Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УДК 530.3
Механика жидкостей и газов: теория, задачи, лаборатория. Сост.: Цветкова Е.В..- Мариуполь: ПГТУ. 2002-21с.
«Механика жидкостей» – учебное пособие по курсу общей физики (раздел механика) предназначенное для самостоятельной проработки темы. Содержит конспект лекции (в соответствии с программой для специальностей технологического факультета), банк задач по теме и методику выполнения трех лабораторных работ: «Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) жидкости методом Стокса», «Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) жидкости капиллярным вискозиметром», «Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) газа». Пособие рекомендуется как для студентов очной, так и заочной формы обучения.
Рецензент: проф. Стыров В.В.
Раздел механики, занимающийся изучением движения и равновесия жидкостей и газов, а также взаимодействие этих сред с твердым телом называется гидроаэромеханикой. Основная задача механики жидкостей состоит в определении распределения давлений и скоростей внутри жидкости.
В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы *). Они обладают только объёмной упругостью. Давление, существующее в жидкости, обусловлено её сжатием. В состоянии равновесия напряжение (давление Р) в жидкости и газе всегда нормально к площадке, на которую оно действует. Касательные напряжения вызывают только изменения формы элементарных объемов тела (сдвиги), но не величину самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не требуется, а потому в этих средах при равновесии касательные напряжения не возникают. В итоге упругие свойства жидкостей по отношению к малым деформациям характеризуются только одной упругой постоянной: коэффициентом сжимаемости γ. Изотермической сжимаемостью жидкости γ называется относительное уменьшение объёма, вызванное увеличением давления, если температура жидкости остается при этом постоянной:
, .
Величина γ очень мала и для обычных жидкостей равна м²/Н; для газов при атмосферном давлении γ ~ м²/Н.
Малая сжимаемость жидкостей позволяет во многих случаях вообще полностью пренебречь изменениями их объёма. Тогда вводят представление об абсолютно несжимаемой жидкости. Это – идеализация, которой постоянно пользуются. Конечно, и в несжимаемой жидкости давление определяется степенью её сжатия. Однако даже при очень больших давлениях изменения объёма «несжимаемых жидкостей» столь ничтожны, что с ними можно не считаться. Можно или нельзя реальную жидкость заменять идеальной – это зависит не столько от того, насколько мала сжимаемость жидкости, сколько от содержания тех вопросов, на которые надо получить ответы. Так, при рассмотрении звуковых волн, вообще говоря, принципиально невозможно отвлечься от сжимаемости жидкостей. А при рассмотрении воздушных течений, если только перепады давлений не слишком велики, воздух часто можно рассматривать как несжимаемую жидкость.
С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие среды, в которых при равновесии касательные напряжения отсутствуют. Из этого определения следует, что в состоянии равновесия величина нормального напряжения (давления) в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Это - закон Паскаля (1623-1662).
Продемонстрируем, как данный закон можно получить по закону сохранения энергии. Поместим жидкость в замкнутый объём V с двумя поршнями, находящимися на разных уровнях, расстояние между которыми h (рис.1). Площадь сечения поршней S и S0 . Перемещение нижнего поршня на расстояние Δl приведет к перемещению верхнего поршня на Δl0, а это означает, что объём жидкости с нижнего уровня поднимется на высоту h и приобретет при этом потенциальную энергию mgh (причем считаем, что жидкость несжимаема, т.е. =).
Работа по перемещению нижнего поршня
верхнего - .
По закону сохранения энергии
А+А0=тgh.
Учтем, что направление давления Р и перемещения нижнего поршня Δl совпадают, а давления Р0 и переме-
щения верхнего поршня Δl0 - нет.
В итоге:
-= ρּּgּ h,
откуда P=P0 + ρgh .
Таким образом, давление в покоящейся жидкости на глубине h (направление оси Z) превышает давление на свободную поверхность P0 на величину веса столба жидкости высотой h при его сечении равном 1 м² и не зависит от х и у. Оно остается постоянным в каждой горизонтальной плоскости, которые можно назвать плоскостями равного давления. Примером тому: свободная поверхность жидкости горизонтальна, потому, что атмосферное давление постоянно.
Так как давление жидкости равномерно по мере погружения, то среднее давление жидкости на боковую поверхность Рср= ρghс, где hс- расстояние от центра тяжести этой поверхности до свободного уровня жидкости.
Если ввести некоторое уравнение состояния жидкости, согласно которому давление в жидкости определяется только её плотностью и температурой Р=f(ρ,Т), то можно сделать общий вывод. что при механическом равновесии давление, температура и плотность жидкости являются функциями только z и не могут зависеть от х и у. (S = -grad P, здесь S – объёмная плотность результирующей сил давления, действующих на элементы объёма жидкости и в состоянии покоя S уравновешивается объёмной плотностью силы тяжести).
Следствием этого закона является так называемый гидростатический парадокс, согласно которому сила давления жидкости на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а только от площади дна, разности уровней поверхности жидкости и дна, а также от плотности жидкости. Именно поэтому в сообщающихся сосудах разного диаметра однородная жидкость устанавливается на одном и том же уровне. Однако, если жидкости разной плотности, то соотношение высоты столба жидкости: , т.к..
На этом законе основывается действие гидравлического пресса (рис. 2).
Из постоянства давления следует
если >>S2, то F1>>F2.
Учтем, что работа, производимая обеими силами, одинакова. Пусть Δl1 и Δl2 - перемещения двух поршней, тогда S1Δl1=S2Δl2= объём перемещенной жидкости, откуда F1 Δl1=F2 Δl2. Если F1 >> F2, то Δl1 >> Δl2. Иначе говоря, выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз проигрыш в длине перемещения. Таким механизмом можно получать усилия до 14-15 тысяч тонн (Р=500атм).
Еще одним следствием закона Паскаля является закон Архимеда (ок. 287-212г. до н.э.). Выделим мысленно из жидкости произвольный объём, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 3).
Если жидкость находится в механическом равновесии, то разумеется, должен находится в равновесии и выделенный объем. Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент всех внешних сил, действующих на рассматриваемый объём жидкости. Внешние силы – это вес mg выделенного объёма жидкости и давление на поверхность S со стороны окружающей жидкости. Значит, равнодействующая F сил гидростатического давления, действующих на поверхность S, Рис.3.
должна равняться весу жидкости в объёме, ограниченном поверхностью S. Эта равнодействующая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс С выделенного объёма жидкости, чтобы полный момент внешних сил, действующих на него, был равен нулю. Допустим теперь, что жидкость из выделенного объёма удалена, и на её место помещено любое твердое тело. Если это тело удерживается в равновесии, то в состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не изменится и давление, оказываемое жидкостью на поверхность S. В результате мы приходим к закону Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкивающей силе гидростатического давления, численно равной весу жидкости в объёме, вытесненном телом. Эта выталкивающая сила направлена вверх и проходит через центр масс С жидкости, вытесненной телом. Точку С называют центром плавучести тела. Её положением определяются равновесие и устойчивость плавающего тела.
Если жидкость находится в движении, то наряду с нормальными напряжениями в ней могут возникать и касательные силы. Однако последние определяются не самими деформациями жидкости (сдвигами), а их скоростями, т.е. производными деформаций по времени. Поэтому их следует относить к классу сил трения или вязкости. Они называются касательными или сдвиговыми силами внутреннего трения. Наряду с касательными могут существовать и нормальные или объёмные силы внутреннего трения. От обычных сил давления Р эти силы отличаются тем, что они также определяются не степенью сжатия жидкости, а скоростью изменения сжатия во времени. Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения (как касательные, так и нормальные), называется идеальной. Иными словами, идеальной называют жидкость, в которой могут существовать только силы нормального давления Р, однозначно определяемого степенью сжатия и температурой жидкости. Конечно, строго идеальных жидкостей не существует. Это – абстракции, которыми можно пользоваться, когда скорости изменения деформаций в жидкости не очень велики.
Если к жидкости приложить касательные напряжения, то возникнет движение. Оно, в конце концов, прекращается, и жидкость переходит в состояние покоя, в котором касательные напряжения отсутствуют. Скорости изменения деформаций жидкости могут меняться в широких пределах. Для таких жидкостей, как вода или спирт, эти изменения происходят весьма быстро; для очень вязких жидкостей, как мед или патока,- весьма медленно. Наконец, есть вещества, которые при быстрых воздействиях на них ведут себя, как твердые тела, а при медленных – как очень вязкие жидкости. Сюда относятся так называемые аморфные твердые тела.
Идеальная жидкость – несжимаемая и не имеющая вязкости жидкость. Этому случаю с удовлетворительным приближением отвечает значительное число жидкостей и даже газов, если их скорости намного ниже скорости звука и если исключаются области больших градиентов скоростей.
Движение жидкостей (газов) называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости (газа) называется потоком. При этом жидкости и газы рассматривают как сплошную среду (не рассматривая молекулярное строение).
Для описания движения жидкости можно поступить двояко. Можно проследить за движением каждой индивидуальной частицы жидкости, т.е. указать положение и скорость этой частицы в каждый момент времени. Тем самым будут определены и траектории всех частиц жидкости. Но можно поступить и иначе. Можно проследить, что происходит с течением времени в каждой точке пространства. Точнее, можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если взять всевозможные точки пространства, но фиксировать время t, то при втором способе описания в пространстве получится мгновенная картина распределения скоростей жидкости – поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый момент времени (так называемый метод Эйлера). Линия, касательная к которой указывает направление скорости частицы жидкости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания, называется линией тока. Если поле скоростей, а следовательно, и соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным. Если же они меняются во времени, то движение называется нестационарным или неустановившимся. В случае нестационарного движения при втором способе описания скорость жидкости явно зависит от координат и времени: υ=υ(r,t). При стационарном движении явной зависимости от времени нет, скорость зависит только от координат: υ=υ(r).
В случае нестационарного движения линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями частиц жидкости. Действительно, траектория указывает путь одной и той же частицы жидкости за время её движения. Линия же тока характеризует направления движения бесконечного множества частиц, которые в рассматриваемый момент находятся на этой линии. Только при стационарном течении линии тока совпа- дают с траекториями частиц.
Возьмем произвольный замкнутый контур и через каждую точку его в один и тот же момент времени проведем линии тока (рис. 4). Они расположатся на некоторой трубчатой поверхности, называемой трубкой тока.
Так как скорости частиц направлены по касательным к линиям тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока. Трубка тока ведет себя подобно боковой поверхности жесткой трубки, вдоль которой течет жидкость. На такие трубки тока можно разбить все
Рис. 4 пространство, занимаемое
жидкостью. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одна и та же во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время dt через поперечное сечение трубки, определяется выражением
dm = ρ υ S dt,
где ρ - плотность жидкости, а S - площадь (нормального) поперечного сечения трубки. В случае стационарного течения масса dm будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны S1 и S2 , то можно записать
ρ1 υ1 S1 = ρ2 υ2 S2.
Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между сечениями S1 и S2 изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Для несжимаемой жидкости ρ1 = ρ2, а так как равенство справедливо для любой пары сечений, то получим:
υ S = const - уравнение неразрывности струи.
Это означает, что скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки. Она обратно пропорциональна площади этого поперечного сечения.
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном поле, например в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями жидкости с окружающей средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости занимающий объём MNDC (рис.5). Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M 1N 1D 1C1 Вычислим работу А , совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При
перемещении границы MN в положение совершается работа ,
где l1 = ММ1 – величина перемещения. Введя объём ΔV1 = S1 l1 , её можно представить в виде
или , где Δт1 – масса жидкости в объёме MNN1M1. При перемещении границы CD в положение C1D1 жидкость совершает работу против сил давления Р2 (или давление Р2 совершает над жидкостью отрицательную работу). Для неё, рассуждая аналогично, найдем , где Δт2 - масса жидкости в объёме CDD1C1. Окончательно, работа совершаемая внешним давлением
А= А1 – А2 = .
Эта работа должна быть равна приращению ΔΕ полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия в объёме M1N1DC не изменилась. Поэтому величина ΔΕ равна разности энергий массы жидкости Δт в положения CDD1C1 и MNN1M1. Обозначая посредством ε полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости , находим ΔΕ = (ε2 – ε1) Δт. Приравнивая эту величину работе А и сокращая на Δт, получаем
.
Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина остается постоянной. Это соотношение называется уравнением Бернулли (1700-1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли нигде не использовалось предположение о несжимаемости жидкости. Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение стационарным.
Вся энергия ε складывается из кинетической энергии единица массы жидкости υ²/2 и её потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли примет вид
.
Постоянная Бернулли В одна и та же вдоль одной и той же линии тока и может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, когда постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Например, когда в некоторой области пространства несжимаемая идеальная жидкость движется параллельным потоком с постоянной скоростью υо, а затем параллельность потока нарушается препятствиями, стоящими на его пути, или вследствие расширений или сужений трубы или русла, по которым течет жидкость.
Рассмотрим некоторые следствия уравнения Бернулли:
Истечение жидкости из отверстия под действием силы тяжести.
Применим уравнение Бернулли
Будем считать, что Р1=Р2=Ратмосфергное,
А так как S2 << S1, то υ1<<υ2 . В итоге имеем формулу Торичелли для скорости
истекающей жидкости, в точности
совпадающую со скоростью свободного
падения тела с высоты h:
За единицу времени через отверстие сечением S2 вытекает объём жидкости V = S υ, или масса m = ρ S υ. Импульс, который уносит за собой поток жидкости P = m υ = ρ S υ υ. Следовательно оставшаяся жидкость по закону сохранения импульса получит импульс - ρ S υ υ . При этом Fr= - ρ S υ υ - сила реакции вытекающей струи.
В скалярной форме Fr= ρ S υ² = 2ρghS. Таким образом, сила гидростатического давления на стенку, противоположную отверстию, через которое вытекает жидкость, в 2 раза больше давления столба жидкости на данном уровне. Это объясняется перераспределением давления, которое происходит при переходе от состояния покоя жидкости к состоянию установившегося движения.
Истечение газа из отверстия под большим давлением.
Пусть S2<< S1, при этом условии υ1 << υ2 ,
что следует из уравнения неразрывности.
S1 υ1 υ2 Применяя уравнение Бернулли,
P1 P2 находим ,
откуда ~.
Однако из этого следует, что если сосуд содержит смесь разных газов при одинаковых парциальных давлениях Р, то скорость истечения газов различна.
В реальных жидкостях, помимо сил нормального давления, на границах движущихся элементов жидкости действуют ещё касательные силы внутреннего трения, или вязкости. Убедиться в существовании таких сил можно на простейших примерах: поведение жидкости во вращающемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести в равномерное вращение вокруг оси, то жидкость постепенно также приходит во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Таким образом, пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, а также от наружных слоев жидкости к внутренним. Такая передача вращения была бы невозможна, если бы не существовало касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями самой жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Эти касательные силы называются силами трения -–внутреннего, если они действуют между слоями самой жидкости, и внешнего, если эти силы взаимодействия между жидкостью и стенками сосуда. Наибольший интерес представляют силы внутреннего трения, называемые также силами вязкости.
Рассмотрим простой случай, когда жидкость находится между двумя бесконечно длинными пластинами. (Пластинки считаются бесконечными, если их длина и ширина значительно больше расстояния между ними). Нижняя пластинка неподвижна, а верхняя движется относительно неё с постоянной скоростью υо (рис.6)
z z
h υo
F z+dz υ+dυ
z υ
-F h
- 0
υ
Рис.6 Рис. 7.
Оказывается, что для поддержания равномерного движения верхней пластинки к ней надо приложить постоянную силу F, направленную в сторону движения. На нижнюю пластинку должна действовать такая же, но противоположно направленная сила, чтобы удержать эту пластинку в покое. Величина силы F, как экспериментально было установлено ещё Ньютоном, пропорциональна скорости υо, площади пластинки и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинками:
.
Если скорость меняется не по линейному закону, то касательное напряжение τ:
.
Здесь η - постоянная, называемая коэффициентом внутреннего трения или вязкости жидкости (сокращенно – вязкость). Она не зависит от материала пластинок и имеет разные значения для различных жидкостей. Для данной жидкости коэффициент η зависит от параметров, характеризующих её внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры. Так, для жидкостей, в которых не происходит образования молекулярных соединений в жидкой фазе, зависимость η от температуры определяется законом . Этот закон можно объяснить следующим образом: «текучесть» (=1/ η) зависит от числа молекул, способных за счет теплового движения преодолеть потенциал U , соответствующий энергии активации, которую должна приобрести молекула, чтобы перейти в новое положение равновесия. Эта величина определяется формулой Больцмана . Отсюда .
Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения υ будет одна и та же вдоль всей трубки тока – скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния r от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости υ является функцией радиуса r .
r υ=0
l
R R
r 0
P1 P2 X
Примем ось трубы за ось Х, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длины dx и радиуса r. На её боковую поверхность в направлении движения действует касательная сила внутреннего трения . Кроме того, на основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений
. При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому
Скорость υ(r) , а с ней и производная не меняются с изменением х. Поэтому должна быть постоянной и производная . Причем равна она (Р2-Р1)/ l , где Р1 – давление на входе трубы, Р2 – на выходе, а l длина трубы. В результате приходим к уравнению . Интегрируя его, получим
.
Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т.е. при r = R скорость υ должна обращаться в нуль. Это дает .
Скорость максимальна на оси трубы, где она достигает значения
.
Окончательное преобразование можно представить в виде:
,
т.е. при удалении от оси трубы скорость υ меняется по параболи-
ческому закону.
Подсчитаем расход жидкости, т.е. количество её, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r + dr, равна dmсек=2πrdrρυ. Подставляя сюда выражение для υ и интегрируя, находим искомый расход жидкости
или .
Учитывая связь объёма с массой секундный поток
.
Данная формула является выражением закона Пуазейля(-Хагена), сформулированном в 1840 году: расход жидкости пропорционален разности давлений ΔР, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости.
Формула Пуазейля дает возможность определять коэффициент вязкости жидкости путем определения её расхода в цилиндрической трубке (вискозиметр Оствальда). (Лабораторная работа №12) и коэффициент вязкости газа путем истечения его из баллона через капилляр (Лабораторная работа №14).
До сих пор при изучении движения жидкости мы имели в виду так называемые ламинарные течения жидкостей. Так, формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений. И так, поток называется ламинарным, если в нем можно определить линии тока. Любая частица жидкости постоянно остается в одной и той же трубке тока. Это означает, что линии тока никогда не пересекаются, или, с математической точки зрения, что функция υ=υ(r,t) - однозначна (каждой точке соответствует одна-единственная скорость).
Особенностью ламинарного течения является его регулярность. Течение при сохранении ламинарности может изменяться лишь вследствие изменения сил, действующих на жидкость, или внешних условий, в которых она находится. Так, при ламинарном течении в прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. Однако при достаточно больших скоростях ламинарное течение оказывается неустойчивым и переходит в турбулентное течение. Турбулентное течение, это течение гидродинамические характеристики которого (скорость, давление) быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют). Частицы жидкости совершают нерегулярные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущейся жидкости. Такие быстрые и нерегулярные изменения происходят не из-за изменений действующих сил или внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарных течений при определенных условиях. И так, для турбулентного режима характерно следующее.
Общее изучение условий перехода от одного режима к другому возможно путем применения теории механического подобия. Однако изложение данной теории выходит за рамки данного курса. Единственное, о чем следует сказать, это о числе Рейнольдса: безразмерная величина, определяемая соотноше- нием
Re ,
Где ρ - плотность жидкости, l - линейный размер объекта или границ потока, υ – характерная скорость течения, η- динамический коэффициент вязкости. Величину ν=η/ρ называют кинематической вязкостью.
Число Рейнольдса Re представляет собой отношение динамических сил трения (вызванных инерцией ускоряемой жидкости) к силам вязкого трения. Число Рейнольдса и соответствующие значения скорости υ, характеризующие переход от ламинарного к турбулентному режиму, называют критическим:
Rekp .
Например, для течения жидкости в цилиндрической трубе с гладкими стенками экспериментально получено Rekp=2300. И для средних скоростей оказывается, что
если Re < 2300, то течение ламинарное,
если Re > 2300, то течение турбулентное.
Вопрос о силовом взаимодействии между телом и набегающем на него потоком жидкости или газа, а также о силах, действующих на тела, движущиеся в жидкости или газе, имеет большое практическое значение в самых разнообразных задачах гидроаэродинамики. В соответствии с механическим принципом относительности задача о силовом взаимодействии между неподвижной жидкостью и телом, которое движется в ней равномерно и прямолинейно со скоростью υ, эквивалентна задаче о взаимодействии между неподвижным телом и набегающим на него стационарным потоком жидкости, скорость υо которого вдали перед телом равна -υ.
Результирующая сила R, действующая на тело со стороны потока жидкости, равна векторной сумме равнодействующих сил давления (Fд) и сил трения (Fтр), приложенных к поверхности тела: R = F д + F тр .
Силу R можно разложить на две составляющие: силу лобового сопротивления Rх , совпадающую по направлению со скоростью υо невозмущенного потока, и подъёмную силу Rу , направленную перпендикулярно υо: R = Rх + Rу . R, Rх и Rу зависят от скорости потока, формы тела, его размеров и расположения относительно направления вектора υо, а так же от свойств жидкости. Если жидкость идеальная, то как показывают расчеты, сила лобового сопротивления Rх =0, т.е. в идеальной жидкости тело должно двигаться без всякого сопротивления. Этот результат получил название парадокса Даламбера-Эйлера, т.к. он противоречит тому, что наблюдают в реальных опытах.
Обтекание тела правильной формы идеальной жидкостью (Fтр =0) показано на рис.8. Линии тока симметричны относительно направления скорости. Поэтому результирующая всех элементарных сил давления жидкости на тело Fд=0. Следовательно, результирующая сила, действующая на тело, сила его лобового сопротивления и подъёмная силы равны нулю.
В действительности сила лобового сопротивления тела, обтекаемого реальной жидкостью, всегда отлична от нуля. Это связано с влиянием вязкости, вызывающей появление двух одинаково направленных вдоль υо составляющих силы лобового сопротивления – силы сопротивления трения Rх тр и силы сопротивления давления Rх д : Rх = Rх тр + Rх д. Сила Rх тр представляет собой результирующую сил трения, действующих на все малые элементы поверхности тела. Сила Rх д обусловлена тем, что из-за торможения жидкости, происходящего в пограничном слое (слой прилипшей к поверхности тела жидкости), давление жидкости на лобовую часть поверхности тела не компенсируется её давлением на кормовую часть тела.
Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления зависит от формы тела и его расположения в потоке. У хорошо обтекаемого тела (например, крыла самолета, торпеды) определяющую роль в лобовом сопротивлении играет сопротивление трения. Наоборот, лобовое сопротивление плохо обтекаемого тела в основном обусловлено сопротивлением давления. Это связано с тем, что при обтекании потоком вязкой жидкости тел с большой кривизной поверхности (например, шарообразных) в хвостовой части тела возникает отрыв пограничного слоя от поверхности тела, приводящий к интенсивному вихреобразованию. В области поверхности тела, охваченной вихревым движением жидкости, давление оказывается пониженным по сравнению с соответствующим участком лобовой поверхности. Поэтому возникает значительная результирующая сила сопротивления давления.
Стокс теоретически показал, что для силы лобового сопротивления небольшого шара, медленно движущегося в вязкой жидкости (случай небольших Re), справедливо соотношение, называемое законом Стокса:
Rх = 6πηrυ,
где r- радиус шара, гораздо меньший характерных размеров сосуда, в котором он движется.
Подъёмная же сила будет появляться вследствие асимметрии в обтекании тела жидкостью. Если кривизна поверхности тела в верхней его части больше, скорость потока жидкости около верхней части так же больше, а давление жидкости - меньше. Поэтому результирующая сил давления на все малые элементы поверхности тела отлична от нуля и направлена вверх.
Задача 1. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.
Дано: Решение:
D = 0,5 м Обозначим: S1 - площадь поперечного сече-
d = 1 см ния сосуда и υ1 - скорость течения воды в нем
h = 0,2 м (скорость понижения уровня воды в сосуде),
S2 - площадь поперечного сечения отверстия и
υ1(h)-? υ2 - скорость вытекания воды из отверстия.
Уравнение Бернулли в данной задаче примет вид
, или . (1)
В силу неразрывности струи , или
. (2)
Подставляя (2) в (1), получим . Учитывая, что и , имеем .Так как , то приближенно . При h = 0,2 м скорость υ1 = 0,8 мм/с.
Задача 2. По горизонтальной трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубках а и б равна Δh = 10 см. Диаметры трубок а и б одинаковы. Найти скорость υ течения жидкости в трубе АВ.
Дано: Решение:
Δh = 10 см В горизонтальной трубе
постоянного диаметра
υ - ? уравнение Бернулли имеет
вид:
, где каждая из составляющих имеет свое назначение: - скоростной динамический напор;
Р - статическое давление на стенки трубы;
В – полное давление в потоке.
В каждой из трубок наличие столба жидкости объясняется давлением в жидкости, избыточным над атмосферным на величину давления столба жидкости ρgh. Однако, если в трубке а это давление численно равно статическому давлению на стенки сосуда, то в изогнутой трубке б оно равно полному давлению потока. Такая система трубок (трубка Пито) служит для определения динамического напора и скорости потока жидкости.
В итоге , откуда . Окончательно:,
м/с.
Задача 3. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик диаметром d. Определить скорость движения шарика и максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является ещё ламинарным. Движение считать установившимся.
Решение:
Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется числом Rе.
Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d , то число Рейнольдса Re , а критическое его значение Reкр = 0,5.
Скорость выразим из следующих соображений: на свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:
1) сила тяжести шарика =,
где ρсв – плотность свинца; V – объём шарика;
= ,
где ρгл - плотность глицерина;
3) сила внутреннего трения, определяемая формулой Стокса, Fтр = 6πηrυ =3πηdυ. Так как сила внутреннего трения возрастает с увеличением скорости, наступает такой момент, когда сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, и далее движение шарика в жидкости становится установившемся ( υ = const ):
= + 3πηdυ (1)
откуда . (2)
Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d , найдем
.
Максимальное значение диаметра dmax , при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Reкр , поэтому
.
Подставив сюда значения величин η , Reкр , ρсв , ρгл , g и произведя вычисления, получим dmax = 5, 29 мм.
[Н].
10. Струя воды с площадью поперечного сечения S1 = 4 см , вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта, расположенного на высоте Н = 2 м над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l = 8 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление Р воды в рукаве, если площадь сечения рукава S2 = 50 см² ?[77,9 кПа] .
11. В сосуд льётся вода. Причем за единицу времени наливается объём воды Vсек=0,2 л/с. Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h = 8,3 см ? [1.4 см].
12. Какое давление Р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью υ = 25 м/с ? Плотность краски ρ = 0,8 ·10³ кг/м³ . [250 кПа].
13. Шарик всплывает с постоянной скоростью υ в жидкости, плотность которой ρ1 в 4 раза больше плотности материала шарика ρ2 . Во сколько раз сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg , действующей на этот шарик ? [3].
14. Стальной шарик падает с постоянной скоростью υ = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость η касторового масла. [2 Па с].
15. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью <υ> = 10 см/с. Определить число Рейнольдса Re для потока жидкости в трубе и указать характер течения. [5000, турбулентное].
16. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость υтах , при которой движение масла в этой трубе остается еще ламинарным, равна 3,2 см/с. При какой скорости υ движения глицерина в той же трубе переходит из ламинарного в турбулентное? [1,94 см/с].
17. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Определить максимальный массовый расход тс тах воды при ламинарном течении. [54,2 г/с].
Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) жидкости методом Стокса.
Метод Стокса заключается в определении коэффициента вязкости по скорости падения шарика в жидкости. Теория данного метода приведена при решении задачи 3 раздела «Примеры решения задач» ( стр. 12 ). Полученная формула (2) для скорости движения шарика позволит рассчитать коэффициент вязкости, если скорость определить в эксперименте. Так как считаем, что движение шарика установившееся, т.е. с постоянной скоростью, то .
В итоге , (1)
где ρ1 – плотность жидкости; ρ2 – плотность шарика;
t - время прохождения шариком расстояния ;
l - расстояние между метками на цилиндре;
g - ускорение свободного падения.
Порядок выполнения работы и обработки результатов.
Температура …; ρ1 =… ρ2 = … l = …
|
№ |
d, мм |
t, с |
ηcp |
(η – ηcp) |
(η – ηcp)² |
|
1 2 … 5 |
|||||
|
Сумма |
- |
- |
|
- |
Лабораторная работа № 12
Определение коэффициента внутреннего трения
(вязкости) жидкости капиллярным вискозиметром.
Метод заключается в определении объема жидкости, истекающего в течение времени t через капилляр известных размеров, что позволяет для расчета коэффициента вязкости воспользоваться законом Пуазейля (стр.9 по тексту изложения теории).
Капиллярный вискозиметр представляет собой стеклянную трубку с коленами большего и меньшего диаметра. Одно из колен имеет капиллярный участок длиною l и два шарообразных расширения с метками а и в, фиксирующими определенный объем жидкости. Созданием повышенного давления в широком колене заставляют жидкость перетекать в узкое колено, пока её уровень не поднимется выше отметки а. Открыв пробку, предоставляют жидкости возможность под действием силы тяжести перетекать в широкое колено, при этом фиксируют время протекания объёма жидкости между метками а и в.
Перепад давлений ΔР (разность давлений у концов капилляра) определяется высотой столба жидкости Δh :
ΔР= ρ g Δh, (1)
где ρ - плотность жидкости;
g - ускорение свободного падения.
В данной работе определяют вязкость жидкости относительным методом. В совершенно одинаковых условиях измеряют время истечения to одного и того же объёма жидкости c известным коэффициентом вязкости ηо и t для жидкости, вязкость которой определяют.
В соответствии с законом Пуазейля объём прошедшей через капилляр жидкости . Откуда, с учетом формулы (1) . Для жидкости с известными параметрами . Разделив первое уравнение на второе, получим
(2).
В качестве эталонной жидкости берут дистиллированную воду, для которой
при 20°С Па с
кг/м³.
Порядок выполнения работы и обработки результатов.
1. В таблицу запишите температуру, при которой производится опыт, значение коэффициента вязкости воды ηо и плотности ρо , а также плотность исследуемой жидкости ρ .
3. Насосом (небольшими перемещениями) увеличивайте давление в широком колене, перемещая воду в узкое колено. Прекратите увеличивать давление, когда уровень воды в узком колене поднимется несколько выше верхней метки а.
4. Откройте пробку и, когда уровень воды достигнет верхней метки а, включите секундомер. Остановите секундомер, когда уровень воды опустится до нижней метки в. Запишите в таблицу время истечения воды t0 .
Результаты измерений и вычислений
Температура …; ηо =… ρо =… ρ= …
|
№ |
t0 |
(t0cp - t0) |
(t0cp - t0)² |
t |
(tcp - t) |
(tcp - t)² |
|
1 2 … 5 |
||||||
|
сумма |
— |
— |
5. Измерения по пунктам 3 и 4 проведите пять раз, записывая результаты в таблицу.
6. Вылейте воду из вискозиметра и залейте в него такое же количество (10 см³ ) исследуемой жидкости.
7. По пунктам 3 и 4 проведите пять измерений времени t истечения исследуемой жидкости.
tо = t о ср ± Δtо , t = t ср ± Δt , при Ра =… ;
по рабочей формуле (2) рассчитайте среднее значение коэффициента вязкости и его доверительный интервал (по схеме обработки результатов косвенных измерений):
η =ηср ± Δη , при Ра =…
10. Проведите по возможности сравнительный анализ с табличными значениями и сделайте вывод.
Определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) газа.
В данной лабораторной работе коэффициент вязкости воздуха определяется методом истечения его через капилляр радиусом R и длиной l по формуле Пуазейля (изложение теории вопроса на стр.9).
Если в сосуде объёмом V создать избыточное давление воздуха Р1 по сравнению с давлением воздуха вне сосуда Ро и предоставить возможность воздуху вытекать из сосуда, то измерив время процесса и конечное давление воздуха в сосуде Р2 , можно рассчитать коэффициент
вязкости воздуха.
Получим расчетную формулу при допущении, что плотность воздуха в сосуде и вне сосуда незначительно отличаются друг от друга (это действительно так!). Перепишем формулу Пуазейля в дифференциальной форме : .
Из уравнения состояния идеального газа следует и тогда . В итоге:
; .
Знак «-» указывает на то, что масса убывает.
Интегрируя последнее уравнение, получим
,
.
Но , и плотность атмосферного воздуха , в итоге последнее уравнение перепишется:
, или .
Перепад давлений в начальный момент времени (Р1 – Р0) =ΔР1 , и в конечный момент – (Р2 – Р0) =ΔР2 , измеряется жидкостным манометром, поэтому в отношении перепадов давления можно перейти к отношению разности уровней в манометре = и окончательно получить расчетную формулу для коэффициента вязкости
. (1)
Порядок выполнения работы и обработки результатов.
Температура …; P0 =… R =… l =… V= …
|
№ |
Δ h1 |
Δ h2 |
t,с |
η |
η - ηср |
(η – ηср)² |
|
1 2 … 7 |
||||||
|
Сумма |
— |
— |
— |
— |
6. Измерения по пунктам 3-5 проделайте 7 раз.
7. По формуле (1) рассчитайте значения коэффициентов вязкости во всех опытах и найдите средне выборочное ηср .
8. Задавшись указанной преподавателем доверительной вероятностью, рассчитайте доверительный интервал, приняв измерения η , как прямые.
Запишите окончательный результат измерений, как:
η = ηср ± Δ η , при Ра = …
9. Сравните, полученный вами результат с известными значениями из литературы. Сделайте вывод.
17. В каком случае законы, описывающие движение жидкости применимы к описанию движения газов.
18. Если в жидкость поместить горизонтально два диска одинакового радиуса один над другим на определенном расстоянии, и привести во вращение нижний диск, то верхний диск, подвешенный на нити повернется на определенный угол. Объясните процесс и разработайте метод измерения коэффициента вязкости на такой установке.
519с.Глава XII.
Глава 6.
3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высш. шк., 1985.-432с. Гл. 6
4. Геворкян Р.Г. Курс физики,-М.: Высш. шк., 1979.-656с. Глава 6
2.1. Движение жидкости. Уравнение неразрывности……………………………………………….. 8
2.2. Стационарное движение идеальной жидкости.
Уравнение Бернулли………………………………………...10
2.3. Вязкие жидкости. Ламинарное и турбулентное течение………………………………………………………..13
2.4. Движение тел в жидкости ……………………………19
№ 11. Определение коэффициента внутреннего трения
жидкости методом Стокса…………………………………..27
№ 12. Определение коэффициента внутреннего трения
жидкости капиллярным вискозиметром…………….……..29
№ 14. Определение коэффициента внутреннего трения
газа …………………………………………………………. ..32
*) Исключения составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкостей. Однако связанные с ними явления в данном изложении не рассматриваются.