Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 17. Окружность
Уравнение
(х—)2+ (у—)2 = R2 (1)
определяет окружность радиуса R с центром С (; ).
Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е. если = 0, = 0, то уравнение (1) принимает вид
х2 + у2 = R2 (2)
385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат и её ра диус R = 3;
2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и её радиус R = 7;
3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; — 8);
4) окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпа дает с точкой С(—1; 2);
5) точки А(3; 2) и В(—1; 6) являются концами одного из диа метров окружности;
6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;
7) центр окружности совпадает с точкой С(1; —1) и прямая 5х—12у + 9 = 0 является касательной к окружности;
8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3х — у — 2 = 0;
9) окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; — 1) и С(2; 0);
10) окружность проходит через три точки: M1(— 1; 5), М2(— 2; — 2) и M3 (5; 5).
386. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у + 18 = 0
хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окруж ности.
387. Написать уравнения окружностей радиуса R =, касаю щихся прямой х — 2у — 1=0 в точке М1 (3; 1).
388. Составить уравнение окружности, касающейся двух парал лельных прямых: 2х + у — 5 = 0, 2х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А(2; 1).
389. Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых:
2х + у + 2 = 0, 2х + у — 18 = 0.
390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой
2х + у = 0,
касается прямых
4х — 3у+10 = 0, 4х — 3у — 30 = 0.
391.Составить уравнения окружностей, касающихся двух пере секающихся прямых: 7х – у – 5 = 0, х + у + 13 = 0, причём одной из них – в точке М1 (1; 2).
392. Составить уравнения окружностей, проходящих через на чало координат и касающихся двух пересекающихся прямых:
х + 2у – 9 = 0, 2х – у + 2 = 0.
393. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой
4х – 5у – 3 = 0,
касаются прямых
2х – 3у – 10 = 0, 3х – 2у + 5 = 0.
394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:
3х + 4у – 35 = 0, 4х + 3у + 14 = 0.
395. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:
4х – 3у – 10 = 0, 3х – 4у – 5 = 0 и 3х – 4у – 15 = 0.
396. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:
3х + 4у – 35 = 0, 3х – 4у – 35 = 0 и х – 1 = 0.
397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружно сти? Найти центр С и радиус R каждой из них:
1) (х – 5)2 + (у + 2)2 = 25; 2) (х + 2)2 + у2 = 64;
3) (х—5)2 + (у + 2)2 = 0; 4) х2 + (у – 5)2 = 5;
5) х2+у2 – 2х + 4у – 20 = 0; 6) х2+у2 – 2х + 4у + 14 = 0;
7) х2 + у2 + 4х – 2у + 5 = 0; 8) х2 + у2 + х = 0,
9) х2 + у2 + 6х – 4у + 14 = 0; 10) х2 + у2 + у =0
398. Установить, какие линии определяются следующими уравне ниями:
1) ; 6) ;
2) ; 7) ;
3) ; 8) ;
4) ; 9) ;
5) ; 10) .
Изобразить эти линии на чертеже.
399. Установить, как расположена точка А (1; —2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне, или на контуре:
1) х2 + у2 = 1; 2) х2 + у2 = 5; 3) х2 + у2 = 9;
4) х2 + у2 – 8х – 4у – 5 = 0; 5) х2 + у2 – 10х + 8у = 0.
400. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:
1) (х – 3)2 + у2 = 9 и (х + 2)2 + (у – 1)2 = 1;
2) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 16 и (x + 2)2 + (у + 5)2 = 25;
3) х2 + у2 – 4х + 6у = 0 и х2 + у2 – 6х = 0;
4) х2 +y – х + 2у = 0 и х2 + y2 + 5х + 2у – 1 = 0.
401. Составить уравнение диаметра окружности
х2 + у2 + 4х – 6у – 17 = 0,
перпендикулярного к прямой
5х + 2у – 13 = 0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности
в каждом из следующих случаев:
а) А(6; – 8), х2 + у2 = 9;
б) В(3; 9), x2 + у2 – 26х + 30у + 313 = 0;
в) С(– 7; 2), х2 + у2 – 10х – 14у – 151=0.
403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х – у + 12 = 0 и окружности (х – 2)2 + (у – 1)2 = 25.
404. Определить, как расположена прямая относительно окруж ности (пересекает ли, касается или проходит вне её), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
1) у = 2х – 3 и х2 + у2 – 3х + 2у – 3 = 0;
2) у = х – и х2 + у2 – 8х + 2у + 12 = 0;
3) y = x + 10 и х2 + у2 – 1 = 0.
405. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у = kх
1) пересекает окружность х2 + у2 – 10х + 16 = 0;
2) касается этой окружности;
3) проходит вне этой окружности.
406. Вывести условие, при котором прямая y = kx + b касается окружности х2 + у2 = R2 .
407. Составить уравнение диаметра окружности
(х – 2)2 + (у + 1)2 = 16,
проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой х – 2у – 3 = 0.
408. Составить уравнение хорды окружности
(х – 3)2 + (у – 7)2 = 169,
делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
409. Определить длину хорды окружности
(х – 2)2 + (у – 4)2 = 10,
делящейся в точке А(1; 2) пополам.
410. Дано уравнение пучка прямых
(х – 8у + 30) + (х + 5у – 22) = 0.
Найти прямые этого пучка, на которых окружность
x2 + y2 – 2х + 2у – 14 = 0
отсекает хорды длиною .
411. Даны две окружности
(х – m1)2 + (y – n1)2 = , (х – m2)2 + (y – n2)2 = ,
пересекающиеся в точках M1(х1; y1) и M2(х2; у2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1, M2, а также пря мая M1M2 , могут быть определены уравнением вида
[(х – m1)2 + (y – n1)2 – + [(х — m2)2 + (у – n2 )2 – ] = 0
при надлежащем выборе чисел и .
412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; – 1) и точки пересечения двух окружностей:
х2 + у2 + 2х – 2у – 23 = 0, х2 + у2 – 6х + 12у – 35 = 0.
413. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения двух окружностей:
(х + 3)2 + (у +1)2 = 25, (х – 2)2 + (у + 4)2 = 9.
414. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пере сечения двух окружностей:
х2 + у2 + 3х – у = 0, 3х2 + 3у2 + 2х+у = 0.
415. Вычислить расстояние от центра окружности х2 + у2 = 2х до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей:
х2 + у2 + 5х – 8у + 1 = 0, х2 + у2 – 3х + 7у – 25 = 0.
416. Определить длину общей хорды двух окружностей:
х2 + у2 – 10х – 10у = 0, х2 + у2 + 6х + 2у – 40 = 0.
417. Центр окружности лежит на прямой х + у = 0. Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностей:
(х— 1)2 + (y + 5)2 = 50, (х + 1)2 + (у + 1)2 =10.
418. Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5 в точке А(– 1; 2).
419. Составить уравнение касательной к окружности (х + 2)2 + (у – 3)2 = 25 в точке А(– 5; 7).
420. На окружности
16х2 + 16у2 + 48х – 8у – 43 = 0
найти точку M1 , ближайшую к прямой
8х – 4у + 73 = 0,
и вычислить расстояние d от точки M1 до этой прямой.
421. Точка M1 (x1, y1 ) лежит на окружности х2 + у2 = R2. Со ставить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.
422. Точка М1(х1; у1) лежит на окружности
(х – )2 + (у – )2 = R2.
Составить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.
423. Определить острый угол, образованный при пересеченна прямой 3х – у – 1=0 и окружности
(х – 2)2 + у2 = 5
(углом между прямой и окружностью называется угол между пря мой и касательной к окружности, проведенной в точке их пере сечения).
424. Определить, под каким углом пересекаются две окруж ности:
(х – 3)2 + (у – 1)2 = 8, (х – 2)2 + (у + 2)2 = 2
(углом между двумя окружностями называется угол между их каса тельными в точке пересечения).
425. Вывести условие, при котором две окружности
(х – 1)2 + (у – 1)2 = (х – 2)2 + (у – 2)2 =
пересекаются под прямым углом.
426. Доказать, что две окружности
х2 +y2 – 2mх – 2ny – m2 + n2 = 0,
х2 +у2 – 2nх + 2mу + m2 – n2 = 0 .
пересекаются под прямым углом.
427. Из точки А проведены касательные к окружно сти х2 + у2 = 5. Составить их уравнения.
428. Из точки А (1; 6) проведены касательные к окружности х2 + у2 + 2х – 19 = 0. Составить их уравнения.
429. Дано уравнение пучка прямых
(3х + 4у – I0) + (3x – у – 5)=0.
Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности
х2 + у2 + 2х – 4у = 0.
430. Из точки А (4; 2) проведены касательные к окружности х2 + у2 = 10. Определить угол, образованный этими касательными.
431. Из точки Р (2; –3) проведены касательные к окружности (х – 1)2 + (у + 5)2 = 4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
432. Из точки С (6; – 8) проведены касательные к окружности
х2 +у2 = 25.
Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.
433. Из точки Р(– 9; 3) проведены касательные к окружности
x 2 +y 2 – 6х + 4у – 78 = 0.
Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяю щей точки касания.
434. Из точки М(4; – 4) проведены касательные к окружности
х2+у2 – 6х + 2у + 5 = 0.
Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.
435. Вычислить длину касательной, проведённой из точки А(1; – 2) к окружности
х2 +у2 +6х + 2y+5 = 0.
436. Составить уравнения касательных к окружности
х2 +у2 +10х + 2y + 6 = 0.
437. Составить уравнения касательных к окружности
х2 + у2 – 2х + 4у = 0,
перпендикулярных к прямой х – 2у + 9 = 0.
438. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C (R; 0).
439. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:
1) C(R; 0); 2) C(R; ); 3) C(R; ); 4) C(R; – ).
440. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
1) = 4 cos; 2) = 3 sin; 3) = – 2 cos; 4) = – 5cos;
5) = 6 cos; 6) = 8 sin; 7) = 8 sin .
441. Окружности заданы уравнениями в полярных координатах:
1) = 3 cos; 2) = – 4sin; 3) = cos6 – sin6.
Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
442. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоуголь ных координатах: 1) х2 + у2= х; 2) х2 + у2 = – 3х; 3) х2 + у2 = 5у; 4)х2 + у2 = –у; 5) х2 + у2 = х + у. Составить уравне ния этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
443. Составить полярное уравнение касательной к окружности = R в точке M1 (R; ).