Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №15
Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.
(1)
Поскольку x,y,z во второй степени, то координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии.
Выясним форму эллипсоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа.
Линию пересечения плоскости Z=h с эллипсоидом обозначим Lh. Подставим Z=h в (1), получим:
=1
Обозначим
≤c, тогда =1 - уравнение проекции - эллипс.
В уравнении (1) a, b, c – отрезки, которые отсекает эллипсоид по соответствующим координатным осям.
Если a=b=c=R, то получаем сферу с центром в начале координат и с радиусом R.
(2)
Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Z=h с гиперболоидом обозначим Lh. Подставим Z=h в (2), получим:
Введем обозначения: , . Тогда получим уравнение: =1
(3)
А) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Z=h с гиперболоидом обозначим Lh. Тогда . Обозначение:
,.
Тогда
И
Б) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Ozy. Эти плоскости будут иметь уравнение Х=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Х=h с гиперболоидом обозначим L'h:
. Правая часть всегда отрицательная при любом h. Поэтому получим после преобразования: - уравнение гиперболы.
B) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Ozx. Эти плоскости будут иметь уравнение Y=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Y=h с гиперболоидом обозначим L’’h: . Правая часть всегда отрицательная. Поэтому получим после преобразования: - уравнение гиперболы при любом h.
Самостоятельно исследовать все остальные поверхности из приведенной ранее таблицы.
Уравнение общего вида, описывающее поверхности и линии в пространстве.
Дана декартовая система координат X,Y,Z. Пусть в ней имеется уравнение
Ф(x,y,z)=0 (4)
Уравнение описывает поверхность S в пространстве, если :
Замечание: не уравнение вида (4) является уравнением некоторой поверхности, например:
Пример: Сфера – это геометрическое место точек, расстояние от которых до некоторой фиксированной точки равно R.
- уравнение сферы с центром в точке M(a,b,c) и радиусом R.
Рассмотрим два уравнения:
Ф1(x,y,z)=0 (5)
Ф2(x,y,z)=0
Каждое из уравнений (5) описывает некоторую поверхность. Пусть эти поверхности пересекаются. Тогда линией пересечения этих поверхности будет некоторая кривая L. Поэтому естественно считать, что уравнения (5) задают некоторую кривую L в пространстве, если:
Уравнение цилиндрической и конической поверхностей.
Поверхность S называется цилиндрической с образующей, параллельной оси OZ, если для нее выполняется следующее свойство: прямая, проведенная через любую точку M(которая принадлежит S, параллельно оси OZ целиком принадлежит этой поверхности S.
Аналогично можно дать определение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной осям OX или OY.
Покажем, что если поверхность S описывается уравнением:
F(x,y)=0 (6),
то это поверхность цилиндрическая с образующей, параллельной оси OZ.
Доказательство.
Рассмотрим точку M(принадлежащую S. Тогда F(=0.
Проведем через точку прямуюпараллельную оси OZ. Возьмем на этой прямой точку M(x,y,z). Очевидно, что для всех точек прямой справедливо: x=y=, а следовательно F(=0. Отсюда следует, что все точки прямой принадлежат S, то есть S – цилиндрическая поверхность. Доказательство завершено.
Система ,
z=0
описывает кривую в плоскости Oxy
Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в начале координат, если прямая, проходящая через произвольную точку этой поверхности (отличную от начала координат) и начало координат целиком принадлежит поверхности S.
Функция F(x,y,z) называется однородной степени n, если для действительного числа k справедливо:
(6)
Покажем, что если - однородная функция степени n, то является уравнением конической поверхности.
Рассмотрим произвольную точку M(, принадлежащую S:
F(
Проведем прямую через начало координат и точку .
Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z), принадлежащую прямой. Тогда вектор коллинеарен, следовательно: =k
Поэтому справедливы следующие равенства:
x=k
y=k
z=k
Подставив эти точки в уравнение , получим:
(kkk)=F(=0
Пример. - функция однородная, степени 2. Следовательно, справедливо: - уравнение конической поверхности - конуса второго порядка.
Поверхности вращения.
Поверхность S называется поверхностью вращения с осью d, если она состоит из окружностей с центром на оси d, расположенными в плоскостях, ортогональных оси d. То есть поверхность вращения образуется при вращении некоторой линии L вокруг оси OZ
Пример. Эллипсоид вращения.
- уравнение эллипсоида вращения
Однополостный гиперболоид вращения^
Двуполостный гиперболоид вращения
Эллиптический параболоид вращения: