Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16
b1><b2
Рис. 4.1. Побудова перевіркової мат-риці – а) і її результат б) для коду (10.6)
G(10.6) =
1001011000
Н = 1100100100
0111000010
0010110001
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
Зміст
Система зв’язку – сукупність технічних засобів, призначена для передачі повідомлень від джерела до їх споживача. Структурна схема системи зв’язку, яка відповідає завданню курсової роботи, зображена на рис. 1.1.
Система зв’язку містить джерело повідомлень та їх споживача. Пристрої джерела повідомлення, (деколи їх називають первинними перетворювачами, або давачами) виконують на передаючій стороні перетворення повідомлення у електричний сигнал. На приймальній стороні пристроями отримувача здійснюється зворотне перетворення – прийнятого первинного сигналу b^(t) у повідомлення.
Передавач. Для погодження первинних сигналів з лінією зв'язку використовується пристрій, який називають передавачем. У ньому здійснюється перетворення первинних сигналів b(t) у сигнали, зручні для передавання в лінії зв'язку (за формою, потужністю, частотою і т.д.).
Це перетворення здійснюється здебільшого шляхом модуляції. В ЦСП використовують дискретну модуляцію. Дискретна модуляція є окремим випадком модуляції гармонічного переносника, якщо модулюючий сигнал uм(t) – дискретний.
Лінією зв’язку називається середовище, яке використовується для передачі сигналів від передавача до приймача. В системах електричного зв’язку – це кабель або хвилевод, в системах радіозв’язку – область простору, в котрій поширюються електромагнітні хвилі. При проходженні лінією зв'язку електричні сигнали, по-перше, значно зменшуються (ослаблюються), по-друге, зазнають впливу сторонніх електромагнітних коливань – завад (на рис. 1.1 – n(t)). Отже, на виході лінії зв'язку буде суміш прийнятого сигналу u(t) і завади n(t), яку позначено z(t).
Приймач. Ця частина системи виконує приймання сигналу з лінії і відновлює первинний сигнал b(t). Одна з головних функцій приймача – боротьба із завадами. Умови приймання сигналів потребують виконання у приймачі таких основних операцій щодо прийнятого разом із завадами сигналу: підсилення, оброблення, демодуляції.
Аналого-цифрове перетворення в цифрових системах передачі неперервних повідомлень найчастіше виконується таким чином, що на виході блоку АЦП отримуємо цифровий сигнал у вигляді двійкових послідовностей імпульсно-кодової модуляції (ІКМ).
В ІКМ аналоговий первинний сигнал перетворюється в цифровий за допомогою трьох операцій: дискретизації за часом, квантування за амплітудою (рівнем) та кодування. Процес дискретизації неперервного сигналу зводиться до визначення його відліків u(kТд) через інтервал часу Тд Згідно з теоремою Котельникова частота дискретизації fд= 1/Тд, має бути більшою за подвоєну максимальну частоту спектра неперервного сигналу.
При квантуванні відліки неперервного сигналу u(kТд), що мають значення в інтервалі між дозволеними рівнями, округлюються до найближчого дозволеного рівня. Різницю між двома найближчими (сусідніми) рівнями називають кроком квантування і. Через округлення в процесі квантування виникає похибка
(kТд) = uкв(kТд) – u(kТд),
оскільки квантоване значення відліку uкв(kТд) відрізняється від первинного u(kТд). Ця похибка є специфічною завадою в будь-якому АЦП і дістала назву шуму квантувания. Шум квантування (kТд) являє собою випадкову послідовність імпульсів, максимальне значення яких не перевищує півкроку квантування.Кодер АЦП перетворює квантовані відліки в кодові комбінації, якими кодуються відповідні рівні. Найчастіше кодування зводиться до запису номера рівня у двійковій системі числення – натуральному двійковому коді. Так для випадку значення сигналу величиною 11 одиниць зображеного на рис. 1.2–а вихідна ІКМ-послідовність буде 1011, тобто – 1 23 + 0 22 + 1 21 +1 20 = 11.
Коли в кінці кінців неперервний сигнал x^(t) відновлено з квантованих відліків, він завжди відрізняється від вхідного сигналу x(t) на величину похибки або шуму квантування. Шум квантування не пов’язаний з завадами в каналі і цілком визначається вибором числа рівнів. Його можна зробити скільки завгодно малим, збільшуючи їх число. При цьому прийдеться збільшувати число кодових символів, потрібних на кожний відлік, а отже, скорочувати тривалість символу і розширювати спектр сигналу в каналі. Таким чином, так само, як і при завадостійких видах модуляції, зниження цього шуму досягається за рахунок розширення спектру сигналу.
Послідовність імпульсів після демодуляції в демодуляторі, регенерації і корекції в декодері завадостійкого коду поступає на цифро-аналоговий перетворювач (ЦАП), призначення котрого полягає в зворотному перетворенні – відновленні неперервного повідомлення за прийнятою ІКМ-послідовністю кодових комбінацій. Остаточно зворотне перетворення цифрового сигналу в неперервний при ІКМ здійснюється декодером та ФНЧ.
Завадостійке кодування. На відміну від шумів квантування помилки передачі можливо в ряді випадків зменшити або навіть взагалі усунути, використовуючи завадостійке кодування. В цьому випадку, як це показано на рис. 1.1, отриманий з виходу АЦП сигнал ІКМ поступає в цифровий канал передачі не безпосередньо на вхід передавача (модулятора) а на кодер завадостійкого коду.
Часові діаграми сигналів на вході і виході завадостійкого кодера показані на рис 1.2–а, б. До входу кодера надходить ІКМ-послідовність двійкових символів а1, а2,..,аk первинних простих (ненадлишкових) кодових комбінацій згідно з повідомленнями. У процесі кодування кодові комбінації аі довжиною k перетворюються в дозволені кодові комбінації bі довжиною n (n > k) із символами b1, b2,..bk, ..., bn, тобто кодер додає в первинні ненадлишкові кодові комбінації r = n – k додаткових символів, що називаються перевірковими (на рис. 1.2–б це один останній двійковий символ).
У декодері в разі надлишкового кодування з'являється можливість виявлення та виправлення помилок. При виявленні помилок прийнята кодова комбінація порівнюється по черзі з усіма дозволеними, і якщо вона не збігається ні з однією з них, то виноситься рішення про наявність помилок.
Виправлення помилок можливе тільки в тому випадку, коли передана дозволена кодова комбінація через помилки переходить у заборонену. Рішення про те, яка кодова комбінація передавалась, приймається в декодері на основі порівняння прийнятої забороненої кодової комбінації з усіма дозволеними. Прийнята заборонена кодова комбінація ототожнюється з тією дозволеною, до якої вона більш за все подібна, тобто з тією, від якої вона відрізняється меншим числом символів. Так на рис 1.3–б, в помилково прийнята кодова комбінація 1010 (замість 1011) виправлена в завадостійкому декодері. На вхід ЦАП поступила комбінація 1011, що відповідає переданій.
Модулятор і демодулятор. У процесі модуляції первинний сигнал b(t) керує параметрами сигналу–носія (переносника). На виході передавача одержуємо модульований сигнал s(b,t). Часові діаграми в точках 3 і 4 структурної схеми, які відповідають входу і виходу модулятора наведено на рис. 1.2–б, в. Часова діаграма для двійкового первинного сигналу відповідає точці 3. Оскільки в цьому разі первинний сигнал приймає два значення u1(t) = Um, і u2(t) = 0, що відповідають символам 1 і 0, то інформаційний параметр маніпульованого сигналу також приймає два значення.
На рис.1.2 наведені форми сигналів при двійковому коді для амплітудної модуляції (АМ-2). При АМ-2 первинному сигналу b1(t) (символу 1) відповідає передача відрізка гармонічного коливання з частотою переносника тривалістю Ті (сигнал s1(t), який називають посилкою), сигналу b2(t) – (символу 0) відсутність коливання – пауза, тому часто АМ-2 називають маніпуляцією з пасивною паузою.
В сучасних системах передачі дискретних повідомлень прийнято розрізняти як відносно самостійні пристрої поряд з кодеками також і модеми.. Під терміном модем розуміють конструктивне об’єднання модулятора і демодулятора – пристрій, що перетворює код в сигнал (модулятор) і сигнал в код (демодулятор). Під кодеком розуміють об’єднання кодера і декодера. На структурній схемі рис. 1.1 виділені як кодек так і модем.
Визначимо мінімально допустиме число рівнів квантування L, значність кодових комбінацій та тривалість символу на виході АЦП, вважаючи, що тривалість кодової комбінації дорівнює інтервалу дискретизації. Верхня гранична частота спектру повідомлення Fmax = 3,2 кГц, пікфактор сигналу П = =42 дБ, допустиме відношення сигнал/завада квантування рkb = Рb/Р = 37 дБ.
Для розрахунків використовуємо оцінку величини <2(t)> – средньої потужності шуму квантування, яка дорівнює <2 (t)> =2/12. Тоді:
PB/P = <B2(t)>/< 2(t)> = 12 <B2(t)>/ 2.
Вважаючи, що B(t) – нормоване повідомлення –1 < B(t) < 1 отримаємо
= (Bmax– Bmin)/(L–1) = 2/(L–1).
З іншого боку PB = <B2(t)> = 1/ П2, де П – пікфактор сигналу. Отже
PB/P = <B2(t)>/< 2(t)> = 12 / (П2 2) = 3(L–1)2/ П2,
звідки кількість рівнів квантування:
(2.1)
В цій формулі співвідношення сигнал-завада і пікфактор сигналу задані у відносних одиницях тому їх необхідно перетворити, поклавши:
і П = 100,1П (дБ).
Кількість рівнів квантування остаточно
6,48 105.
Значність кодових комбінацій n знайдемо як
n log2 L 1,443ln L = 1,443ln 6,48 105 = 16,05.
Округлимо отриману величину до найближчого більшого цілого і приймемо n = =17. Скоректоване значення кількості рівнів квантування L = 2n = 217 = 131072.
Тривалість кодової комбінаціі дорівнює інтервалу дискретизації, а він згідно теореми Котельникова становить Тд = 1/(2fв), де fв - верхня гранична частота спектру первинного сигналу. Отже: Тд = 1/(2fв) = 1/(23,2) = 0,156 мс.
Тривалість символу кодової комбінації на виході АЦП
с = Тд/n = 0,156/17 = 0,00918 мс = 9,18 мкс.
Ентропія незалежних дискретних повідомлень на виході АЦП та продуктивність джерела повідомлень, якщо імовірність передачі символу 1: Р(1) = 0,К = 0,4 де К = 4.
Середнє значення кількості інформації в одному квантованому відліку Нвід(А) (ентропія відліку) обчислюється як математичне очікування кількості інформації:
(2.1)
де L – число рівнів квантування; рі – iмовiрнiсть появи у квантованому повідомленні і – го рівня. Для L рівноімовірних рівнів квантування імовірність кожного з них рі = 1/L. Тому для нашого випадку ентропія джерела незалежних повідомлень за формулою (2.1) буде:
Н(А) = –log2(1/L) = –log2(1/131072) = 17 біт/пов.
Для двійкового джерела при рівноімовірних символах 1 і 0 ентропія буде максимальною Нmax(А) = log2 2 = 1 біт/пов. При різних імовірностях символів, наприклад, якщо згідно завданню Р(а1) = р = 0,4 і, відповідно, Р(а2) = 1 – р = 0,6, згідно з формулою (2.1) для двійкового джерела отримуємо:
–p log2p – (1 – p) log2(1 – p) =
= – 0,4 log2 0,4 – 0,6 log2 0,6 = – 0,41,443ln 0,4 – 0,61,443ln 0,6 =
= – 0,41,443(–0,92) – 0,61,443(–0,51) = 0,53 + 0,44 = 0,97.
Для обчислення двійкових логарифмів користуємось математичним правилом: log2 z = ln z/ln 2 1,443 ln z.
Продуктивність джерела. Під продуктивністю джерела розуміють середню кількість інформації, утвореної джерелом за одиницю часу. Для неперервних повідомлень у разі їх перетворення в цифрову форму з частотою дискретизації fд та ентропією відліків Нвід(А) продуктивність джерела може бути обчислена за формулою
Rдн = fд Нвід(А). (2.2)
Для L рівноймовірних рівнів квантування ймовірність кожного з них рі = =1/L, і з формул (2.1) та (2.2) дістаємо, що максимальне значення продуктивності джерела неперервних повідомлень
Rдн = fд log2 L = 23,210317 = 1,09105 біт/с.
Для двійкового джерела дискретних повідомлень
Rдд = Н(А) / с = 0,97/ 9,1810-6 = 1,06105 біт/с.
В даному випадку за умовами задачі маємо велике значення ентропії джерела за рахунок близьких імовірностей появи у двійковому повідомленні символів 1 і 0. Це обумовлює високу продуктивність джерела.
Розрахуємо імовірність помилки символу на виході демодулятора для модуляції АМ-2 та некогерентного способу прийому, вважаючи, що в каналі зв'язку немає завадостійкого кодування. Розрахункова формула виведена в теорії потенційної завадостійкості і є наступною:
. (3.1)
В цій формулі: h2 = Еs /N0 – відношення енергії сигналу Еs до спектральної густини потужності завади N0,.
Таблиця 3.1.
Імовірність помилки двійкового символу на виході оптимального демодулятора.
|
h2 |
0 |
3,67 |
6,44 |
15,65 |
24,86 |
34,07 |
52,49 |
|
Рпом |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,01 |
0,001 |
10-4 |
10-6 |
Обчислимо Рпом(h2) за формулою 3.1 згідно завданню і подамо результати у табл. 3.1. Побудуємо залежність Рпом = f(h2)для оптимального некогерентного приймання двійкових сигналів АМ-2, за формулою (3.1) і зобразимо її на рис. 3.1.
Знайдемо імовірнiсть помилки при оптимальному некогерентному прийманні сигналів АМ-2, якщо задані амплітуда модульованого сигналу а = 1,8 В та спектральна густина потужності завади No = 3,310-5 В2/Гц на виході демодулятора. Враховуючи, що Еs = Рs/В а потужність сигналу Рc = а2/2, для відношення h2 = Еs/Nо отримаємо формулу: h2 = Еs/Nо = Рs/(В Nо) = а2/(2В Nо). Зважаючи, що швидкість модуляції В = 1/с, де с визначене в розділі 2, дістанемо остаточно:
h2 = а2/(2ВNо) = а2с /(2Nо) = (1,829,1810-6) / (23,310-5) = 0,451.
Використовуючи формулу (3.1), отримаємо величину імовірності помилки:
= 0,5 exp (–0,11) = 0,5 0,896 = 0,45.
Отримана величина імовірності помилки є небажаною. Вона виходить через перевищення сигналу шумом – оскільки h2 є меншим 1. Для можливості нормальної роботи системи необхідно збільшити рівень сигналу, щоб отримати величину Рпом принаймі на рівні 0,1. Потрібний для цього рівень сигналу знайдемо, використовуючи графік рис. 3.1.
Згідно рис 3.1 (або табл 3.1) для отримання Рпом = 0,1 необхідно забезпечити значення h2 =6,44. Звідси
а2 = (2Nоh2)/с = (23,3 10-56,44)/9,1810-6 = 46,3 В2.
Отже, амплітуда модульованого сигналу повинна становити: а = 6,8 В.
При аналізі завадостійкості систем за допомогою графіків типу зображеного на рис. 3.1 найчастіше знаходять значення так званого енергетичного виграшу gе дБ, – різницю рівнів енергій сигналів при однаковій імовірності помилки. В даному випадку енергетичний виграш становить gе = 10 lg (0,451/6,44)= –11,5 дБ, (тут маємо енергетичний програш) бо потрібно збільшувати амплітуду сигналу, правда її зростання становить як і gе всього 20 lg (6,8/ 1,8) = 11,5 дБ отже, щоб забезпечити достатню завадостійкість необхідно відносно невеликі енергетичні затрати, як це характерно для цифрових систем передачі, у яких енергія сигналу вигідно обмінюється на безпомилковість функціонування.
Для покращення якості роботи системи бажано також застосувати завадостійке кодування, яке дозволить додатково зменшити імовірність помилок.
Запишемо кодові комбінації на виході завадостійкого кодера для трьох рівнів квантування – 35, 59, 76. Породжуюча матриця коду:
При утворенні кодових комбінацій в кодері і їх перевірці в декодері систематичних кодів будемо користуватися перевірковою матрицею Н. Візьмемо задану породжуючу матрицю для коду (10.6) і доповнимо її перевіркову частину (виділена курсивом) діагональною підматрицею (окреслена пунктиром). Отримана сумарна матриця розміром 4х10 і буде матрицею H. Оскільки процедура транспонування має просту геометричну інтерпретацію – обертання матриці відносно її головної діагоналі, знайдемо матрицю Н методом відповідної геометричної побудови. Виконавши її транспонування дістанемо шукану перевіркову матрицю Н для коду (10.6).
Результуюча матриця Н (на рис. 4.1–а вона окреслена штрихпунктиром) буде мати вигляд рис. 4.1–б.
а) б)
Знайдемо кодові комбінації завадостійкого коду для рівнів з номерами 35, 59, 76. Запишемо номери рівнів у простому двійковому коді, для чого переведемо їх у двійкову систему числення:
3510 = 026+125+024+023+022+121+120 =
= 064+132+016+08+04+12+11 = 01000112
5910 = 026+125+124+123+022+121+120 =
= 064+132+116+18+04+12+11 = 01110112
7610 = 126+025+024+123+122+021+020 =
= 164+032+016+18+14+02+01 = 10011002
Оскільки в отриманих комбінаціях налічується більше ніж 6 знаків, опустимо їх старші розряди. Знайдемо для отриманих кодів комбінації систематичного коду (10.6), записавши всі можливі випадки і виконавши їх перевірку за допомогою перевіркової матриці. Одиничні розряди кодів у цій матриці вказують, що власне ці розряди вхідного коду потрібно додати по модулю 2 і в результаті отримати 0. Всі решта розряди комбінації до уваги не беруться. Якщо в результаті додавання отримано 0 (будемо помічати це символом !), вважається, що кодова комбінація пройшла перевірку на даній строчці перевіркової матриці. При одиничному результаті комбінація бракується (будемо помічати це символом Х) і не приймає участі в наступних перевірках як за допомогою даної, так і всіх інших строчок перевіркової матриці. Щоб бути допустимою, кодова комбінація повинна пройти перевірку у всіх строчках перевіркової матриці.
Операція додавання за модулем 2 виконується згідно наступних правил:
0 0 = 0; 0 1 = 1; 1 0 = 1; 1 1 = 0.
Для рівня 35 (кодова комбінація 100011) перевірка за першою строчкою перевіркової матриці дає старший розряд перевіркової частини:
1001011000 – перша строчка перевіркової матриці.
1000110000 1 0 1 0 = 0 !
1000110001 !
1000110010 !
1000110011 !
1000110100 !
1000110101 !
1000110110 !
1000110111 !
1000111000 1 0 1 1 = 1 Х
1000111001 Х
1000111010 Х
1000111011 Х
1000111100 Х
1000111101 Х
1000111110 Х
1000111111 Х
перевірка за другою строчкою перевіркової матриці виконується тільки для комбінацій, що пройшли перевірку першою строчкою і дає третій розряд перевіркової частини:
1100100100 – друга строчка перевіркової матриці.
1000110000 1 0 1 0 = 0 ! !
1000110001 ! !
1000110010 ! !
1000110011 ! !
1000110100 1 0 1 1 = 1 Х !
1000110101 Х !
1000110110 Х !
1000110111 Х !
перевірка за третьою строчкою перевіркової матриці в свою чергу проводиться тільки для комбінацій, що пройшли перевірку другою строчкою і дає другий розряд перевіркової частини:
0111000010 – третя строчка перевіркової матриці.
1000110000 0 0 0 0 = 0 ! ! !
1000110001 ! ! !
1000110010 0 0 0 1 = 1 Х ! !
1000110011 Х ! !
перевірка за четвертою строчкою перевіркової матриці, нарешті дає молодший (останній) розряд перевіркової частини, тобто повністю визначає кодову комбінацію:
0010110001 – четверта строчка перевіркової матриці.
1000110000 0 1 1 0 = 0 ! ! ! !
1101000001 0 1 1 1 = 1 Х ! ! !
Отже при кодуванні систематичним кодом (10.6) для інформаційної комбінації 100011 (номер рівня 35) допустимою кодовою комбінацією буде 1000110000.
Для інформаційної комбінації 111011 (номер рівня 59) перевірки у всіх строчках перевіркової матриці проходить кодова комбінація 1110110101, вона і буде допустимою:
1110110101 1 0 1 0 = 0 !
1110110101 1 1 1 1 = 0 ! !
1110110101 1 1 0 0 = 0 !
1110110101 1 1 1 1 = 0 !
Для інформаційної комбінації 001100 (з номеру рівня 76) перевірки у всіх строчках перевіркової матриці проходить кодова комбінація 0011001001, вона і буде допустимою:
0011001001 0 1 0 1 = 0 !
0011001001 0 0 0 0 = 0 !
0011001001 0 1 1 0 = 0 !
0011001001 1 0 0 1 = 0 !
Визначимо кодові відстані між комбінаціями на вході кодера та між комбінаціями на його виході.
Для кодових комбінацій на вході кодера завадостійкого коду кодові віддалі між усіма парами комбінацій будуть такими:
100011 111011 100011
111011 001100 001100
011000 d35–59 = 2 110111 d59–76 = 5 101111 d35–76 = 5.
Для кодових комбінацій на виході кодера завадостійкого коду кодові віддалі між усіма парами комбінацій будуть такими:
1000110000 1110110101 1000110000
1110110101 0011001001 0011001001
0110000101 d35–59 = 4 1101111100 d59–79 = 6 1011111001 d35–79 = 7.
Коректуючі можливості коду. Для даного випадку маємо на вході завадостійкого кодера мінімальну кодову віддаль між кодовими комбінаціями 35 і 59 d35–59 = 2, взагалі ж для простого двійкового коду d = 1, тобто існують дозволені комбінації, які відрізняються лише в одному розряді. Такий код, згідно теореми кодування, не має коректуючих можливостей і не дозволяє виявляти, а тим більше, виправляти помилки.
На виході кодера завадостійкого коду маємо найменшу кодову віддаль між кодовими комбінаціями 35 і 59 d59–35 = 4, взагалі ж для коду (10.6) d = 3, тобто не існує дозволених кодових комбінацій, які відрізнялися б менш ніж у трьох розрядах. Такий код згідно теореми кодування дозволяє виявляти всі помилки кратністю q < 3, тобто одно- і двократні і деякі помилки з кратністю q 3,а також виправляти помилки з кратністю 1.
Визначимо тривалість символу на виході кодера завадостійкого коду. Зменшення тривалості можна визначити, знаючи відносну швидкість коду R, яка показує відносне число дозволених кодових комбінацій у коді і розраховується за формулою
R = log2 Ма /log2 М = k/n.
Тривалість символу на виході кодера завадостійкого коду буде становити:
с.зав = с R = с (k/n) = 9,18 (6/10) = 5,51 мкс
Вважаючи, що в каналі застосовується передача кодом (10.6), з тривалістю двійкових символів с.зав, знайдемо загальну імовірність помилки передачі двійкового символу p.
Без використання завадостійкого кодування в каналі передавалися б тільки інформаційні частини кодових комбінацій коду (10.6). Довжина кодової комбінації була б k = 6, тривалість двійкового символу с=7,94 мкс, величина співвідношення сигнал/шум на виході демодулятора становила б h2 = 6,44 і загальна імовірність помилки була б p = 0,1 (див. розділ 3).
Використання завадостійкого коду приводить до зменшення тривалості символу і зміни внаслідок цього співвідношення сигнал/шум:
h2зав = а2с.зав /(2Nо) = 46,35,5110-6/(23,3 10-5) = 3,86.
Це дає (згідно рис. 3.1) загальну імовірність помилки p = 0,19.
Імовірності помилок в кодовій комбінації кратністю q на вході декодера для гаусового каналу, при імовірності помилки передачі двійкового символу p розраховуються з використанням біномінального закону: pn(q) = Cnq pq(1–p)n-q, де n – довжина кодової комбінації; Cnq = n!/[q!(n–q)!] – число сполучень із n по q.
Використовучи формулу біномінального закону для однократних та двократних помилок на вході декодера для коду (10.6) (n = 10) будемо мати відповідно:
p10(1) = C101 p (1– p)9 = 10!/[1!(9)!] p (1– p)9 = 10 p (1–p)9 =
= 100,19 (1– 0,19)9 = 0,285
p10(2) = C102 p2 (1– p)8 = 10!/[2!(8)!] p2(1– p)8 = (90/2) p2 (1–p)8 =
= (90/2)0,192 (1– 0,19)8 = 0,301
Корисний ефект від використання коректуючих кодів полягає в зменшенні імовірності помилки декодування кодових комбінацій Рпд, під якою розуміють імовірність помилки кодової комбінації на виході декодера, яка в разі незалежних помилок символів розраховуютєся за формулою
де n – довжина кодової комбінації; qв– кратність виправлених помилок; Сnі = n!/і!(n-і)!. число сполучень із n по і; р – імовірність помилки символу на вході декодера.
Використання коректуючого коду буде технічно доцільним, якщо в результаті його введення імовірність помилки декодування Рпд кодової комбінації зменшиться, незважаючи на підвищення імовірності помилок її символів. В даному випадку імовірність помилки символів зросла від 0,1 до 0,19 а імовірність однократної помилки декодування Рпд кодової комбінації при цьому зменшується від 0,387 до 0,285 бо
p10(1)0,1 = C101 p (1– p)9 = 10!/[1!(9)!] p (1– p)9 = 100,1 (1– 0,1)9 = 0,387.
Отже, використання коректуючого коду буде технічно доцільним.
Виправлення однократних помилок. При виправленні однократних помилок застосовують синдромне декодування. Термін "синдром" у теорії кодування визначає сукупність ознак, характерних для кожної певної конфігурації помилок. Тому під синдромом коду розуміють контрольне число s(s1, s2,..., sr), що свідчить про наявність помилок і їх розташування (конфігурацію) у кодовій комбінації. Відзначимо, що у двійковому коді синдром записується у двійковій системі числення, тобто його розряди s1, s2,..., sr приймають значення 0 або 1. Нульовий синдром вказує на те, що кодова комбінація є дозволеною, тобто виявлених помилок нема. Ненульовому синдрому відповідає певне (визначене раніше) розміщення помилок, які й виправляються.
Для двійкових кодів виправлення помилок провадиться єдиним способом – інверсією символів (0 замінюється на 1 і, навпаки, 1 – на 0). Тому знання синдрому є необхідною і достатньою умовою для виправлення помилок у двійкових кодах.
Пропускна здатність двійкового каналу (m = 2) обчислюється як:
Сg = В [1 +р log2 р + (1 – р) log2(1 – р)], (5.1)
де В = 1/Тmin– швидкість модуляції, Бод.
Визначимо пропускну здатність двійкового каналу. Швидкість модуляції в каналі В = 1/с = 1/9,1810-6 =1,09105 Бод, імовірність помилки р = 0,1. Згідно з виразом (5.1) пропускна здатнiсть двійкового каналу при заданих параметрах
Сg = 1,09105 (1 + 0,1 log2 0,1 + 0,9 log2 0,9) = 1,09105 (1–0,47) =
= 5,78 104 біт/с.
Для ідеального каналу при р = 0 Сg = В = 1,09105 біт/с. Порівняння одержаних результатів показує, що помилки в каналі призвели до зменшення пропускної здатності на 47% або на 5,12 104 біт/с.
Пропускна здатність дискретного каналу є меншою від максимальної продуктивності джерела неперервних повідомлень, яке виробляє 217 рівноімовірних повідомлень з тривалістю кожного 0,156 мс. Пропускна здатність двійкового каналу теж нижча продуктивності двійкового джерела – Rдд = 1,06105 біт/с. Отже, згідно теореми Шеннона при таких умовах навіть теоретично неможливо забезпечити високу якість передачі інформації і необхідно вжити заходів до зниження імовірності помилки в каналі, наприклад далі підвищуючи потужність сигналу.
Пропускна здатність неперервного гаусового каналу визначається за формулою Шеннона:
Cкн = Fк log2(1+Ps/Pз), (5.2)
де Fк – ширина смуги частот каналу; Ps, Pз – середні потужності сигналу та завади у смузі частот каналу.
Розрахуємо Cкн за формулою (5.2), враховуючи, що використовується амплітудна модуляція і тому FкАМ =2/с = 2/9,1810-6 =2,18105 Гц, а також для завади типу теплового (білого) шуму Pз = N0 Fк = 3,310-5 2,18105 = 7,19 В2. Отримаємо:
Cкн = Fк log2(1+Ps/Pз) = Fк 1,443 ln(1+ а2/Pз) =
= 2,18105 1,443 ln(1+46,3/2 7,19) = = 2,181051,4431,44 = 4,53 105 біт/с.
Це значення пропускної здатності каналу суттєво (більше ніж у 4 рази) перевищує продуктивність джерела неперервних повідомлень, тобто швидкість передачі інформації. Отже, через зниження потужності шуму для використовуваного виду модуляції в неперервному каналі маємо запас за швидкістю передачі.
Для визначення оптимальності приймача вводиться критерій оптимальності – ознака, за якою проводиться його оцінка як найкращого (оптимального). При передаванні дискретних первинних сигналів застосовується критерій Котельникова (ідеального спостерігача), який записується у вигляді:
Де Рпом – середня імовірність помилки, обчислюється як математичне очікування імовірності помилки Рпом(bi) кожного з дискретних первинних сигналів bi. Р(bi) – імовірність передавання сигналу bi; m – загальне число первинних сигналів.
Алгоритм оптимального приймання. Суть оптимального приймання полягає в тому, що в приймачі необхідно здійснити таке оброблення суміші сигналу та завади, щоб забезпечити виконання заданого критерію. Ця сукупність правил оброблення в приймачі носить назву алгоритму оптимального приймання заданого сигналу при дії завад. Алгоритми знаходять статистичними методами по відомих параметрах переданих сигналів та завад. Алгоритм оптимального когерентного приймання для випадку передавання первинних сигналів b1 та b2 тривалістю Тs сигналами s1(t) та s2(t), що сформовані методом амплітудної маніпуляції (АМ-2) каналом з адитивним гауссовим шумом буде записуватись наступним чином:
0,5 Еs, (6.1)
де Еs – енергія сигналу S1(t).
Цей алгоритм являє собою нерівність, що вказує послідовність операцій, які необхідно виконати над прийнятою сумішшю сигналу та завади z(t) для визначення переданого первинного сигналу bi. Він відображає поелементне приймання, коли рішення про сигнал, що передавався, приймається окремо для кожного сигналу незалежно від раніше прийнятого рішення.
Виконаємо докладний аналіз алгоритму для сигналу з АМ-2. Прийнятий сигнал із завадою z(t) необхідно перемножити з копією переданого сигналу s1(t), добуток проінтегрувати на інтервалі тривалості сигналу Тs, і потім порівняти результат інтегрування з енергією копії сигналу s1(t) – посилки. Рішення про переданий первинний сигнал виноситься за правилом: передавався той модульований сигнал sі(t) (і відповідно первиннй сигнал bі), для якого результат інтегрування більший абоменший від половини енергії посилки – 0,5Еs. Так, якщо
більший за 0,5Еs,
то передавався сигнал s1(t) і відповідний йому первинний сигнал b1, а в разі зворотного знаку нерівності – первинний сигнал b2 – пауза. Це правило позначено в алгоритмі так: біля відповідного знаку нерівності поставлено той сигнал (b1 чи b2), на перевагу якого виноситься рішення.
Cтруктурна схема демодулятора. Методика побудови структурної схеми за заданим алгоритмом наступна: необхідно виконати операції в такій послідовності, як це подано алгоритмом. Виходячи з цього, на рис. 6.1 зображена структурна схема оптимального демодулятора АМ-2, побудованого за алгоритмом. (6.1). При некогерентному прийманні рішення у РП про переданий сигнал приймається за значеннями обвідної а не за обробленими з використанням опорних сигналів миттєвими значеннями напруги як при когерентному способі. Тому у схемі відсутні генератори опорних коливань.
Схема оптимального демодулятора АМ-2 одноканальна (рис. 6.1) і результат інтегрування порівнюється з порогом. Хоча алгоритми оптимального когерентного і некогерентного приймання не відрізняються, для виділення обвідної в схему демодуляторів після кіл оброблення, – узгоджених фільтрів, вмикають у найпростішому випадку амплітудні детектори. Результати детектування порівнюються у рішаючому пристрої (РП) і на його виході формуються первинні сигнали b1 чи b2 залежно від знаку нерівності. Для роботи РП все ж необхідні тактові імпульси синхронізації, які визначають момент винесення рішення про переданий сигнал.
Структурна схема для оптимального некогерентного прийому сигналів із АМ-2 передбачає виконання операцій в такій послідовності, як це подано алгоритмом. Для виділення обвідної в схему демодулятора після кола оброблення, – узгодженого фільтра, ввімкнено амплітудний детектор. Результати детектування порівнюються у рішаючому пристрої (РП) з пороговим значенням (половиною енергії посилки) і на його виході формуються первинні сигнали b1 чи b2 залежно від знаку нерівності. Схема не містить генераторів опорних коливань, бо інформація про початкову фазу не використовується
Під ефективністю системи в широкому значенні розуміють степінь використання нею її основних ресурсів. У системах зв'язку основними ресурсами можна вважати пропускну здатність каналу Ск, ширину смуги частот каналу Fк, потужність сигналу Рs.
Найбільш загальною оцінкою ефективності систем зв'язку є коефіцієнт використання пропускної здатності каналу
к= Rк/Ск, (7.1)
шо дістав назву інформаційної ефективності. У реальних каналах зв'язку швидкість передавання інформації завжди менша за пропускну здатність, тому 0 к 1. У даному випадку Rк = 1,09105 біт/с, Ск = 4,53 105 біт/с. Тому к= =Rк/Ск = 1,09105/4,53 105 = 0,24. Через вигідне співвідношення сигнал/шум маємо відчутний запас за пропускною здатністю каналу (тобто швидкістю передачі) навіть при такому відносно великому значенні імовірності помилки як 0,1.
У системах зв'язку з обмеженою смугою частот важливою характеристикою є коефіцієнт використання ширини смуги частот каналу що дістав назву частотної ефективності:
к = Rк/Fк. (7.2)
Для проектованої системи маємо FкАМ = 2,18105 Гц, тому величина коефіцієнту к становить к = Rк/Fк =1,09105/2,18105 = 0,5, що є близьким до оптимуму, тобто система використовує відповідну смугу частот.
Для ряду практичних випадків потрібною оцінкою є коефіцієнт використання потужності сигналу Рs при спектральній густині потужності завади N0:
к = Rк/(Рs/N0), (7.3)
що дістав назву енергетичної ефективності. Зважаючи, що Рs = 23,15 В2, N0= 3,310-5 В2/Гц, отримуємо к = Rк/(Рs/N0) = 1,09105/(23,15/3,310-5) = 0,16. Потужність сигналу системою використовується слабо, тобто в системі є запас за енергетикою..
В проектованій ЦСП з ІКМ, застосованій з метою підвищення якості передачі, як і в інших завадостійких системах модуляції, відбувається "заміна" відношення сигнал – завада на смугу частот. Проте, оскільки смуга частот розширюється за логарифмічним законом, а відношення сигнал – шум квантування зростає за показниковим законом, у системі з ІКМ ця "заміна" здійснюється значно ефективніше, ніж у системах з аналоговою модуляцією. За цим показником нині не існує модуляції, кращої за ІКМ.
Імовірність помилки Рпом= 0,45, отримувана при початковому рівні сигналу 1,8 В є недопустимою. Вона виходить через перевищення сигналу шумом – оскільки h2 є меншим 1. Для можливості нормальної роботи системи необхідно збільшити рівень сигналу принаймі до 6,8 В.
В даному випадку, щоб забезпечити достатню завадостійкість необхідні відносно невеликі енергетичні затрати (11,5 дБ), як це характерно для цифрових систем передачі, у яких енергія сигналу вигідно обмінюється на безпомилковість функціонування.
Використання завадостійкого коду приводить до зменшення тривалості символу і збільшення внаслідок цього співвідношення сигнал/шум. В даному випадку імовірність помилки символів зростає від 0,1 до 0,19 а імовірність однократної помилки декодування Рпд кодової комбінації при цьому зменшується від 0,387 до 0,285. Отже, використання коректуючого коду буде технічно доцільним.
В системі блок демодулятора сигналів із АМ-2 виконаний за схемою для оптимального некогерентного прийому за критерієм ідеального спостерігача – мінімальної імовірності помилки.
У даному випадку для системи отримуємо значення к = 0,24. Воно обумовлене вигідним співвідношенням сигна/шум і вказує на недовантаження системи за передаючими можливостями. Величина коефіцієнту к становить к = 0,5, що є близьким до оптимуму, тобто система використовує відповідну смугу частот. Енергетична ефективність к = 0,16 є невисокою, тобто потужність сигналу системою використовується слабо. В сумі можна стверджувати, що в розрахованій ЦСП маємо запас за швидкістю передачі і за енергетикою. Запас за смугою частот відсутній.
Список літератури