Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 4
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется неравенством . Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Найдём корни знаменателя: . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .
Ответ: график представлен на рисунке.
3. Построить график функции:
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 2: Последовательно строим сначала , затем («сжимая» график в два раза по оси ОХ), затем сдвигаем график влево по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках.
4. Построить график функции:
Исключим параметр t: или . Функция определена только для , так как всегда. Это часть параболы, вершина которой находится в точке (1/2, -1/4), а ветви направлены вверх. Ответ: график представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . Строим график, изменяя φ в этих пределах. Получим окружность. Можно строить график другим способом. Так как , то . Кроме того, .
Или или . Это уравнение окружности. Его можно привести к канонической форме: .
Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞/∞)).
Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:
. Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое по отношению к числителю выражение: или . Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Перейдём к синусу в знаменателе: .
Далее, .
Воспользуемся формулой :
.Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Воспользуемся эквивалентностью (при ): ~sin(2x)~2x. Получим:
. Cделаем замену переменной: . Тогда
. Следовательно,
. Далее, ~t. Таким образом,
. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения – все действительные числа, кроме x=1. В точке x=1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке x=1 имеют место разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=2 функция непрерывна, а в точке x=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=1 равна (-1).
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае . Но arctg(t) ~t, а 2t-1~t∙ln(2) при t→0 . Поэтому
, так как при любых значениях x. Ответ:
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: .
Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y:
Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .
Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞-∞). Здесь ~x и ~x, следовательно,
. Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:
. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 0) является точкой минимума функции.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
По формуле Тейлора .Подставим это в предел: .
Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :
. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.
1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.
3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Кроме того, производная терпит разрывы в точках и . При производная , следовательно, функция убывает, при производная - функция возрастает, при производная , следовательно, функция убывает. Точка является точкой максимума функции, причём . При производная , следовательно, функция снова возрастает. 6. . В точках и вторая производная равна нулю. Кроме того, в точках и вторая производная не существует. Имеем пять интервалов: в интервале производная - интервал вогнутости, в интервале , в интервале и в интервале производная - интервалы выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Точки и являются точками перегиба. 7. При функция равна . Точка (0, 3/4) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (0, 3/4) - максимум, точки перегиба и .