540 с.
8. Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькенштейн. – М.: Наука, 1972. – 464 с.
9. Чертов, А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов. – М.: Высш. шк., 1981. – 496 с.
Оглавление
Предисловие…………………………………………….…..…………………3
Глава 1. Квантовая природа излучения………….………..………………4
1.1.Тепловое излучение…………………………..………..…………..…4
1.2. Квантово-оптические явления……………..……….………..………9
Краткие выводы…………………………...……..……….……………...17
Вопросы для самоконтроля и повторения………..…….…………..….18
Примеры решения задач……………………………..…....……………..18
Задачи для самостоятельного решения……………..…….………...…24
Глава 2. Основы квантовой механики………………………..……..……27
2.1 Корпускулярно-волновая двойственность света………..……...….27
2.2 Спектр водорода. Постулаты Бора………………………..……..….28
2.3 Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц.
Волны де Бройля................................................................................29
2.4 Соотношения неопределенностей Гейзенберга………......………..31
2.5 Уравнения Шредингера…………………...………….…..………….34
2.6 Движение свободной частицы………………………..….…...……..36
2.7 Частица в одномерной потенциальной яме …………..…….…...…37
2.8 Линейный гармонический осциллятор…………….….....…………39
2.9 Туннельный эффект………………….…………...….….…………...42
2.10 Атом водорода. Пространственное квантование………...…….....44
2.11 Принцип Паули. Периодическая система элементов
Менделеева………………………………………………………….47
Краткие выводы…………...……..………………………………………50
Вопросы для самоконтроля и повторения………………….....……….52
Примеры решения задач……………….....……………………………...52
Задачи для самостоятельного решения…………………….....……….55
Глава 3. Физика излучений …………………….…………..…………….57
3.1 Спектры атомов…………………………………..……………..…...57
3.2 Рентгеновские спектры…………………………………...…..……..58
3.3 Молекулярные спектры………………………………..……...……..63
3.4 Комбинационное рассеяние света…………………………….....….68
3.5 Явление люминесценции……………………..……………………..71
3.6 Поглощение света………………………………......………………..77
3.7 Отрицательное поглощение.
Генераторы когерентного света……………………………….…...81
Краткие выводы………………...……...………………………………...87
Вопросы для самоконтроля и повторения……………...……………...87
Примеры решения задач………………………...……...………………..88
Задачи для самостоятельного решения…………………...……...……89
Глава 4. Элементы физики атомных ядер…………………..………..…..91
4.1 Состав и основные свойства ядер……………………..……...…….91
4.2 Энергия связи ядра. Дефект массы………………..………...……...94
4.3 Природа и свойства ядерных сил………………..…………...……..97
4.4 Радиоактивность. Виды радиоактивного излучения..…..……...….99
4.5 Закон радиоактивного распада………..…...………………………101
4.6 Виды радиоактивных распадов…………….………...……………103
4.7 Ядерные реакции………………….…………..……………………108
4.8 Деление тяжелых ядер. Цепная реакция…………….……..……..112
4.9 Понятие о ядерной энергетике………….…………..……………..115
4.10 Термоядерные реакции………………………...…………………119
Краткие выводы………………………...………………………………121
Вопросы для самоконтроля и повторения……………….…….……..122
Примеры решения задач……………………….…..…………………...123
Задачи для самостоятельного решения……………..….…………….127
Ответы к задачам для самостоятельного решения…………………….…….…….129
Библиографический список……………………...………….…………………...131
Учебное издание
Шамиль Нясруллович Магдеев
Валентина Александровна Шлягина
ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ
КВАНТОВАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Конспект лекций
Ответственный редактор А.Ф. Ан
Подписано в печать 17.12.2007.
Формат 60х84 1/16. Бумага для множительной техники.
Гарнитура Times. Печать ризография. Усл. печ. л. 7,79.
Уч.-изд. л. 5,95. Тираж 100 экз. Заказ № 1211.
Муромский институт
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет»
Издательско-полиграфический центр
Адрес: 602264, Владимирская обл., г. Муром, ул. Орловская, 23.
E-mail: center@mivlgu.murom.ru
λ
rλ,T
Т1
Т2
Т3
Т1>T2>T3
V
G
R
Б1
Б2
А
С
Ф2>Ф1
Ф1
U
I
Iн2
Iн1
-Uз
Д
φ
S
К
λ
λ'
Р
λ
φ
Ре
Рф
Ре
Рф'
Рф
е
•
х = 0
х = L
х
U
Х
0
- а
а
U
A
В
W
n = 2
n = 1
n = 0
0
х
L
0
W
U0
U
x0
х
x2
x1
0
W
U
0
r
Z
Le
•
e
•
Еmax
Е, МэВ
N