Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 46
0,12
2
0,32
-1
0,26
0,3
O
EMBED Equation.3
O
3
5
O
2
3
5
-1
0,2
0,3
1
0,6
O
0,825
1
0,575
0,2
1
5
3
2
O
O
2
3
5
1
7
8
10
15
O
2
3
5
1
0,175
0,2
0,25
0,375
Тема №3.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
|
Цель изучения: |
усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения различных типовых задач. Воспитание навыков самостоятельной учебной деятельности. |
Учебные вопросы:
Краткие сведения из теории
I. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта примет то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.
Случайные величины бывают:
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита , , и т.д. Возможные значения данной случайной величины обозначаются соответствующими маленькими буквами латинского алфавита: , , …, ; , , …, и т.д.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения можно задать:
Табличный закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
|
… |
||||
|
… |
Такая таблица называется рядом распределения, где , , …, − все возможные значения случайной величины , а , , …, − соответствующие вероятности, т.е. , .
Критерием правильности составления ряда распределения является условие:
|
. |
Графический закон распределения дискретной случайной величины можно задать многоугольником распределения (рис. 3.1.).
Рис. 3.1. Многоугольник распределения
II. Числовые характеристики – это числовые параметры, которые характеризуют отдельные существенные свойства случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины находится по формуле:
|
. |
Свойства математического ожидания:
Вероятностный смысл математического ожидания − математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
III. Дисперсия случайной величины по определению равна:
|
. |
Дисперсию дискретной случайной величины находят по формулам:
|
. |
или
|
. |
Свойства дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины вычисляют следующим образом:
|
. |
Из формулы следует, что дисперсия (рассеяние) должна бать всегда положительной.
IV. Модой () случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :
|
. |
Следствие. Так как и , то .
Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :
|
. |
Следствие.
Задача 3.42. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
-1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
0,26 |
0,3 |
0,12 |
? |
Найти: а) вероятность ; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.
Решение. а) По формуле находим :
.
б) Математическое ожидание найдем, если воспользуемся формулой :
.
в) Найдем дисперсию по формуле :
.
г) По формуле определяем среднее квадратическое отклонение:
.
д) Наибольшую вероятность имеет событие , поэтому мода равна .
е) Найдем сначала начальные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков по формуле . Тогда, с учетом следствия, имеем:
; ; ;
.
Теперь рассчитываем центральные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков по формуле и, с учетом следствия, получаем:
; ; ;
.
ж) Построим многоугольник распределения, используя данные задачи и рис. 3.1.
Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ; ; ; ж) ; ; ; .
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.43. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
1 |
3 |
4 |
7 |
|
|
0,2 |
? |
0,25 |
0,3 |
Найти: а) вероятность ; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.
Задача 3.44. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
-2 |
0 |
1 |
6 |
|
|
0,11 |
0,23 |
? |
0,5 |
Найти: а) вероятность ; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.
Тема №3.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
|
Цель изучения: |
усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения подобных задач. |
Учебные вопросы:
Краткие сведения из теории
I. Функцией распределения (интегральная функция распределения) случайно величины называется функция , которая для любых чисел равна вероятности события , т.е.:
|
. |
Основные свойства функции распределения:
Задача 3.45. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
-1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. 1) Если , то . Действительно, значений, меньших числа случайная величина не принимает, поэтому при .
2) Если , то .
3) Если , то . Действительно, случайная величина может принять значение с вероятностью 0,2 и значение 2 с вероятностью 0,1. Тогда, может принять одно из этих значений (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью .
4) Если , то
. (Рассуждения аналогичны п.4).
5) Если , то . Действительно, событие является достоверным и вероятность такого события равна единице.
Таким образом, искомая функция распределения будет иметь вид:
Построим график этой функции:
Ответ.
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.46. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
1 |
3 |
4 |
7 |
|
|
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
Задача 3.47. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
-2 |
0 |
1 |
6 |
|
|
0,15 |
0,25 |
0,1 |
0,5 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
II. Функцию плотности распределения (плотность распределения) имеет только непрерывная случайная величина. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
|
. |
Основные свойства плотности распределения:
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет очень важную роль в теории вероятностей. Он является предельным законом, т.е. законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид:
|
. |
График нормальной кривой изображен на рисунке 3.2.
Рис. 3.2. График плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Задача 3.48. Записать функцию плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, если даны параметры распределения: , .
Решение. По формуле находим среднее квадратическое отклонение . Подставим данные в формулу и запишем искомую функцию:
.
Ответ. .
Задача 3.49. Нормальное распределение случайной величины задано плотность распределения: . Найти математическое ожидание и дисперсию .
Решение. Из формулы находим математическое ожидание и дисперсию и по формуле .
Ответ. ; .
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.50. Записать функцию плотности распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, если даны параметры распределения: а) , ; б) , .
Задача 3.51. Нормальное распределение случайной величины задано плотность распределения: . Найти математическое ожидание и дисперсию .
Тема №4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
|
Цель изучения: |
Ознакомление с предметом изучения и умения применять полученные знания для решения различных задач; формирование навыков самостоятельной деятельности; дальнейшее развитие логического мышления. |
Краткие сведения из теории
Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существенных закономерностей.
Теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны между собой. Если теория вероятностей позволяет при заданной вероятностной модели вычислять вероятности тех или иных случайных событий, то математическая статистика по результатам проводимых наблюдений (по исходам эксперимента) уточняет структуру вероятностной модели изучаемого явления.
Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Задача математической статистики коротко формулируется как интерпретация данных.
Тема №4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
|
Цель изучения: |
усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения различных статистических задач. |
Учебные вопросы:
Краткие сведения из теории
I. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.
Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.
Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом.
Выборка бывает:
Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо представляет генеральную совокупность.
Способы отбора:
II. Статистическим распределением выборки называется перечень наблюдаемых значений (вариант) и соответствующих им частот или относительных часто:
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
Число наблюдений называют частотами , а их отношение к объему выборки – относительными частотами .
Объемом выборки называется сумма всех частот:
|
. |
Относительные частоты находим следующим образом:
|
, |
причем сумма всех относительных часто равна единице:
|
. |
Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.
Задача 4.1. Пусть в результате некоторого эксперимента получены следующие данные: 5, 2, 2, 1, 5, 3, 5, 3, 1, 1. Запишем для этих данных вариационный ряд, статистическое распределение выборки, т.е. выборку частот и относительных частот.
Решение. Составим вариационный ряд, для этого запишем все полученные данные в порядке возрастания вариант: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5. Общее число полученных данных равно 10, это означает, что объем выборки равен . Из эксперимента видно, что варианты повторяются определенное число раз: «1» встречается 3 раза, «2» – 2 раза, «3» – 2 раза и «5» – 3 раза, т.е. соответствующие вариантам частоты равны соответственно: , , и . Теперь найдем относительные частоты по формуле :
, , , .
Для наглядности представления данных и удобства расчетов в дальнейшем составляется таблица – статистическое распределение выборки:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
Делаем проверку: , . Расчеты сделаны верно.
Ответ. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5 – вариационный ряд; статистический ряд:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
Эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения относительную частоту события :
|
, |
где – объем выборки, а – число наблюдений, меньших .
Эмпирическая функция распределения является аналогом функции распределения .
Задача 4.2. Выборка задана в виде распределения частот:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
8 |
15 |
10 |
7 |
Построить эмпирическую функцию распределения.
Решение. Посчитаем объем выборки по формуле :
.
Проводя рассуждения, аналогичные задаче 3.45., и применяя формулу , получим следующие расчеты:
Таким образом, искомая эмпирическая функция распределения будет иметь вид:
Построим график этой функции:
Ответ.
Статистическое распределение изображается для наглядности графически в виде так называемых полигона и гистограммы частот и относительных частот. Рассмотрим только полигон частот и полигон относительных частот.
Полигон частот (относительных частот) – ломанная, отрезки которой соединяют точки с координатами , , …, (,, …, ). Такая ломанная аналогична многоугольнику распределения (см. рис.3.1).
Рассмотрим на примере.
Задача 4.3. Выборка задана в виде распределения частот:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
8 |
15 |
10 |
7 |
Построить полигон частот и полигон относительных частот.
Решение. Теперь в системе координат найдем точки с координатами (1; 8), (2;15), (3; 10) и (5; 7) и соединим их последовательно отрезками. Полученная ломанная и будет полигоном частот.
В задаче 4.2. был найден объем выборки: . По формуле найдем относительные частоты:
, , , .
Аналогично выше, в системе координат найдем точки с координатами (1; 0,2), (2; 0,375), (3; 0,25) и (5; 0,175) и соединим их последовательно отрезками. Полученная ломанная будет полигоном относительных частот.
Замечание. Изображения ломанных очень похожи, поэтому рекомендуется строить только оду из них.
III. Статистической оценкой неизвестного параметра распределения называют функцию от наблюдаемых значений случайной величины.
Оценки бывают:
Выборочной средней называется оценка математического ожидания, которая является несмещенной и вычисляется по формуле:
|
. |
Выборочной дисперсией называется смещенная оценка дисперсии:
|
. |
Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется как:
|
. |
В расчетах часто используется исправленная (несмещенная) дисперсия :
|
, |
а также исправленное среднее квадратическое отклонение :
|
. |
Задача 4.4. Выборка задана в виде распределения частот:
|
1 |
3 |
4 |
7 |
|
|
11 |
20 |
45 |
24 |
Найти смещенные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Решение. По формуле найдем объем выборки:
.
Для нахождения выборочной средней воспользуемся формулой :
.
Выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение находим по формулам и соответственно:
,
,
а исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение соответственно по формулам и :
,
.
Ответ. ; ; ; ; .
Задание для самостоятельной работы
Задача 4.5. Выборка задана в виде распределения частот:
|
-2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
15 |
21 |
4 |
10 |
Найти: а) смещенные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения; б) эмпирическую функцию распределения и построить ее; в) построить полигон относительных частот.
Тема №4.2. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА
|
Цель изучения: |
усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для выдвижения гипотезы и проверки гипотезы о законе распределения случайной величины. |
Учебные вопросы:
Краткие сведения из теории
I. Статистической называется гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известного распределения.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .
Конкурирующей (альтернативно) называют гипотезу , которая противоречит основной.
Гипотезы бывают:
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается правильная нулевая гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что принимается неправильная нулевая гипотеза.
Статистическим критерием (критерием, критерием согласия) называют случайную величину, которая служит для проверки гипотезы.
II. Критерий согласия Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения, читается «хи квадрат».
Правило проверки гипотезы по критерию Пирсона о законе распределения случайной величины:
|
… |
||||
|
… |
|
, |
где – объем выборки (находим по формуле );
– шаг (разность между двумя соседними вариантами);
|
, . |
Значение функции находим по таблице Приложений №1, причем , т.е. функция является четной.
А) составляют расчетную таблицу 4.1.,
Расчетная таблица 4.1.
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
… |
|||||
по которой находят наблюдаемое значение критерия
|
. |
Б) по таблице Приложений №2 критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы
|
, |
где – число групп выборки,
– число параметров предполагаемого распределения (для нормального распределения ),
находят критическую точку правосторонней критической области.
Задача 4.6. Выборка задана в виде распределения частот:
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
11 |
20 |
45 |
24 |
Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона.
Решение. 1) По формуле найдем объем выборки:
.
Находим шаг .
2) Для нахождения выборочной средней воспользуемся формулой :
.
Выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение находим по формулам и соответственно:
,
.
.
Тогда
|
; |
; |
|
; |
; |
|
; |
; |
|
; |
. |
Таблица 4.1
|
1 |
11 |
6,11 |
4,89 |
23,91 |
3,91 |
|
2 |
20 |
29,19 |
-9,19 |
84,46 |
2,89 |
|
3 |
45 |
42,50 |
2,5 |
6,25 |
0,15 |
|
4 |
24 |
19,11 |
4,89 |
23,91 |
1,25 |
|
100 |
100 |
Найдем число степеней свободы по формуле : с учетом .
По таблице Приложений №2 находим .
5) Так как (8,2>3,8), то гипотезу о нормальном распределении случайной величины отвергаем, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Ответ. Гипотезу о нормальном распределении отвергаем.
Задание для самостоятельной работы
Задача 4.7. Выборка задана в виде распределения частот:
|
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
|
|
5 |
19 |
24 |
16 |
6 |
Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона.