Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

темами- Компактный учебный курс-3е издание перераб

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 25.11.2024

Лукас В.А. Теория управления техническими системами: Компактный учебный курс/3-е издание, перераб., доп. – Екатеринбург: УГГГА, 2002

Ефимов М.В. Теория автоматического управления. Учебное пособие. М.:МГУП, 2006

1.Основные элементы и устройства систем автоматического управления

Основными устройствами систем автоматического управления САУ (рис.1) или регулирования являются

задающее устройство,
сравнивающее сигналы устройство,
измерительное устройство,
усилитель-преобразователь,
исполнительный механизм,
объект управления.

Назначение элементов системы автоматического управления следующее:

Задающее устройство задает входной параметр в соответствии с принятым алгоритмом управления.

Измерительное устройство выполняет функцию измерения параметров и сигналов системы.

Усилительно-преобразующее устройство предназначено для усиления измеренного сигнала и преобразования, например, из аналоговой формы в цифровую.

Исполнительное устройство или исполнительный механизм предназначено для обеспечения непосредственно воздействия на объект управления. Это могут быть редукторы, насосы пневматические устройства, электродвигатели постоянного, переменного тока, шаговые и др.

2. Математическое описание систем управления

Уравнения, описывающие функционирование систем управления

Функционирование системы управления и любого ее элемента (звена) может быть описано дифференциальным уравнением, в общем случае нелинейным.

Если x - входная, y - выходная координата, а z - внешнее возмущение, то уравнение работы системы имеет вид:

F(y,, ... x, ,...) + z = 0 (2.1)

Это выражение называется уравнением динамики системы или уравнением ее функционирования.

В установившемся режиме работы x = x уст = const, y = y уст = const, поэтому все производные будут равны нулю и уравнение (2.1) примет вид:

F ( yуст , 0, 0 ... x уст , 0, 0 ...) + z уст = 0 (2.2)

Полученное уравнение носит наименование уравнения статики системы. Зависимость yуст=f(xуст) называется статической характеристикой системы.

Во многих случаях при анализе систем управления нелинейные дифференциальные уравнения можно заменить линейными, которые приближенно описывают функционирование системы.

Такой процесс замены уравнений при наложении определенных ограничений* носит название линеаризации системы управления.

Преобразование Лапласа и его свойства

Для математического описания систем управления применяется аппарат дифференциальных уравнений, а для нахождения решения этих уравнений – аппарат прямого и обратного преобразования Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа

определяет соотношение между оригиналом сигнала x(t) и его изображением по Лапласу X(s), являющимся функцией комплексной переменной s = σ + jω.

s – переменная Лапласа или оператор Лапласа, в общем случае – комплексная переменная.

Свойства комплексных чисел:

Интеграл

называется обратным преобразованием Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности

Пусть функция x(t) является линейной комбинацией двух других функций

x(t)=ax1(t)+bx2(t) (2.23)

тогда

Преобразуя интеграл, имеем:

следовательно,

X(s) = aX1(s) + bX2(s) (2.26)

Таким образом, изображение по Лапласу сигнала является той же линейной комбинацией изображений X1(s) и X2(s).

Теорема подобия

Если преобразование Лапласа

то вводя переменную at = τ, получаем

отсюда имеем

Дифференцирование оригинала

Если то преобразование Лапласа будет

(2.28)

Интегрируя это выражение по частям, имеем u=e-st ,

представляет собой изображение по лапласу X(s) от оригинала x(t) .

Отсюда следует, что преобразование по Лапласу от производной

Аналогичным путем находим

В том случае, когда начальные условия отличаются от нулевых

прямое преобразование Лапласа от производной равно

Продолжая использовать метод интегрирования по частям, получаем:

Интегрирование оригинала.

Проинтегрируем по частям интеграл Лапласа:

производя подстановку , тогда

Отсюда видно, что при нулевых начальных условиях

Поэтому

Аналогичным путем находим

Теоремы о конечном и начальном значениях.
Теоремы смещения.

Если сигнал смещен по оси t на величину t0, то преобразование Лапласа

Вводя обозначение t - t0 = τ, получаем:

Отсюда формула для нахождения преобразования по Лапласу смещенного сигнала будет:

Некоторые другие свойства преобразования Лапласа приведены в таблице 2.1

Преобразование Лапласа от некоторых функций

Таблица 2.1

Оригиналы	Изображения	Оригиналы	Изображения
	1	sh
1(t)		ch

Передаточная функция систем управления

Теперь применим преобразование Лапласа к анализу систем управления. Дифференциальное уравнение линейной системы управления в общем виде может быть представлена:

Умножая все слагаемые дифференциального уравнения (2.41) на множитель е-st и производя интегрирование по переменной времени, т.е. подвергая левую и правую части равенства преобразованию Лапласа, получаем

Применяя к этой зависимости правило дифференцирования оригиналов (см. формулу 2.29 и 2.30) при нулевых начальных условиях и свойство линейности, находим уравнение динамики системы в операторной форме:

Введем обозначение для дроби, полученной по свойству пропорции:

Функцию, представляющую собой отношение изображения выходного сигнала Y(s) к изображению входного сигнала X(s) при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией системы W(s).

Знаменатель передаточной функции W(s) называется характеристическим многочленом (полиномом) или собственным оператором

а уравнение

- характеристическим уравнением.

Корни характеристического уравнения называются полюсами системы, корни числителя передаточной функции - нулями системы.

Пример: По передаточной функции системы управления W(s) записать дифференциальное уравнение (уравнение динамики) функционирования системы управления при нулевых начальных условиях

Преобразуем передаточную функцию, перемножив скобки:

После раскрытия скобок получается уравнение динамики системы в операторной форме

Взяв обратное преобразование Лапласа от левой и правой частей уравнения и применив свойство линейности преобразования Лапласа, получаем

Далее применяется свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях:

Полученное уравнение и является искомым дифференциальным уравнением (уравнением динамики) функционирования системы управления при нулевых начальных условиях.

3. Временные характеристики систем управления

3.1. Переходная характеристика

Переходная характеристика h(t) - реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Учитывая, что

а преобразование Лапласа от единичной ступенчатой функции равно

Обозначим преобразование Лапласа от переходной характеристики

переходная характеристика может быть найдена через обратное преобразование Лапласа с использованием таблиц.

График переходной характеристики называют разгонной характеристикой.

3.2. Весовая функция (функция веса)

Весовая функция w(t) – реакция системы на краткосрочный импульс δ(t)-дельта-функцию, которая обладает следующими свойствами:

Так как изображение Лапласа от входного импульсного воздействия

То

Таким образом, весовая функция равна

Найдем связь между переходной и весовой функциями, для чего продифференцируем переходную функцию:

Подставляя сюда значение функции H(s), имеем:

Т.к.

то

Справедливо и обратное соотношение:

Пример

Используя таблицу обратного преобразования Лапласа, найти весовую функцию w(t) системы с передаточной функцией W(s) (оригинал w(t) функции по известному изображению W(s)):

Для удобства пользования таблицей преобразования Лапласа найдем корни характеристического уравнения и разложим знаменатель дроби на два сомножителя первого порядка.

Решая систему алгебраических уравнений, полученную из равенства дробей (при равенстве знаменателей, равны и числители дробей)

получаем , .

Используя свойство линейности преобразования Лапласа (2.25), находим оригиналы по каждому из слагаемых в отдельности (табл.2.1) и получаем результат временную весовую функцию системы .

Применяя известную зависимость между переходной характеристикой и весовой функцией

, определяется переходная характеристика.

4. ОБЪЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ В СИСТЕМУ УПРАВЛЕНИЯ

Структурной схемой системы управления называют её графическое изображение в виде соединённых друг с другом звеньев, условно обозначаемых прямоугольниками (вершинами).

В систему звенья могут объединяться

последовательно,
параллельно,
встречно-параллельно.

4.1. Структурные преобразования систем управления

Узлы - точки ветвления сигналов

Точки суммирования – суммирующие и сравнивающие элементы

Схемы суммирующих элементов

4.2. Последовательное соединение звеньев

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций звеньев, включенных последовательно:

4.3. Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций каждого звена:

4.4. Встречно-параллельное соединение звеньев (с обратной связью)

4.4.1. Схема соединения звеньев с положительной обратной связью

Передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью:

4.4.2. Схема соединения звеньев с отрицательной обратной связью

Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью:

В случае, когда передаточная функция обратной связи равна единице Wос(s)=1, система автоматического управления САУ может быть названа системой автоматического регулирования САР. Цепь прямой связи в этом случае называется разомкнутой частью системы и обозначается WПС(s)=Wраз(s). При этом выражение (4.4) для нахождения передаточной функции системы с отрицательной обратной связью WооС(s) превращается

а передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы WооС(s)= Wзам(s). Для определения порядка исследуемой системы дробь приводится к нормальному виду и порядок знаменателя относительно оператора Лапласа (старшая степень оператора s) говорит о порядке системы.

Пример

Для схемы системы автоматического регулирования определить передаточную функцию замкнутой системы Wзам(s),

если передаточная функция разомкнутой ее части равна

Решение ищется по выражению 4.5.

Исследуемая (замкнутая) система автоматического регулирования является системой третьего порядка

5. Устойчивость систем управления

5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

Система устойчивая если её реакция на кратковременное воздействие будет стремиться к нулю

Условие устойчивости:

Весовая функция линейной системы:

Передаточная функция системы:

В соответствии с теоремой Безу получаем:

где si- корни характеристического уравнения

Если характеристическое уравнение не имеет кратных корней, то передаточную функцию можно представить в виде суммы элементарных дробей:

где Сi - постоянные коэффициенты.

Весовая функция системы будет:

откуда:

Если все корни (полюсы) характеристического уравнения вещественны и отрицательны или комплексно сопряженные имеют отрицательную вещественную часть, то:

и система управления будет устойчивой.

Достаточное условие устойчивости (корневой критерий устойчивости)– все корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома ) должны быть левые.

Необходимое условие устойчивости систем – все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными аi>0.

Пример

Найти корни характеристического уравнения передаточной функции системы управления:

Задаются коэффициенты характеристического многочлена

a5:=1 a4:=1 a3:=8 a2:=6 a1:=2 a0:=1

которые заносятся в вектор - столбец А

Оператор polyroots отыскивает корни характеристического уравнения (полюсы системы), очевидно, что они являются левыми, т.е. система устойчивая.

5.2. Критерий устойчивости Гурвица

Для оценки устойчивости с использованием алгебраического критерия Гурвица используются коэффициенты ai характеристического многочлена системы A(s)

При этом составляется определитель Гурвица и его диагональные миноры

который должен быть положительным как и все его диагональные миноры: , .

Так как для системы второго порядка характеристический многочлен

то определитель имеет вид

условиями устойчивости здесь будут: , и .

Характеристический многочлен системы третьего порядка будет иметь вид

Определитель Гурвица для нее

Отсюда следует, что кроме выполнения условий , , необходимо также выполнить условие

Пример

Оценить устойчивость системы управления, передаточная функция которой

Характеристический многочлен системы

поэтому определитель Гурвица

Вычисляя миноры определителя, получаем

Отсюда следует, что рассматриваемая система не устойчива.

5.3. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Частотный критерий устойчивости Михайлова основан на построении годографа A(j)

Представляя его в виде суммы вещественной и мнимой составляющих, имеем

Задаваясь значением начиная с точки =0, вычисляем и откладываем значения и . Совокупность этих точек, соединенная плавной кривой, образует годограф Михайлова (рис.).

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: система автоматического управления устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь при  =0 на вещественной положительной полуоси, последовательно обходит n квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где n - порядок системы.

Пример

Построим годограф Михайлова для системы с передаточной функцией

Производится замена оператора Лапласа s на комплексную переменную j и группируются слагаемые по степеням .

Составляющие вектора A(j)= X()+j Y() имеют вид

Найти частоты, соответствующие пересечениям годографа с осями координат. Для этого необходимо найти решения отдельных уравнений:

Результаты расчета приведены в таблице ниже.

Таблица

Частота 	Значения вещественной части характеристического многочлена X()	Значения мнимой части характеристического многочлена Y()
0	1,0	0
0,4	0	0,29
0,6	0,86	0
2,42	0	25
2,79	15	0

Из таблицы следует, что годограф последовательно обходит пять квадрантов, поэтому исследуемая система устойчива.

Рис. Годограф Михайлова

Построение весовой функции w(t) тоже свидетельствует об устойчивости исследуемой системы, весовая функция w(t) стремится к 0.

Рис. График весовой функции w(t)

PAGE 17

рис. 1

Объект управления

Измерительное устройство

Задающее устройство

Усилительно-преобразующее устройство

Исполнитель-ный механизм

х3(t)

х7(t)

x1(t)

x2(t)

х6(t)

х4(t)

х5(t)

х6(t)

z(t)

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.3

t0-t t0 t0+t

(t)

z(t)

x(t)

y(t)

z(t)

САУ

EMBED Equation.3

y(t)=h(t)

x(t)=1

EMBED Equation.3

САУ

EMBED Equation.3

x(t)

j2

j1



1

j

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4

jY()

EMBED Equation.DSMT4

X()

EMBED Equation.DSMT4

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Рис. Годографы Михайлова устойчивых систем 1-5 порядков

Корни нейтральные

Корни левые

Корни правые

j



1. Українське козацтво
2. Интродукция как фактор сохранения биоразнообразия растительного мира Павлодарской области
3. тематик юрист философ считается последним видным представителем философии нового времени и предшественн
4. Турнир по ролевой игре мафия в данный момент имеет статус московского межвузовского турнира Проводитс
5. 1699 ГОСУДАРСТВЕННЫЕ СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ УКРАИНЫ РЕСУРСНЫЕ ЭЛЕМЕ
6. Юридическое мышление
7. Вид вяжущего и принятый способ производства определяют условия твердения таких материалов ес
8. Vолодые ветра 2001 Инопланетен 2003
9. Ишимский государственный педагогический институт имени П
10. Владимирский Государственный Университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетов
11. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Финуниверситет Пермский финансовоэк
12. темами Массовая коммуникация исторически сложившийся и развивающийся во времени технически опосредованны
13. Лабораторна робота 19 Ехсеl
14. 1. Инвестиции ~ это долгосроч вложен капитала с целью получен прибыли Инвестиця деятть ~ это деятть физ ю.html
15. .koob.ru НАПОЛЕОН ХИЛЛ ДУМАЙ И БОГАТЕЙ Перевод с английского- Г
16. тематических формул Общая характеристика и запуск редактора формул Запись и редактирование формул в Word
17. ВСТУП Сучасна парадигма шкільної освіти розглядає іноземну мову як важливий засіб міжкультурного спілкува
18. ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ НОВОЙ ЭКОНОМИКИ ХХI ВЕКА Ровно 19~20 декабря 2013 года Прием работ до 19
19. Расчет и обоснование привода
20. Это связано с тем что правительственные долговые обязательства отличаются высокой ликвидностью и инвестор.html

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе