Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
12. Системи лінійних рівнянь з невідомими (системи Крамерівського типу).
1. Теорема Крамера.
1. Означення. Системою лінійних рівнянь з невідомими називається система рівнянь виду:
, або (1)
Матриця називається матрицею системи, її визначник називається визначником системи, а вектор-стовпчик – стовпчиком вільних членів. Елементи матриці є коефіцієнтами системи. Якщо вектор-стовпчик невідомих позначити через , то у матричному вигляді запис системи буде таким: , або просто . Позначимо також через так звану розширену матрицю системи: .
2. Означення. Розв’язком системи (1) називатимемо такий вектор , який перетворює кожне рівняння системи на тотожність: .
3. Означення. Система (1) називається сумісною, якщо вона має розв’язок.
Нижче розглядатимемо системи, у яких , тобто матриця системи є квадратною. Системи такого виду будемо називати системами «крамерівського» типу.
4. Теорема (формули Крамера). Якщо визначник матриці системи (1) , то існує єдиний розв’язок цієї системи. Він визначений формулами Крамера:
, (2)
де – це визначник, утворений із визначника заміною –го стовпчика на вектор стовпчик вільних членів .
Для доведення виберемо довільний індекс і допишемо в розширену матрицю системи першим рядком її -тий рядок. Тоді визначник одержаної квадратної матриці (позначимо його ) буде рівним нулю (згадайте відповідну властивість визначника). З іншого боку, значення цього визначника можна обчислити, розкриваючи його по першому рядку згідно правилу Лапласа:
Тут через позначений доповняльний мінор елемента першого рядка цього визначника. Оскільки за
припущенням теореми , то з рівності випливає, що . Розглянемо уважніше значення мінору :
Остання рівність є наслідком пересування стовпчика на місце між стовпчиками та . На це потрібно було кроків. Отже, . Підставимо одержане значення мінору у вираз для : , що й означає, що вектор стовпчик , де є розв’язком системи (1).
Покажемо, що даний розв’язок єдиний. Припустимо супротивне – нехай та різні розв’язки системи (1). Тоді із випливає, що . Це означає лінійну залежність вектор-стовпчиків матриці , що в свою чергу приводить до висновку (див. 47.), що . Одержана суперечність з умовою теореми означає єдиність розв’язку (2).
5. Зауваження. Випадок обов’язково буде досліджений пізніше.
6. Зауваження. Перестановка рядків та множення довільного рівняння системи (1) і додавання результату до іншого рівняння, очевидно не змінює розв’язку (2) системи. Виконання цих операцій з рівняннями системи еквівалентне діям з рядками розширеної матриці системи. Як відомо, ці операції не перетворять визначник системи на нуль, отже, називатимемо їх допустимими перетвореннями системи (1).
2. Метод Гаусса (метод послідовних виключень невідомих).
Враховуючи зауваження 6., замість перетворень рівнянь системи (1) будемо перетворювати рядки розширеної матриці системи.
Ідея методу Гаусса розв’язування системи (1) полягає в тому, щоб шляхом допустимих перетворень звести матрицю системи (1) спочатку до вигляду верхньої трикутної матриці (прямий хід методу Гаусса), а потім – до діагонального виду (обернений хід). Після цього розв’язок системи записується легко (або встановлюється факт неможливості це зробити). Отже, розглянемо розширену матрицю системи (1):
Тут , , .
Врешті решт розширена матриця системи набуде вигляду, в якому основна матриця система є верхньою трикутною матрицею:
Якщо визначник системи , то жоден з елементів на головній діагоналі матриці , очевидно, не рівний нулю, тому розв’язок системи єдиний. Перейдемо до оберненого ходу методу Гаусса.
Останній крок полягає в тому, щоб одержати зліва одиничну матрицю (оскільки , то жоден з елементів ): . Ця розширена матриця визначає розв’язок системи (1):
7. Зауваження. Метод Гаусса полягає фактично в приведенні допустимими перетвореннями рядків розширеної матриці системи від вигляду до вигляду , де вектор стовпчик і буде розв’язком системи.
8. Приклад. Розв’язати систему рівнянь:
Піддамо розширену матрицю системи допустимим перетворенням згідно алгоритму методу Гаусса:
,
звідки знаходимо: – розв’язок даної системи.
PAGE 1