Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МАТИ» - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО
Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ
ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математическая статистика»
Составители: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2008. – 20 с.
Егорова Ю.Б.,
Мамонов И.М.,
составление, 2008
МАТИ, 2008
Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания. В настоящее время существует достаточно большое количество статистических программ, предназначенных для работы на персональном компьютере. Однако для лучшего понимания изучаемого материала индивидуальное задание рекомендуется выполнить «вручную» (с помощью калькулятора).
ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемой величины.
Обозначим через Х исследуемую случайную величину. Из генеральной совокупности значений случайной величины Х сделаем выборку объемом n. По выборке можно оценить эмпирический закон распределения, например, с помощью статистического распределения частот и относительных частот, построения полигона, гистограммы, кумуляты, нахождения эмпирической функции распределения F*(x).
Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет некоторый предполагаемый теоретический закон распределения.
Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет предполагаемого теоретического закона распределения.
Пусть эмпирическое распределение задано в виде статистического распределения частот, т.е. в виде перечня вариант xi и соответствующих им эмпирических частот ni (табл.1).
Таблица 1
Статистическое распределение частот
|
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
ni |
n1 |
n2 |
nn |
Для каждого значения xi определим теоретические (выравнивающие) частоты . При уровне значимости необходимо проверить, насколько сильно эмпирические частоты отличаются от теоретических частот.
В этом случае в качестве критерия согласия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина 2, которая называется критерием согласия Пирсона:
Случайная величина 2 имеет распределение Пирсона с k=s-r-1 степенями свободы, где s – число частичных интервалов выборки,
r – число параметров закона распределения, которые определяются по выборке (табл.2).
Таблица 2
Число степеней свободы критерия Пирсона
|
Теоретический закон распределения |
Параметры закона распределения |
Число параметров r |
Число степеней свободы k=s-r-1 |
|
Нормальный |
m; |
2 |
k=s-3 |
|
Равномерный |
a, b |
2 |
k=s-3 |
|
Показательный |
λ |
1 |
k=s-2 |
|
Биномиальный |
p |
1 |
k=s-2 |
|
Пуассона |
λ |
1 |
k=s-2 |
Порядок проверки нулевой гипотезы:
Если , то нулевая гипотеза отвергается.
Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы данные были представлены в виде интервального (группированного) статистического ряда и в каждом интервале частота была не менее 5. Если в каком-нибудь интервале частота меньше 5, то необходимо объединить соседние интервалы.
Таблица 3
Группированный статистический ряд
|
№ интервала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
xi, % |
94-100 |
100-106 |
106-112 |
112-118 |
118-124 |
124-130 |
130-136 |
136-142 |
|
ni |
3 |
7 |
11 |
20 |
28 |
19 |
10 |
2 |
С помощью критерия Пирсона при уровне значимости =0,05 необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет нормального закона распределения с параметрами N(119,2; 9,35).
Сначала определяем теоретические (выравнивающие) частоты по формуле: где pi – вероятность попадания случайной величины Х в i-интервал. Для расчета pi используем функцию Лапласа (см. приложение 3):
где α и – концы i-интервала. Например:
Для определения вероятностей, теоретических частот и критерия Пирсона удобно составить таблицу (см. табл.4). Частоты в первом и последнем восьмом интервале меньше 5, поэтому их целесообразно объединить с соседними.
Таблица 4
Вспомогательная таблица для расчета критерия Пирсона
|
№ i-интер- вала |
Интервал xi [α] |
Эмпирические частоты ni |
Вероятность попадания в i-интервал pi |
Теоретические частоты |
Эмпирическая плотность распределения вероятностей f*(x) |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
|
1 |
94-100 |
3 |
10 |
0,017 |
1,7 |
7,6 |
0,758 |
0,003 |
|
2 |
100-106 |
7 |
0,059 |
5,9 |
0,010 |
|||
|
3 |
106-112 |
11 |
0,141 |
14,1 |
0,682 |
0,024 |
||
|
4 |
112-118 |
20 |
0,228 |
22,8 |
0,344 |
0,038 |
||
|
5 |
118-124 |
28 |
0,247 |
24,7 |
0,441 |
0,041 |
||
|
6 |
124-130 |
19 |
0,182 |
18,2 |
0,035 |
0,030 |
||
|
7 |
130-136 |
10 |
12 |
0,087 |
8,7 |
11,6 |
0,14 |
0,015 |
|
8 |
136-142 |
2 |
0,029 |
2,9 |
0,005 |
|||
|
|
100 |
1,0 |
100 |
2=2,27 |
– |
Порядок проверки нулевой гипотезы:
ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
Нормальной кривой называется график плотности распределения вероятностей нормальной случайной величины. Теоретическая плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения) имеет вид:
где m и - параметры нормального распределения: m=М(Х) - математическое ожидание случайной величины Х, =(Х) - среднее квадратическое отклонение.
Эмпирическая плотность распределения вероятностей имеет вид:
где и * – статистические оценки m и , определенные по выборке.
Для построения теоретической нормальной кривой можно использовать несколько методов. Рассмотрим приблизительный способ построения с использованием результатов расчетов, сделанных в примере 1.
Значения эмпирической плотности распределения вероятностей можно приблизительно определить по соотношению:
где xi – ширина интервала, n – объем выборки.
При построении теоретической нормальной кривой необходимо учитывать следующие свойства нормального распределения:
Гистограмму, полигон частот и нормальную кривую целесообразно совместить на одном графике.
ПРИМЕР 2. Построить гистограмму, полигон эмпирических частот и нормальную кривую по данным примера 1.
РЕШЕНИЕ.
1) Гистограмма – это фигура из столбцов, основание которых равно ширине интервала xi, а высота – частоте ni . Если соединить середины интервалов отрезками прямых, получим полигон эмпирических частот в координатах (xi, ni). Значения интервалов и эмпирических частот приведены в табл.4.
2) Определяем значения f*(x). В примере 1 ширина интервала xi=6%, а объем выборки n=100. Тогда получим:
Значения f*(x) приведены в столбце 7 табл. 4.
3) Определяем «3»-интервал:
4) нормальная кривая симметрична относительно прямой
5) максимум нормальной кривой находится в точке
На рис. 1 построены гистограмма, полигон эмпирических частот и нормальная кривая. Сравнение графиков наглядно показывает, что теоретическая кривая удовлетворительно отражает опытные данные. Близость нормальной кривой к эмпирическим частотам подтверждает правильность допущения о том, что исследуемая случайная величина Х распределена нормально.
3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ КОЛМОГОРОВА
Пусть эмпирическое распределение задано в виде таблицы, в которой перечислены варианты xi и значения эмпирической функции распределения F*(x) (табл.5).
Таблица 5
Значения эмпирической функции распределения
|
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
F*(x) |
F*(x1) |
F*(x2) |
F*(xn) |
Для каждого значения xi определим теоретические значения функции распределения F(x). При уровне значимости необходимо проверить, насколько сильно эмпирическая функция распределения F*(x) отличается от теоретической F(x).
В этом случае в качестве критерия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина D, которая называется критерием согласия Колмогорова:
где D – максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической и теоретической функциями распределения.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
Если , то нулевая гипотеза отвергается.
РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Но: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: случайная величина Х не имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35).
Сначала определяем значения относительных частот Wi, накопленных частот nнак, накопленных частостей Wнак (табл.5) и значения эмпирической функции распределения F*(x) (табл.6).
Таблица 6
Группированный статистический ряд, статистическое распределение частот, относительных частот, накопленных частот и частостей
|
№ интервала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
xi, % |
94-100 |
100-106 |
106-112 |
112-118 |
118-124 |
124-130 |
130-136 |
136-142 |
|
ni |
3 |
7 |
11 |
20 |
28 |
19 |
10 |
2 |
|
nнак |
3 |
10 |
21 |
41 |
69 |
88 |
98 |
100 |
|
Wi |
0,03 |
0,07 |
0,11 |
0,20 |
0,28 |
0,19 |
0,10 |
0,02 |
|
Wнак |
0,03 |
0,10 |
0,21 |
0,41 |
0,69 |
0,88 |
0,98 |
1,00 |
Для непрерывных случайных величин значения эмпирической функции распределения F*(x) можно найти только на концах интервала (табл. 6), так как неизвестно, сколько значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше х.
Для определения теоретической функции распределения используем функцию Лапласа (см. Приложение 3):
Например:
Результаты вычислений обобщим в табл.7 и на рис. 2, откуда следует, что:
Таблица 7
|
xi, % |
94 |
100 |
106 |
112 |
118 |
124 |
130 |
136 |
142 |
|
F*(x) |
0 |
0,03 |
0,10 |
0,21 |
0,41 |
0,69 |
0,88 |
0,98 |
1,0 |
|
F(x) |
0,004 |
0,021 |
0,08 |
0,221 |
0,449 |
0,695 |
0,875 |
0,964 |
0,993 |
|
F*(x) -F(x) |
0,004 |
0,009 |
0,02 |
0,011 |
0,039 |
0,005 |
0,005 |
0,016 |
0,007 |
Порядок проверки нулевой гипотезы:
Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения с параметрами N(119,2; 9,35) согласуется с опытными данными.
На рис.2 приведены графики эмпирической и теоретической функций распределения. Сравнение графиков наглядно показывает, что теоретическая кривая удовлетворительно отражает опытные данные. Близость теоретической функции распределения к эмпирической подтверждает правильность допущения о том, что исследуемая случайная величина Х распределена нормально.
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
По исходным данным, приведенным в методических указаниях «Первичная статистическая обработка экспериментальных данных. Часть 3. Задания» [5], с помощью критериев Пирсона и Колмогорова проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения при уровне значимости =0,05. Решение задачи проиллюстрировать графически.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ЛИТЕРАТУРА
Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд.7-е, стер. М.: Высш. шк., 2001. 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Изд.5-е, стер.– М.: Высш. шк., 2001. 400 с.
Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1991. 157 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 . 543 с.
Егорова Ю.Б., Мамонов И.М. Первичная статистическая обработка экспериментальных данных. Часть 3. Задания: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика». – М.: МАТИ, 2008. – 20 с.
Приложение 1
Критические точки распределения Пирсона
|
Число степеней свободы k |
2 при уровне значимости α |
||
|
0,01 |
0,025 |
0,05 |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 |
6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 |
5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0 |
3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8 |
Приложение 2
Критические точки распределения Колмогорова
|
α |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
0,0005 |
|
λкр |
0,89 |
0,97 |
1,07 |
1,22 |
1,36 |
1,48 |
1,63 |
1,73 |
1,95 |
2,03 |
Приложение 3
Таблица значений функции Лапласа
|
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
|
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 |
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 |
0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 |
0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 |
0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 |
0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 |
1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 |
0,3969 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 |
|
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
|
1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 |
0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 |
1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 |
0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 |
2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 |
0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 |
2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 |
0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997 |
Введение…………………………………………………………………….. 3
Пирсона……………………………………………………………………… 3
Колмогорова…………………………………………………………………. 12
Контрольные вопросы………………………………………………………. 16
Литература……….…………………………………………………………… 16
Приложения………………………………………………………………….. 17
Юлия Борисовна Егорова
Игорь Михайлович Мамонов
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ
ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математическая статистика»
Редактор А.Н. Прохорова
Подп. в печать 04.06.2008 Уч.-изд.л. – 0,97 Тираж 50 экз. Зак. №70
Издательский центр МАТИ
109240 Москва, Берниковская наб., 14
0,017
0,033
0,05
2
3
ni f(x)
1
xi, %
Рис.1. Гистограмма (1), полигон частот (2) и нормальная кривая (3) случайной величины Х – изменение выработки на одного рабочего цеха.
0,017
0,033
0,05
2
3
ni f(x)
1
xi, %
Рис.1. Гистограмма (1), полигон частот (2) и нормальная кривая (3) случайной величины Х – выработки рабочих предприятия.
2
F(x)
1
xi, %
Рис.2. Графики эмпирической (1) и теоретической (2) функций распределения случайной величины Х – изменение выработки рабочих предприятия