Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Конспект лекций
Лекция №3 (3-я неделя)
Лектор потока: Зелёв Александр Павлович (доцент кафедры начертательной геометрии и черчения).
3. Проекции плоскостей
3.1 Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций.
Постановка задачи. Дана плоскость общего положения Г. Требуется определить углы наклона плоскости Г к плоскостям проекций (отдельно к плоскости П1, к плоскости П2, к плоскости П3).
Пусть плоскость задана треугольником Г(АВС):
|
Для изучения алгоритма рассмотрим известный геометрический объект – плоскость крыши дома. В этой плоскости построим горизонталь (кромка крыши). Построим еще одну прямую – линию ската, по которой скатывается материальная точка. Линия ската – прямая, принадлежащая исследуемой плоскости общего положения и принадлежащая данной плоскости. Из школьной программы: углом между двумя плоскостями является угол между прямыми в данных плоскостях, перпендикулярными к линии пересечения. В рассматриваемом случае проведем через горизонталь плоскость уровня, параллельную П1. Тогда углом между плоскостью крыши и горизонтальной плоскостью будет угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией. |
|
|
Возвращаемся к комплексному чертежу. По этому алгоритму через любую точку плоскости Г построим горизонталь в плоскости Г. Например, через точку А. Построение начинаем с фронтальной проекции (горизонталь параллельна П1) |
|
|
«Привязываем» ее к плоскости Г с помощью точки на ВС. |
|
|
Строим проекции линии ската. Таких линий – бесчисленное множество. Построим, например, через точку В. Используем проекционные свойства прямого угла. Так как линия ската перпендикулярна горизонтали, то на П1 линия ската m1 должна быть перпендикулярна h1. |
|
|
Линия ската принадлежит плоскости Г. Поэтому ее «привязываем» к плоскости Г с помощью точек этой плоскости. Здесь применили точки В и К. Таким образом, построили две проекции линии ската m. |
|
|
Далее, надо определить угол наклона линии ската m к плоскости проекций П1. Возьмем любой отрезок на линии ската и с помощью способа прямоугольного треугольника определим этот угол. Для удобства построения используем отрезок ВК, так как в точке К уже построен прямой угол. Искомый угол – угол a. |
|
|
Для построения угла наклона плоскости Г к плоскости проекций П2 используем фронталь. |
3.2 Прямая, перпендикулярная плоскости
|
Рассматривается построение комплексного чертежа прямой, перпендикулярной к плоскости общего положения. Из курса средней школы: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна одновременно к двум пересекающимся прямым данной плоскости. При работе с комплексным чертежом удобно использовать в качестве этих пересекающихся прямых горизонталь и фронталь, так как к этим линиям уровня удобно строить проекции перпендикуляров. |
|
|
Дана плоскость Г(АВС) и точка М вне плоскости Г. Пусть требуется через точку М построить прямую n, перпендикулярную плоскости Г. |
|
|
Из курса средней школы: При построении прямой, перпендикулярной плоскости, нужно построить две пересекающиеся прямые в данной плоскости. Затем следует строить новую прямую так, чтобы она была перпендикулярна одновременно к этим двум пересекающимся прямым данной плоскости. Причем, вовсе не обязательно, чтобы новая прямая пересекалась с этими двумя прямыми, принадлежащими плоскости. Новая прямая, в общем случае, скрещивается с ними. При работе с комплексным чертежом: Для прямой, перпендикулярной к горизонтали, нужно, чтобы ее горизонтальная проекция была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали. При этом, фронтальная проекция строящейся прямой может быть любой. Для прямой, перпендикулярной к фронтали, нужно, чтобы ее фронтальная проекция была перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали. При этом, горизонтальная проекция строящейся прямой может быть любой. |
|
|
Следуя этой логике, строим n1 перпендикулярно h1 и n2 перпендикулярно f2. Так как n1 перпендикулярна h1, прямая n перпендикулярна плоскости Г(АВС) при любой фронтальной проекции n2. Так как n2 перпендикулярна f2, прямая n перпендикулярна плоскости Г(АВС) при любой горизонтальной проекции n1. Следовательно, прямая n перпендикулярна плоскости Г, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым h и f плоскости Г(АВС) |
|
3.3. Пересечение прямой с плоскостью
|
Постановка задачи. На комплексном чертеже дана плоскость и прямая, не принадлежащая данной плоскости. Требуется на комплексном чертеже определить точку пересечения прямой и плоскости. При построении чертежа требуется учесть и видимость прямой относительно плоскости. |
|
|
На иллюстрации изображена плоскость треугольника АВС и прямая n. Требуется найти точку М пересечении прямой n с плоскостью Σ(АВС). Алгоритм приведен на слайде:
В алгоритме применяется проецирующая плоскость: ее след-проекция обладает собирательным свойством, то есть все объекты проецирующей плоскости проецируются в ее след-проекцию на плоскость, перпендикулярно которой она расположена. |
|
|
Решение задачи. Примечания: Данная прямая и проецирующая плоскость проецируются на П1 в одну прямую. Для построения фронтальной проекции линии 1-2 используем ее принадлежность к плоскости Г(АВС). Для определения видимости на П1 используем конкурирующие точки 1 и 5. Для определения видимости на П2 используем конкурирующие точки 3 и 4. |
3.4 Преобразование комплексного чертежа
|
Алгоритмы, рассмотренные до настоящего момента, использовали различные вспомогательные построения, при которых исследуемые геометрические объекты оставались неподвижными, а действия выполнялись в системе неизменных плоскостей проекций, которые были заданы изначально. При изучении темы преобразование комплексного чертежа рассматривается новый подход. Здесь либо 1) геометрические объекты перемещаем в пространстве для достижения частного положения относительно существующих плоскостей проекций, либо 2) создаем новые плоскости проекций, относительно которых данные геометрические объекты будут занимать частное положение. В первом случае, когда объекты перемещаем в пространстве, применяем способы: а)вращения вокруг проецирующей прямой, б)вращения вокруг линии уровня, в)плоско-параллельного перемещения. Во втором случае, когда создаем новые плоскости проекций, применяется способ перемены (замены) плоскостей проекций. |
|
|
Способ вращения вокруг проецирующей прямой. Дана прямая АВ. Требуется вращением вокруг проецирующей прямой преобразовать ее в прямую уровня. |
|
|
Решение. Через точку А провели горизонтально проецирующую ось i. Будем вращать прямую АВ вокруг этой оси. Тогда точка А останется неподвижной, а точка В будет совершать вращательное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то есть в горизонтальной плоскости уровня. Окружность будет проецироваться на плоскость П1 в натуральную величину. При этом, высота точки В не меняется. |
|
|
Вращение останавливаем при достижении прямой положения, параллельного плоскости проекций. В новом положении прямая становится прямой уровня (фронталью). Тогда на П2 получаем натуральную величину отрезка АВ и угол наклона к плоскости П1. На П2 можно увидеть прямоугольный треугольник, который рассматривался нами при изучении темы анализа отрезка прямой общего положения. Один катет равен горизонтальной проекции отрезка АВ. Другой катет равен разности высот концов отрезка АВ. |
|
|
Способ перемены (замены) плоскостей проекций. |
|
|
При способе замены плоскостей проекций строим новые плоскости проекций и на них проецируем геометрические объекты. Способ основывается на проецировании точки на новую плоскость проекций. Пусть в пространстве имеется точка А. |
|
|
Построим новую плоскость проекций П4. Новая плоскость проекций при ортогональном проецировании должна быть перпендикулярна одной из существующих плоскостей проекций. Здесь П4 перпендикулярна плоскости П1. Положение новой плоскости проекций выбирается индивидуально в каждой задаче. |
|
|
Проецируем точку А на плоскость П4. |
|
|
Плоскость П4 вместе с проекцией А4 поворачиваем вокруг линии пересечения плоскостей П1 и П4 (ось Х14) до совмещения с плоскостью П1. Обратим внимание на расстояние от Х14 до проекции А4. Расстояние равно высоте точки А. |
|
|
Типовые задачи, решаемый одной заменой плоскостей проекций |
|
|
Задача 1. Прямую общего положения преобразовать в прямую уровня. |
|
|
Новую плоскость проекций П4 располагаем перпендикулярно П1и параллельно прямой АВ. На комплексном чертеже этому соответствует ось Х14, параллельная А1В1. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 прямая АВ стала прямой уровня, так как она параллельна П4. |
|
|
Задача 2. Прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую. |
|
|
Построили плоскость П4 перпендикулярно П1 и перпендикулярно АВ. На комплексном чертеже этому соответствует положение Х14 перпендикулярно А1В1. Тогда в новой системе плоскостей проекций прямая АВ стала проецирующей прямой относительно П4. |
|
|
Задача 3. Проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. |
|
|
Плоскость проекций П4 построили параллельно заданной плоскости Г(АВС). На комплексном чертеже ось Х14 параллельна горизонтальному следу плоскости Г. В новой системе плоскостей проекций П1 / П4 плоскость Г стала плоскостью уровня, как плоскость, параллельная плоскости П4. |
|
|
Задача 4. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость. |
|
|
Построили плоскость П4 перпендикулярно горизонтали h плоскости Г(АВС). Тогда плоскость Г будет перпендикулярна плоскости П4, как плоскость, содержащая в себе перпендикуляр к плоскости П4. Таким образом, в системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость Г(АВС) стала проецирующей плоскостью. Угол a равен углу наклона плоскости Г к П1. |
|
|
Нами рассмотрены типовые задачи, решаемые одной заменой плоскостей проекций. Задачи, решаемые двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Задача 1. Прямую АВ общего положения преобразовать в проецирующую прямую. Алгоритм. Первая замена: применить плоскость П4, перпендикулярную П1 и параллельную прямой АВ. На комплексном чертеже ось Х14 параллельна проекции А1В1. Вторая замена: применить плоскость П5, перпендикулярную П4 и перпендикулярную прямой АВ. На комплексном чертеже ось Х45 перпендикулярна А4В4. В системе плоскостей проекций П4 / П5 прямая АВ становится проецирующей прямой, как прямая, перпендикулярная плоскости проекций П5. Задача 2. Плоскость общего положения Г преобразовать в плоскость уровня. Алгоритм. Первая замена: применить плоскость П4, перпендикулярную горизонтали h плоскости Г. На комплексном чертеже ось Х14 перпендикулярна к h1. В системе плоскостей проекций П1 / П4 плоскость Г стала проецирующей плоскостью. Плоскость Г проецируется на П4 в прямую Г4. Вторая замена: применить плоскость П5, перпендикулярную плоскости П4 и параллельную следу Г4 плоскости Г. В системе плоскостей проекций П4 / П5 плоскость Г становится плоскостью уровня. Фигуры, принадлежащие плоскости Г, проецируются на П5 в натуральную величину. |