Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Модуль 1 Теорія статистики Змістовий модуль 1

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.5.2024

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Дніпропетровська державна фінансова академія

фінансовий факультет

Кафедра обліку та економічного аналізу

СТАТИСТИКА

Завдання до практичних занять

для студентів денної форми навчання,

які навчаються за освітньо-кваліфікаційним рівнем “бакалавр”

за галуззю знань - 0305 "Економіка та підприємництво"

Дніпропетровськ – 2012

Модуль 1. Теорія статистики

Змістовий модуль 1. Методи збирання та оброблення інформації

Практичні заняття до теми 2:   Статистичне спостереження

Мета:  Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо розробки плану та програми спостереження, визначення організаційної форми, виду та способу проведення статистичного спостереження, здійснення контролю якості отриманих даних

План заняття

  1.  Визначення об’єкту та одиниці спостереження, розробка плану та програми спостереження.
  2.   Визначення організаційної форми, виду та способу проведення спостереження.
  3.  Логічний та арифметичний контроль даних.

Задачі для розв’язання

Завдання 1

На вашу думку, які ознаки слід використати при проведенні обстеження:

  1.  промислової фірми з метою вивчення руху робочої сили;
  2.  роботи міського транспорту з метою вивчення місця різних його видів у перевезенні пасажирів;
  3.  житлових умов студентів вищих навчальних закладів міста.

Завдання 2

Сформулюйте об’єкт, одиницю і мету спостереження та розробіть програму обстеження:

дитячих садочків;      середніх шкіл;      комерційних банків;   

фермерських господарств;      автозаправних станцій.

Завдання 3

Розробіть програму і формуляр з інструкцією для проведення одноразового обстеження читачів бібліотек ВНЗ міста. Визначте об’єкт, одиницю і мету спостереження.

Задача 4

 Проводиться обстеження інвестиційної привабливості малих промислових підприємств регіону.  Визначте:

  •  

  •  мету спостереження;
  •  об‘єкт спостереження;
  •  одиницю сукупності;
  •  одиницю спостереження;
  •  

  •  організаційну форму,  вид  і  спосіб  спостереження.

Задача 5

Виходячи із мети спостереження визначте об‘єкт, одиницю спостереження; одиницю сукупності при проведенні таких обстежень:

  •  оцінка якості підготовки із фахових дисциплін студентів, що навчаються за денною та заочною формами навчання;
  •  інвентаризація устаткування на малих промислових підприємствах регіону;
  •  облік наявності касових апаратів у комерційних торговельних пунктах міста;
  •  укладання списків платників податку на землю.

Завдання 6

Вкажіть вид запитань та тип ознак для наведених запитань „Анкети студентів”:

  1.  Ваша стать:

чоловік;     жінка. (підкреслити ).

  1.   Ваш вік ______________(кількість років).
  2.  Чи відповідає, на Вашу думку, сучасним вимогам фахова підготовка фінансистів-економістів у нашій академії?

 а) так, відповідає;

 б) не відповідає;

 в) поки що не можу оцінити.

  1.  Ви задоволені своїм вибором професії?

 а) задоволений;

 б) ставлюсь байдуже;

 в) не задоволений;

 г) ________________________________(Ваш варіант відповіді).

Задача 7

Вкажіть вид запитань, тип ознак та можливі варіанти їх кількісного вираження для наведених запитань „Анкети осіб, які звернулися до служби зайнятості”:

  1.  Ваша стать: чоловік; жінка (не потрібне закреслити).
  2.   Ваш вік ______________(кількість років).
  3.   Ваша соціальна група до моменту втрати роботи:
    1.  

  1.  робітник;
    1.  службовець;
    2.  кооператор;
    3.  фермер; орендатор;
    4.  пенсіонер;
    5.  військовослужбовець;
    6.  студент;
    7.  підприємець.
  2.  

  1.  Чи робили Ви спробу знайти роботу?
    1.  так;        2) ні.
  2.  Як довго Ви не маєте постійної роботи?______________(років, місяців)
  3.  Якою за характером має бути Ваша робота (можна зазначити не більше 2 відповідей)?
    1.  

  1.  переважно фізична;
    1.  переважно розумова;
    2.  організаторська;
    3.  виконавча;
    4.  творча;
    5.  наукова;
    6.  підприємницька;
    7.  _______ (свій варіант).
  2.  

  1.  Як Ви оцінюєте рівень своєї  фахової кваліфікації?
    1.  

  1.  високий;
    1.  вищий за середній;
    2.  середній;
    3.  нижче середнього
    4.  низький;
    5.  не можу визначити.
  2.  

  1.  Зазначте свої життєві плани  ______________________________________.

Задача 8

Складіть перелік запитань, що входять до програми наступних спостережень:

  1.  вибіркове обстеження бюджетів студентських сімей міста;
  2.  опитування слухачів факультету підвищення кваліфікації, що проходять перепідготовку від центру зайнятості щодо орієнтації навчального процесу на їх можливу практичну діяльність;
  3.  анкетне опитування студентів щодо рівня задоволення якістю навчання в інституті.

Визначте вид запитань, тип ознак та можливі варіанти їх кількісного вираження при проведенні цих спостережень.

 

Задача 9

Визначте об’єктивний, суб’єктивний час спостереження та критичний момент при проведенні наступних спостережень:

  1.  перепис населення України здійснювався з 4 на 5 грудня 2001 року (станом на 0 годин) і продовжувався з 5 грудня по 14 грудня;
  2.  визначення залишків кредиторської заборгованості на початок і кінець кожного робочого дня;
  3.  щоквартальний звіт про експорт (імпорт) послуг подають в органи статистики 10 числа після звітного періоду;
  4.  щомісячні дані про експорт (імпорт) товарів, що не проходять митного декларування, подають в органи статистики 10 числа після звітного періоду;
  5.  щомісячний звіт про товарообіг подають органу державної статистики
    •  підприємства роздрібної торгівлі та громадського харчування – 2 числа після звітного періоду;
    •  обласні (республіканські) споживчі спілки – 4 числа до 12 годин після звітного періоду.

Задача 10

Перепис населення 2001 р. проводився станом на 12-ту годину ночі з 4 на 5 грудня і продовжувався по 14 грудня включно.

Завдання 1. Вкажіть:

  •  до якої форми, виду і способу належить це спостереження;  яка його мета ?
    •  що є об’єктом спостереження, одиницею сукупності та одиницею спостереження?
    •  об’єктивний і суб’єктивний час перепису;
    •  чому критичний момент перепису населення 2001 р. обрали взимку, у грудні, в середині тижня?  

Завдання 2. Проаналізуйте варіанти ситуацій, що виникли під час перепису.

Спостерігач прийшов:

Варіант 1) у сім’ю №1 -7 грудня. В цій сім’ї 6 грудня помер чоловік. Як повинен зробити спостерігач: а) не вносити дані про померлого в переписний лист; б) внести з поміткою про смерть; в) внести без помітки про смерть;

Варіант 2) у сім’ю №2 - 10 грудня й попав на весілля. Що повинен записати спостерігач у відповідь на запитання “Знаходитесь ви у шлюбі на цей час” про кожного з подружжя - знаходиться чи не знаходиться?

Варіант 3) у сім’ю №3 - 12 грудня. В сім’ї 4 грудня народилася дитина. Як повинен повестися спостерігач відносно цієї дитини: а)  внести в переписний лист; б) не вносити в переписний лист.

Варіант 4) у сім’ю №4 – теж 12 грудня. Один з членів сім’ї на питання “Знаходитеся ви у шлюбі на цей час?”, відповів, що не знаходиться і показав спостерігачу свідоцтво про розірвання шлюбу, в якому вказано, що шлюб розірвано 5 грудня. Не дивлячись на заперечення опитуваного, спостерігач зареєстрував його як такого, що знаходиться у шлюбі. Чи вірно зробив спостерігач?

Задача 11

Визначте в наведених прикладах обстежень

  1.  мету спостереження, об’єкт, одиницю сукупності та одиницю спостереження;
  2.  організаційну форму, вид та спосіб проведення спостереження:

а) перелік усіх підприємств, організацій та установ, що створюються в регіоні, із зазначенням їх реквізитів (назва, адреса, телефон), виду та сфери діяльності;

б) щомісячний облік фінансових результатів діяльності підприємств окремих галузей народного господарства;

в) опитування думки населення щодо якості молочних продуктів фірми „Злагода”;

г) облік чисельності новонароджених;

д) бухгалтерські баланси підприємств промисловості;

е) обстеження відгуків клієнтів, що обслуговуються у салонах краси;

ж) маркетингове дослідження насиченості ринку копіювальною технікою;

з) перелік усіх релігійних громад країни;

і) обстеження бюджетів найбідніших верств населення;

к) інвентаризація устаткування на підприємстві;

л) мікро перепис населення країни;

м) облік чисельності рогатої худоби в фермерських господарствах;

н) реєстрація шлюбів (розлучень);

о) опитування молодих сімей регіону з питань планування сім’ї;

п) перепис сільськогосподарських угідь фермерських господарств області;

р) опитування студентів, що проживають у гуртожитках, щодо умов проживання.

Задача 12

Проведіть логічний контроль правильності заповнення мігрантом відривного талона до “Листка вибуття”.

                   Стать                                                     чоловіча

                   Вік                                                          15 років

                   Національність                                     українець

                   Сімейний стан                                     одружений

                   Місце народження                              м. Дніпропетровськ

                   Місце роботи                                       учень ПТУ

                   Громадянство                                       українське

                   Термін приїзду                                    постійне проживання

                    Мета приїзду                                       відпочинок

                    Місце прописки                                  м. Харків

                    Кількість членів сім’ї                            1

                       у тому числі дітей                              2

Задача 13

 В одному з переписних листів перепису населення , що відбувався у 2001 році і мав критичний момент 0 годин із 4 на 5 грудня, були зроблені такі записи:

  •  прізвище, ім’я та по батькові – Вахромов Ігор Петрович;
  •  стать – чоловіча;
  •  вік – 50 років, народився у грудні 1941 року;
  •  чи знаходитесь у шлюбі – так;
  •  національність – росіянин;
  •  освіта – середня;
  •  місце роботи – пенсіонер;
  •  посада за цим місцем роботи – бухгалтер.

Вкажіть, які з відповідей не вірні, поясніть чому.

Задача 14

Проведіть арифметичний контроль даних звіту:

Тип підпри-ємства

Кількість підпри-ємств

Розмір статут-ного фонду, млн.грн

Чисельність акціоне

рів,

тис.осіб

Частка, %

Кіль-кість акціонерів на 1 підприємство

Розмір статут-

ного фонду на 1 підпри-ємство

статут-ного фонду

чисель-ності акціо-нерів

ВАТ

250

2500

27,5

75,5

74,1

101

10,5

ЗАТ

150

900

9,3

26,5

25,9

60

6,5

Разом

400

3400

36,8

100,0

100,0

92

8,5

Задача 15

Проведіть арифметичний контроль даних, отриманих в одному з дитячих садків:

              а) всього дітей у дитячому садку - 133;

              б) у тому числі: в старших групах - 37, в середніх - 43, в молодших групах - 58;

              в) із всього числа дітей: хлопчиків -72, дівчаток - 66.

         Якщо ви визначили помилку, то чи є за цими даними достатньо підстав для її виправлення?

Задача 16

 Перевірте наступні дані про надходження виручки від обслуговування населення підприємствами зв’язку одного з районів міста і дайте найбільш вірогідне пояснення невідповідностей між числовими значеннями, які ви знайшли (тис. грн.):

Всього виручка       355

 у тому числі виручка від:

  продажу конвертів, марок,

  поштових листівок та інших товарів 150

  підписка на періодичні видання  200

  продаж газет та журналів   140.

Завдання 17

Перевірте наступні дані про надходження виручки автообслуговуючих підприємств  одного з районів міста і дайте найбільш вірогідне пояснення невідповідностей між числовими значеннями, які ви знайшли (тис. грн.):

Всього виручка       300

 у тому числі виручка від:

  миття автомобілів      50

  заміни мастил       20

  ремонту автомобілів    230

  ремонту двигунів     100

Задача 18

З метою вивчення думки студентів про організацію навчального процесу в академії, буде проведено спеціальне обстеження. Необхідно визначити:

а) об’єкт і одиницю спостереження;

б) ознаки, які підлягають реєстрації;

в) вид і спосіб спостереження;

г) розробити формуляр і написати коротку інструкцію по його заповненню;

д) скласти організаційний план спостереження;

е) провести спостереження у вашій студентській групі та результати його подати у вигляді таблиці.

Бібліографічний список до практичного заняття: [3; 5 - 11; 13;  15 - 20]
Практичні заняття до теми 3:

Зведення і групування статистичних даних

Мета:  Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо побудови статистичних групувань різного виду, представлення результатів групування у виді рядів розподілу, статистичних таблиць, графіків.

План заняття

  1.  Статистичні групування за однією, двома і більше групувальними ознаками, побудова дискретних та інтервальних рядів розподілу
  2.  Графічне зображення результатів групування
  3.  Побудова аналітичних групувань
  4.  Побудова вторинних групувань

Задачі для розв’язання

Задача 1

Дані про розподіл робітників підприємства за рівнем освіти наведені у таблиці (дані умовні):

Освіта

2005 р.

2011 р.

Вища

120

140

Незакінчена вища

96

82

Середня спеціальна

64

68

Середня

80

70

Разом

360

360

Визначити: вид групування за функцією та кількістю ознак; вид статистичної таблиці.

Задача 2

Розподіл студентів регіону (тис. осіб) за місцем проживання та навчання наведений у таблиці (дані умовні).

Місце проживання

Місце навчання

Разом

Університет

Інститут

Академія

Місто

254

835

182

1271

Сільська місцевість

135

367

84

586

Разом

389

1202

266

1857

Визначити: вид групування за функцією та кількістю ознак; вид статистичної таблиці.

Задача 3

Групування робітників цеху за стажем роботи наведено в таблиці (дані умовні). Визначити: вид групування за функцією та кількістю ознак; вид статистичної таблиці.

Розряд робіт-ника

Групи робітників за стажем роботи, роки

Чисельність робітників

Середній стаж роботи, роки

Місячний випуск продукції, грн.

Разом

на 1 робітника

І

1 – 4

7

2,0

1534

219,14

ІІ

4 – 7

10

5,6

2532

253,20

ІІІ

7 – 10

6

8,3

1599

266,50

ІV

10 – 13

4

10,9

1112

278,00

V

13 – 16

3

14,4

914

304,67

Разом

30

6,9

7691

256,37

Завдання 1

Побудувати макет таблиці розподілу населення регіону за статтю, віком та освітою.

Завдання 2

Побудувати макет таблиці, яка б відображала склад населення регіону за працездатністю.

Завдання 3

Побудувати макет таблиці, яка б відображала склад населення регіону за місцем  проживання та освітою.

Завдання 4

Наведені дані, що характеризують одиниці сукупності за ознакою Х:

1, 2, 2, 4, 8, 8,  9, 32, 32, 32, 33, 33, 34, 128, 128, 129, 129, 130, 131, 132, 140, 160, 256, 256, 257, 257, 258, 258, 270, 290, 295, 310, 320, 325, 330, 330.

Визначити кількість інтервалів та побудувати інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді.

Задача 4

За даними обстеження 50 сімей число дітей в них становить:

2 3 1 1 0 4 2 2 1 1

3 4 0 1 0 1 2 1 2 2

1 0 3 1 2 4 5 2 6 3

2 1 7 4 2 0 1 3 2 1

4 1 2 6 3 5 0 2 1 4

Побудувати дискретний варіаційний ряд розподілу сімей за числом дітей і подати його у виді таблиці та графіка.

Задача 5

Заробітна плата працівників фірми має такі значення:

1660 1780 1833 1623 1537 1548 1676 1766 1806 1941

1905 1658 1919 1809 1923 1914 1752 1690 1708 1843

1825 1725 1826 1918 1620 1775 1824 1938 2032 1938

2023 1830 1906 1949 1873 1898 1990 1912 1927 2074

2482 2058 2003 1970 2058 1953 1864 1940 2100 1881

Здійснити групування працівників фірми за рівнем заробітної плати, утворивши такі групи: до 1640; від 1640 до 1740; від 1740 до 1840; від 1840 до 2040; 2040 і більше. Подати його у виді таблиці та графіка.

Задача 6

За результатами спостереження, що проводилося у 50 малих підприємствах регіону, отримані дані про чисельність працівників. Побудувати інтервальний ряд розподілу з трьома рівними інтервалами, результати представити у вигляді таблиці та за результатами групування побудувати графік. Надати необхідні пояснення та зробити висновки.   

10

11

13

21

22

25

32

24

14

31

21

31

16

27

11

14

19

25

12

32

32

14

17

35

31

12

28

28

26

12

13

17

19

29

40

10

38

34

15

33

11

13

11

11

12

14

28

23

16

37

Задача 7

За даними вибіркового обстеження розмір земельної площі у 30 фермерських господарствах одного з регіонів представлена даними таблиці, га.

Побудувати інтервальний ряд розподілу фермерських господарств за розміром земельної площі, утворивши чотири рівних інтервали, результати представити у вигляді таблиці та за результатами групування побудувати графік.

4,0

6,8

6,4

6,0

4,2

7,5

16,0

4,5

7,1

7,4

6,5

14,8

4,4

11.4

6,8

8,0

12,9

13,1

8,5

9,4

10,6

11,5

9,5

7,2

12,7

9,5

10,7

6,5

6,1

11,2

Задача 8

Інформація стосовно стажу роботи робітників підприємства та місячним виробництвом  продукції наведена у таблиці.

Побудувати аналітичну таблицю, яка відображала б залежність між стажем роботи та обсягом виробництва продукції, розбивши робітників за стажем роботи на п’ять груп із рівними інтервалами.

№ з/п

Стаж роботи, років

Місячний обсяг виробництва продукції, грн.

№ з/п

Стаж роботи, років

Місячний обсяг виробництва продукції, грн

1

1,0

220

13

10,5

306

2

6,5

310

14

1,0

252

3

9,2

327

15

9,0

290

4

4,5

275

16

5,0

265

5

6,0

280

17

6,0

282

6

2,5

253

18

10,2

288

7

2,7

245

19

5,0

240

8

16,0

340

20

5,4

270

9

13,2

312

21

7,5

278

10

14,0

352

22

8,0

288

11

11,0

325

23

8,5

295

12

12,0

308

24

15,4

350

Задача 9

Дані про розподіл підприємств двох регіонів за чисельністю працівників наведені у таблиці (дані умовні).

Провести перегрупування підприємств за чисельністю працівників, утворивши такі групи: до 30; від 30 до 60; від 60 до 90; від 90 до 120;               від 120 до 150.

І регіон

ІІ регіон

Чисельність працюючих, осіб

Кількість підприємств, од.

Чисельність працюючих, осіб

Кількість підприємств, од.

До 10

12

До 20

17

10 – 20

18

20 – 40

12

20 – 30

16

40 – 50

27

30 – 40

24

50 – 60

32

40 – 50

21

60 – 80

52

50 – 60

18

80 – 100

66

60 – 70

26

100 – 110

58

70 – 80

32

110 – 120

37

80 – 90

40

120 – 140

26

90 – 100

34

140 – 150

33

100 – 110

38

110 – 120

36

120 – 130

29

130 – 140

34

140 – 150

25

Разом:

403

Разом:

360

Задача 10

Вибіркове дослідження домогосподарств регіону за кількістю членів, середньодушовим доходом та загальними витратами на продукти харчування наведені в таблиці.

Згрупувати домогосподарства окремо за кожною з таких ознак: за кількістю членів домогосподарства; за середньодушовим доходом; за витратами на продукти харчування. Результати групувань подати у табличному вигляді.

Зробити узагальнюючі висновки.

№ з/п

Кількість членів

Середньо-душовий дохід, грн.

Загальні витрати на продукти харчування, грн.

№ з/п

Кількість членів

Середньо-душовий дохід, грн.

Загальні витрати на продукти харчування, грн.

1

5

1160

1345,6

17

4

1190

1368,1

2

3

1300

1254,1

18

3

1280

1297,4

3

4

1250

1289,7

19

2

1520

1398,4

4

4

1270

1310,2

20

4

1190

1152,7

5

3

1230

1215,3

21

3

1150

1196,2

6

2

1450

1180,6

22

5

1120

1299,8

7

4

1320

1350,8

23

2

1470

1264,3

8

3

1130,

1190,2

24

2

1380

1183,2

9

3

1170

1212,5

25

3

1140

1205,7

10

2

1250,

1274,9

26

4

1130

1223,4

11

3

1420,

1418,7

27

3

1220

1265,7

12

2

1540

1319,4

28

2

1210

1167,3

13

4

1180

1297,6

29

2

1370

1197,4

14

2

1350

1316,9

30

3

1180

1192,6

15

3

1110

1194,6

31

4

1150

1231,7

16

3

1260

1317,4

32

5

1430

1396,5

Задача 11

За умовами завдання 7 побудувати групування за такими ознаками: за кількістю членів домогосподарства та середньодушовим доходом; за середньодушовим доходом та загальними витратами на продукти харчування; за кількістю членів домогосподарств та загальними витратами на продукти харчування.

Результати групування навести у таблицях. Зробити узагальнюючі висновки.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Робочі складального цеху мають таку кваліфікацію (за розрядами):              І, V, ІV, ІІ, ІІ, V, ІV, ІІІ, V, VІ, ІІІ, ІV, ІV, ІІІ, ІV, ІІ, ІІІ, ІV, V, VІ, ІV, ІІІ, І, ІІІ, ІV, V, ІІІ, VІ.

Згрупувати робочих за рівнем кваліфікації, результати подати у вигляді таблиці.

Розв’язання

Будуємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо розряди, а потім підраховуємо, скільки робітників мають відповідний розряд, і наводимо ці величини у нижньому рядку.

Таблиця має вигляд:

Розподіл робітників складального цеху за кваліфікацією

Розряд

І

ІІ

ІІІ

ІV

V

VІ

Разом

Кількість робітників

2

3

7

8

5

3

28

Висновок: побудований розподіл робітників складального цеху за кваліфікацією показав, що на підприємстві найбільша кількість робітників (8 осіб) мають IV розряд, а найменша (2 особи) – І  розряд.

Графічно цей ряд розподілу можна подати у вигляді полігону розподілу – лінійна діаграма.

Приклад 2

За вибірковими даними ціни на дитячий одяг у крамниці становлять (грн.):

212,50

232,40

245,65

210,15

224,71

208,96

203,52

214,68

256,83

234,26

202,14

286,72

239,46

236,27

207,50

216,87

295,04

263,92

233,15

274,63

220,16

210,00

215,37

218,60

203,54

217,98

222,35

268,41

284,90

292,02

264,53

216,90

224,57

242,50

246,70

282,70

213,64

205,80

230,26

251,80

Згрупувати дані, утворивши такі інтервали: до 225; 225 – 250;   250 – 275; 275 і більше. Результати групування подати у вигляді таблиці та зобразити графічно.

Розв’язання

Створюємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо значення ціни товарів у вигляді заданих інтервалів. Підраховуємо кількість товарів, ціна яких потрапляє до відповідного інтервалу, і результати наводимо у нижньому рядку. Отримаємо таку таблицю:

Розподіл товару за ціною

Ціна дитячого одягу, грн.

До 225

225 –2 50

250 – 275

275 і більше

Разом

Кількість товару, шт.

20

9

6

5

40

Для графічного зображення отриманих даних будуємо гістограму, яка має вигляд:

       

 Розподіл дитячого одягу у крамниці за його ціною

Кількість

товару,  f  

                        20             

                       20

    

   15

                                          9

   10                    

                                                                                                    6  

  

        5                5

                                                                                                             

      0

            225      250      275     300

                                  Ціна товару, грн

Висновок: найбільша кількість дитячого одягу у крамниці за ціною до 225 грн., а найменша кількість  - за ціною більше 275 грн.

Приклад 3

Визначити кількість інтервалів та побудувати інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності за ознакою ціни товару, грн.:

35, 36, 36, 38, 40, 40, 41, 41, 43, 45, 46, 46, 47, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 55, 57, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 64, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 76, 77, 78.

Розв’язання

Для визначення кількості інтервалів скористуємося формулою Стерджеса:   m = 1 +  log2 n,  де   n – обсяг сукупності.

Оскільки обсяг сукупності n = 45, то перейдемо від логарифму по основі 2 до десяткового логарифму за формулою:

logа n = logb n / logb a, або

log2 n = log10 n / log10 2, враховуючи, що log10 2 = 0,3010, маємо

log2 n = 3,322 log10 n, тоді формула Стерджеса набуває вигляду:

m = 1 + 3,322  lg n

Тоді кількість інтервалів: m = 1 + 3,322 × 1,6532 = 6,49 = 6.  

Оскільки значення ознаки розташовані більш менш рівномірно, використовуємо принцип рівності інтервалів. Ширину кожного інтервалу обчислюємо за формулою:

h = (xmax – xmin) : m,

де xmax – максимальне значення ознаки

   xmin – мінімальне значення ознаки

   m – число інтервалів.

h = (78 – 35) : 6 = 7,2.

Тепер визначаємо межі інтервалів:

xmin 1 = xmin = 35.

xmax 1 = xmin 2 = xmin 1 + h = 35 + 7,2 = 42,2;

xmax 2 = xmin 3 = xmin 2 + h = 42,2 + 7,2 = 49,4;

xmax 3 = xmin 4 = xmin 3 + h = 49,4 + 7,2 = 56,6;

xmax 4 = xmin 5 = xmin 4 + h = 56,6 + 7,2 = 63,8;

xmax 5 = xmin 6 = xmin 5 + h = 63,8 + 7,2 = 71;

xmax 6 = xmin 6 + h = 71 + 7,2 = 78,2.

Створюємо таблицю, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку наводимо значення ознаки Х у вигляді визначених інтервалів. Підраховуємо кількість ознак, значення яких потрапляє до відповідного інтервалу, і результати наводимо у другому стовпчику   (f – частота відповідного інтервалу). У побудованій таблиці крім варіанти і частоти наведено частки ( di )і накопичені частоти ( Sfi ):

Розподіл товару за його ціною

Ціна товару, грн.

Кількість товару, од.(fi  )

Питома вага  ( di ), %

Накопичена (кумулятивна) частота ( Sfi )

35,0 – 42,2

8

17,8

8

42,2 – 49,4

5

11,0

13

49,4 – 56,6

9

20,0

22

56,6 – 63,8

7

15,6

29

63,8 – 71,0

7

15,6

36

71,0 – 78,2

9

20,0

45

Разом

45

100,0

-

Висновок: визначивши кількість інтервалів та побудувавши інтервальний варіаційний ряд у табличному та графічному вигляді на основі наведеної сукупності за ознакою «ціна товару», ми бачимо, що найбільша кількість одиниць товару знаходиться в двох інтервалах (49,4 – 56,6 грн.) та (71,0 – 78,2 грн.) – по 9 одиниць (або по 20 %), а найменша  - 5 одиниць (або 11 %) - у другому інтервалі (42,2 – 49,4 грн.).

Нижче наведено графік побудованого ряду розподілу у вигляді гістограми, яка представляє собою стовпчикову діаграму без проміжків між окремими стовпчиками, висота стовпчика відповідає частоті інтервалу.  

Розподіл товару за його ціною

   9     9

            9   8

 8  8      7          7   7

 7

 6    5

 5

 4

 3

 2

 1

 0

 35        42,2           49,4           56,6           63,8             71            78,2

Ціна, грн.

Приклад 4

Дані про розподіл робітників двох підприємств за рівнем заробітної платні наведені у таблиці:

1 підприємство

2 підприємство

Заробітна платня, грн.

Чисельність робітників, осіб

Заробітна платня, грн.

Чисельність робітників, осіб

До 500

20

До 500

15

500 – 700

52

500 – 650

25

700 – 900

64

650 – 800

48

900 – 1100

46

800 – 950

69

1100 – 1300

28

950 – 1100

72

1300 і більше

10

1100 – 1250

45

1250 і більше

18

Разом

220

Разом

292

Провести перегрупування робітників за рівнем заробітної платні, утворивши такі групи: до 700; 700 – 1000; 1000 – 1300; 1300 і більше.

Розв’язання

Перегрупування, або вторинне групування, проводиться за припущенням, що в межах одного інтервалу значення ознак розташовано рівномірно. Це припущення дає право ділити частоту інтервалу на частки, пропорційно відрізкам інтервалу.

Якщо за  первинними групуваннями для двох підприємств не можна було робити порівняльний аналіз, то за вторинними групуваннями такий аналіз можливий.

Так, за умовами вторинного групування слід утворити перший інтервал до 700. Для першого підприємства до новоутвореного інтервалу за даними первинного групування увійде перший інтервал (до 500) та другий інтервал, оскільки 700 становить верхню межу другого інтервалу. Враховуючи припущення, до першого новоутвореного інтервалу ввійде частота першого інтервалу первинного групування та частота другого інтервалу первинного групування.

Таким чином, частота першого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 20 + 52 = 72, ми використовуємо тут метод простого укрупнення інтервалу. Другий інтервал вторинного групування включає повністю третій інтервал (700 – 900) та половину четвертого інтервалу первинного групування, так як його верхня межа становить 1000. Відповідно частота другого інтервалу вторинного групування дорівнюватиме 64 +0,5 × 46 = 87. Тут використовується метод перегрупування за часткою окремих груп в загальному їх підсумку (пропорційний дольовий перерозподіл).

Аналогічно проводимо розрахунки для решти інтервалів. Розрахунки наведені у відповідних таблицях.

Підприємство І

Первинне групування

Вторинне групування

Заробітна плата, грн.

Чисельність робітників

Заробітна плата, грн.

Чисельність робітників

До 500

20

До 700

20 + 52 =  72

500 – 700

52

700 – 1000

64 + 0,5×46 = 64+ 23= 87

700 – 900

64

1000 – 1300

0,5×46 + 28 = 23+28 = 51

900 – 1100

46

1300 і більше

10

1100 – 1300

28

×

×

1300 і більше

10

×

×

Разом

220

Разом

220

Підприємство ІІ

Первинне групування

Вторинне групування

1

2

3

4

Заробітна плата, грн.

Кількість

робітників

Заробітна плата, грн.

Кількість робітників

До 500

15

До 700

15 + 25+  =

= 15+ + 25 +16 = 56

1

2

3

4

500 – 650

25

700 – 1000

(48-16) + 69 +  ×72=32+69+24 = 125

650 – 800

48

1000 – 1300

(72-24) +45+ 1/3 × 18=                        = 48+45+6 = 99

800 – 950

69

1300 і більше

18 – 6 = 12

950 – 1100

72

×

×

1100 – 1250

45

×

×

1250 і більше

18

×

×

Разом

292

Разом

292

Висновок: можна зробити висновок, що на першому підприємстві значно більша кількість робітників (їх частка на 1 підприємстві становить 72/220×100=32,7 %, а на 2 підприємстві – 56/292×100=19,2 %), які отримують найнижчий рівень заробітної плати, а от найвищу заробітну плату на обох підприємствах отримує майже однакова кількість робітників (відповідно, 10/220×100=4,5 %  та 12/292×100=4,1 %).

Приклад 5

Дані про розмір статутного капіталу і прибуток 26 підприємств регіону наведені у таблиці.

Необхідно скласти:

  1.  комбінаційний розподіл банків за цими двома ознаками, утворивши по три групи із рівними інтервалами; зробити висновок про наявність та напрямок зв'язку між ознаками;
  2.  аналітичне групування, що відбиває залежність прибутку від обсягу статутного капіталу.  

№ підпри-

ємства

Статутний капітал, млн. грн.

Прибуток, млн. грн.

№ підпри-

ємства

Статутний капітал, млн. грн.

Прибуток, млн. грн.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

6,3

11,8

7,6

10,5

8,1

8,3

12,0

5,1

7,8

5,4

6,3

8,3

5,4

4,3

8,6

5,3

8,8

6,2

4,1

8,2

3,6

4,1

3,7

5,1

5,8

3,5

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

6,3

8,4

5,4

7,0

9,6

8,1

5,2

7,3

8,2

5,9

3,8

4,4

3,0

4,2

7,1

4,0

5,8

7,8

6,4

4,3

6,0

6,4

4,1

2,8

3,0

2,2

Розв’язання

  1.  Групування підприємств одночасно за двома ознаками дає комбінаційний ряд розподілу, який можна представити у комбінаційній таблиці. Так як обсяги статутного капіталу і прибутку – ознаки неперервні, межі варіації їх незначні, тому для побудови інтервальних рядів розподілу використовуємо рівні інтервали, ширину яких визначаємо :
  •  для статутного капіталу    h = (12,0 – 3,0)/ 3 = 3,0 млн.грн.;

інтервали:  3 – 6;   6 – 9;   9 – 12; 

  •  для прибутку     h = (8,8 – 2,2 )/ 3 = 2,2 або ≈2  млн.грн.;

інтервали:   2,2  – 4,4 ;    4,4 – 6,6;    6,6 – 8,8. 

Комбінаційний ряд розподілу представимо у таблиці:

Розподіл підприємств за статутним капіталом і прибутком

Статутний капітал, млн. грн.

Прибуток, млн. грн.

Разом

2,2 – 4,4

4,4 – 6,6

6,6 – 8,8

3 – 6

5 – 9

9 – 12

9

4

–

–

8

–

–

1

4

9

13

4

Разом

13

8

5

26

Розміщення частот у таблиці в напрямі із верхнього лівого кута у нижній правий вказує на наявність прямого зв'язку між обсягом статутного капіталу і прибутком (із зростанням обсягу статутного капіталу зростає і прибуток).

  1.  Для підтвердження наявності зв'язку між цими ознаками використовуємо аналітичне групування, результати якого представимо у наступній таблиці. Побудова аналітичного групування враховує у кожній групі результативну ознаку, представлену як загальний обсяг прибутку та як прибуток на 1 підприємство.

Аналіз наявності залежності між статутним капіталом

і прибутком підприємств

Група підприємств за обсягом статутного капіталу, млн. грн.

Кількість підприємств

Прибуток, млн. .грн.

усього

на 1 підприємство

3 – 6

6 – 9

9 – 12

9

13

4

30,8

72,3

33,4

3,4

5,6

8,4

  Разом

26

136,5

5,3

Паралельне зіставлення групових значень факторної (обсяг статутного капіталу) і результативної (прибуток) ознак показує, що існує прямий зв'язок між ними (із зростанням обсягу статутного капіталу зростає і прибуток), і дає змогу визначити інтенсивність змін результативної ознаки. За умови рівномірного зростання обсягу статутного капіталу в кожній групі різниця між груповими середніми прибутку зростає, що характеризує збільшення інтенсивності впливу фактора (обсягу статутного капіталу) на результат (прибуток) – різниця між середнім прибутком для 2 і 1 груп дорівнює 5,6 – 3,4 = 2,2 млн. грн., а між середнім прибутком для 3 і 2 груп -  8,4 – 5,6 = 2,8 млн. грн.

Бібліографічний список до практичного заняття : [ 5 – 11; 13;  15 - 20]

Змістовий модуль 2. Агрегування інформації та аналіз закономірностей розподілу

Практичні заняття до теми 5: Узагальнюючі статистичні показники

Мета: Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо обчислення абсолютних, відносних та середніх величин, визначення їх виду та економічного змісту

План заняття

  1.  Обчислення абсолютних величин
  2.  Розрахунок різних видів відносних величин, їх аналіз. Графічне зображення абсолютних і відносних величин
  3.  Обґрунтування виду середньої величини для конкретних даних та вибір ваг для зваженої середньої. Розрахунок середньої арифметичної, гармонічної, геометричної, хронологічної

Задачі для розв’язання

Задача 1

Класифікуйте наведені статистичні показники за ознакою часу, за способом обчислення, для відносних величин визначте вид та форму вираження:

1) виробництво молока на душу населення за рік, л на 1 особу;

2) довжина електрифікованих ліній залізниць на кінець року, км;

3) кількість учителів на 10 000 населення на початок року, осіб;

4) введення в дію загальної (корисної) площі житлових будинків за рік становить 1050 тис. кв. м;

5) із загальної кількості населення Дніпропетровської області за результатами останнього перепису населення чоловіки становили 1643,3 тис. ос., або 46 %;

6) у 1989 році на 1000 чоловіків припадало 1163 жінки, а у 2001 році – 1159 жінок;

7) за роки, що минули після перепису населення 1989 року, кількість міст в Україні збільшилась на 20 і на дату Всеукраїнського перепису населення 2001 року склала 454 міста;

8) частка інвестицій на охорону навколишнього середовища у загальному обсязі капіталовкладень становить 0,12;

9) витрати на заходи з охорони праці у поточному році порівняно з минулим зросли на 5%;

10) середня тривалість пошуку роботи серед безробітних у містах становила за звітний період 9 місяців;

11) індекс роздрібних цін на споживчі товари за I квартал становить 104 %;

12) ступінь використання виробничих потужностей домобудівного комбінату - 85 %;

13) на початок навчального року кількість навчальних закладів становила 6614.

Задача 2

Споживання палива тепловими електростанціями становило:

Вид палива, млн..т

Минулий рік

Поточний рік

Коефіцієнти-сумірники

Мазут

Вугілля

23,8

23,2

25,0

20,2

1,37

0,90

Визначте: загальний обсяг спожитого палива за кожний період та проаналізуйте його динаміку; структуру споживання за видами палива та структурні зрушення.

Задача 3

За даними, представленими в таблиці, проаналізувати напруженість планового завдання та рівень виконання плану для підприємства, що випускає зошити різного призначення. (За умовно-натуральну одиницю виміру прийняти зошит з 12 аркушів).

Тип зошитів

Обсяг випуску продукції, тис.шт

Коефіцієнт - сумірник

2010 рік

2011 рік

план

факт

план

12 аркушів

4,7

4,8

5,0

36 аркушів

3,4

3,0

3,5

72 аркуши

2,0

2,4

2,2

84 аркуши

1,1

1,1

1,2

Задача 4

Показники діяльності банківської системи області Д характеризуються такими даними:

Показник

Роки

2009 (факт)

2010 (факт)

2011

(план)

2011

(факт)

Вклади населення, млн..грн., всього

1398

2308

2650

2800

у тому числі:

      в національній валюті

829

1505

1700

1900

      в іноземній валюті

568

803

950

900

Кількість населення, тис..ос.

3567,6

3568,4

Х

3578,4

Визначте відносні величини: планового завдання; виконання плану, динаміки; структури; координації та інтенсивності. Зробіть висновки.

Проаналізуйте структурні зрушення, що відбулися у вкладах населення.

Задача 5

Показники страхової діяльності в регіоні характеризуються даними, представленими в таблиці. Визначте відносні величини: інтенсивності, планового завдання; виконання плану, динаміки, координації, структури; проаналізуйте структурні зрушення, що відбулися. Зробіть висновки.

Показник

Роки

2010 (факт)

2011 (план)

2011 (факт)

Страхові внески, млн. грн., всього

43

48

45

у тому числі:

- майнове страхування

25

27

29

- особисте страхування

18

21

16

Чисельність населення, млн. осіб

3,4

-

3,3

Задача  6

Натуральний баланс борошна в регіоні  характеризується такими даними:

Запаси на початок року (млн. т)         3,5

Вироблено (млн. т)                  32,5

Спожито (млн. т)                  26,8

 у т.ч. виробниче споживання               19,6

          споживання населенням                 7,2

Вивезено за межі регіону (млн. т)         8,0

Визначте:

а) запаси борошна на кінець року, побудувавши динамічний баланс;

б) співвідношення спожитого та вивезеного борошна;

в) структуру споживання та структурні зрушення у споживанні борошна.

Назвіть види величин, які використані для аналізу та зробіть висновки з отриманих результатів.

Задача 7

За наведеними даними для кожної країни обчисліть відносні величини, які б характеризували:

а) рівень економічного розвитку;     

б) ступінь фінансової залежності.

Визначте вид розрахованих відносних величин. Зробіть висновки.

Країна

Кількість населення, млн. чол.

Валовий внутрішній продукт, млрд. дол. США

Зовнішній борг, млрд. дол. США

А

23200

129,9

18,2

В

15400

73,1

16,1

С

7800

30,6

8,6

D

10300

65,3

11,1

Задача 8

За наведеними в таблиці даними про результати діяльності малих підприємств регіону різних форм власності визначити в цілому за сукупністю:

  1.  середній розмір балансового прибутку в розрахунку на одне діюче підприємство;
  2.  середній розмір рентабельності статутного фонду в розрахунку на одне діюче підприємство;
  3.  середній рівень окупності витрат.

Форма власності

Кількість діючих малих підприємств, тис.

Балансовий прибуток,

млн. грн.

Статутний фонд,

млн. грн.

Окупність 1 млн. грн. витрат за формою власності, грн../грн..

Державна

Колективна

Приватна

4

33

42

16

158

151

188

985

340

0,6

1,1

0,8

Разом

79

325

1513

Х

Задача 9

На іспиті із дисципліни „Статистика” студенти одержали такі оцінки:

4

3   

5  

4   

3    

  3

  4

 5

 3

 5

4

4

5

4

4

4

3

2

4

5

4

5

2

5

4

3

4

2

3

4

4

4

3

4

4

 

Визначити середній бал успішності студентів групи, використовуючи середню арифметичну просту та зважену.

Задача 10

Вартість активів підприємств машинобудування (млн. грн.) характеризується даними:

Вартість активів,

млн. грн.

До 20

20 - 30

30 -50

50 і вище

Разом

Кількість підприємств

38

32

30

20

120

Визначити для галузі  середній рівень вартості активів підприємств машинобудування.

Задача 11

Відомі дані про динаміку  випуску тканин у країні (Коефіцієнт зростання випуску тканин, обчислений до попереднього року - дані умовні)

Рік

2007

2008

2009

2010

2011

Коефіцієнт зростання

1,242

0,852

0,976

1,062

1,188

Необхідно знайти середньорічний коефіцієнт зростання випуску тканин за період із 2007 по 2011 рік. Зробити висновки.

Задача 12

Розподіл новонароджених за віком матері характеризується даними:

Вік матері, років

% до підсумку

місто

село

До 20

20 - 25

25 - 30

30 - 35

35 - 40

40 і старші

14,0

40,0

27,1

13,2

4,7

1,0

19,5

43,1

22,1

10,4

4,0

0,9

Разом

100

100

Окремо для міст і сіл визначте середнє значення віку матері, порівняйте їх, зробіть висновки.

Задача 13

Використовуючи дані таблиці визначити середню урожайність цих культур для 3 господарств. Обґрунтувати спосіб розрахунку, зробити висновки.

Господарство

Гречка

Просо

валовий збір,

тис.ц

урожай

ність, ц/га

посівна площа, тис.га

урожай

ність, ц/га

№1

№2

№3

3000

2000

600

10

14

12

120

80

60

18

16

20

Задача  14

Маємо дані про кількість грошей в обігу за 1 півріччя, млрд..грн. Визначити середньомісячну наявність грошей в обігу за I і II квартали та за I півріччя. Зробити висновки.

На 01.01

На 01.02

На 01.03

На 01.04

На 01.05

На 01.06

На 01.07

68

70

76

80

78

84

96

Задача  15

Використовуючи дані таблиці визначити середню заробітну плату робітників для кожного із господарств. Обґрунтувати спосіб розрахунку, зробити висновки.

Цех

Підприємство А

Підприємство Б

Кількість робітників, осіб

Заробітна плата одного робітника,

грн. на 1 особу

Фонд заробітної плати, тис грн..

Заробітна плата одного робітника,

грн.. на 1 особу

№1

№2

№3

130

90

70

1500

1600

1100

88

140

72

1100

1400

1200

Задача  16

Маємо дані про купюрний розподіл денної виручки торгових підприємств двох міст, яка надійшла 01.09. поточного року, що представлені у таблиці.

За цими даними необхідно обчислити середню вартість купюри для кожного міста. Зробити порівняльний аналіз та висновки.

Показник

Номінал купюри, грн.

1

2

5

10

20

50

100

200

Кількість грошових

знаків у місті:

А

Б

800

820

70

85

28

26

40

75

32

35

22

17

12

6

8

4

Задача  17

За наведеними даними про ступінь урбанізації та концентрації населення в окремих регіонах країни визначте по країні в цілому частку міського та сільського населення та середню густину населення.

Регіон

Загальна чисельність населення, млн. осіб

Частка міського населення, %

Густина населення, осіб/км2

А

В

С

2,5

1,3

1,2

70

65

61

90

52

48

Задача  18

За І квартал фірмою реалізовано продукції на 21,6 млн. грн. Залишки обігових коштів на початок місяця становили, тис. грн.: січень – 1400; лютий – 1550; березень – 1270; квітень – 1600.

Визначте середньомісячний залишок обігових коштів, кількість оборотів та тривалість одного обороту в днях.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Маємо дані про доходи Зведеного бюджету області, млн. грн., наведені в таблиці. Необхідно визначити показники структури доходної частини бюджету області та оцінити структурні зрушення, що відбулися за цей період. Зробити висновки.

Показники

Роки

2007

2008

2009

Доходи, всього

1159

1673

2098

Податкові надходження

927

1215

1463

Неподаткові надходження

130

156

141

Інші надходження

102

302

494

Розв’язання

Визначаємо за кожен рік відносні величини структури діленням значень за окремим видом надходжень на їх загальний підсумок. Так, у 2007 році частка податкових надходжень становила 927/1159 = 0,8 або 80,0 %; частка неподаткових надходжень –  130/1159 = 0,112 або 11,2 %; частка інших надходжень (офіційні трансферти, державні цільові фонди, доходи від операцій з капіталом) – 102/1159 = 0,088 або 8,8 %.

Аналогічні розрахунки зроблено за наступні роки, результати розрахунків у відсотках наведено у таблиці, де в останніх графах показані структурні зрушення, які визначені як різниця між часткою (у %), що припадала на відповідний вид надходжень у поточному та попередньому роках.

Висновок:

Аналіз даних таблиці дозволяє зробити висновок, що за останні два роки зменшувалася частка податкових та неподаткових надходжень, а частка інших надходжень зростала.

Відбулися такі структурні зрушення у доходній частині Зведеного бюджету області: частка податкових надходжень у 2008 році порівняно з 2007 роком зменшилася на 7,4 відсоткових пункти (в. п), а у 2009 порівняно з 2008 роком – на 2,8 в. п. За аналогічні періоди зменшення частки неподаткових надходжень становило відповідно  1,9 та 2,6 в. п. В той же час частка інших надходжень зросла за відповідні періоди на 9,3 та 5,4 відсоткових пункти.

Аналіз структури та структурних зрушень у доходах Зведеного бюджету області

Показники

ВВС, %

Структурні зрушення, в. п

2007

2008

2009

у 2008році порівняно з 2007 роком

у 2009році порівняно з 2008 роком

Доходи, всього

100,0

100,0

100,0

0,0

0,0

Податкові надходження

80,0

72,6

69,8

-7,4

-2,8

Неподаткові надходження

11,2

9,3

6,7

-1,9

-2,6

Інші

8,8

18,1

23,5

+9,3

+5,4

Приклад 2

За вихідними даними попереднього прикладу необхідно проаналізувати динаміку доходів Зведеного бюджету області, визначивши відносні величини динаміки. Зробити висновки.

Розв’язання

Динаміку доходів Зведеного бюджету області можна дослідити за допомогою відносних величин динаміки (коефіцієнтів зростання)

  •  для доходів в цілому:

ВВДд1= у2008  / у2007 = 1673 / 1159 =1,443, або 144,3%, або +44,3 %;

ВВДд2= у2009/ у2008 = 2098 / 1673 =1,254, або 125,4%, або +25,4 %;

ВВДд3= у2009 / у2007 = 2098 / 1159 =1,810, або 181,0%, або +81,0 %;

взаємозв’язок:  ВВДд3 = ВВДд1 ∙ ВВДд2 = 1,443 ∙ 1,254 = 1,810.

Доходи у 2008 р. зросли порівняно з 2007 р. у 1,443 рази, або на 44,3 %; а у 2009 р. порівняно з 2008 р. вони зросли у 1,254 рази, або на 25,4 %. За період з 2007 по 2009 рік доходи Зведеного бюджету області зросли у 1,81 рази, або на 81 %.

Аналогічні розрахунки зроблені і за окремими складовими доходів та результати розрахунків представлені у таблиці.

Наприклад, неподаткові надходження у 2009 р. порівняно з 2008 р. зменшилися і становили 0,904 від рівня 2008 р.; в той час як інші надходження у 2008 р. порівняно із 2007 р. зросли в 2,961 рази, у 2009 р. порівняно із 2008р. – у 1,634 рази, а за період з 2007 по 2009 рік зросли у 4,843 рази, або на 384,3 %.

Аналіз динаміки доходів Зведеного бюджету області

Показники

ВВД

2008

2007

2009

2008

2009

2007

Доходи, всього

1,443

1,254

1,810

Податкові надходження

1,311

1,204

1,578

Неподаткові надходження

1,200

0,904

1,085

Інші

2,961

1,634

4,843

Приклад 3

За даними про умови продажу продукції підприємства на різних ринках міста, що наведені в таблиці, визначити середню ціну реалізації одиниці даного виду товару за кожен період і порівняти їх.

Ринок

міста

Ціна одиниці товару, грн..

Обсяг продажу товару, тис. шт.

Базисний період

Звітний період

Базисний період

Звітний період

1

4,2

4,4

1,2

1,3

2

3,8

4,3

0,8

0,5

3

4,6

4,2

0,4

1,5

 Розв’язання

Дані згруповані, осереднювана величина хі – ціна за одиницю товару, частота fi – фізичний обсяг продажу товару, які представлені у вихідних даних. Тому середню ціну реалізації одиниці даного виду товару можна визначити за формулою середньої арифметичної зваженої:

за базисний період

= ;

за звітний період

Можна стверджувати, що середня ціна продажу одиниці даного товару на ринках міста зросла у звітному періоді порівняно із базовим на 4,29 – 4,13= 0,16 грн.  

Примітки:  

Якщо за умовами завдання надані не згруповані дані, які необхідно згрупувати і визначити середній розмір групувальної ознаки, то спочатку необхідно виконати групування, побудувати ряд розподілу за прикладами розв'язання завдань № 1, 2 або 3 до теми № 3, а вже потім розраховувати середню величину. Такого типу завдання може бути початком більш складної задачі, в якій необхідно визначити показники варіації, або структурні середні, або характеристики форми розподілу.

Приклад 4

Розподіл працівників підприємства за віком наведений у таблиці. Розрахувати середній вік працівника.

Вік, років

до 20

20 – 25

25 – 30

30 – 40

40 і більше

Разом

Число працівників, осіб

4

20

46

60

50

220

Розв’язання

Вихідні дані представлені інтервальним рядом розподілу з відкритими інтервалами. Тому спочатку необхідно закрити відкриті інтервали – перший закриваємо за шириною наступного, останній – за шириною попереднього:

h2 = 25 – 20 = 5, тому нижня межа першого інтервалу дорівнює  20 – 5 = 15;

h4 = 40 – 30 = 10, тому верхня межа останнього інтервалу дорівнює  40 + 10 = 50.

Для визначення значення ознаки в кожному інтервалі замінюємо інтервальний ряд розподілу дискретним, визначивши середнє значення для кожного інтервалу.

Так, для першого інтервалу х1 = (15 + 20) : 2 = 17,5;

для другого інтервалу х2 = (20 + 25) : 2 = 22,5  і т.д.

Для розрахунку середньої арифметичної зваженої скористаємося табличним способом проведення розрахунків (див. табл. нижче).

Вік

Число робітників, fi

xi

xi  fi

15 - 20

4

17,5

70

20 – 25

20

22,5

450

25 – 30

46

27,5

1265

30 – 40

60

35,0

2100

40  – 50

50

45,0

2250

Разом

180

х

6135

Розрахунок середнього віку працівника виконуємо за формулою середньої арифметичної зваженої. Із використанням результатів розрахунків із таблиці:

=  роки.

Таким чином, середній вік працівника на підприємстві становить 34,1 роки.

Приклад 5

Залишки заборгованості із заробітної плати на підприємстві на початок кожного місяця становили, тис. грн.:  01.01.  – 2,8;     01.02.  – 3,1;     01.03.  – 5,9;           1.04.  –  3,2.  Визначити середньомісячний залишок заборгованості із заробітної плати на підприємстві.

Розв’язання

Середню в моментному ряді із рівними періодами часу між моментами розраховують як середню хронологічну:

=

Таким чином, середньомісячний залишок заборгованості із заробітної плати на підприємстві становив 4 тис. грн.

Приклад 6

Кількість зареєстрованих розлучень за чотири роки зросла у 1,57 рази,  у тому числі: за перший рік – у 1,08; за другий – у 1,1; за третій – у 1,18; за четвертий – у 1,12 рази. Розрахувати середньорічний темп зростання кількості зареєстрованих розлучень.

Розв’язання

Дані не згруповані, осереднювана ознака  представлена відносними величинами динаміки, тому середню величину розраховуємо як середню геометричну просту:

,

тобто, в середньому за рік кількість зареєстрованих розлучень зростала в 1,119 рази або на 11,9 %.

Приклад 7

Дисципліна підприємців різних видів діяльності щодо сплати податків характеризується даними, наведеними в таблиці.

Види діяльності

Кількість підприємців, які сплачують податки

Сума податку, сплаченого одним підприємцем, млн. грн.

усього, тис. осіб

у % до всіх зареєстрованих підприємців

Виробнича

18

60

2,5

Торговельна

28

70

2,0

Посередницька

44

55

5,0

Визначити у середньому за всіма видами діяльності частку підприємців, які сплачують податки, та середній розмір податку, сплаченого одним підприємцем.

Розв’язання

Середня частка підприємців, які сплачують податки, визначається за логічною формулою:

Оскільки дані згруповані, а за ваги fj тут узято кількість усіх зареєстрованих підприємців, якої в таблиці вихідних даних немає, то середня частка підприємців розраховується як середня гармонічна:

,

де zi - кількість підприємців, які сплачують податки;

     xi - частка підприємців, які сплачують податки у % до всіх зареєстрованих підприємців.

Середній розмір податку, сплаченого одним підприємцем, подається такою логічною формулою:

У даному випадку вагами є кількість підприємців, які сплачують податки. Таку інформацію вміщено в таблицю вихідних даних. Тому скористаємось формулою середньої арифметичної зваженої:

,

де хi - розмір податку, сплаченого одним підприємцем;

     fi - кількість підприємців, які сплачують податки.

Таким чином, виходячи із даних про дисципліну підприємців різних видів діяльності щодо сплати податків, середня частка підприємців, які сплачують податки, визначена як середня гармонічна зважена, становить 60%  від загальної кількості зареєстрованих підприємців; середній розмір податку, сплаченого одним підприємцем, розрахований як середня арифметична зважена, становить 3,57 тис. грн.

Бібліографічний список до практичного заняття : [ 5 - 11, 15  - 20 ]

Практичні заняття до теми 6: Методи аналізу рядів розподілу

Мета: Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо визначення центру розподілу, рівня варіації (оцінка однорідності сукупності) та форми розподілу, визначення характеристик концентрації, диференціації та подібності розподілів.

План заняття

  1.  Аналіз закономірностей розподілу за допомогою характеристик центру розподілу (середньої, моди, медіани) та порядкових характеристик (квартилів, квінтилів)
  2.  Вимірювання варіації ознак за допомогою абсолютних і відносних мір варіації: розмаху варіації, середніх лінійного та квадратичного відхилень, коефіцієнтів варіації
  3.  Характеристики форми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу
  4.  Визначення характеристик концентрації, диференціації та подібності розподілів

Задачі для розв’язання

Задача 1

Визначити моду та медіану ціни книг, що продаються на книжковому базарі, аналітичним та графічним методами, за наведеними у таблиці даними (дані умовні). Зробити висновки.

Ціна, грн.

до 30

30 - 50

50 - 70

70 - 90

90 і більше

Разом

Обсяг, шт.

65

220

180

98

27

590

Задача 2

Розподіл жіночого взуття в магазині за його ціною (дані умовні), наведений у таблиці:

Ціна, грн.

до 300

300-400

400-500

500-600

600 і більше

Разом

Кількість, пар

30

150

80

40

20

320

Визначити моду, медіану та квартилі аналітичним та графічним методами. Зробити висновки.

Завдання 3

Інформація щодо розподілу комплектів посуду на складі магазину за їх ціною наведена в таблиці:

Ціна, грн.

10-50

50-100

100-150

150-200

200-250

Разом

Обсяг, шт.

150

120

120

100

60

550

Визначити моду, медіану та 1 і 9 децилі аналітичним та графічним методами. Зробити висновки.

Задача 4

Оцінити розмах варіації ціни порцелянових виробів, що продаються у крамниці, загальну дисперсію та дисперсію частки виробів, ціна яких перевищує 500 грн., за наведеними в таблиці умовними даними:

Ціна, грн.

100-150

150-300

300-500

500-800

800-2000

Разом

Обсяг, шт.

28

25

42

15

5

115

Задача 5

Розподіл працівників підприємства за віком наведений у таблиці. Розрахувати такі показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення віку робітників, лінійний та квадратичний коефіцієнти варіації. Зробити висновки щодо однорідності сукупності. Визначити дисперсію для працівників, вік яких менший за 30 р.

Оцінити форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Зробити висновки.

Вік

до 20

20 – 30

30 – 40

40 – 50

50 і більше

Разом

Число робітників, осіб

15

55

60

50

40

220

Задача 6

Використовуючи ряд розподілу автомобілів автопідприємства за величиною добового пробігу, проаналізувати сукупність на однорідність, форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Визначити дисперсію для автомобілів, добовий пробіг яких перевищує180 км. Зробити висновки.

Добовий пробіг автомобіля, км

до 160

160-180

180-200

200 і більше

Разом

Всього автомобілів

20

28

36

16

100

Задача 7

Результати обстеження 100 сімей, які перебувають у шлюбі 10 років, на наявність та кількість дітей наведені у таблиці:

Число дітей

0

1

2

3

4

5

Разом

Число сімей

12

38

26

15

8

1

100

Визначити загальну дисперсію кількості дітей у сім’ї та проаналізувати наведену сукупність на однорідність. Проаналізувати форму розподілу на асиметричність і плосковершинність. Визначити дисперсію для частки сімей, в яких троє і більше дітей. Зробити висновки.

Задача  8

Є дані щодо розподілу сімей за їх розміром, які наведені в таблиці.

Число членів сім’ї

1

2

3

4

5

Разом

Число сімей

2

7

23

15

3

50

Визначити загальну дисперсію двома способами. Проаналізувати сукупність на однорідність та оцінити форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Зробити висновки.

Задача 9

За наведеними даними про віковий розподіл автомобільного парку регіону (дані умовні), визначити структурні зрушення та оцінити їх інтенсивність для кожного типу рухомого складу за допомогою лінійного та квадратичного коефіцієнтів структурних зрушень; провести порівняльний аналіз; зробити висновки.

Вікова група

автомобілів (років)

Вантажні автомобілі, од.

Автобуси, од.

2000 р.

2010 р.

2000 р.

2010 р.

до 5

5 – 10

10 – 15

більше 15

300

300

450

450

800

600

750

350

100

125

360

315

450

350

250

200

Разом

1500

2500

900

1250

Задача 10

Розподіл обсягів продаж взуття в магазині (дані умовні) наведений у таблиці: Оцініть інтенсивність структурних зрушень за допомогою лінійного коефіцієнту. Проведіть порівняльний аналіз структур за окремі періоди часу і в цілому за весь час. Зробіть висновки.

Тип взуття

Питома вага, % до підсумку

2007 рік

2009 рік

2011 рік

Жіноче

Чоловіче

Дитяче

40

35

25

30

45

25

50

30

20

Разом

100

100

100

Задача 11

Розподіл працівників підприємства за віком наведений у таблиці. Оцінити ступінь концентрації фонду заробітної плати робітників. Зробити висновки.

Вік робітників, років

Частка, % до підсумку

Кількість робітників

Фонд заробітної плати

До 20 років

20 – 30

30 – 45

45 і старші

5,8

25,2

44,6

24,4

3,2

21,4

51,6

23,8

Разом

100,0

100,0

Задача 12

Використовуючи ряд розподілу автомобілів автопідприємства за величиною добового пробігу, зробити порівняльний аналіз структури автомобілів за інтенсивністю експлуатації. Зробити висновки.

Добовий пробіг автомобіля, км

до 160

160 - 180

180-200

200 і більше

Разом

Всього автомобілів, у % до підсумка

-на підприємстві А

- на підприємстві В

12

5

28

15

36

36

24

44

100

100

Ситуаційне завдання 1

Виникла необхідність проаналізувати забезпеченість магазинів одного із районів міста торгівельними площами. Були зібрані дані про розмір торгівельних площ магазинів міста (м²), що представлені далі у таблиці.

Побудувавши інтервальний варіаційний ряд розподілу із 4 груп з однаковими інтервалами, провести аналіз із оцінкою:

а) середнього рівня забезпеченості магазинів одного із районів міста торгівельними площами та його типовості;

б) найбільш характерного значення торгівельної площі (моди) та значення, що поділяє магазини за торгівельною площею на дві рівні частини (медіани);

в) симетричності утвореного ряду розподілу (через співвідношення між середньою, модою та медіаною).

Результати аналізу представити у табличному і графічному вигляді, зробити узагальнюючі висновки стосовно забезпеченості одного із районів міста торгівельними площами.

258,7

259,8

286,5

272,3

290,1

276,9

283,4

247,7

252,9

330,8

275,3

269,3

285,0

308,3

273,6

230,0

250,5

251,7

289,1

257,5

335,5

269,3

281,4

286,9

287,4

298,8

250,8

262,4

246,8

285,6

278,7

275,4

239,2

272,5

267,0

292,0

246,1

301,0

279,6

268,5

254,8

292,6

285,3

340,7

299,7

314,5

311,0

350,0

303,2

Ситуаційне завдання 2

Виникла необхідність провести моніторинг ціни кондитерського виробу «А» у супермаркетах міста. Були зібрані дані щодо цін за 1 кг даного кондитерського виробу у відділах супермаркетів міста (грн..), що представлені далі у таблиці.

Побудувавши інтервальний варіаційний ряд розподілу із 4 груп з рівними інтервалами, провести аналіз із оцінкою:

а) середнього рівня ціни кондитерського виробу «А» у супермаркетах міста та його типовості;

б) найбільш характерного значення ціни кондитерського виробу «А» у супермаркетах міста (моди) та значення, що поділяє супермаркети за ціною кондитерського виробу «А» на дві рівні частини (медіани);

в) симетричності утвореного ряду розподілу (через співвідношення між середньою, модою та медіаною).

Результати аналізу представити у табличному і графічному вигляді, зробити узагальнюючі висновки стосовно рівня коливання ціни кондитерського виробу «А» у супермаркетах міста.

31,00

32,40

39,60

31,40

36,90

33,50

35,20

34,80

35,20

49,80

36,70

38,90

32,40

34,00

32,80

33,60

31,40

30,80

31,60

51,00

38,55

50,00

44,70

35,20

42,90

49,00

48,90

34,00

36,90

33,60

33,40

34,80

42,80

32,60

41,00

39,20

40,25

42,85

37,80

47,80

44,50

42,25

Ситуаційне завдання 3

Виникла необхідність проаналізувати забезпеченість площею офісних приміщень фірм одного із районів міста. Були зібрані дані про розмір площ офісних приміщень (м²), що представлені далі у таблиці.

Побудувавши інтервальний варіаційний ряд розподілу із 4 груп з однаковими інтервалами, провести аналіз із оцінкою:

а) середнього рівня забезпеченості площами офісних приміщень фірм одного із районів міста та його типовості;

б) найбільш характерного значення площі офісних приміщень (моди) та значення, що поділяє фірми за площею офісних приміщень на дві рівні частини (медіани);

в) симетричності утвореного ряду розподілу (через співвідношення між середньою, модою та медіаною).

Результати аналізу представити у табличному і графічному вигляді.

Зробити узагальнюючі висновки стосовно забезпеченості площею офісних приміщень фірм одного із районів міста.

158,7

159,8

186,5

172,3

190,1

180,8

200,7

176,9

185,0

157,5

150,8

205,9

168,5

172,5

146,1

203,2

211,0

250,0

147,7

152,9

230,8

175,3

169,3

189,4

173,6

130,0

150,5

151,7

189,1

179,6

169,3

181,4

186,9

187,4

198,8

183,5

146,8

185,6

178,7

175,4

139,2

212,4

199,7

154,8

192,0

214,5

192,6

215,9

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1 

Обчислити розмах варіації, середню, моду та медіану (з точністю до першого знака після коми) аналітичним та графічним методами за наведеними у таблиці даними:

Ціна товару, грн

Кількість товару,од.

До 10

12

10 – 20

18

20 – 40

40

40 – 60

50

60 – 70

30

70 – 80

20

Разом

170

Розв’язання

Для визначення розмаху варіації закриваємо перший інтервал, враховуючи, що його ширина дорівнює ширині сусіднього інтервалу, і беремо його середину. Ширина другого інтервалу:  

h = 20 – 10 = 10,

тоді нижня межа першого інтервалу:  

хmin = 10 – 10 = 0,

а середина:   х 1 = (0+10) / 2 = 5.

Тоді розмах варіації:  

R = 80 – 5 = 75.

Визначимо середини інтервалів:

х 1 = 0,5 (0 + 10) = 5;       х 2 = 0,5 (10 + 20) = 15;    х 3 = 0,5 (20 + 40) = 30;

х 4 = 0,5 (40 + 60) = 50;      х 5 = 0,5 (60 + 70) = 65;       х 6 = 0,5 (70 + 80) = 75.

 

Середню арифметичну визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

де  і – середина відповідного інтервалу

      fi – частота відповідного інтервалу.

Тоді:

= 44 грн.

Для визначення моди спочатку перебудуємо вихідний інтервальний ряд із нерівними інтервалами на варіаційний ряд із рівними інтервалами, для чого розіб’ємо третій та четвертий інтервали навпіл, враховуючи припущення, що в межах інтервалу значення ознаки розподіляється за рівномірним законом. (Примітка: Якщо задано інтервальний ряд розподілу із рівними інтервалами, тоді таку перебудову робити не потрібно).

Після перебудови ряду розподілу маємо :

Ціна товару,грн

Кількість товару,од

0 - 10

12

10 – 20

18

20 - 30

20

30 – 40

20

40 – 50

25

50 – 60

25

60 – 70

30

70 – 80

20

Разом

170

За побудованим вторинним інтервальним рядом із рівними інтервалами модальним інтервалом буде сьомий, якому відповідає найбільше значення частоти. Тоді значення моди обчислюється за формулою):

де Мо – мода

х Мо – нижня межа модального інтервалу

h Mo – ширина модального інтервалу

f Mo – частота модального інтервалу

f Mo -1 – частота передмодального інтервалу

f Mo+1 – частота післямодального інтервалу.

Тоді              МО =  = 63,3 грн. 

Визначаємо моду графічним методом:

          f

 

    

   

    30   

   

   20             

  

   10

 

     0            10      20     30      40      50    60  М0    70    80

          Ціна товару,грн..

Для визначення медіани обчислимо суму накопичених частот, тобто послідовно підсумуємо частоти за принципом:

S1 = f1;          S2 = f1 + f2;            S3 = f1 + f2 + f3      і так далі.

Результати розрахунків наведено далі в таблиці.

Ціна товару,грн

Кількість товару,од

Накопичена частота, од.

0 - 10

12

12

10 – 20

18

30

20 - 30

20

50

30 – 40

20

70

40 – 50

25

95

50 – 60

25

120

60 – 70

30

150

70 – 80

20

170

Разом

170

х

Визначимо медіанний інтервал – той, в якому сума накопичених частот дорівнює або перебільшує половину сукупності.

Половина сукупності – 0,5 fі = 0,5 · 170 = 85.

З вище наведеної таблиці бачимо, що медіанним інтервалом є п’ятий інтервал з межами (40 – 50).

Значення медіани обчислюємо за формулою:

,     

де  Ме – медіана    

хМе – нижня межа медіанного інтервалу

hMe – ширина медіанного інтервалу    

0,5 f i – половина сукупності

S fMe - 1 –  сума накопичених частот до медіанного інтервалу

f Ме – частота медіанного інтервалу.

Тоді                = 46 грн.

Для визначення медіани графічним методом використовують графік, побудований на основі накопичених частот або часток.

Цей графік має вигляд кумулятивної гістограми із вбудованою кумулятою.


Визначення медіани графічним методом

Результати розрахунків свідчать про те, що типовим рівнем ціни товару є  = 44 грн.; половина одиниць товару мають значення ціни, що дорівнює або менше ніж 46 грн., а інша половина - дорівнює або більше ніж 46 грн.; найчастіше зустрічаються товар, що має ціну 63,3 грн.

Виходячи із співвідношення = 44< Ме = 46 < Мо = 63,3 можна зробити висновок, що представлений ряд розподілу має лівосторонню асиметрію.

Приклад 2

Визначити квадратичний коефіцієнт варіації та зробити висновки щодо однорідності сукупності за наведеними даними ( дані умовні):

Розподіл товару на складі за його ціною

Ціна, грн.

2 – 10

10 – 30

30 – 60

60 – 100

100 – 120

Разом

Обсяг, шт.

8700

1800

9800

5900

1900

28100

Примітка: Проміжні розрахунки проводити з точністю до другого знака після коми, результати округлювати до першого знака після коми.

Розв’язання:

Для визначення квадратичного коефіцієнта варіації необхідно спочатку розрахувати середню ціну товару на складі та середнє квадратичне відхилення. У вихідних даних наведено інтервальний ряд розподілу, тому необхідно перейти до дискретного ряду.

Визначимо середини інтервалів:

x 1 = 0,5 (2 + 10) = 6;        x2 = 0,5 (10 + 30) = 20;

x3 = 0,5 (30 + 60) = 45;      x 4 = 0,5 (60 + 100) = 80;

x 5 = 0,5 (100 + 120) = 110;

Для інтервального варіаційного ряду середню арифметичну визначимо за формулою:

де  і – середина відповідного інтервалу

fi – частота відповідного інтервалу.

Тоді

= 43,1 грн.

(У розрахунку використано одну з математичних властивостей середньої арифметичної. Яку властивість використано?)

Середнє квадратичне відхилення обчислюється за формулою:

=

==32,6 грн.

Примітка: Квадратичний коефіцієнт варіації – це відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної величини. Якщо квадратичний коефіцієнт варіації не перевищує 0,33, сукупність вважається однорідною.

Vσ = 32,6 / 43,1 = 0,8 · 100 = 80 %.

Відповідь: Отже, сукупність товарів за їх ціною неоднорідна, так як Vσ> 33%,  а визначена середня величина, що дорівнює 43,1 грн. не є типовим рівнем ціни товару в даній сукупності.

= 43,1 грн.;    = 32,6 грн.;     Vσ = 80 %.

Приклад 3

Протягом сесії студенти однієї групи одержали такі оцінки:

Оцінка

2

3

4

5

Разом

Кількість оцінок

4

35

33

28

100

Визначити дисперсію частки якісних оцінок (4 та 5). Проаналізувати однорідність сукупності та оцінити форму розподілу.

Розв’язання

Дисперсія частки (дисперсія альтернативної ознаки) визначається за формулою:

= pq,

де p – частка з наявністю даної ознаки;

q – частка з відсутністю даної ознаки.

Частка якісних оцінок в сукупності: p = (f4 + f5) / fі = (33+28) / 100 = 0,61.

Частка неякісних оцінок: q = 1 – p = 1 – 0,61 = 0,39.

Тоді дисперсія частки якісних оцінок: = 0,61 × 0,39 ≈ 0,24,  

відповідно → σ = √0,24 = 0,49.

Проаналізуємо форму розподілу, для чого спочатку обчислимо середню оцінку за формулою:

;   

=  = 385 / 100 = 3,85.

Асиметрію визначимо через коефіцієнт асиметрії, який обчислимо за формулою:

.

Плосковершинність визначаємо за допомогою ексцесу, який розраховується за формулою:

.     

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю(див.нижче).

Середнє квадратичне відхилення обчислюється за формулою:

= = 0,876;

Дисперсія:

= 76,75 / 100 = 0,7675.

xі

fi

xі –

(xі –) 2 fi

(xі –) 3 fi

(xі –) 4 fi

2

4

– 1,85

13,6900

– 25,3265

46,854025

3

35

– 0,85

25,2875

– 21,494375

18,27021875

4

33

0,15

0,7425

0,111375

0,01670625

5

28

1,15

37,0300

42,5845

48,972175

100

×

76,7500

– 4,125

114,113125

Квадратичний коефіцієнт варіації :

Vσ = 0,876 / 3,85 = 0,228 · 100 = 22,8 %.

Коефіцієнт асиметрії:

= (– 4,125) / (0,8763 × 100) = – 0,061;

Ексцес:

= 114,113125 / (0,7675 × 0,7675) = 1,937.

Відповідь: Середній рівень оцінок становить 3,85, при цьому дисперсія частки якісних оцінок (4 та 5) становить ≈ 0,24; сукупність знаходиться в межах однорідності, тому визначений середній рівень оцінок може вважатися типовим для студентів даної групи; форма розподілу оцінок студентів за сесію – плоско вершинна з низькою лівосторонньою асиметрією.

Приклад 4

Проаналізувати структурні зміни за наведеними даними (дані умовні) про розподіл споживчих витрат населення регіону за окремі періоди і в цілому за весь час:

Структура споживчих витрат населення регіону

Вид споживчих витрат

Питома вага, % до загального підсумку

2004 рік

2005 рік

2006 рік

Продовольчі товари

Непродовольчі товари

Послуги

Інші

33,7

54,2

8,7

3,4

43,9

45,3

6,4

4,4

45,2

42,0

8,8

4,0

Разом

100,0

100,0

100,0

Розв’язання:

Зміну структури споживчих витрат населення регіону можна дослідити за допомогою лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень, квадратичного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень, квадратичного коефіцієнта відносних структурних зрушень та лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень за n періодів. Для визначення цих показників зробимо допоміжні розрахунки у табличній формі (див. далі).

Для розрахунку лінійного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень за перший (із 2004 по 2005 рік) і за другий (із 2005 по 2006 рік) періоди використовуємо підсумки стовпчиків 2 і 5 розрахункової таблиці:

проц. пункти;

проц. пункти.

Таким чином, із 2004 по 2005 рік питома вага окремих видів споживчих витрат населення в середньому змінювалася на 5,6 проц. пункти.

За наступний рік “абсолютні” структурні зрушення зменшилися, тобто структура споживчих витрат почала стабілізуватися.

Аналогічних висновків можна дійти і за розрахунком квадратичного коефіцієнта “абсолютних” структурних зрушень (розрахунки із використанням підсумків стовпчиків 3 і 6 розрахункової таблиці):

 проц. пункти;

проц. пункти.

Визначимо величину квадратичного коефіцієнта відносних структурних зрушень, використовуючи підсумки стовпчиків 4 і 7 розрахункової таблиці:

;


.

Як свідчать ці розрахунки, за перший рік питома вага кожного виду витрат в середньому змінилася майже на ¼ своєї величини, тоді як за наступний рік – тільки на 1/9.

Для узагальнюючої оцінки структурних зрушень у досліджуваній сукупності в цілому за весь час використовуємо лінійний коефіцієнт “абсолютних” структурних зрушень за n періодів (із підсумками з стовпчика 8 розрахункової таблиці).

= 3,1  проц. пункти.

Таким чином, за весь час середньорічна зміна частки споживчих витрат населення регіону за всіма видами витрат становила 3,1 процентних пункти.

Розрахункова таблиця до прикладу 4

Вид споживчих витрат

1

2

3

4

5

6

7

8

Продовольчі товари

Непродовольчі товари

Послуги

Інші

10,2

8,9

2,3

1,0

104,04

79,21

5,29

1,00

3,09

1,46

0,61

0,29

1,3

3,3

2,4

0,4

1,69

10,89

5,76

0,16

0,04

0,24

0,90

0,04

11,5

12,2

0,1

0.6

Разом

22,4

189,54

5,45

7,4

18,50

1,22

24,4

Бібліографічний список до практичного заняття : [5 - 10, 15 - 19]    


Змістовий модуль 3. Аналіз закономірностей динаміки

Практичні заняття до теми 7: Аналіз інтенсивності динаміки

Мета:   Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо обчислення та аналізу статистичних характеристик інтенсивності розвитку суспільних явищ і процесів (базисним і ланцюговим методами) та середньої швидкості розвитку

План заняття

  1.  Аналіз закономірностей розвитку соціально-економічних процесів за допомогою системи абсолютних і відносних характеристик інтенсивності динаміки
  2.  Розрахунок середнього абсолютного приросту і середнього темпу приросту
  3.  Оцінка прискорення (уповільнення) розвитку. Порівняльний аналіз динамічних рядів з використанням коефіцієнтів випередження та еластичності

Задачі для розв’язання

Задача 1

За даними, наведеними в таблиці, зімкніть динамічний ряд вартості виробничого устаткування фірми, обчисліть базисні та ланцюгові абсолютні прирости, темпи росту та темпи приросту, поясніть їх зміст. Визначте середньорічні абсолютний приріст та темп приросту.

Зробіть висновки.

Показник, млн. грн.

Роки

2007

2008

2009

2010

2011

Вартість виробничого устаткування:

- середньорічна

- на кінець року

280

260

320

368

390

420

Задача 2

Зімкніть динамічний ряд обсягів виробництва будівельної корпорації (млн. грн.), яка до 2009 р. об’єднувала 8 управлінь, а з 2009 р. – 5. Обчисліть базисні абсолютні прирости та темпи приросту виробництва, поясніть їх зміст. Визначте середньорічні абсолютний приріст та темп приросту. Зробіть висновки.

Масштаб корпорації

2007

2008

2009

2010

2011

8 управлінь

5 управлінь

300

272

240

120

135

150

Задача 3

Прямі іноземні інвестиції у розвиток металургії становили, млн. дол. США:

Рік

Чорна металургія

Кольорова металургія

2009

2010

2011

 7,5

12,3

24,3

10,0

14,2

26,8

Для кожної галузі визначте базисні та ланцюгові характеристики рядів динаміки, проаналізуйте взаємозв’язок між ними, оцініть прискорення процесу інвестування металургії, розрахуйте середньорічні: абсолютний приріст та коефіцієнт росту для чорної та кольорової металургії. Зробіть висновки.

Задача 4

Динаміка обсягів перекачування палива трубопровідним транспортом характеризується такими даними, млн. т:

Рік

2002

2006

2010

Природний газ

Нафта та нафтопродукти

160

120

176

128

186

130

 Для кожного виду палива визначте:

а) середньорічні абсолютні прирости перекачування за 2002 – 2006, 2006 – 2010 та 2002 – 2010 роки;

б) абсолютне та відносне прискорення (уповільнення) нарощування обсягів перекачування палива. Зробіть висновки.

Задача 5

Динаміка кредитних ресурсів комерційного банку на початок кожного місяця характеризується такими даними (млн. грн.):

Місяць

І

ІІ

ІІІ

ІV

V

VI

VII

Кредитні ресурси

48

53

51

50

55

52

54

Визначте середній обсяг кредитних ресурсів за І та ІІ квартал, абсолютний приріст та темп приросту їх середнього обсягу. Зробіть висновки.

Задача 6

Динаміка виробництва ВВП в окремих галузях економіки країни характеризується даними, % до 2007 р.:

Галузь економіки

2009 р.

2011р.

А

В

С

102,4

104,8

107,1

104,9

115,3

111,4

 

Визначте  для кожної галузі економіки:

а) темп зростання ВВП за 2007 – 2011 р.р.;

б) середньорічні темп зростання та темп приросту за 2007 – 2009,  2009 – 2011 та 2007 – 2011 р. р.

Проведіть порівняльній аналіз. Зробіть висновки.

Задача 7

Темп приросту споживання продуктів на душу населення в регіоні , у % до попереднього періоду, представлено в табл.

Вид продукту

Квартал

І

ІІ

ІІІ

ІV

Хліб

1,8

2,1

2,9

3,4

Молоко та молочні продукти

1,2

1,6

1,8

1,1

Обчисліть за рік у цілому: а) темп приросту за кожним видом продукту; б) коефіцієнт випередження зростання рівня споживання хліба та молока.  Зробіть висновки.

Задача 8

Динаміка капітальних вкладень за джерелами фінансування характеризується даними, млн. грн.:

Джерела фінансування

2002

2004

2006

Внутрішні

Зовнішні

23

10

24,8

11,1

24,4

12,2

Визначте середньорічний темп приросту капіталовкладень за кожним джерелом фінансування, проведіть порівняльний аналіз.

Ситуаційне завдання 1

У регіоні склалася ситуація щодо динаміки споживання свіжої води та обсягу скиду забруднених вод, яка представлена даними, наведеними в табл. (у % до попереднього періоду).

Проведіть аналіз ситуації, що склалася в регіоні, визначивши для кожного показника:

а) темп приросту за весь період 1998 – 2006 р. р.;

б) середньорічний темп приросту за кожен період і в цілому за всі роки;

в) на базі визначених коефіцієнтів еластичності за кожен період часу і в цілому за період 1998 – 2006 р. р. оцініть екологічний стан у регіоні.

Зробіть узагальнюючі висновки стосовно споживання свіжої води і забруднення вод.

Показник

Період часу , роки

1998 – 2000

2001 – 2003

2004 – 2006

Споживання свіжої води

3,0

2,4

2,2

Обсяги скиду забруднених вод

5,3

5,4

5,2

Ситуаційне завдання 2

Ситуація стосовно динаміки основних характеристик діяльності  спільного підприємства представлена даними таблиці.

Проведіть аналіз ситуації, що склалася на підприємстві щодо динаміки продуктивності праці. Для цього:

а) визначте середньо квартальну кількість працюючих і показник продуктивності праці за кожен квартал;

б) для кожного ряду обчисліть базисні або ланцюгові характеристики та на їх основі  середньорічні абсолютні прирости та темпи приросту;

в) проведіть порівняльний аналіз інтенсивності динаміки кожного із показників.

Зробіть узагальнюючі висновки стосовно ситуації із ефективністю використання робочої сили, що склалася на підприємстві.

Показник

Минулий рік, квартал

Поточний рік, І кв.

І

ІІ

ІІІ

ІV

Кількість працюючих на початок кварталу, осіб

Обсяг виробництва, тис. грн.

82

2816

78

2774

74

2835

76

3003

78

-

Ситуаційне завдання 3

Ситуація стосовно динаміки фінансових показників діяльності комерційного банку представлена даними таблиці.

Проведіть аналіз ситуації, що склалася у комерційному банку щодо динаміки його прибутковості. Для цього:

а) вкажіть види динамічних рядів, поясніть їх особливості;

б) обчисліть ряд динаміки похідного показника – прибутковості капіталу;

в) для кожного ряду обчисліть базисні характеристики ряду динаміки, та визначте за минулий рік середньо квартальні абсолютні прирости та темпи приросту капіталу, прибутку та прибутковості капіталу

г) проведіть порівняльний аналіз інтенсивності динаміки кожного із показників.

Зробіть узагальнюючі висновки стосовно ситуації із ефективністю діяльності, що склалася у комерційному банку.

Показник, млн. грн.

Минулий рік, квартал

Поточний рік І квартал

І

ІІ

ІІІ

ІV

Капітал на початок кварталу

Прибуток за квартал

384

185

403

218

615

242

776

230

1210

-

Завдання  1

Використовуючи взаємозв’язок показників часового ряду, визначте рівні виробництва товарів побутової хімії, абсолютну та відносну швидкість його зменшення:

Порядковий номер року

Виробництво, тис. грн.

Базисні характеристики динаміки

Абсолютний приріст, тис. грн.

Темп зростання, %

Темп приросту, %

1

2

3

4

5

600

Х

-28

Х

97

Х

-2

-6

Завдання 2

Використовуючи взаємозв’язок характеристик динаміки, визначте обсяги перевезення вантажів автотранспортом, абсолютну та відносну швидкість зростання обсягів, зробіть висновки.

Порядковий № року

Перевезено вантажів, млн. т

Ланцюгові характеристики динаміки

Абсолютний приріст, млн. т

Коефіцієнт зростання

Темп приросту, %

Абсолютне значення 1 % приросту, млн. т

1

2

3

4

5

300

Х

20

Х

1,1

Х

5

Х

3,6

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Дані про неподаткові надходження до доходів Зведеного бюджету області, млн. грн., наведені в таблиці.

Показник

Роки

2001

2002

2003

2004

2005

Неподаткові надходження

130

156

141

150

145

Проаналізувати динаміку неподаткових надходжень до доходів Зведеного бюджету області, визначивши базисні та ланцюгові характеристики ряду динаміки і середньорічні: рівень ряду, абсолютний приріст та темп приросту.

Розв’язання

Динаміку неподаткових надходжень можна дослідити за допомогою статистичних характеристик ряду динаміки, таких як абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту (базисні та ланцюгові), абсолютне значення  1% приросту, середньорічний рівень неподаткових надходжень, середньорічний абсолютний приріст, темп зростання та темп приросту.

Виконаємо обчислення цих показників для неподаткових надходжень за і результати розрахунків представимо в таблиці.

Використовуючи відповідні формули розраховуємо ланцюговий та  базисний абсолютні прирости:

ланцюгові (для 2001 р. розрахувати немає можливості, оскільки відсутні значення для попереднього року – ланцюгових характеристик завжди буде на одне значення менше, ніж років у періоді, що досліджується):

2002  =   у2002  -  y2001 = 156 – 130 = + 26;

2003  =   у2003  -  y2002 = 141 – 156 =  - 15; і т. д.

базисні                              2001  =   y2001  -  y2001 = 0;

2002  =   у2002  -  y2001 = 156 – 130 = + 26;

2003  =   у2003  -  y2001 = 141 – 130 = +11 і т. д.

Використовуючи відповідні формули, розраховуємо ланцюговий та базисний коефіцієнти К і темпи зростання Тр:

ланцюгові     

К 2002= y2002 / y 2001  = 156 / 130 = 1,200  і   Тр2002 = 1,2×100 = 120,0 %;

К2003= y2003 /y 2002   =141 /156 = 0,904  і  Тр2003 =0,904×100 =90,4% і т. д.

базисні      

К2001  =   y2001  /  y2001 = 1,0;

К2002  =   у2002  / y2001 = 156 / 130 = 1,200 і   Тр2002 = 1,2×100 = 120,0%; ;

К2003  = у2003 /y2001 = 141 /130 =1,085 і  Тр2003 = 1,085×100 =108,5% і т. д.

Використовуючи відповідні формули, розраховуємо ланцюговий та базисний темпи приросту:

ланцюгові Тпр2002=120 –100 =+20%;  Тпр2003 =90,4 –100 = – 9,6% і т.д.;

базисні Тпр2002= 120 –100 =+20%; Тпр2003 = 108,5 – 100 =+8,5% і т.д.

Абсолютне значення 1 % приросту розраховуємо тільки ланцюговим методом:

А %2002 = +26 / +20 = 1,30 млн. грн. на 1 % приросту і т.д.

Це означає, що у 2002 році на кожний 1 % приросту припадало 1,3 млн. грн. неподаткових надходжень.

Результати обчислення показників динамічного ряду

Рік

Неподаткові надход-ження, млн. грн.

Абсолютний приріст, млн.грн.

Коефіцієнт зростання

Темп приросту, %

Абсолютне значення

1 % приросту,

млн. грн..

ба-зис-ний

лан-цю-говий

ба-зис-ний

лан-цю-говий

ба-зис-ний

лан-цю-говий

2001

130

0

–

1,000

–

0

–

–

2002

156

+26

+26

1,200

1,200

+20,0

+20,0

1,30  (↑)

2003

141

+11

-15

1,085

0,904

+8,5

-9,6

1,56  (↓)

2004

150

+20

+9

1,154

1,064

+15,4

+6,4

1,41  (↑)

2005

145

+15

-5

1,115

0,967

+11,5

-3,3

1,52  (↓)

Далі розраховуємо:

– середньорічний рівень неподаткових надходжень як середню арифметичну просту

 

  •   середньорічний абсолютний приріст

за базисними           або      за ланцюговими абсолютними приростами

 млн. грн.,          млн. грн.

–  середньорічний коефіцієнт зростання обчислюють за формулою середньої геометричної простої:

за базисними             або            за ланцюговими абсолютними приростами

–   середньорічний темп приросту

Таким чином, можна зробити висновки, що у 2001 році порівняно з 2000 роком неподаткові надходження зросли на 26 млн. грн., а у 2002 році порівняно з 2001  роком – зменшилися на 15 млн. грн. В цілому ж за період  із 2001 по 2005 рік неподаткові надходження зросли на 15 млн. грн., або у 1,115 рази чи на +11,5 %. За цей же період часу середньорічні надходження становили 144,4 млн. грн., а середньорічний абсолютний приріст їх становив 3,75 млн. грн. Тобто, в середньому за рік обсяг неподаткових надходжень за період з 2001 до 2005 року зростав на 2,8 %.

Приклад 2

Використовуючи характеристики ряду динаміки, провести порівняльний аналізи динаміки заощаджень населення в двох регіонах країни за умовними даними, наведеними в таблиці:

Роки

Заощадження населення, млн. грн.

у регіоні А

у регіоні Б

2001

2002

2003

2004

2005

815

849

863

870

895

631

657

655

646

671

Розв’язання:

При необхідності порівняння характеристик паралельних рядів динаміки явищ, що одночасно розвиваються у часі, попередньо проводять приведення їх до однієї основи, для чого переводять абсолютні показники рівнів кожного ряду у відносні, прийнявши рівень якогось одного періоду за одиницю або за сто (за суттю при цьому розраховуються для кожного ряду базисні коефіцієнти або темпи росту). Представимо результати розрахунку в таблиці. (Для регіону Б зроблені аналогічні розрахунки).

Результати приведення до однієї основи показників динамічних рядів

Роки

Заощадження населення

у регіоні А

у регіоні Б

у % до 2001 року

у % до 2001 року

2001

815:815·100=100,0

100,0

2002

849:815·100=104,2

104,1

2003

863: 815·100=105,9

103,8

2004

870: 815·100=106,8

102,4

2005

895:815·100=109,8

106,3

Отримані значення темпів росту свідчать про те , що при взятому за основу рівні 2001 року темпи зростання грошових заощаджень значно вищі в регіоні А, ніж у регіоні Б.

Але не завжди результати такі очевидні. Порівняльний аналіз в цілому за весь період часу можна зробити, визначивши середньорічні темпи зростання або приросту по кожному регіону і порівнявши їх, тобто визначити коефіцієнт випередження.

Визначаємо для кожного регіону середньорічні темпи зростання, використовуючи відповідні формули:

Для регіону А:    

=.

Аналогічний розрахунок виконуємо для регіону Б:

У середньому за рік у регіоні А грошові заощадження населення зростали на 2,4 %, а у регіоні Б –  на 1,5 %.

Розраховуємо коефіцієнт випередження, як співвідношення темпів приросту (або темпів росту):

.

Таким чином, грошові заощадження населення за період                              2001 – 2006 р. р. у регіоні А порівняно із регіоном Б зростали у 1,6 рази швидше.

Бібліографічний список до практичного заняття : [ 5 - 11, 15  - 20 ]

Практичні заняття до теми 8:

Виявлення і вимірювання тенденцій розвитку

Мета: Закріпити теоретичні знання та отримати практичні навички щодо використання різних методів визначення основної тенденції розвитку в рядах динаміки.

План заняття

  1.  Застосування ступінчастої та ковзної середніх для згладжування коливних рядів
  2.  Обґрунтування типу трендового рівняння, інтерпретація параметрів
  3.  Екстраполяція тренду

Задачі для розв’язання

Задача 1

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва

133

135

132

139

141

138

145

143

149

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер, використавши різні методи. Зробити прогнозні розрахунки на кінець року. Результати представити графічно, зробити їх порівняльний аналіз та висновки.

Задача 2

Динаміка обсягу продажу комп’ютерів на ринку регіону (дані умовні) наведена в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

Обсяг продажу, шт.

215

220

228

236

248

263

282

306

Опишіть тенденцію обсягу продаж комп’ютерів лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року.

Задача 3

Динаміка випуску продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

Обсяг виробництва продукції, тис.грн.

315,6

303,3

291,5

280,9

271,7

264,3

258,0

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 4

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва продукції, тис.грн.

25,9

25,6

25,3

25,0

24,7

24,4

24,1

23,8

23,5

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 5

Динаміка виробництва продукції на підприємстві характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва продукції, млн. грн.

49,4

49,1

48,6

47,8

46,9

45,6

44,7

43,3

41,7

Опишіть тенденцію обсягу виробництва лінійним трендом (метод нумерації від умовного нуля), поясніть зміст параметрів трендового рівняння. Зробіть прогнозні розрахунки на кінець року. Визначте теоретичні рівні експорту та середнє квадратичне відхилення від тренду. Оцініть сталість динамічного ряду експорту.

Задача 6

Динаміка виробництва продукції на підприємстві (млн. грн.) характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва продукції

30,2

30,4

30,9

31,6

32,4

33,3

34,4

35,7

37,2

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер. Зробити висновки.

Задача 7

Коефіцієнти відновлення основних виробничих фондів в народному господарстві регіону за рік наведені у таблиці (%):

Рік

Місяці

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Коефіцієнт відновлення

7,4

7,0

6,6

7,1

6,7

6,3

5,9

7,0

6,6

6,2

7,3

6,9

  1.  Провести згладжування ряду динаміки методами середньої плинної та ступінчастої середньої.
  2.  Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду за допомогою аналітичного вирівнювання.

Фактичні рівні ряду, результати згладжування та вирівнювання зобразити графічно. Зробити висновок щодо загальної тенденції відтворення основних виробничих фондів.

Задача 8

Динаміка коефіцієнта змінності на підприємстві (дані умовні) наведена в таблиці.

Рік

Коефіцієнт змінності

Рік

Коефіцієнт змінності

Рік

Коефіцієнт змінності

1990

1,2

1995

1,3

2000

1,4

1991

1,1

1996

1,2

2001

1,5

1992

12

1997

1,4

2002

1,5

1993

1,1

1998

1,3

2003

1,6

1994

1,3

1999

1,4

2004

1,6

Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду за допомогою аналітичного вирівнювання. Фактичні рівні та згладжені рівні зобразити на графіку. Розрахувати прогнозне значення коефіцієнта змінності на підприємстві на 2008 та 2010 роки.

Задача 9

Визначити тенденцію розвитку для даного динамічного ряду аналітичним вирівнюванням (введенням умовного періоду) за умовними даними наведеними в таблиці (млн. грн.). Вирівнювання проводити за лінійною моделлю. Представити фактичні та згладжені рівні ряду графічно. Зробити висновки. Розрахувати прогнозне значення обсягу виробництва на 12 та 14 період часу.

Період

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва продукції

19,6

18,9

18,7

17,8

17,6

16,8

16,7

16,0

15,6

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Динаміка виробництва продукції на підприємстві характеризується умовними даними, наведеними в таблиці.

Місяць

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Обсяг виробництва, млн. грн.

12,3

12,5

12,2

12,9

13,1

12,8

13,5

13,3

13,9

Визначити тенденцію розвитку та встановити її характер, використавши різні методи. Зробити висновки та прогнозні розрахунки на кінець року.

Розв’язання

1. Метод середньої ступінчастої

Об’єднуємо по три інтервали і в кожному укрупненому інтервалі обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, таким чином, маємо:

= (12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33;

= (12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;

= (13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.

За результатами згладжування методом середньої ступінчастої бачимо тенденцію до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:

1 = – = 12,93 – 12,33 = 0,6.

2 = –  = 13,57 – 12,93 = 0,64.

Висновок: абсолютний приріст зростає, тому для даного динамічного ряду маємо тенденцію до прискореного зростання.

2. Метод середньої плинної

Об’єднуємо перші три інтервали, обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, переміщуємося на один інтервал і повторюємо процедуру до кінця динамічного ряду, таким чином, маємо:

= (12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33;       = (12,5 + 12,2 + 12,9) / 3 = 12,53;

= (12,2 + 12,9 + 13,1) / 3 = 12,73;       = (12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;

= (13,1 + 12,8 + 13,5) / 3 = 13,13;        = (12,8 + 13,5 + 13,3) / 3 = 13,2;

= (13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.

Згладжування показало наявність чіткої тенденції до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:

1 = – = 12,53 – 12,33 = 0,2;        2 = –  = 12,73 – 12,93 = 0,2;

3 = – = 12,93 – 12,73 = 0,2;           4 = –  = 13,13 – 12,93 = 0,2;

5 = –  = 13,2 – 13,13 = 0,07;          6 = –  = 13,57 – 13,2 = 0,37.

Таким чином, для даного динамічного ярду маємо тенденцію до нерівномірного зростання.

3. Метод аналітичного вирівнювання

а) за лінійною моделлю

Лінійна модель має вигляд:

Параметри  та  згідно з методом найменших квадратів знаходяться розв’язанням системи нормальних рівнянь:

,

де n – обсяг сукупності (кількість значень рівнів ряду);

y – фактичні рівні ряду

t – порядковий номер періоду або моменту часу

Розв’язавши цю систему, отримуємо значення параметрів лінійної моделі (без використання спрощеного методу із введенням нумерації періодів часу від умовного нуля):

,   ,

де  – середній рівень динамічного ряду.

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі

№

у

t

t 2

yt

1

12,3

1

1

12,3

2

12,5

2

4

25,0

3

12,2

3

9

36,6

4

12,9

4

16

51,6

5

13,1

5

25

65,5

6

12,8

6

36

76,8

7

13,5

7

49

94,5

8

13,3

8

64

106,4

9

13,9

9

81

125,1

Разом

116,5

45

285

593,8

Тоді: 

а1 = (9 · 593,8 – 116,5 · 45) / (9 · 285 – 45 · 45) = 0,188;

а0 = 116,5 / 9 – 0,188 · (45 / 9) = 12.

Таким чином, лінійна модель має вигляд:     уt = 12 + 0,188 t.

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо значення t = 12, тоді:

У12 = 12 + 0,188 t = 12 + 0,188 · 12 = 14,3.

б) за моделлю квадратичної параболи

Параметри параболи другого порядку:

Y = a + b·t + c·t 2,

обчислюють за допомогою системи нормальних рівнянь:

.

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Умовний період

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

При цьому t = 0 та t3 = 0; а система рівнянь набуває вигляду:

Тоді:

,  

    

,        .

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів параболи

№

у

t

t 2

t 4

yt

y t2

1

12,3

– 4

16

256

– 49,2

196,8

2

12,5

– 3

9

81

– 37,5

112,5

3

12,2

– 2

4

16

– 24,4

48,8

4

12,9

– 1

1

1

– 12,9

12,9

5

13,1

0

0

0

0

0

6

12,8

1

1

1

12,8

12,8

7

13,5

2

4

16

27,0

54,0

8

13,3

3

9

81

39,9

119,7

9

13,9

4

16

256

55,6

222,4

Разом

116,5

0

60

708

11,3

779,9

Використовуючи формули для визначення параметрів параболи та підсумковий рядок таблиці,  маємо:      b = 11,3 / 60 = 0,188;

с = (9 · 779,9 – 116,5 · 60) / (9 · 708 – 60 · 60) = 0,01;

а = 116,5 / 9 – 0,01 · (60 / 9) = 12,87.

Таким чином, модель квадратичної параболи має вигляд:

у = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t2.

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо відповідне значення. Проте слід ураховувати, що для визначення параметрів параболи були використані умовні періоди. Отже, й значення t має бути визначено з урахуванням цього моменту, тобто маємо підставляти не t = 12, а значення t = 7 (оскільки значенню фактичного періоду 10 відповідає умовний період 5; 11 – 6; 12 – 7), тоді:

y12 = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t2 = 12,87 + 0,188 · 7 + 0,01 · 49 = 14,676 ≈ 14,7.

Приклад 2

Маємо такі дані про видатки Державного бюджету України на освіту (млн. грн.):

Показник

Рік

1997

1998

1999

2000

2001

Видатки на освіту

15 665

16 704

17 005

18 333

19 200

Необхідно визначити основну тенденцію динамічного ряду шляхом аналітичного вирівнювання за прямою (методом введення умовного нуля) та екстраполювати суму видатків Державного бюджету України на освіту до 2004 р.

Розв'язання

1. Рівняння прямої має такий вигляд:

ŷt = a + bt,

де ŷt – вирівняне середнє значення результативної ознаки;

    a, b – параметри рівняння;

t – факторна ознака.

Для спрощення обчислень складемо розрахункову таблицю, яка має такий вигляд:

Рік

Видатки на освіту, млн. грн.

t

t2

yt

ŷ

1997

1998

1999

2000

2001

15665

16704

17005

18333

19200

-2

-1

0

1

2

4

1

0

1

4

-31330

-16704

0

18333

38400

15641,6

16511,5

17381,4

18251,3

19121,2

Всього

86907

0

10

8699

86907,0

2002

2003

2004

прогноз

прогноз

прогноз

3

4

5

–

–

–

19991,1

20861,0

21730,9

Для знаходження параметрів а і b, складемо і розв'яжемо систему двох рівнянь із двома невідомими:

Σy = n· a + b Σ t;

Σyt = a Σ t + b Σ t2 ,

де п - число рівнів ряду.

За умови, що Σt = 0, способом найменших квадратів знаходимо

Отже, аналітичне рівняння прямої матиме вигляд:

ŷ = 17 381,4 + 869,9 t.

Підставляючи значення t  в наведене рівняння, отримуємо вирівняні дані суми видатків Державного бюджету України на освіту (остання графа розрахункової таблиці до прогнозних значень).

2. На основі аналітичного рівняння прямої здійснюємо перспективний прогноз видатків на освіту, за умови, що виявлена тенденція найближчим часом не зміниться (прогнозні значення останньої графи розрахункової таблиці – останні 3 рядки).

Таким чином, якщо виявлена тенденція найближчим часом не зміниться, то видатки на освіту становитимуть у 2004 році 21730,9 млн. грн.

Бібліографічний список до практичного заняття: [5 – 11; 15 - 20]

Практичні заняття до теми 9: Індексний метод

Мета:   Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо використання методики побудови індивідуальних та зведених індексів

План заняття

  1.  Розрахунок індивідуальних індексів
  2.  Розрахунок зведених індексів - агрегатних та середньозважених. Вибір форми індексу
  3.  Розкладання абсолютного приросту результативного показника за факторами
  4.  Дослідження динаміки середніх величин

Задачі та завдання для розв’язання

Завдання 1

Визначте, які з наведених індексів є зведеними, а які – індивідуальними:

  •  кількість оформлених ліцензій на різні види комерційної діяльності у поточному році порівняно з базисним зросла в 1,6 раза;
  •  сума проданих держоблігацій на первинному ринку за рік збільшилась на 15%, а на вторинному – на 9 %;
  •  кількість іноземних інвесторів з країн далекого зарубіжжя за два роки скоротилася на 22 %, а з країн ближнього зарубіжжя – збільшилась на 17 %;
  •  курс валюти першої категорії на внутрішньому валютному ринку підвищився на 1 % за два порівнюваних періоди, а на німецьку марку – скоротився на 0,2 % за той самий час;
  •  середня кредитна ставка у банківській мережі скоротилася на 4 %, а в групі комерційних банків – лише на 2 %.

Задача 1

В таблиці наведено дані про динаміку товарообігу одного з відділів магазину. Визначити:

а) індивідуальні індекси цін, обсягу проданих товарів та товарообігу;

б) обчислити загальні індекси товарообігу, ціни та фізичного обсягу продаж товару;

в) абсолютний приріст товарообігу в цілому та його складові за рахунок зміни цін на товари та фізичного обсягу їх продаж.

Результати проаналізувати, зробити висновки.

Група товару

Ціна за одиницю товару, тис.грн.

Обсяг продаж, тис. шт.

І місяць

2 місяць

І місяць

2 місяць

А

Б

3,5

2,5

4,5

4,2

2,8

1,2

3,2

0,8

Задача 2

Витрати на телерекламу окремих категорій товару характеризуються даними:

Категорія

товару

Собівартість одного

рекламного ролика, тис. грн.

Кількість виготовлених

рекламних роликів, од.

базовий

період

поточний

період

базовий

період

поточний період

А

Б

1,3

1,1

1,5

1,8

150

140

180

130

 

Визначити:

а) індивідуальні індекси фізичного обсягу виготовлення рекламних роликів, собівартості одного рекламного ролика та витрат на виготовлення роликів, перевірити взаємозв’язок між цими індексами;

б) загальні індекси собівартості та кількості виготовлених рекламних роликів; загальний індекс витрат на телерекламу. Перевірити взаємозв’язок між цими індексами.

Результати проаналізувати, зробити висновки.

 

Задача 3

Динаміка витрат праці на виробництво продукції представлена даними:

Вид продукції

Трудомісткість виробництва одиниці продукції, люд. год. шт.

Обсяг випущеної продукції, шт.

І квартал

ІІ квартал

І квартал

ІІ квартал

А

Б

В

14

12

18

10

20

42

17

16

28

22

19

20

 

Визначте:

а) індивідуальні індекси фізичного обсягу випущеної продукції, трудомісткості виробництва одиниці продукції та трудовитрат не виробництво окремих видів продукції;

б) зведені індекси трудомісткості одиниці продукції та фізичного обсягу її виробництва; через взаємозв’язок індексів зведений індекс витрат праці на виробництво продукції;

в) абсолютний приріст (економію) витрат праці в цілому та за рахунок динаміки трудомісткості та фізичного обсягу виробництва.

Поясніть взаємозв’язок індексів та абсолютних приростів. Результати проаналізуйте, зробіть висновки.

Задача 4

Динаміка продажу трикімнатних квартир на біржі нерухомості характеризується даними:

Розташування квартири

Кількість проданих квартир, од.

Ціна однієї квартири, тис. грн.

базовий рік

поточний рік

базовий рік

поточний рік

Околиця

Район, прилеглий до центру

Центр

20

28

45

34

40

55

46

80

140

50

85

210

Визначте:

а) зведений індекс цін на квартири;

б) зведений індекс вартості проданих квартир;

в) використовуючи взаємозв’язок індексів зведений індекс кількості проданих квартир;

г) абсолютну зміну вартості проданих квартир та вплив на неї якісного та кількісного показників.

Результати проаналізуйте, зробіть висновки.

Задача 5

Динаміка виробництва продукції на цукровому заводі представлена даними:

Вид продукції

Витрати на виробництво, млн. грн.

Темп приросту собівартості одиниці продукції, %

базисний період

поточний період

Цукор-пісок

14,0

19,6

+ 10

Цукор-рафінад

8,0

9,4

– 6,0

Визначте:

а) зведені індекси витрат на виробництво та собівартості одиниці продукції; через взаємозв’язок індексів визначте зведений індекс фізичного обсягу виробництва;

б) абсолютний приріст грошових витрат на виробництво в цілому і за рахунок зміни собівартості одиниці продукції та фізичного обсягу виробництва.

Результати проаналізуйте та зробіть висновки.

Задача 6

Динаміка витрат праці робітників сільськогосподарського підприємства характеризується такими даними:

Продукція

Загальні витрати праці за період, тис. люд. -год

Темп приросту фізичного обсягу продукції, %

базисний

поточний

Цукрові буряки

Картопля

64

28

78

33

+ 20

- 10

Визначте:

а) зведені індекси трудомісткості праці та фізичного обсягу продукції;

б) абсолютну зміну загальних витрат праці в цілому та за рахунок фізичного обсягу продукції.

Результати поясніть.

Задача 7

Динаміка витрат праці робітників сільськогосподарського підприємства характеризується такими даними:

Продукція

Загальні витрати на виробництво продукції, за період, тис. грн

Індивідуальний індекс собівартості

базисний

поточний

А

Б

44

38

55

33

1,124

0,965

Визначте:

а) зведений індекс загальних витрат на виробництво продукції;

б) зведені індекси собівартості та фізичного обсягу продукції;

в) абсолютну зміну загальних витрат на виробництво продукції в цілому та за рахунок собівартості та фізичного обсягу продукції (економію або перевитрати коштів на виробництво продукції).

Результати поясніть.

Задача 8

Динаміка продажу мобільних телефонів характеризується даними:

Спосіб підключення

Ціна за 1 шт., грн.

Обсяг продажу, тис. шт.

базисний період

поточний період

базисний період

поточний період

За контрактом

Передплачений сервіс

1800

1600

1650

1500

3

6

6

4

Разом

х

х

9

10

Визначте:

а) середні ціни на мобільні телефони у базисному і поточному періодах та індекс середніх цін (змінного складу);

б) індекс цін фіксованого складу та індекс структурних зрушень;

в) абсолютний приріст середніх цін на мобільні телефони в цілому та за рахунок динаміки окремих чинників.

Поясніть економічний зміст визначених показників та покажіть їх взаємозв’язок. Зробіть висновки.

Задача 9

Динаміка прямих витрат праці на виробництво продукції рослинництва характеризується даними:

Сільськогосподарські культури

Трудомісткість виробництва 1 ц продукції за період, люд.-год./ц

Валовий збір культури за період (фізичний обсяг), тис. ц

базисний

поточний

базисний

поточний

Зернові

Зернобобові  

0,9

1,5

0,7

1,6

14

6

16

3

Визначте:

а) індекс середньої трудомісткості виробництва 1 ц продукції змінного та індекс фіксованого складу;

б) через взаємозв’язок індексів визначте індекс структурних зрушень;

в) абсолютний приріст (зниження) середньої трудомісткості виробництва 1 ц продукції в цілому та під впливом окремих чинників.

Результати проаналізуйте, зробіть висновки.

Задача 10

Динаміка депозитних процентних ставок для юридичних та фізичних осіб характеризується даними:

Вкладники

Сума залучених депозитів за період, тис. грн.

Депозитна ставка за період, %

базисний

поточний

базисний

поточний

Юридичні особи

920

950

10

16

Фізичні особи

280

390

18

20

Визначте:

а) індекси середньої депозитної ставки: змінного, фіксованого складу та індекс структурних зрушень;

б) абсолютний приріст середньої депозитної ставки для всіх вкладників в цілому та за рахунок впливу окремих чинників.

Зробіть висновки.

Задача 11

Маємо дані щодо платників податку на прибуток, що представлені в таблиці. Необхідно проаналізувати динаміку податку на прибуток індексним методом. Визначити загальний приріст (зменшення) суми податкових платежів на прибуток, у тому числі за рахунок окремих чинників.

Підпри-ємства галузей

Кількість платників податку

Розмір прибутку, що приходиться на одного платника податку, тис. грн.

Ставка податку на прибуток, %

базисний період

поточний період

базисний період

поточний період

базисний період

поточний період

А

90

80

5,2

5,0

25

28

Б

74

86

8,8

9,6

24

26

Задача 12

Обсяги продажу одягу у фірмовому магазині становили:

Група товарів

Товарообіг базисного періоду, тис. грн.

Індекс фізичного обсягу продажу

Серійні

З будинку моди

Комісійні

18

5

7

1,240

1,126

1,150

 

Визначте:

а) зведений індекс  фізичного обсягу продажу, а також зведений індекс цін за умови, що товарообіг збільшився на 15,2 %;

б) абсолютний приріст  товарообігу  за рахунок зміни цін і в цілому.                                            

Результати поясніть.                             

Завдання 2

Як у середньому змінилися споживчі ціни на продовольчі товари в поточному періоді порівняно з базисним, якщо фізичний обсяг продажу збільшився на 4%, а товарообіг – на 8%.

Завдання 3

Ціни на споживчі товари і послуги в регіоні у січні в порівнянні з попереднім місяцем збільшилися на 3,4%, а в лютому в порівнянні з січнем – на 4,5%. Як змінилися ціни в березні в порівнянні з лютим, якщо:

а) загальний ріст цін за І квартал теперішнього року склав 110,7%.

б) при розрахунку всіх індексів використовувались ваги грудня попереднього року?

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Маємо дані щодо реалізації малим підприємством двох видів продукції

Товар

Реалізовано продукції, т  квартал, т

Ціна за 1 т, тис. грн.

1 -й квартал

(q0)

2-й квартал

(q1)

1 -й квартал (р0)

2-й квартал (р1)

А

15,0

16,2

0,8

0,7

Б

50,0

51,0

2,5

3,5

Обчисліть:

1) індивідуальні індекси цін та фізичного обсягу реалізованої продукції;

2) загальні індекси вартості реалізованої продукції, ціни за одиницю та фізичного обсягу  реалізованої продукції;

3) зміну вартості реалізованої продукції в цілому, а також окремо за рахунок збільшення кількості реалізованої продукції та зміни цін на одиницю продукції.

Розв’язання

1. Індивідуальні (однотоварні) індекси в даному разі можна розрахувати для показників кількості реалізованої продукції (q) та цін (р):

iq  =  q1  / q0

iq(А) = 16,2 : 15,0 = 1,080   (108,0 %   або   + 8 %);

iq(Б) = 51,0 : 50 = 1,020    (102,0 %   або   +  2 %)  ;

iР  =  р1 / р0

ір{А) = 0,7 : 0,8 = 0,875    (87,5 %      або    – 12,5 %);

іР(Б) = 3,5 –.2,5 = 1,4    (140,0 %   або   + 40 %).

Таким чином, за продукцією Б ціна зросла на 40% і кількість проданої продукції на 2%. За продукцією А кількість проданої продукції зросла на 8%, а ціна знизилася на 12,5%.

Оскільки в завданні досліджується динаміка цін щодо двох різних товарів, узагальнюючі індекси мають бути агрегатними, тобто в них порівнюватиметься загальна вартість обсягу продажу товарів А та Б у цілому.

Таких індексів три:

Індекс динаміки загальної вартості реалізованої продукції:

Іpq = Σp1 q1 : Σp0 q0  = (0,716,2 + 3,5 51) : (0,815 + 2,5  50) =

= 189,84 : 137,0  =  1,386  (138,6 %,   або   + 38,6 %).

Отже, у цілому загальна вартість реалізованої продукції збільшилася на 38,6 %. В абсолютному виразі цей приріст дорівнює:

Δpq = Σp1 q1 –  Σp0 q0 =  189,84 – 137,0 = + 52,84 тис. грн.

Індекс зміни вартості реалізованої продукції під впливом динаміки цін:

Іp = Σp1q1 : Σp0 q1  = 189,84 : (0,8  16,2 + 2,5  51) =

= 189,84 : 140,46 = 1,352  (135,2  або  + 35,2 %).

Це означає, що під впливом зміни цін загальна вартість реалізованої продукції збільшилася на 35,2 %.   В абсолютному виразі цей приріст становить:

Δpq (p)  = Σp1q1 – Σp0 q1  = 189,84 – 140,46 = + 49,38 тис. грн.

Індекс зміни загальної вартості реалізованої продукції під впливом зміни кількості реалізованої продукції:

Іq = Σp0q1  : Σp0q0  = 140,46 : 137,0 = 1,025   (102,5 %  або   + 2,5 %).

Отже, за рахунок збільшення кількості реалізованих товарів товарообіг збільшився на 2,5 %. В абсолютному виразі цей приріст дорівнює

Δpq (q)  = Σp0q1  – Σp0q0  = 140,46 – 137,0 = + 3,46 тис. грн.

 Між обчисленими агрегатними індексами існує такий арифметичний взаємозв'язок:

Ірq= Ір ·  Іq,    тобто 1,386 = 1,025 . 1,352.

 Абсолютні прирости товарообігу також арифметично взаємопов'язані:

Δрq = Δpq(р) + Δpq (q),    звідки 52,84 = 49,38 + 3,46 тис. грн.

Приклад 2

Маємо дані щодо продажу товарів у приватному торгівельному підприємстві.

Товар

Товарообіг у діючих цінах,

тис. грн.

Зміна середніх цін

у 2-му кварталі порівняно з 1-м (темп приросту), %

1-й квартал

2-й квартал

p0q0

p1q1

1-й

60

64

– 20

2-й

42

44

+ 10

3-й

35

38

без змін

Обчисліть:

  1.  загальні індекси товарообігу, цін і фізичного обсягу реалізації товарів;
  2.  динаміку обсягу товарообігу в абсолютному виразі в цілому та під впливом зміни рівня окремих чинників.

Розв'язання

Загальний індекс товарообігу буде дорівнювати:

Ірq = Σр1q1 : Σр0q0 = (64 + 44 + 38) : (60 + 42 + 35) =  146 : 137 = 1,066       

(106,6 %   або   + 6,6 %).

Отже, у цілому товарообіг збільшився на 6,6 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δpq =  Σр1q1 - Σр0q0 = 146 - 137 = + 9,0 тис. грн.

Індекс цін визначаємо як середньозважений гармонійний, для чого зміну середніх цін у 2-му кварталі порівняно з 1-м у % представимо у вигляді коефіцієнтів, тобто індивідуальних індексів ціни на окремі товари:

ip1 =(– 20 + 100) : 100 = 0,8;

ip2 =(+ 10 + 100) : 100 = 1,1;

ip3 =(0 + 100) : 100 = 1,0;

Ір =  =  = 0,924 (92,4% або – 7,6%).

Отже, під впливом зниження цін товарообіг зменшився на 7,6%. В абсолютному виразі це зменшення становитиме:

Δpq (p)  = Σр1q1 - Σр0q1 = 146 – 158 = – 12,0 тис. грн.

 Індекс фізичного обсягу реалізації товарів буде дорівнювати

Іq = Σр0 q1 : Σр0 q0 = 158 : 137 = 1,153   (115,3 %   або + 15,3 %).

Отже, під впливом зростання фізичного обсягу реалізації товарів товарообіг збільшився на 15,3 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δpq (q)   =  Σр0 q1 – Σр0 q0 = 158 – 137 = + 21,0 тис. грн.

Перевірка

1) Взаємозв'язок індексів: 1,066 = 0,924 . 1,154;

2) зв'язок абсолютних приростів: + 9 = – 12 + 21 тис. грн.

Приклад 3

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (середній залишок позик - тис. грн.).

Відділення банку

Базовий період

Звітний період

швидкість обороту позик Ш0

середній залишок позик  З0

швидкість обороту позик Ш1

середній залишок позик З1

1

2

2,00

3,50

110

200

2,50

4,11

100

180

Разом

Х

310

Х

280

На основі наведених в таблиці даних розрахувати:

А) загальні індекси кредитового обороту, швидкості обороту позик та середніх залишків позик;

Б) абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників. Зробити висновки.

Розв’язання завдання А

Швидкість обороту позик визначається як співвідношення кредитового обороту (КО) до середніх залишків позик:

Ш = .

Швидкість обороту позик це якісний показник, а середні залишки позик – кількісний. Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів.

Загальний індекс кредитового обороту визначаємо за формулою:

Загальний індекс швидкості обороту позик

Загальний індекс середніх залишків позик

   (–  9,8 %).

Перевіримо взаємозв’язок між розрахованими індексами

Отримані результати свідчать про те, що в цілому кредитовий оборот у двох відділеннях банку зріс  у 1,076 рази, або на 7,6 %. Це відбулося за рахунок зростання швидкості обороту позик (+ 19,3 %), та за рахунок зниження середніх залишків позик (– 9,8 %).

Розв’язання завдання Б

Визначимо абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників:

ΔКО =Σ КО1 – Σ КО0 = Σ Ш1З1 - Σ Ш0З0  = 990 – 920 = + 70 тис. грн.;

ΔКО(Ш)  = ( Σ Ш1З1 – Σ Ш0З1 ) = 990 – 830 = + 160 тис. грн.;

ΔКО(З ) = ( Σ Ш0З1 – Σ Ш0З0 ) = 830 - 920 = –  90 тис. грн.

Таким чином, кредитовий оборот в цілому зріс на 70 тис. грн., в тому числі за рахунок прискорення швидкості обертання позик він зріс на 160 тис. грн., а за рахунок  зміни середніх залишок позик  – зменшився на 90 тис. грн.

Перевірка взаємозв’язку між абсолютними приростами:

ΔКО = ΔКО(Ш)  + ΔКО(З ) = 160 – 90 = 70 тис . грн.

Приклад 4

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (середній залишок позик - тис. грн.). На основі наведених в таблиці даних оцінити динаміку середньої швидкості обороту позик, розрахувавши індекси середньої швидкості обороту позик змінного, фіксованого складу та індекс структурних зрушень. Зробити висновки.

Відділення банку

Базовий період

Звітний період

швидкість обороту позик Ш0

середній залишок позик  З0

швидкість обороту позик Ш1

середній залишок позик З1

1

2

2,00

3,50

110

200

2,50

4,11

100

180

Разом

Х

310

×

280

Розв’язання

Осереднюється швидкість обороту позик (якісний показник), тому середні залишки позик – показник, який знаходиться у знаменнику логічної формули визначення Ш, є показником – сумірником, тобто вагами.

Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів, що характеризують динаміку середньої швидкості обороту позик.

Індекс середньої швидкості обороту позик змінного складу визначаємо за формулою:

Індекс середньої швидкості обороту позик фіксованого складу визначаємо за формулою:

Індекс структурних зрушень визначаємо за формулою:

Визначені індекси свідчать про те, що середня швидкість обороту позик у звітному періоді порівняно із базовим зросла в цілому на 19,1 %. При цьому, за рахунок зростання швидкості обороту позик середня швидкість обороту позик зросла на 19,3 %, а за рахунок змін у структурі залишків позик вона знизилася на 0,1 %.  

Бібліографічний список до практичного заняття : [ 5 – 11; 15 - 20 ]

Змістовий модуль 4. Методи аналізу взаємозв’язків та проведення вибіркових спостережень

Практичні заняття до теми 10: 

Статистичні методи вивчення взаємозв’язків явищ

Мета:   Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо оцінювання щільності кореляційного зв’язку за даними аналітичного групування; визначення параметрів однофакторної лінійної регресійної моделі, перевірки істотності зв’язку, обчислення показників напряму і щільності парного кореляційного зв’язку.

План заняття

  1.  Оцінювання щільності кореляційного зв’язку за даними аналітичного групування. Розрахунок кореляційного відношення
  2.  Регресійний аналіз взаємозв’язку. Оцінювання щільності  та перевірка істотності кореляційного зв’язку на основі регресійних рівнянь. Перевірка суттєвості кореляційного зв’язку

Задачі для розв’язання

 

Завдання 1

Зазначте, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які – стохастичними:

  •  захворюваність населення регіону від екологічного стану довкілля;
  •  попит на споживчі товари від наявності їх на ринку та цін;
  •  урожайність зернових від якості ґрунту та кількості опадів за рік;
  •  акціонерний капітал компанії від кількості проданих акцій та їх ринкової ціни;
  •  плідність жінок від їх віку;
  •  загальні витрати рекламних повідомлень від їх кількості та собівартості виготовлення одиниці рекламної продукції.

Задача 1

Оцінити щільність зв’язку між ознаками та перевірити його істотність за даними розподілу страхових полісів різних агентств за тривалістю закордонної поїздки страхувальника та вартістю медичного страхування. (Метод аналітичного групування).

Тривалість поїздки, днів,  хj

Кількість страхових полісів з вартістю, грн..

Середньоденна вартість одного полісу,

55-65

65-75

75-85

85-95

Разом fj

До 8

5

30

85

120

240

8-15

65

50

25

20

160

15-30

75

20

5

-

100

У цілому

145

100

115

140

500

Задача 2

За даними звітів сільськогосподарських підприємств рівень рентабельності виробництва залежить від ступеня забезпеченості ресурсами.

Визначте міжгрупову дисперсію та кореляційне відношення, якщо загальна дисперсія рентабельності виробництва становить 116. Зробіть висновки щодо щільності зв’язку та перевірте його на істотність з імовірністю 0,95.

Коефіцієнт забезпеченості ресурсами

Кількість підприємств

Середній рівень рентабельності, %

До 0,9

0,9 – 1,1

1,1 і більше

31

45

24

10

16

35

В цілому

100

18,7

Задача 3

За даними спостереження окупність витрат на радіоприлади залежить від строку освоєння їх виробництва (умовні дані наведено в таблиці). Виходячи із цих даних:  

а) визначте функцію, яка описує залежність між окупністю витрат та строком освоєння виробництва приладів, обчисліть її параметри та поясніть їх зміст;

б) оцініть щільність зв'язку за допомогою коефіцієнта детермінації, дайте його інтерпретацію;

в) перевірте зв’язок на істотність з імовірністю 0,95.

Номер продукції

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Строк освоєння, років

5

4

7

10

1

2

8

12

3

6

Окупність витрат, грн./грн.

10,2

7,5

13,9

12,8

0,6

2,8

13,2

10,1

5,4

12,7

Задача 4

Провести КРА зв’язку між добовою вартістю туристичних путівок в одному з туристичних агентств та тривалістю відпочинку. Обчислити параметри лінійного рівняння регресії. Оцінити щільність зв’язку між ознаками та перевірити його істотність.

Номер путівки

Тривалість відпочинку,  х

Добова вартість путівки, у

ху

х2

у2

1

5

78

2

14

55

3

7

95

4

18

30

5

14

53

6

20

26

7

7

85

8

15

50

Разом

100

472

Задача 5

Дані про споживання картоплі в сім’ях робітників та службовців з різним рівнем середньодушового сукупного доходу наведено у таблиці:

Рівень середньодушового сукупного доходу

Кількість сімей

Споживання картоплі в середньому на члена сімї за рік, кг

Низький

10

64    70    79    84    82    69    76    78    75    73

Середній

26

91    96    84    95    98    94    92    88    83    97    93   100   93    79    81    86    94    90    82    85    80    93    87    89    98    92

Високий

14

99   106   108   103    104   107   102   105    98    112   109   110   100   107

Визначити групові дисперсії, середню з групових дисперсій, загальну та міжгрупову дисперсії, показати взаємозв’язок між дисперсіями, оцінити наявність зв’язку між факторною та результативною ознаками за емпіричним кореляційним відношенням. Зробити висновки.

Задача 6

За даними вибіркового обстеження заробітної плати працівників бюджетної сфери одержано показники, наведені у таблиці. Визначити середню заробітну плату працівників по сукупності галузей; обчислити середню з групових (галузевих) дисперсій; визначити міжгрупову (міжгалузеву) дисперсію; загальну дисперсію, оцінити наявність зв’язку між факторною та результативною ознаками за емпіричним кореляційним відношенням.  Зробити висновки.

     Галузь

Середня заробітна плата, грн.

Чисельність працівників

Дисперсія заробітної плати

Охорона здоров’я

1200

80

4000

Освіта

1800

120

16000

Задача 7

За даними обстеження витрати часу жінок на домашню роботу такі:

Тип помешкання

Чисельність жінок, тис. чол.

Середні витрати часу на домашню роботу, год.

Групова дисперсія витрат часу

Індивідуальна квартира

50

6,2

0,01

Приватний будинок

40

7,0

0,04

Щоб проаналізувати, чи існує взаємозв’язок між типом помешкання та витратами часу на домашню роботу, визначте міжгрупову, середню з групових дисперсії витрат часу жінок на домашню роботу. Поясніть зміст кожної дисперсії та зробіть загальний висновок про щільність зв’язку між типом помешкання та витратами часу на домашню роботу.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

На основі даних, наведених у табл. встановити наявність кореляційного зв’язку, визначити лінію регресії за лінійною моделлю. Оцінити істотність і щільність зв’язку.

Залежність між факторною (х) та результативною (у) ознаками

х

2

3,5

4,

5,2

6,3

7,1

8,4

9,5

у

26,4

26,9

27,3

27,7

28,1

28,4

29,1

29,4

Розв’язання:

Математично лінійний зв’язок у загальному вигляді записується рівнянням:

Y = a + bx,

де Y – результативна ознака,

а – параметр рівняння, який характеризує початковий рівень;

b – параметр рівняння, який характеризує середній абсолютний приріст;

х – факторна ознака.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого – мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень (y) від теоретичних Y:

де у – емпіричні значення результативної ознаки;

Y – теоретичні значення результативної ознаки.

Математично доведено, що значення параметрів a та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь:

.

Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:

;       .

Для визначення параметрів лінійного рівняння складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі

і

х

у

ху

х2

1

2

26,4

52,8

4

2

3,5

26,9

94,15

12,25

3

4

27,3

109,2

16

4

5,2

27,7

144,04

27,04

5

6,3

28,1

177,03

39,69

6

7,1

28,4

201,64

50,41

7

8,4

29,1

244,44

70,56

8

9,5

29,4

279,3

90,25

Разом

46

223,3

1302,6

310,2

Використовуючи дані наведеної таблиці, знаходимо параметри лінійного рівняння:

= 0,408

= 223,3 / 8 – 0,408 × 46 / 8 = 25,57.

Таким чином, лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408 х.

Тобто, при зміні факторної ознаки х на одиницю результативна ознака у зросте на 0,408.

Для оцінки істотності та щільності лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона) r:

,

де  – факторна дисперсія;

– загальна дисперсія.

– середнє значення факторної ознаки;

– середнє значення результативної ознаки;

n – кількість пар ознак.

Для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона

і

х

у

ху

х2

у2

1

2

26,4

52,8

4

696,96

2

3,5

26,9

94,15

12,25

723,61

3

4

27,3

109,2

16

745,29

4

5,2

27,7

144,04

27,04

767,29

5

6,3

28,1

177,03

39,69

789,61

6

7,1

28,4

201,64

50,41

806,56

7

8,4

29,1

244,44

70,56

846,81

8

9,5

29,4

279,3

90,25

864,36

Разом

46

223,3

1 302,6

310,2

6 240,49

Тоді:           = 310,2 / 8 – (46 / 8) 2 = 5,7125;

= 6 240,49 / 8 – (223,3 / 8) 2 = 0,9536.

= = 0,997.

Для n = 8, rкр = 0,71. Оскільки розраховане значення коефіцієнта кореляції Пірсона більше за його критичне значення, то зв’язок є істотним.

Коефіцієнт кореляції Пірсона набуває значень у межах , тому ха-рактеризує не лише щільність, а й напрямок зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне – про обернений.

Відповідь: лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408·  х; лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона r = 0,997 свідчить про щільний прямий зв’язок.

Приклад 2

Дані про споживання м’яса та м’ясопродуктів у домогосподарствах з різним рівнем середньодушового сукупного доходу наведено у таблиці:

Рівень середньодушового сукупного доходу

Кількість сімей

Споживання м’яса в середньому на члена сімї за рік, кг

Низький

6

48, 62, 40, 52, 50, 36

Середній

10

91    96    84    95    98    94    92    89    98    92

Високий

4

100    112   108   110   

Встановити взаємозв’язок та оцінити його істотність і щільність за допомогою методу аналітичного групування.

Розв’язання:

Розрахуємо середні величини в кожній групі за формулою середньої арифметичної простої:

= (48 + 62 + 40 + 52 + 50 + 36) / 6 = 48;

= (91 + 96 + 84 + 95 + 98 + 94 + 92 + 89 + 98 + 92) / 10 = 84,6;

= (100 + 112 + 108 + 110) / 4 = 107,5.

Загальну середню для всієї сукупності обчислимо за формулою середньої арифметичної зваженої, де в якості окремих ознак  беруться середні кожної групи, а частотами є обсяги відповідних груп:

= (48 × 6 + 84,6 × 10 + 107,5 × 4) / 20 = 78,2.

Визначаємо групові дисперсії за формулою:    .

Тоді: = (48 – 48)2 + (62 – 48)2 + (40 – 48)2 + (52 – 48)2 + (50 – 48)2 +

+ (36 – 48)2  / 6 ≈ 70,67;

= (91 – 84,6)2 + (96 – 84,6)2 + (84 – 84,6)2 + (95 – 84,6)2 + (98 – 84,6)2 +

+ (94 – 84,6)2 + (92 – 84,6)2 + (89 – 84,6)2 + (98 – 84,6)2 + (92 – 84,6)2   / 10 = 85,58;

= (100 – 107,5)2 + (112 – 107,5)2 + (108 – 107,5)2 + (110 – 107,5)2 / 4 = 20,75.

Середню з групових дисперсій розрахуємо за формулою:

= (70,67 × 6 + 85,58 × 10 + 20,75 × 4) / 20 = 68,14.

Міжгрупову дисперсію обчислимо за формулою:

(48 – 78,2)2 × 6 + (84,6 – 78,2)2 ×10 + (107,5 – 78,2)2 × 4 / 20 = 465,79.

Використовуючи правило складання дисперсій , визначимо загальну дисперсію:            = 465,79 + 68,14 = 533,93.

Обчислимо кореляційне відношення:         = 465,79 / 533,93 = 0,872.

Критичне значення кореляційного відношення для обсягу сукупності 20 одиниць та трьох груп дорівнює 0,318.

Відповідь: Оскільки розраховане кореляційне відношення більше за його критичне значення, між рівнем середньодушового доходу  та споживанням м’яса існує прямий щільний зв’язок.

Бібліографічний список до практичного заняття: [5 - 11, 15 - 20]

Практичні заняття до теми 11:   Вибірковий метод спостереження

Мета:  Закріпити теоретичні знання та виробити практичні навички щодо обчислення помилок вибірки і визначенню меж довірчого інтервалу  для середньої величини та частки;  визначення  необхідної чисельності вибірки.

План заняття

  1.  Оцінювання точності  вибіркових даних. Розрахунок стандартної похибки вибірки і побудова довірчих меж для середньої і частки
  2.  Визначення мінімально достатнього обсягу вибірки

Задачі для розв’язання

Задача 1

За даними 20%-ого вибіркового обстеження 100 сімей переселенців із зони жорсткого радіаційного контролю, число дітей становить:

Число дітей

0

1

2

3

4

5

Разом

Число сімей

8

32

28

19

10

3

100

Обчислити:   1) середнє число дітей у сім’ях переселенців та довірчий інтервал для середньої з імовірністю 0,954;

2) з такою самою імовірністю граничну помилку та довірчий інтервал

для частки сімей, які мають троє і більше дітей.

Задача 2

За результатами контрольної перевірки податковими службами 400 бізнесових структур у 140 з них у податкових деклараціях не повністю вказані доходи, які підлягають оподаткуванню.

Визначте частку бізнесових структур, які приховують частину доходів від сплати податків, та довірчі межі частки з ймовірністю 0,954. Чи погоджуються вибіркові дані з твердженням, що 40 % бізнесових структур не сплачують податків у повному обсязі?

Задача 3

Дані 20%-го вибіркового обстеження витрат населення області на побутові послуги наведено в таблиці.

 Визначити :

1) для всієї обстеженої сукупності середні витрати на побутові послуги та із імовірністю 0,954 довірчий інтервал для середньої;

2) якою має бути вибіркова сукупність, щоб помилка вибірки з імовірністю 0,954 зменшилась в 1,3 рази.

Населений пункт

Число обстежених сімей

Витрати на одного члена сім’ї, грн. на місяць

Дисперсія

витрат

Місто

Село

36

64

110

50

380

140

Задача 4

З метою визначення потенціалу споживчого ринку планується анкетування населення (одна квартира        одна анкета).

Визначте мінімально необхідний обсяг вибірки (з імовірністю 0,954) щоб практична помилка для середньомісячного розміру покупки не перевищувала 5 грн. За даними пробних обстежень дисперсія середньомісячного розміру покупок становить 1875.

Задача 5

За даними опитування із 325 респондентів основними джерелами інформації про ринок цінних паперів вважають:

Радіо та телебачення       170

Газети та журнали         90

Для кожного джерела інформації визначте його частку та відносну похибку вибірки з імовірністю 0,954.

Порівняйте похибки вибірки.

Задача 6

На лісовому масиві в 400 га передбачається визначити загальний запас деревини. Пробні площі становлять 0,1 га. За даними попередніх обстежень дисперсія виходу деревини з 0,1 га становила 6.

Скільки пробних площ необхідно обстежити, щоб похибка вибірки з імовірністю 0,954 не перевищила 0,5 м3?

Задача 7

Результати вибіркового опитування 400 мешканців міста з метою визначення їхньої думки відносно подальшої долі екологічно шкідливого об’єкта такі:

Захід щодо об’єкта

Число відповідей

Негайно закрити

200

Перепрофілювати виробництво іншої продукції

120

Збудувати нові очисні споруди

80

Для кожної відповіді респондентів визначте відносну похибку вибірки з імовірністю 0,954, порівняйте їх, зробіть висновки.

Задача 8

За результатами аналізу зольність вугілля, яке надійшло на електростанцію, була така:

Зольність, %

до 14

14-16

16-18

18-20

20 і більше

Разом

Кількість проб

8

17

36

25

14

100

Визначити:

Середню зольність вугілля та довірчий інтервал середньої з імовірністю 0,997.

Довірчий інтервал частки вугілля, зольність якого менша як 16%, з такою самою імовірністю.   Зробити висновок.

Задача 9

За даними 5%-го вибіркового обстеження верстати за строком служби розподілились так:

Строк служби, років

до 4

4 - 8

8 - 12

12 і більше

Разом

Кількість верстатів

25

40

20

15

100

Обчислити:

Середній строк служби верстатів та довірчий інтервал середньої з імовірністю 0,954.

Граничну помилку і довірчий інтервал для частки верстатів, строк служби яких більш як  12 років, з такою самою імовірністю.

Зробити висновок.

Задача 10

Хімічний аналіз 10 партій молока дав такі показники кислотності (у градусах Тернера):    18;  21; 17;  19;  20;  23;  16;  22;  23;  21.

Визначте:

а) середній рівень кислотності молока та граничну похибку вибірки для середньої з імовірністю 0,954;

б) частку молока що відповідає стандартові (не більше 210), та похибку вибірки для частки з імовірністю 0,954;

в) скільки партій молока необхідно перевірити, щоб похибка вибірки для частки нестандартного молока зменшилась у 2 рази?

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Під час безповторного вибіркового спостереження, яке проводилось в одній з крамниць продажу дешевого одягу, були отримані такі дані:

Розподіл проданого товару за цінами

Ціна товару, грн. (Х)

1 – 2

2 – 5

5 – 10

10 – 15

Разом

Кількість проданого товару (f)

84

69

25

2

180

Визначити середню ціну та граничну помилку з імовірністю 0,954; побудувати довірчий інтервал для середньої ціни. Загальна кількість товарів (обсяг генеральної сукупності) 3254 одиниць.

Розв’язання

Для розрахунку середньої ціни за одиницю проданого товару замінимо спочатку інтервальний ряд розподілу дискретним. Використовуючи прийняте у статистиці припущення, що в межах одного інтервалу розподіл уважається рівномірним, значення ознаки (у даному прикладі ціна за товар) замінюємо на відповідні середні значення, які розраховуються за формулою:

,   

де    – середина інтервалу

Хmin – нижня межа певного інтервалу

Хmax – верхня межа певного інтервалу.

Маємо такі значення:

      .

З урахуванням обчислених значень середин інтервалів, вихідні дані набувають такого вигляду:

Дискретний ряд розподілу проданого товару за цінами

Ціна, грн. ()

1,5

3,5

7,5

12,5

Разом

Кількість товару (f)

84

69

25

2

180

Середня ціна обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої:

.     

Тоді середня ціна за даними вибіркового спостереження:

грн.

Гранична помилка для безповторного випадкового відбору розраховується за формулою:

,    

де  t – довірче число (або квантиль розподілу), яке для великої за обсягом вибірки (більше 30 одиниць) для ймовірності 0,954 дорівнює 2

– дисперсія вибірки

n – обсяг вибірки

N – обсяг генеральної сукупності.

Дисперсія вибірки обчислюється за формулою:

,    

де   – середина окремого інтервалу

– середня арифметична (середня ціна)

fi – частота (кількість проданого товару) кожного окремого інтервалу.

Таким чином, дисперсія вибірки:

Тепер можна визначити граничну помилку:

.

Таким чином,  = 3,2 грн.  = 0,32; і з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що при середній ціні за одиницю проданого товару у вибірковій сукупності 3,2 грн., у генеральній сукупності коливання навколо неї становитиме 0,32 грн., тобто межі довірчого інтервалу становитимуть:

3,2 – 0,32 ≤    ≤ 3,2 + 0,32 ,

це означає, що середня ціна за одиницю проданого товару може коливатися від 2,88  до 3,52 грн. у генеральній сукупності, яка складається із 3254 одиниць товару.

Приклад 2

Під час безповторного вибіркового спостереження в одному з судів з метою дослідження термінів позбавлення волі засуджених за тяжкі злочини були отримані такі дані :

Розподіл засуджених за тяжкі злочини

за терміном позбавлення волі (дані умовні)

Термін

позбавлення волі, років (Х)

5

6

7

8

9

Разом

Кількість

засуджених (f)

12

24

40

26

8

110

Визначити середній термін позбавлення волі та довірчий інтервал з імовірністю 0,954. Загальна кількість засуджених за тяжкі злочини протягом досліджуваного періоду в цьому суді становила 986 осіб.

Розв’язання

Маємо дискретний ряд розподілу, тому середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини на підставі вибіркових даних обчислюється за формулою середньої арифметичної зваженої:

.

Тоді

(років).

Для визначення довірчого інтервалу спочатку потрібно обчислити граничну помилку за формулою:

,

де  t – довірче число, або квантиль розподілу, який для великої за обсягом вибірки (n > 30) визначається з таблиць нормального розподілу та для ймовірності 0,954 дорівнює 2

– дисперсія вибірки

n – обсяг вибірки

N – обсяг генеральної сукупності.

Для визначення граничної помилки потрібно розрахувати дисперсію вибірки, яка обчислюється за формулою:

,    

= = 1,181.

Тепер обчислюється гранична помилка:

.

Довірчий інтервал можна записати таким чином:

,   або   .

Відповідь: середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини за даними вибіркової сукупності дорівнює 6,9 років з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній термін позбавлення волі за тяжкі злочини у генеральній сукупності не менше як 6,7 років та не перевищує 7,1 років (або знаходиться в межах від 6,7 до 7,1 років).

Приклад 3

За звітний період у суді було розглянуто 480 кримінальних справ, за якими проходило 650 злочинців. Розподіл засуджених за віком у 10% вибірці наведений у таблиці. Визначити частку неповнолітніх злочинців та довірчий інтервал частки цих засуджених з імовірністю 0,954.

Розподіл засуджених за віком за звітний період (дані умовні)

Вік

засудженого, років

До 18

18 – 25

25 – 35

35 – 50

50 і старші

Разом

Кількість

засуджених

14

20

10

15

6

65

Розв’язання

Частка неповнолітніх злочинців визначається як питома вага кількості злочинців відповідної вікової групи у загальному обсязі вибіркової сукупності, тобто:

р = хі / хі,

де хі – кількість неповнолітніх злочинців у вибірці;

  хі – загальна кількість злочинців, які потрапили до вибірки.

Тоді:        р = 14 / 65 = 0,215 і т.д..

Оскільки обсяги генеральної сукупності та вибірки великі, то для визначення граничної помилки використаємо формулу:

∆w  =   =   ,   

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954  t = 2;

   p – частка неповнолітніх злочинців у вибірці;

   q – частка повнолітніх злочинців у вибірці;

   n – обсяг вибірки.

Оскільки сумарна кількість неповнолітніх та повнолітніх злочинців дорівнює обсягу вибірки, то  q = 1 – p, тоді:        q = 1 – 0,215 = 0,785.

Тоді довірчий інтервал:

= 0,1.

Довірчий інтервал записується у вигляді: р = 0,215  0,1                                      або 0,115  р  0,315.

Таким чином, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка неповнолітніх злочинців становить 0,215, а довірчий інтервал – р = 0,215  0,1 або 0,115  р  0,315, тобто у загальній сукупності із 650 злочинців частка неповнолітніх злочинців може коливатися в межах від 11,5 до 31,5 %.

Приклад 4

Визначити оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору з імовірністю 0,954 за умови, що вік працюючих у генеральній сукупності коливається від 16 до 62 років, а гранична помилка середнього віку працюючих не повинна перевищувати 2 роки.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954  t = 2;

– дисперсія генеральної сукупності;

– гранична помилка.

Оскільки дисперсія генеральної сукупності невідома й відсутні дані щодо аналогічних досліджень, то для визначення дисперсії скористаємося правилом трьох сигм, тобто:

.

Тоді:                                    = 1 / 6 (62 – 16) = 7,7.

Тоді оптимальний обсяг вибірки становитиме:         n = 2 2 × 7,7 2 / 2 2 = 60.

Оскільки гранична помилка не повинна перевищувати 2 роки, то обсяг вибірки округлюємо у більший бік незалежно від того, яка цифра стоїть після цілого числа.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що оптимальний обсяг вибірки має бути 60 одиниць.

Приклад 5

Визначити оптимальний обсяг вибірки для безповторного механічного відбору для визначення частки якісної продукції з імовірністю 0,954 за умови, що обсяг генеральної сукупності дорівнює 2740 виробів, а гранична помилка якісної продукції не повинна перевищувати 0,2.

Розв’язання

Оптимальний обсяг вибірки для повторного механічного відбору обчислюється за формулою:

,    

де t – квантиль розподілу береться з таблиць нормального розподілу й для імовірності 0,954  t = 2;

N – обсяг генеральної сукупності;

– дисперсія генеральної сукупності;

– гранична помилка.

Для частки (альтернативної ознаки), коли відсутня будь-яка інформація про структуру сукупності, вважають, що частка р = 0,5, отже:

= 0,5 × 0,5 = 0,25.

Тоді оптимальний обсяг вибірки:

=  = 25.

Таким чином, можна зробити висновок – з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що за таких умов оптимальний обсяг вибірки має бути 25 одиниць.

Бібліографічний список до практичного заняття: [5 – 11 , 15 - 20]

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Основна література:

  1.  Про інформацію: Закон України №2657-ХІІ від 2.10.1992 р. зі змінами і доповненнями.
  2.  Про заходи щодо розвитку державної статистики: Указ Президента                         № 1299/1997 від 22.11.97р.
  3.  Про внесення змін до Закону України “Про державну статистику“: Закон України від 13.07.2000 № 1922-ІІІ із змінами і доповненнями.
  4.  Про Державну службу статистики України: Указ Президента України № 396/2011 від 06.04.2011 р.
  5.  Волошина Н.А. Статистика. Курс лекцій. Електрон. навч. посібн. для студ. денної форми навчання. – Дніпропетровськ: ДДФА, 2011. – 141 с.
  6.  Єріна А. М. Статистика: підручник / Єріна А. М., Пальян З.О. – К.: КНЕУ, 2010. – 351 с.
  7.  Єріна А. М., Пальян З.О. Теорія статистики: Практикум. – 5-те вид., стер. - К.: Знання, 2006. – 255 с. – (Вища освіта ХХІ століття).
  8.  Єріна А.М., Моторин Р.М. Статистика: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К.; КНЕУ, 2001. – 448 с.
  9.  Лугінін О.Є. Статистика: Підручник. - 2-ге вид., переробл. і доповн. - К.: Центр навч. л – ри, 2007. – 606 с.
  10.  Моторин Р.М., Чекотовський Е.В. Статистика для економістів: Навчальний посібник. - К.: Знання, 2009. – 430 с. + ком пакт-диск.
  11.  Моторин Р.М., Чекотовський Е.В. Статистика. Збірник індивідуальних завдань з використанням Excel: Навч.-метод. посіб. для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2005. – 268 с.
  12.  Нариси з історії статистики України, - К.: Держкомстат, 2001. – 56с.
  13.  Опря А.Т. Статистика (з програмованою формою контролю знань).Математична статистика. Теорія статистики: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2005. – 472 с.
  14.  Плошко В.Г., Елисеева И.И. История статистики. - М.: Финансы и статистика, 1990. – 196 с.;
  15.  Практикум по теории статистики: Учеб. пособие./ Под ред. Р.А.Шмойловой –М: Финансы и статистика, 1999 -416 с.
  16.  Статистика підприємництва: Навчальний посібник /Під ред. П.Г.Вашківа,  В.П. Сторожука, - К.: Слобожанщина, 1999. – 600 с.
  17.  Статистика: Підручник/С.С. Герасименко та ін. – К.: КНЕУ, 2000. – 468 с.
  18.  Статистика: теоретичні засади і прикладні аспекти. Навчальний посіб. /Р.В. Фещур, А.Ф. Барвінський, В.П. Кічор.– 2-ге вид., оновлене і доповнене. - Львів: ”Інтелект-Захід”, 2003.- 576с.
  19.  Теорія статистики: Навч. посіб. / Вашків П.Г., Пастер П.І., Сторожук В.П., Ткач Є.І. – К.: Либідь, 2001. – 320с.
  20.  Уманець Т.В., Пігарєв Ю.Б. Статистика: Навчальний посібник. - К.: Вікар, 2003. – 623 с. – (Вища освіта ХХІ століття).

Додаткова література:

  1.  Журнал “Статистика України”.
  2.  Журнал “Регіони України. Економіко-статистичні порівняння”.
  3.  Збірник наукових праць “Проблеми статистики”.
  4.  Статистичний щорічник України за 1999 (за 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006) р. Держкомстат України / Під. ред. О.Г.Осауленка, - К.: Техніка, 2000 (2001 і т.д.). -576 с.

Internet-ресурси:

  1.  http://portal.rada.gov.ua
  2.  http://zakon.rada.gov.ua
  3.  http://economics.com.ua
  4.  www.kmu.gov.ua/
  5.  www.bank.gov.ua/
  6.  www.minfin.gov.ua/
  7.  www.me.gov.ua/
  8.  www.nbuv.gov.ua/
  9.  http://www.ukrstat.gov.ua
  10.  http://www.dneprstat.gov.ua
  11.  http://www.adm.dp.ua/
  12.  http://www.rada.dp.ua/
  13.  http://www.donetskstat.gov.ua/
  14.  www.vous.vin.ua
  15.  www.vous.in.lutsk.ua
  16.  www.zapstat.zp.ua
  17.  www.stat.uz.ua
  18.   www.oblstat.kiev.ua
  19.  http://stat.if.ukrtel.net/
  20.  www.stat.lviv.ua
  21.  www.oblstat.is.com.ua
  22.  http://www.stat.nk.ukrpack.net
  23.  http://www.od.ukrstat.gov.ua/
  24.  www.poltavastat.gov.ua
  25.  http://www.te.ukrstat.gov.ua/
  26.  www.sumystat.sumy.ua/
  27.  http://www.oblstat.rivne.com/
  28.  www.uprstat.kharkov.ukrtel.net/
  29.  www.stat.ks.ua
  30.  http://statbrd.ic.km.ua/ukr/index.htm
  31.  http://www.ck.ukrstat.gov.ua/
  32.  http://www.oblstat.cv.ukrtel.net/
  33.  www.chernigivstat.gov.ua
  34.  http://www.gorstat.kiev.ua
  35.  www.sevstat.sevinfo.com.ua

ДОДАТКИ

k

Рівень імовірності Р (істотності  α)

k

Рівень імовірності Р (істотності  α)

0,95(α=0,05)

0,99(α=0,01)

0,999(α=0,001)

0,95(α=0,05)

0,99(α=0,01)

0,999(α=0,001)

1

3,8

6,6

10,8

21

32,7

39,9

46,7

2

6,0

9,2

13,8

22

33,9

40,3

48,3

3

7,8

11,3

16,9

23

35,2

41,6

49,7

4

9,5

13,3

18,5

24

36,4

43,0

51,3

5

11,1

15,1

20,5

25

37,7

44,3

52,6

6

12,6

16,8

22,5

26

38,9

45,6

54,1

7

14,1

18,5

24,3

27

40,1

47,0

55,5

8

15,5

20,1

26,1

28

41,3

48,3

56,9

9

16,9

21,7

27,9

29

42,6

49,6

58,3

10

18,3

23,2

29,6

30

43,8

50,9

59,7

11

19,7

24,7

31,3

32

46,2

53,5

62,4

12

21,0

26,2

32,9

34

48,6

56,0

65.20

13

22,4

27,7

34,5

36

51,0

58,6

67,9

14

23,7

29,1

36,1

38

53,4

61,6

70,7

15

25,0

30,6

37,7

40

55,8

63,7

73,4

16

26,3

32,0

39,3

50

67,5

76,2

86,4

17

27,6

33,4

40,8

60

79,1

88,4

99,6

18

28,9

34,8

42,3

70

90,5

100,4

112,3

19

30,1

36,2

43,8

80

101,9

112,3

124,8

20

31,4

37,6

45,3

90

113,1

124,1

137,1

Додаток А

Значення χ2 –критерію Пірсона для різних рівнів імовірності Р

(істотності α) 


Додаток Б

Значення критерію Стьюдента

(для рівня істотності 0,10; 0,05; 0,01)

Число ступенів

свободи

Рівень істотності

Число ступенів

свободи

Рівень істотності

0,10

0,05

0,01

0,10

0,05

0,01

1

6,3138

12,706

63,657

18

1,7341

2,1009

2,8784

2

2,9200

4,3027

9,9248

19

1,7291

2,0930

2,8609

3

2,3534

3,1825

5,8409

20

1,7247

2,0860

2,8453

4

2,1318

2,7764

4,6041

21

1,7207

2,0796

2,8314

5

2,0150

2,5706

4,0321

22

1,7171

2,0739

2,8188

6

1,9432

2,4469

3,7074

23

1,7139

2,0687

2,8073

7

1,8946

2,3646

3,4995

24

1,7109

2,0639

2,7969

8

1,8595

2,3060

3,3554

25

1,7081

2,0595

2,7874

9

1,8331

2,2622

3,2498

26

1,7056

2,0555

2,7787

10

1,8125

2,2281

3,1693

27

1,7033

2,0518

2,7707

11

1,7959

2,2010

3,1058

28

1,7011

2,0484

2,7633

12

1,7823

2,1788

3,0545

29

1,6991

2,0452

2,7564

13

1,7709

2,1604

3,0123

ЗО

1,6973

2,0423

2,7500

14

1,7613

2,1448

2,9768

40

1,6839

2,0211

2,7045

15

1,7530

2,1315

2,9467

60

1,6707

2,0003

2,6603

16

1,7459

2,1199

2,9208

120

1,6577

1,9799

2,6174

17

1,7396

2,1098

2,8982

∞

1,6449

1,9600

2,5758


Додаток В

Критичні значення F – критерію Фішера

а) для рівня істотності α = 0,05

     k1   

k2

1

2

3

4

5

6

8

10

20

1

16,14

19,95

21,57

22,46

23,02

24,30

23,89

24,20

24,80

2

18,54

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,37

19,39

19,44

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,84

8,78

8,66

4

7,71

6,04

6,59

6,39

6,26

6,16

6,04

5,96

5,80

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,82

4,74

4,56

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,15

4,06

3,87

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,73

3,63

3,44

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,44

3,34

3,15

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,23

3,13

2,93

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,07

2,97

2,77

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

2,95

2,86

2,65

12

4,75

3,88

3,49

3,26

3,11

3,00

2,85

2,76

2,54

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,70

2,60

2,39

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,59

2,49

2,28

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,51

2,41

2,19

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,45

2,35

2,12

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,27

2,16

1,93

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,18

2,12

1,84

60

4,00

3,15

2,76

2 52

2,37

2,25

2,10

2,04

1,75

120

3,92

3,07

2,68

2,45

2,29

2,17

2,02

1,90

1,65

∞

3,84

2,99

2,60

2,37

2,21

2,09

1,94

1,83

1,57


б) для рівня істотності α = 0,001

        kІ k2 

1

2

3

4

5

6

8

10

20

2

98,49

99,00

99,17

99,25

99,30

99,33

99,36

99,40

99,45

3

34,12

30,81

29,46

28,71

28,24

27,91

27,49

27,23

26,69

4

21,20

18,00

16,69

15,98

15,52

15,21

14,80

14,54

14,02

5

16,26

13,27

12,06

11,39

10,97

10,67

10,27

10,05

10,55

6

13,74

10,92

9,78

9,15

8,75

8,47

8,10

7,87

7,39

7

12,25

9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,84

6,62

6,15

8

11,26

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37'

6,03

5,82

5,36

9

10,56

8,02

6,99

6,42

6,02

5,80

5,47

5,26

4,80

10

10,04

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,06

4,85

4,41

11

9,65

7,20

6,22

5,64

5,32

5,07

4,74

4,54

4,10

12

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,50

4,30

3,86

14

8,86

6,51

5,65

5,03

4,69

4,46

4,14

3,94

3,51

16

8,58

6,23

5,29

4,77

4,44

4,20

3,89

3,69

3,25

18

8,28

6,01

5,09

4,58

4,25

4,01

3,71

3,51

3,07

20

8,10

5,85

4,94

4,43

4,10

3,87

3,56

3,37

2,94

ЗО

7,56

5,39

4,51

4,02

3,70

3,47

3,17

2,98

2,55

40

7,31

5,18

4,31

3,83

3,51

3,29

2,99

2,80

2,37

60

7,08

4,98

4,13

3,65

3,34

3,12

2,82

2,63

2,20

120

6,85

4,79

3,95

3,48

3,17

2,96

2,66

2,47

2,03

∞

6,64

4,60

3,78

3,32

3,02

2,80

2,51

2,32

1,87


Додаток Г

Критичні значення кореляційного відношення η2 

і коефіцієнта детермінації R2

для рівня істотності а  = 0,05

kІ

k2   .

1

2

3

4

5

6

8

10

20

3

0,771

0,865

903*

924

938

947

959

967

983

4

0,658

776*

832

865

887

902

924

937

967

5

569*

699

764

806

835

854

885

904

948

6

500

632

704

751

785

811

847

871

928

7

444

575

651

702

739

768

810

839

908

8

399

527

604

657

697

729

775

807

887

9

362

488

563

618

659

692

742

777

867

10

332

451

527

582

624

659

711

749

847

11

306

420

495

550

593

628

682

722

828

12

283

394

466

521

564

600

655

696

809

14

247

348

417

471

514

550

607

650

773

16

219

312

378

429

477

507

564

609

740

18

197

283

345

394

435

470

527

573

709

20

179

259

318

364

404

432

495

540

680

22

164

238

294

339

377

410

466

511

653

24

151

221

273

316

353

385

440

484

628

26

140

206

256

297

332

363

417

461

605

28

130

193

240

279

314

344

396

439

583

30

122

182

227

264

297

326

373

419

563

32

115

171

214

250

282

310

360

401

544

34

108

162

203

238

268

296

344

384

526

36

102

153

192

226

256

282

329

368

509

38

097

146

184

218

245

271

316

355

493

40

093

139

176

207

234

259

304

342

479

50

075

113

143

170

194

216

254

288

416

60

063

095

121

144

165

184

218

249

368

80

047

072

093

110

127

142

170

196

298

100

038

058

075

090

103

116

140

161

251

120

032

049

063

075

087

098

119

137

217

200

019

030

038

046

053

060

073

086

139

400

010

015

019

023

027

031

038

044

074

*Тут і далі значення надано після коми

      Кількість товару, од.




1. The first Court still sitting
2. СТРОИТЕЛЬСТВО ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ АВТОМОБИЛЬНЫЕ ДОРОГИ Основные понятия допущения гипотезы в к
3. тематике для учащихся выпускных классов начальной школы 2012 год
4. Тактика тушения пожаров и проведения аварийно-спасательных работ
5. п Таким образом при совместном пребывании мы никак не можем избежать общения
6. Тобольская государственная социальнопедагогическая академия им
7. Лизосомы
8. Tru- Этюды о Вселенной Туллио РЕДЖЕ Следует признать что существует заме
9. Шизофрения
10. Радикальної Партії для координації українського національного руху і його оборони від посиленого наступу р
11. . звужуються зіниці очей 2.
12. Корпус- Основную часть данной детали будем строить используя команду Вращение для этого определ
13.  Экономическая сисма- понятие элементы классификация 4 2
14. Расы и народы Африки
15. Задание на выполнение расчета в электронной таблице с использованием стандартной функции нахождения средне
16. Организация кассовой работы в банках и операции с наличность
17. Контрольная работа- Конформность- сущность понятия
18. Тема- Міфологічне сприйняття ~ особлива стадія художнього пізнан ня дійсності людиною
19. Пермь ул. Героев Хасана 105 корп
20. Bitru- Красота и мозг

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе