Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.
§ 1. Определители.
В задачах 1.1-1.4 вычислить определители 2-го порядка.
1.1 1.2 1.3 1.4
В задачах 1.5-1.8 вычислить определители 3-го порядка.
1.5 1.6 1.7 1.8
1.9 Решить уравнение.
а) б) в)
1.10 Решить неравенство.
а) б) в)
В задачах 1.11-1.12, используя свойства определителя, доказать тождества (определители не развертывать).
1.11
1.12
В задачах 1.13-1.16 вычислить определители, используя их свойства
1.13 1.14
1.15 1.16
1.17 Проверить, что определитель делится на и
В задачах 1.18-1.23 вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
1.18 1.19 1.20 1.21
1.22 1.23 .
В задачах 1.24-1.29 вычислить определители
1.24 1.25 1.26
1.27 1.28 1.29
§ 2. Матрицы.
В задачах 1.30-1.31 вычислить линейные комбинации матриц и :
1.30
1.31
В задачах 1.32-1.35 умножить матрицы:
1.32 а) б)
1.33 а) б)
1.34 а) б)
в) г)
1.35 а) б)
1.36 Выполнить действия над матрицами
а) ;
б) .
1.37 Вычислить а) б)
В задачах 1.38-1.40 найти значение многочлена от матрицы
1.38, .
1.39, .
1.40 ,
В задачах 1.41-1.42 вычислить .
1.41 ,
1.42 ,
В задачах 1.43-1.44 вычислить для заданных матриц .
1.43 1.44
В задачах 1.45-1.52 найти обратную матрицу для матриц:
1.45 1.46 1.47
1.48 1.49 1.50
1.51 1.52
В задачах 1.53-1.58 решить матричные уравнения.
1.53 1.54
1.55 1.56
1.57а) б)
1.58а) б)
§3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы.
В задачах 1.59-1.60 найти линейные комбинации векторов, если заданы арифметические векторы: ,
1.59 а) б)
1.60 а) б)
В задачах 1.61-1.62 найти вектор из уравнений.
1.61 ,
где ,,.
1.62 ,
где ,,.
В задачах 1.63-1.68 выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми.
1.63 , .
1.64 , .
1.65 ,,
1.66 ,,.
1.67,,,1.68,,,
1.69 Установить, в каких из нижеследующих случаев векторы линейно зависимы, и в этом случае, представить вектор как линейную комбинацию векторов
а)
б)
в)
1.70 Представить вектор как линейную комбинацию векторов и :
а) б) в)
1.71 Найти все значения при которых вектор линейно выражается через векторы :
а) ,,,
б) ,,,
в) ,,,
г) ,,,
1.72 Найти все базисы системы векторов:
а) , ,
б) , , ,
1.73 Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы:
а) ,,
б) ,, ,
1.74 Показать, что векторы образует базис в и вычислить координаты вектора в этом базисе.
1.75 Найти координаты вектора в базисе :
а) ,,,
б) , , ,
в) ,,,,
г),,, ,
,
1.76 Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :
а) , б) ,
в) , г) ,
В задачах 1.77-1.87 вычислить ранг матриц.
1.77 1.78
1.79 1.80
1.81 1.82
1.83 1.84 1.85
1.86 1.87
В задачах 1.88-1.90 найти ранг системы векторов
1.88 , , , ,
.
1.89,,,
1.90 , , .
§4. Системы линейных уравнений.
В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы
1.91 1.92
1.93 1.94
1.95 1.96
1.97 1.98
1.99 1.100
В задачах 1.101-1.114 решить системы уравнений методом Гаусса.
1.101 1.102
1.103 1.104
1.105 1.106
1.107 1.108
1.109
1.110
1.111
1.112
1.113
1.114
В задачах 1.115-1.122 найти фундаментальную систему решений и общее решение систем уравнений.
1.115 1.116
1.117
1.118
1.119
1.120
1.121
1.122
§ 5. Ортогональные системы векторов.
1.123 Выяснить будут ли ортогональными следующие системы векторов.
а)
б)
в)
г)
1.124 Проверить ортогональность систем векторов и дополнить их до ортогональных базисов.
а)
б)
в)
г)
1.125 Найти координаты вектора в ортогональном базисе: ,,,.
1.126 Найти координаты вектора в ортогональном базисе:, , .
1.127 Найти ортогональную составляющую вектора относительно ортогональной системы векторов .
а)
б)
в)
г)
В задачах 1.128-1.133 применяя процесс ортогонализации построить ортогональную систему векторов.
1.128
1.129
1.130
1.131
1.132
1.133
§ 6. Линейные операторы.
В задачах 1.134-1.138 установить какие из заданных отображений пространства арифметических векторов в себя являются линейными операторами и выписать их матрицы в каноническом базисе.
1.134
1.135
1.136
1.137 1.138
В задачах 1.139-1.143 в пространстве заданы два линейных оператора и . Найти матрицу линейного оператора , где и его явный вид в каноническом базисе .
1.139,
1.140 ,
1.141
1.142
1.143
В задачах 1.144-1.146 установить, какие из заданных линейных операторов в являются невырожденными и найти явный вид обратных операторов .
1.144
1.145
1.146
В задачах 1.147-1.156 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов,заданных своими матрицами
1.147 1.148
1.149 1.150
1.151 1.152
1.153 1.154
1.155 1.156
В задачах 1.157-1.166 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать и найти:
а) диагональную форму матрицы; б) матрицу линейного преобразования, приводящего данную матрицу к диагональному виду.
1.157 1.158
1.159 1.160
1.161 1.162
1.163 1.164
1.165 1.166
§ 7. Квадратичные формы.
1.167 Записать матрицу следующих квадратичных форм:
а)
б)
в)
г)
В задачах 1.168-1.173 методом Лагранжа найти: а) канонический вид квадратичной формы; б) невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.
1.168
1.169
1.170
1.171
1.172
1.173
В задачах 1.174-1.179 найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду, и записать полученный канонический вид.
1.174
1.175
1.176
1.177
1.178
1.179
В задачах 1.180-1.185 определить, какие квадратичные формы являются либо положительно, либо отрицательно определенными, а какие нет.
1.180
1.181
1.182
1.183
1.184
1.185
1.186 Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определенной:
а)
б)
в)
г)
1.187 Найти все значения параметра , при которых квадра-тичная форма является отрицательно определенной:
а)
б)
в)
г)
§ 8. Системы линейных уравнений и неравенств
1.188 Построить графически область решений следующих систем неравенств:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
1.189. Системы линейных уравнений преобразовать в эквивалентные системы линейных неравенств и построить графически область их решений.
а) б)
в) г)
1.190 Смешанные системы линейных уравнений и неравенств преобразовать в эквивалентные системы линейных уравнений и найти какие-нибудь их опорные решения.
а) б)
в) г)
1.191 Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа В и 675 заготовок типа С. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице 1. Записать условия выполнения задания и определить количество листов материала, раскраиваемых первым, вторым и третьим способами.
Таблица 1.
|
Тип Заготовки |
Способ раскроя |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
А |
3 |
2 |
1 |
|
В |
1 |
6 |
2 |
|
С |
4 |
1 |
5 |
1.192 Из Казани в Наб.Челны необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа- 95 ед., II типа – 100 ед., III типа – 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице 2. Записать условия перевозки оборудования из Казани в Набережные Челны и установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки оборудования.
Таблица 2.
|
Тип Оборудования |
Вид транспорта |
||
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
|
|
I |
3 |
2 |
1 |
|
II |
4 |
1 |
2 |
|
III |
3 |
5 |
4 |
1.193 На товарные станции А1 и А2 прибыло по 45 комплектов мебели. Перевозка одного комплекта со станции А1 в магазины М1, М2 и М3 обходится соответственно в 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка комплекта со станции А2 в те же магазины – в 3, 5 и 4 ден. ед.. В каждый магазин надо доставить одинаковое количество мебели. Записать в математической форме условия доставки мебели в магазины, если транспортные расходы определены в 270 ден. ед. и найти план перевозки мебели со станций в магазины.
1.194 На предприятии освоено 4 технологических способа изготовления изделий А и В из некоторого сырья. В таблице 3 указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из способов.
Таблица 3.
|
Изделие |
Выход из единицы сырья |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
|
|
А |
2 |
1 |
7 |
4 |
|
В |
6 |
12 |
2 |
3 |
Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 единиц сырья 574 изделий А и 328 изделий В. Определить какое количество сырья следует перерабатывать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание по выпуску изделий.
1.195 Для откорма кроликов на ферме в ежедневный рацион каждого животного включается 6 единиц питательного вещества А и 7 единиц вещества В. При этом используются корма К1,К2 и К3. Данные о содержании веществ в одной весовой единице корма и ее стоимости приведены в таблице 4.
Таблица 4.
|
Корм |
Содержание питательного вещества |
Стоимость единицы корма, ден.ед. |
|
|
А |
В |
||
|
К1 |
2 |
1 |
5 |
|
К2 |
1 |
2 |
1 |
|
К3 |
3 |
1,5 |
3 |
Записать условия составления ежедневного рациона стоимостью 7 денежных единиц, содержащего норму питательных веществ и определить его состав.
1.196 Для выполнения полевых работ сельскохозяйственное предприятие может купить тракторы марок Т1 и Т2.Все необходимые данные приведены в таблице 5.
Таблица 5.
|
Вид Работ |
Объем работы |
Производительность трактора |
|
|
Т1 |
Т2 |
||
|
Р1 |
60 |
4 |
3 |
|
Р2 |
40 |
8 |
1 |
|
Цена трактора, ден.ед. |
7 |
2 |
Записать в математической форме условия выполнения всего комплекса полевых работ приобретенными тракторами, если на их покупку отпущено 53 ден. ед.. Установить, сколько тракторов той и другой марки следует приобрести предприятию для выполнения запланированного объема полевых работ.
1.197 Цех выпускает трансформаторы видов А и В. На один трансформатор вида А расходуется 5 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки, а на трансформатор вида В – 3кг железа и 2 кг проволоки. От реализации трансформатора вида А прибыль составляет 12 ден. ед., а вида В – 10 ден. ед. Сменный фонд железа – 480 кг, проволоки – 300 кг. Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять план выпуска трансформаторов, если расход ресурсов не должен превышать выделенных фондов, а прибыль должна быть не менее 900 ден. ед. за смену. Построить графически область допустимых планов выпуска трансформаторов.
1.198 На судно грузоподъемностью 1000 т и емкостью трюмов 2400 необходимо погрузить товары А и В. Объемные коэффициенты товаров составляют соответственно 3/т и 1,2 /т. На складе имеется 800 т товара В и большое количество товара А. Записать в математической форме ограничения на количество погружаемых на судно товаров, не позволяющие превысить грузоподъемность судна, емкость его трюмов и запас товара В. Построить графически область допустимых вариантов загрузки трюма судна.
1.199 Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице 6.
Таблица 6.
|
Количество вагонов в составе |
|||
|
Тип поезда |
плацкартный |
Купейный |
мягкий |
|
Пассажирский |
5 |
6 |
3 |
|
Скорый |
8 |
4 |
1 |
|
Резерв вагонов |
80 |
72 |
21 |
Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить графически область допустимых вариантов формирования поездов.
1.200 Предприятию задан план производства по времени и номенклатуре: не более чем за 6 часов необходимо выпустить ровно 30 ед. продукции вида П1 и ровно 96 ед. продукции вида П2. Машина А за 1 час производит либо 6 ед. продукции П1, либо 24 ед. продукции П2, а машина В – соответственно 13 и 13 ед.. Записать условия, которым должно удовлетворять время работы каждой из машин по выпуску продукции при точном выполнении плана по отдельным ее видам. Построить графически область допустимых вариантов использования времени работы машин, для выполнения плана выпуска продукции.
14