Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Осуществление намеченного действия и получения его результата, называется экспериментом опытом.
Предметом ТВ является модели экспериментов со случайными исходными, причем рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменном комплексе условий произвольном числе раз. Например. / подбрасывание игральных костей, / извлечение карты из колоды, / игра в рулетку.
/Случайным событием называется результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать А,В,С…/Каждое случайное событие А определяется как подмножество в множестве элементарных исходов … . Те элементы события из … при которых событие А наступает, называют благоприятствующими событиями А.
Определение. Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого [Это не события, которые имеют одинаковые исходы].
Два события называют несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании [Это не события, которые не имеют одинаковых исходов]
5. Классическое определение вероятности.
Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания. Обозначается вероятность Р А , где m это число благоприятствующих событий исходов, n это число всевозможных элементарных исходов испытания.
6. Геометрическое определение вероятности
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры благоприятствующей фигуры .отрезка. плоской фигуры, части пространства к мере всевозможной.
7. Теоремы сложения вероятностей
Т1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А1, А2…Аn равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Т2. Вероятность появления хотя бы 1ого из 2ух совместных событий равна сумме вероятности этих событий, без вероятности их совместного появления, т.е.
8. Теоремы умножения вероятностей
Т1. Вероятность произведения 2ух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место, т.е.
Т2. Вероятность произведения взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей.
10. Формулы Байеса
Рассмотрим формулу вероятности произведения 2ух событий
11. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
Опр. Пусть определенный комплекс действий воспроизводится n раз и каждый раз событие А может наступать с одной и той же вероятностью р, независимо от результатов предыдущих опытов. В этом случае говорят о повторных испытаниях. При этом событие А может наступить 0, 1, 2, и т.д. n раз. Вероятность в которой событие А наступает m раз в n независимых испытаний вычисляется по формуле
Где Р это вероятность наступления события А в каждом испытании. q это вероятность ненаступления события А в каждом испытании. Эта формула называется Формулой Бернулли. Заключение. Формула Бернулли применяется для тех испытаний, для которых характерно лишь 2 исхода, наступление событие А или противоположного ему события q 1 p
28. Генеральная и выборочная совокупности
Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
29. Статистическое распределение выборки
Наблюдаемые значения - называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— вариа ционным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки — относи тельными частотами.
Статистическим распределением выборки называют пе речень вариант и соответствующих им частот или относи тельных частот. Статистическое распределение можно за дать также в виде последовательности интервалов и соответ ствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математи ческой статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.
Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема , называется случайная функция , при каждом равная
Графики являются наглядной формой отображения рядов распределения. Для изображения рядов применяются линейные графики и плоскостные диаграммы, построенные в прямоугольной системе координат. Для дискретных вариационных рядов графиком является полигон распределения. Полигоном распределения называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами или где - дискретное значение признака, - частота, - частость.
График строится в принятом масштабе. Вид полигона распределения приведен на рис. 5.1.
Для изображения интервальных вариационных рядов применяют гистограммы, представляющие собойступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основания которых равны ширине интервала , а высота - частоте (частости ) равноинтервального ряда или плотности распределения неравноинтервального Построение диаграммы аналогично построению столбиковой диаграммы. Общий вид гистограммы приведен на рис. 5.2. Для графического представления вариационных рядов может использоваться также кумулята – ломаная линия, составленная по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты наносятся в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат отрезками прямой, получаем ломаную линию, имеющую неубывающий вид. Координатами точек на графике для дискретного ряда являются дляинтервального ряда - Начальная точка графика имеет координаты самая высокая точка - Общий вид кумуляты приведен на рис.5.3. Использование кумуляты особенно удобно при проведении сравнений вариационных рядов.
числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения — математического ожидания случайной величины – такой является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:
,где — случайой величины, наблюденное -м опыте, - число опов.
Точечная оценка предполагает нахождение единственной числовой величины, которая и принимается за значение параметра. Такую оценку целесообразно определять в тех случаях, когда объем ЭД достаточно велик. Причем не существует единого понятия о достаточном объеме ЭД, его значение зависит от вида оцениваемого параметра (к этому вопросу предстоит вернуться при изучении методов интервальной оценки параметров, а предварительно будем считать достаточной выборку, содержащую не менее чем 10 значений). При малом объеме ЭД точечные оценки могут значительно отличаться от истинных значений параметров, что делает их непригодными для использования.
Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным параметром . До сих пор мы занимались «точечным оцениванием» неизвестного параметра — находили число («оценку»), способную, в некотором смысле, заменить параметр.
Существует другой подход к оцениванию, при котором мы указываем интервал, накрывающий параметр с заданной наперед вероятностью. Такой подход называется «интервальным оцениванием». Сразу заметим: чем больше уверенность в том, что параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что мечтать найти диапазон, в котором лежит с вероятностью 1, бессмысленно — это вся область .
37. Статистическая гипотеза, статистический критерий, ошибки 1ого и 2ого рода
Статистическая гипотеза — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных. Проверка статистической гипотезы — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных. Статистический тест или статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается статистическая гипотеза.
Ошибка первого рода или «ложная тревога» — когда нулевая гипотеза отвергается, хотя на самом деле она верна. Вероятность ошибки первого рода:
Ошибка второго рода или «пропуск цели»— когда нулевая гипотеза принимается, хотя на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода:
38. Критическая область, мощность критерия.
Мощностью статистического критерия называется вероятность попадания данного критерия в критическую область, при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза Н1, т. е.выражение 1-β является мощностью критерия.
Если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования обеспечивает минимальную ошибку второго рода, состоящую в том, что будет принята неправильная гипотеза.
При проверке статистических гипотез используют правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области. Правосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида: L>lкр, где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки; lкр, – это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия. Следовательно, для определения правосторонней критической области необходимо рассчитать положительное значение статистического критерия lкр. Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т.е. P(L>lкр)=a. Для каждого статистического критерия рассчитаны специальные таблицы, с помощью которых определяют критическую точку, удовлетворяющую заданному уровню значимости. Левосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида: L<lкр, где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки; lкр, — это отрицательное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия. Следовательно, для определения левосторонней критической области необходимо найти рассчитать отрицательное значение статистического критерия lкр. Двусторонняя критическая область характеризуется двумя неравенствами вида: L>lкр1 и L<lкр2, где L – это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки; lкр1 – это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия; lкр2 — это отрицательное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия; lкр1> lкр2.
39. Схема проверки статистической гипотезы
Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Этапы проверки стат. Гипотез. 1.Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.. 2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода. 3. Расчёт статистики критерия такой, что: /её величина зависит от исходной выборки ; /по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ; /сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама является случайной в силу случайности . 4. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью. 5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .
42. Критерий согласия Пирсона
Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.
Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе ) распределения производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.