Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1 Случайный процесс Х(t) представляет собой функцию, которая отличается тем, что принимаемые ею значения в любые произвольные моменты времени по координате t являются случайными. Строго с теоретических позиций, случайный процесс X(t) следует рассматривать как совокупность временных функций xk(t), имеющих определенную общую статистическую закономерность. При регистрации случайного процесса на определенном временном интервале осуществляется фиксирование единичной реализации xk(t) из бесчисленного числа возможных реализаций процесса X(t). Эта единичная реализация называется выборочной функцией случайного процесса X(t). Примеры выборочных функций модельного случайного процесса X(t) приведены на рис. 17.1.1. В дальнейшем без дополнительных пояснений при рассмотрении различных параметров и характеристик случайных процессов для сопровождающих примеров будем использовать данную модель процесса.
Рис. 17.1.1. Выборочные функции случайного процесса.
С практической точки зрения выборочная функция является результатом отдельного эксперимента, после которого данную реализацию xk(t) можно считать детерминированной функцией. Сам случайный процесс в целом должен анализироваться с позиции бесконечной совокупности таких реализаций, образующих статистический ансамбль. Полной статистической характеристикой такой системы является N-мерная плотность вероятностей р(xn;tn). Однако, как экспериментальное определение N-мерных плотностей вероятностей процессов, так и их использование в математическом анализе представляет значительные математические трудности. Поэтому на практике обычно ограничиваются одно- и двумерной плотностью вероятностей процессов.
1. Стационарные случайные процессы.
Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек на величину , т.е. Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.
Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Нестационарный процесс будет наблюдаться, например, на выходе какого-либо генератора шумов непосредственно после его включения.
Из определения стационарного процесса следует, что
т.е. одномерная функция распределения вообще не зависит от времени, а двумерная функция распределения зависят только от разностей времен . Отсюда следует, что для стационарного случайного процесса среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не зависит от времени
а корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной :
случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен . Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности. Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.
ГЛАВА 17 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
17.1. Понятие о стационарном случайном процессе
На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.
В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.
Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».
Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).
Эргодическое свойство стационарных случайных функций
Рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию и предположим, что требуется оценить ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию . Выше (см. 15.4) были изложены способы получения этих характеристик из опыта. Для этого нужно располагать известным числом реализаций случайной функции . Обрабатывая эти реализации, можно найти оценки для математического ожидания и корреляционной функции . В связи с ограниченностью числа наблюдений (функция не будет строго постоянной; ее придется осреднить и заменить некоторым постоянным ; аналогично, осредняя значения для разных , получим корреляционную функцию .
Этот метод обработки, очевидно, является довольно сложным и громоздким и к тому же состоит из двух этапов: приближенного определения характеристик случайной функции и также приближенного осреднения этих характеристик. Естественно возникает вопрос: нельзя ли для стационарной случайной функции этот сложный, двухступенчатый процесс обработки заменить более простым, который заранее базируется на предположении, что математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция - от начала отсчета?
Кроме того, возникает вопрос: при обработке наблюдений над стационарной случайной функцией является ли существенно необходимым располагать несколькими реализациями? Поскольку случайный процесс является стационарным и протекает однородно по времени, естественно предположить, что одна-единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получения характеристик случайной функции.
При более подробном рассмотрении этого вопроса оказывается, что такая возможность существует не для всех случайных процессов: не всегда одна реализация достаточной продолжительности оказывается эквивалентной множеству отдельных реализаций.
Для примера рассмотрим две стационарные случайные функции и , представленные совокупностью своих реализаций на рис. 17.7.1 и 17.7.2.
Для случайной функции характерна следующая особенность: каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени . Очевидно, при достаточно большом эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом. В частности, осредняя значения этой реализации вдоль оси абсцисс - по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; осредняя квадраты отклонений от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии, и т. д.
Про такую случайную функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продолжительности.
Рассмотрим теперь случайную функцию . Выберем произвольно одну из ее реализаций, продолжим ее мысленно на достаточно большой участок времени и вычислим ее среднее значение по времени на всем участке наблюдения. Очевидно, это среднее значение для каждой реализации будет свое и может существенно отличаться от математического ожидания случайной функции, построенного как среднее из множества реализаций. Про такую случайную функцию говорят, что она не обладает эргодическим свойством.
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
P{X=α}=0 для любого α.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:
P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).
Плотность вероятности на этом участке определяется отношением
(5.6)
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.
Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
(5.7)
В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).
Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(5.8)
В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кр
Основные свойства плотности распределения:
Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.
2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
Белый шум — стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Примерами белого шума являются шум близкого водопада[1] (отдаленный шум водопада — розовый, так как высокочастотные составляющие звука затухают в воздухе сильнее низкочастотных), или шум Шоттки на клеммах большого сопротивления, или шум стабилитрона, через который протекает очень малый ток. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения.
Квазибелый шум – это шум с равномерным не зависящим от частоты распределением спектральной мощности в определённом диапазоне пространственных частот.
“окрашенный” шум - формируется из “белого” в соответствии с огибающей амплитудного спектра скрываемого речевого сигнала;
Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют не случайную функцию двух аргументов Rx(t1, t2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t1 и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X(t1) и X(t2) соответствующих сечений случайного процесса:
(6.1)
где 2(x1, t1; x2, t2) —двумерная плотность вероятности.
Часто пользуются иным выражением корреляционной функции, .записанной не для самого случайного процесса X(t), а для центрированной случайной составляющей X(t). Корреляционную функцию в этом случае называют центрированной и определяют из соотношения
(6.2)
Различные случайные процессы в зависимости от того, как изме няются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в уз ком смысле и стационарность в широком смысле.
^ Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X(t), если его n-мерные функции распределения и плотность вероятности при любом п не зависят от положения начала отсчета времени t, т. е.
(6.3)
Это означает, что два процесса, X(t) и X(t+), имеют одинаковые статистические свойства для любого , т. е. статистические характерис тики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс — это своего рода аналог установивше гося процесса в детерминированных системах.
^ Стационарным в широком смысле называют случайный процесс X(t), математическое ожидание которого .постоянно:
(6.4)
а корреляционная функция зависит только от одной переменной — раз ности аргументов =t2-t1:
(6.5)
Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле,. вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик слу чайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, кото рая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.
Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью опре деляют его n-мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смыс ле совпадают.
Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной цепи
Спектральная плотность мощности на выходе определяется аналогично тому, как это делалось при определении спектра выходного детерминированного сигнала.
Если входной сигнал обладает спектром мощности Wвх(w ), то на выходе сигнал будет иметь спектральную плотность мощности
Wвых (w )=Wвх(w ) H2(w ).
Корреляционную функцию определим как обратное преобразование Фурье
Аналогичные записи можно провести на основе знания импульсной характеристики цепи. Поскольку спектральной функции Wвх(w ) соответствует корреляционная функция
а спектральной функции H2(w ) соответствует
то произведению Wвх(w ) H2(w ) соответствует свертка
и
В случае белого шума на входе с Wвх(w )=W0 имеем Wвых(w )= W0H2, а
Это же выражение можно применить и для случая, когда спектральная плотность мощности случайного стационарного процесса на входе цепи равномерна лишь в полосе прозрачности цепи.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в § 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.
Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте . Размерность функции , являющейся отношением мощности к полосе астот, есть
Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.
Выделив из ансамбля какую-либо реализацию и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):
Разделив эту энергию на получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т
При увеличении Т энергия возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход получим
где
представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой реализации.
В общем случае величина должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция характеризует весь процесс в целом.
Опуская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса
где
Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением то спектральную плотность следует представить в форме
где — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а - дельта-функция.
При интегрировании по первое слагаемое в правой части дает т. е. мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию
Для процесса с нулевым средним
Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что является четной и неотрицательной функцией .
Ковариационные функции. Частным случаем корреляционной функции является функция автоковариации (ФАК), которая широко используется при анализе сигналов. Она представляет собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t)-mx(t) в моменты времени ti и tj и характеризует флюктуационную составляющую процесса:
KХ(ti, tj) =(x(ti)-mx(ti)) (x(tj)-mx(tj)) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj, (9.1.8)
В терминах теории вероятностей ковариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса. Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции автокорреляции. При произвольных значениях mx ковариационные и корреляционные функции связаны соотношением:
KX) = R(t, t+X) - m(t, t+x2(t).
Нормированная функция автоковариации (функция корреляционных коэффициентов):
Х) = K(t,t+X)]. (9.1.9)(t+(t))/[(t,t+
Функция корреляционных коэффициентов может принимать значения от +1 (полная статистическая корреляция случайных процессов на интервалах t и ) до -1 (полная статистическая противоположность процессов на этихt+ интервалах). Попутно отметим, что в математической статистике, а также довольно часто и в технической литературе, эту функцию называют функцией = 0 значение корреляции. При Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного процесса:
KX(t) = DX(t).
Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации). Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется.
Рис. 9.1.7. Реализации и ковариационные функции случайных процессов.
Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариационных функций приведены на рис. 9.1.7.
Свойства функций автоковариации и автокорреляции.
= 0= 0. Это очевидно, т.к. при 1. Максимум функций наблюдается при вычисляется степень связи отсчетов с собой же, которая не может быть меньше связи разных отсчетов. Значение максимума функции корреляции равно средней мощности сигнала.
2. Функции автокорреляции и автоковариации являются четными: RX) = R(X. Говоря иначе, моменты двух случайных величин X(t)X(t) при t = t-) = X(t-). Последнее также очевидно: X(t)X(t+(-1) и X(t2) не зависят от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, и соответственно симметричны относительно своих аргументов: Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1).
значения ФАК для сигналов, конечных по энергии, стремятся к3. При нулю, что прямо следует из физического смысла ФАК. Это позволяет ограничивать длину ФАК определенным максимальным значением max - радиусом корреляции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. Интегральной характеристикой времени корреляции случайных величин обычно считают эффективный интервал корреляции, определяемый по формуле:
Tk =|x (1/K )| d(x(0)) |Kx. (9.1.10))| d(
Отсчеты (сечения) случайных функций, отстоящие друг от друга на расстояние большее Tk, при инженерных расчетах считают некоррелированными.
4. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационная функция не изменяется. Обозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). Функция математического ожидания новой величины: = + f(t). Отсюда следует, что Y(t) -= X(t) -, и соответственно Ky(t1,t2) = Kx(t1,t2).
5. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее корреляционная функция Rx(t1,t2) умножится на f(t1f(t)2). Обоснование данного свойства проводится по методике, аналогичной предыдущему пункту.
6. При умножении функции случайного процесса на постоянное значение С значения ФАК увеличиваются в С2 раз.