Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОТВЕТЫ (Глава 9)
913. . 914. 915. 916. х у 3z + 2 = 0. 917. 919. 921. 923. 1) 927. 928.1) 2); 3)4)и . 929. 930. 2x 3z 27 = 0. 931. 7x y 5z = 0. 932. x + 2z 4 = 0. 934. 4x у 22 9 = 0. 936. x = 1; у = 2, 2 = 2. 939. 1) а ≠ 7; 2) а = 7, b = 3; 3) а = 7, b ≠ 3. 940. 1) z 3 = 0; 2) у + 2 = 0; 3) х + 5 = 0. 941. 1) 2у + z = 0; 2) 3x + z = 0; 3) 4x + 3у = 0. 942. 1) у + 42 + 10 = 0; 2) х z 1 = 0; 3) 5x + у 13 = 0. 943. (12; 0; 0), (0; 8; 0), (0; 0; 6). 944. = 1. 945. a = 4, b = 3, с = . 946. 240 кв. ед. 947. 8 куб. ед. 948. . 949. 950. x + y + z + 5 = 0. 951. 2x 21у + 2z + 88 = 0, 2x 3у 22 + 12 = 0. 952. х + у + 2 9 = 0, x у 2 + 1 = 0, х у + z 3 = 0, х + у z 5 = 0. 953. 2x у 3z 15 = 0. 954. 2x 3у + z 6 = 0. 955. х 3у 22 + 2 = 0. 956. Плоскости 1), 4), 5), 7), 9), 11) и 12) заданы нормальными уравнениями. 957. 1) х у + z 6 = 0; 2) х + у z 3 = 0; 3) х у z = 0; 4) х у z = 0; 5) y + z 2 = 0; 6) х у z = 0; 7) y 2 = 0; 8) x 5 = 0; 9) z 3 = 0; 10) z = 0. 958. 1) = 60°, = 450, = 60°, = 5; 2) = 120°, = 60°, = 45°, = 8; 3) = 45°, == 90°, = 45°, = ; 4) = 90°, = 135°; = 45°, = , 5) =150°, =120°, = 90°, = 5; 6) = 900, = 900, = 0°, = 2; 7) =180°, = 90° , = 90°, = ; 8) =90°, =180°, = 90°, = ; 9) = arccos, = arccos, = arccos, = 2; 10) = arccos = arccos, = arccos, = . 959. 1) = 3, = 3; 2) =1, = l; 3) = 0, = 0 точка М3 лежит на плоскости; 4) = 2, = 2; 5) = 3, 3. 960. = 4. 961. 1) По одну сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные стороны; 4) по одну сторону; 5) по разные стороны; 6) по разные стороны 964. l) = 2; 2) = 3,5; 3) = 6,5; 4) = l; 5) = 0,5; 6) = . 965. 8 куб. ед. 966. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 7; 0) и (0; 5; 0). 967. Условию задачи удовлетворяют две точки: ( 0; 0; 2) и (0; 0; ). 968. Условию задачи удовлетворяют две точки: (2; 0; 0) и (; 0; 0). 969. 4x 4у 2z + 15 = 0. 970. 6x + 3y + 2z + ll = 0. 971. 2x 2у z 18 = 0, 2х 2у z + 12 = 0. 972. 1) 4x у 2z 4 = 0; 2) 3х + 2у z + 1 = 0; 3) 20x - 12у + 4z + 13 = 0. 973. 1) 4x 5у + z 2 = 0, 2х + у 3z + 8 = 0; 2) х 3у 1=0, 3x + у 2z 1= 0; 3) 3x 6у + 7z + 2 = 0, x + 4у + 3z + 4 = 0. 974. 1) Точка M и начало координат лежат в смежных углах; 2) точка M и начало координат лежат в одном углу; 3) точка М и начало координат лежат в вертикальных углах. 975. 1) Точки М и N расположены в смежных углах; 2) точки M и N расположены в вертикальных углах. 976. Начало координат лежит внутри острого угла. 977. Точка М лежит внутри тупого угла. 978. 8x 4у 4z + 5 = 0. 979. 23x у 4z 24 = 0. 980. х у z 1 = 0. 981. x+y + 2z = 0. 982.
983. 984. (2; -1; 0); (; 0; ). 986. 1) D = 4; 2) D = 9; 3) D = 3. 987. 1) A1 = A2 = 0 и хотя бы одно из чисел D1 , D2 отлично от нуля; 2) B1 = B2 = 0 и хотя бы одно из чисел D1 ,D2 отлично от нуля; 3) C1 = C2 = 0 и хотя бы одно из чисел D1 ,D2 отлично от нуля. 988. 1) ; 2) ; 3) ; 4) A1 = D1 = 0, A2 = D2 = 0; 5) B1 = D1 = 0, B2 = D2 = 0; 6) C1 = D1 = 0, C2 = D2 = 0. 989. 1) 2x + 15у + 7z + 7 = 0; 2) 9y + 3z + 5 = 0; 3) 3х + 3z 2 = 0; 4) 3x 9y 7 = 0; 990. 1) 23x 2y + 21z 33 = 0; 2) y + z 18 = 0; 3) x + z 3 = 0; 4) x y + 15 = 0. 991. 5x + 5z 8 = 0. 992. У к а з а н и е. Прямая пересечения плоскостей 5х 2у z 3 = 0, х + 3у 2z + 5 = 0 параллельна вектору l = {7; 9; 17}; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую. 993. 11х 2у 15z 3 = 0. 994. . У к а з а н и е. Прямая пересечения плоскостей 5х у 2z 3 = 0, 3x 2у5z + 2 = 0 перпендикулярна к плоскости х + 19у 7z 11 = 0; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую. 995. 9х + 7y + 8z + 7 = 0. 996. х 1у + 2 2 = 0, х 5у + 4z 20 = 0. 997. Принадлежит. 998. Не принадлежит. 999. l = 5, m = 11. 1000. 3х 2у + 6z + 21 = 0, 189x + 28у + 48z 591 = 0. 1001. 2х 3y 6z + 19 = 0, 6x 2у 3z + 18 = 0. 1002. 4x 3у + 6z 12 = 0, 12х 49y + 38z + 84 = 0. 1003. 4х + Зу 5 = 0, 5х + 3z 7 = 0, 5у 4z + 1 = 0. 1004. , . 1005. x - 8y +5z 3 = 0. 1006. 1007. 1) ; 2) ; 3) ; 4);5). 1008. 1) ; 2) 3) ; 4) . 1009. 1) x = 2t + 1, y = 3t 1, z = 4t 3; 2) x = 2t + 1, y = 5t 1, z = -3; 3)x=3t+1,y=-2t -1,z=5t-3. 1010. 1)x= t+2,y= -2t+1,z=t+1 2) x=t+3,y= -t-1,z=t;3)x=0,y=t,z= - 3t+1. 1011. (9; 4; 0), (3; 0; - 2), (0; 2; - 3). 1012.x = 5t + 4,y = -11t 7,z= - 2.1013. 1014. 1015. x = 3t + 3y = 15t + 1z = 19t 3.1016., где любое число, не равное нулю. 1017. a = 2i+11j + 5k; а = 2i+ 11j + 5k, где любое число, не равное нулю. 1018. 1019. Р е ш е н и е . Полагая, например, z0 = 0, находим из данной системы: x0 = 2, y0 = 1; таким образом мы уже знаем одну точку прямой; M0(2; 1; 0). Теперь найдём направляющий вектор. Имеем n1 = {1; 2; 3}, n2={3; 2; 5}; отсюда а = [n1n2] = {4; 14; 8}, т.е. l = 4, m =14, n = 8. Канонические уравнения данной прямой мы получим, подставляя найденные значения x0 y0 z0 и l,m,n в равенства : или . 2) ;3) .1020.1) x = t + 1, y = - 7t, z = -19t - 2; 2) x = - t+ 1, y = 3t + 2, z = 5t - 1. 1023. 60°. 1024. 135°. 1025. cos= 1027. l = 3. 1029 1030 . 1031. x = 2t 5, y = -3t + 1, z = -4t. 1032. v= 13. 1033. d = 21. 1034. x = 3 6t, y = 1 + 18t, z = 5 + 9t. 1035. x = 7 + 4t, y = 12 4t, z = 5 2t. 1036. x = 20 6t, у = 18 + 8t, z = 32 + 24t; (2; 6; 40). 1037. Уравнения-движения точки М: х = 5 + 6t, у = 4 12t, z = 5 + 4t; уравнения движения точки N: х = 5 + 4t, у =16 12t, z = 6 + 3t; 1) Р(7; 20; 3); 2)за промежуток времени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) M0Р = 28, N0P = 39. 1040. 1) (2; 3; 6); 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит на плоскости. 1041. . 1042. . 1043. 2x 3у + 4z1=0. 1044. x + 2у + 3z = 0. 1045. m = 3. 1046. С = 2. 1047. A = 3, D = 23. 1048. А = 3, B = 4. 1049. l = 6, С = . 1050. (3; 2; 4). Р е ш е н и е. Искомую точку найдём, решая совместно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, проведённой из точки Р перпендикулярно к этой прямой. Прежде всего заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2} будет являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Р(2; 1; 3) и имеет нормальный вектор п={3; 5; 2}, будет иметь вид 3(х 2) + 5(у+ 1) + 2(z 3)=0 или 3x + 5у+2z 7=0. Решая совместно уравнения найдём координаты искомой проекции x= 3, у= 2, z = 4. 1051. Q (2; 3; 2). 1052. Q(4; 1; 3). 1053. (1; 4; 7). Р е ш е н и е. Искомую точку найдём, решая совместно уравнение данной плоскости с уравнениями прямой, проведённой из точки Р перпендикулярно к этой плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной плоскости {2; 1; 3} будет являться направляющим вектором искомой прямой. Параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку Р(5; 2; 1) и имеет направляющий вектор а= { 2; 1; 3} будут иметь вид: x = 2t + 5у = t + 2, z = 3t 1. Решая совместно уравнения найдем координаты искомой проекции: х=1, у = 4, z = 7. 1054. Q(5; 1; 0). 1055. Р (3; 4; 0). У к а з а н и е. Задача может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что точки А и В расположены по одну сторону от плоскости Ох; 2) Находим точку, симметричную одной из данных точек относительно плоскости Оху; например, точку В1 симметричную точке В. 3) Составляем уравнение прямой, проходящей через точки А и J3t, 4) Решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением плоскости Оху, получим координаты искомой точки. 1056. Р(2; 0; 3). 1057. Р(2; 2; 5). 1058. Р(1; 3; 2). 1059. 1) Р( 25; 16; 4); 2) за промежуток времени, равный 5; 3) М0Р = 60. 1060. . x = 28 7,5t, у = 30 + 8t, z = 27 + 6t; 1) Р(2; 2; 3); 2) от t1 = 0 до t2 = 4; 3) М0 Р = 50. 1061. За промежуток времени, равный 3. 1062. d = 7. Р е ш е н и е. Выберем на прямой какую - нибудь точку, например M1( 3; 2; 8); будем считать, что направляющий вектор прямой а={3; 2; 2} приложен в точке М1. Модуль векторного произведения векторов а и определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведённая из вершины Р, будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстояния d имеем формулу
. Теперь вычислим координаты вектора , зная координаты его конца и начала: = {4; 1; 10}. Найдём векторное произведение векторов а и : . Определим его модуль . Вычислим модуль вектора а: . Найдём искомое расстояние . 1063. 1) 21; 2) 6; 3) 15. 1064. d = 25. 1065. 9x + 11y + 5z 16 = 0. 1068. 4х + 6у + 5z 1=0. 1070. 2х I6y 13z + 31 =0. 1072. 6х 20у 11z + 1=0. 1074. (2;3;5). 1075. Q (1; 2; 2). 1076. Q(l; 6; 3). 1077. 13x 14у+ 11z + 51 =0. 1079. x 8y 13z + 9 = 0. 1081. . 1082. x = 8t - 3, у= 3t - 1, z = 4t + 2. 1083. 1) 13; 2) 3; 3) 7. 1084. 1) ; 2); 3) ; 4); 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 1085. и . 1086. R = 5. 1087. . 1088. .1089. . 1090. 1) С (3; 2; 5), r = 4; 2)С(1; 3; 0), r = 3; 3) С (2; 1;1), r = 5; 4) С(0; 0; 3), r = 3; 5) С (0;10; 0), r =10. 1091. x = 5t 1, y = -t + 3, z = 2t 0,5. 1092. . 1093. 1) Вне сферы; 2) и 5) на поверхности сферы; 3) и 4) внутри сферы. 1094. а) 5; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу; 2) плоскость касается сферы; 3) плоскость проходит вне сферы. 1096. 1) Прямая пересекает сферу; 2) прямая проходит вне сферы; 3) прямая касается сферы. 1097. M1 ( 2; 2; 7), d = 3. 1098. C (-1; 2; 3), R =8. 1099. 11001103. 5x 8y + 5z 7 = 0. 1104. x2 + y2 + z2 10x+ 15y 25z = 0. 1105. x2+ y2 + z2 + 13x 9у + 9z 14 = 0. 1106. x2 + (у + 2)2 + z2 = 41. 1107. 6х - 3у 2z 49 = 0. 1108. (2; 6; 3). 1109. а = ± 6. 1110. 2х - у z + 5 = 0. 1111. х1x + y1у + z1 z = r2. 1112. A2R2 + B2R2 + С2R2 = D2. 1113.. 1114.3x - 2у + 6z 11=0, 6x + 3y + 2z 30 = 0. 1115. x + 2у 2z - 9 = 0, x + 2у 2z + 9 = 0. 1116. 4х + 3z 40 = 0, 4х + Зz + 10 = 0. 1117. 4х + 6y + 5z 103 = 0, 4x + 6у + 5z + 205 = 0. 1118. 2x 3у + 4z 10 = 0, 3x 4y + 2z 10 = 0. 1120. x у z 2 = 0. 1122. Ax + By + Cz + D = 0. 1123. . 1124. . 1125. . 1126. ;=0. 1127.
=0. 1128.=0
1131. . 1132. ; , . 1133. ; . 1134. . 1135. . 1136. , . 1137. , 1138. 1139. . 1140. 1141. 1142. 1143. l
1144. ,
1145. : 1147. и ; , , и , , . 1148. и ; , , и , , . 1149. . 1150. ; 1151. , ; , . 1152. , ; , . 1153. 3, ; (2; 3; 0), (2; -3; 0), (2; 0; ), (2; 0; -). 1154. 4,3; (4; 0; -1), (-4; 0; -1). 1155. 15; (0; 6; ). 1156. Уравнения проекции: а) на плоскость Оху: б) на плоскость Охz:в) на плоскость Оуz: 1157. Эллипс; (2; 1; 1) центр этого эллипса. У к а з а н и е. Центр сечения проектируется в центр проекции. 1158. Гипербола; (1; 1; 2) центр этой гиперболы. 1159. 1) Эллипс; (1; 1; 3) центр этого эллипса; 2) парабола; не имеет центра; 3) гипербола; (2; 3; 4) центр этой гиперболы. 1160 a) ; б) . 1161 а) и , причём в случае вырожденный эллипс точка; б) . 1162. (9; 5; 2). 1163. (3; 0; 10). 1164. (6; 2; 2). 1165. . 1166. 2х у 2z 4 = 0. 1167. х 2y + 2z1=0, х- 2y + 2z + 1 = 0; . 1168. 1169. 1170. , . 1172. . 1173. 1178. 1180. а) (3; 4; 2) и (6; 2; 2); б) (4; 3; 2) прямая касается поверхности; в) прямая и поверхность не имеют общих точек; г) прямая лежит на
поверхности. 1181.
1182. 1183. , . 1184. , . 1185. arcos . 1186. 1) =0, 2) =0 ; 3) - . 1188. x2+y2 z2 = 0. 1189. = 0. 1190. 3 x2- 5y2+7z2
6ху+10хг 2уz-4x + 4y - 4z + 4 = 0. 1191. 1192. x2 Зy2 + z2 = 0. 1193. 35x2 + 35у2 52z2 232xy 116xz + 116yz + 232х 70у 116z + 35 = 0. 1194. ху +-xz +yz = 0 ось конуса проходит в первом и седьмом октантах; xy +xzyz = 0 ось конуса проходит во втором и восьмом октантах; ху хzyz = 0 ось конуса проходит в третьем и пятом октантах; ху xz+уг = 0 ось конуса проходит в четвёртом и шестом октантах. 1195. 9x2 16уг 16z2 90x+ 225 = 0.
1196. х2 + 4у2 4z2 + 4ху +12хz 6уz = 0. 1197. 4x2 15у2 6z2 12xz
36x + 24z + 66 = 0. 1198. 16x2 + 16у2 + 13x2 16xz+ 24yz + 16х 24у
26z 23 = 0. 1199. х2y2 2xz+2yz+ x +y 2z= 0. 1200. 5x2 +5у2 + 2z2 2ху + 4xz + 4уz 6 = 0. 1201. 45л-2 + 72у2 + 45г2 + 36xj;+ + T2xz Щг-\- 54л- + 216у 54г 567 = 0. 1202. 5x2 + 10y 2+ 13z2 + 12xy 6хг + 4yz + 26x+20у 38г + 3 = 0. 1203. x:2 + 4у2 +5z 2 - 4xу 125 = 0.